>>513
f(x):=|x|は普通の意味では原点で微分不能だから、厳密なことを言えば
シュヴァルツの超関数の話になる
f'(x)=｛x>0で1　x<0で-1　x=0で定義されない
という、ヘヴィサイドの階段関数みたいなのになる。これを『微分』したい

（大雑把な説明）
もしφ'が普通に微分できる関数だったら、微積分学の基本定理から
∫_[a,b]φ''(x)dx = φ'(b)-φ'(a)
これを逆手に取り、任意の実数a,bに対し
∫_[a,b]ψ(x)dx = φ'(b)-φ'(a)
を成り立たせるような関数ψ(x)を、φ'(x)の微分とみなそう、と考える

∫_[a,b]2δ(x)dx=0（a,bが同符号の時） =2（a,bが異符号の時）
だけど、 よく見るとこの右辺は上で出てきたf'(b)-f'(a)と完全に一致するので
f''(x)=2δ(x)