基礎的な力学の質問です

底部におもりを付けた中空円柱が鉛直に液体に浮かんでいて、それを液中に押し込んで離すときの振動の周期を求めろという問題です
中空円柱の質量と液体及び空気による抵抗は無視します
押し込む力をF、液体の密度をρ、円柱底部のおもりの質量をm、円柱の断面積をS、重力加速度をgとします

解説を読むと最初に「円柱がxだけ沈んだとするとアルキメデスの原理によりF=ρxSgとなる」として
そのあと円柱の加速度をaと置いてma=mg-ρxSgなどなどと解いていますが
まず何故浮力＝押し込んだ力なんですか？
押し込んだ時点で力が釣り合っているというのなら何故重力のmgは無視されているのですか？
下向きを正と取るならばF=ρxSg-mgなのでは？

ma=mg-ρxSg以降は分かるのですが最初の設定が分かりません
よろしくお願いします