物理学における群論
拙者はアンドロモンが好きだよ、拙者はアンドロモンが御好みだよ、拙者はアンドロモンが大好きだよ、拙者はアンドロモンを愛好するよ、拙者はアンドロモンを嗜好するよ、拙者はアンドロモンは友好するよ
寧ろ逆にアンドロモンを大切にするよ、他に別にアンドロモンを大事にするよ、例え仮に其れでもアンドロモンを重視するよ、特にアンドロモンを尊敬するよ、もしもアンドロモンを褒めるよ
十中八九アンドロモンを希望するよ、森羅万象アンドロモンを渇望するよ、無我夢中アンドロモンを要望するよ、五里霧中アンドロモンを切望するよ、天上天下アンドロモンを熱望するよ、是非ともアンドロモンを祈願するよ
100%アンドロモンに決定だよ、十割アンドロモンに限定だよ、確実にアンドロモンに指定だよ、絶対にアンドロモンに認定だよ、必ずアンドロモンに確定だよ
当然アンドロモンは斬新奇抜だよ、無論アンドロモンは新機軸だよ、勿論アンドロモンは独創的だよ、一応アンドロモンは個性的だよ、多分アンドロモンは画期的だよ
アンドロモンは強いよ、アンドロモンは強力だよ、アンドロモンは強大だよ、アンドロモンは強者だよ、アンドロモンは強豪だよ、アンドロモンは強剛だよ、アンドロモンは強靭だよ、アンドロモンは強烈だよ
アンドロモンの勝ち、アンドロモンの勝利、アンドロモンの大勝利、アンドロモンの完全勝利、アンドロモンの圧勝、アンドロモンの楽勝
アンドロモンの連勝、アンドロモンの優勝、アンドロモンの戦勝、アンドロモンの制勝
アンドロモンの奇勝、アンドロモンの必勝、アンドロモンの全勝、アンドロモンの完勝 お前の叩きは前提条件からして間違っている。
この記事を見れば不仲なんて口が裂けても言えんぞ。
福原P「ヤオヨロズはたつき監督というクリエイターの理想を叶えるためのスタジオです」
https://irodorich.com/archives/14433 1。代数系。
集合→二元演算。閉鎖律(演算に関して閉じている)。亜群
→結合律(ab)c=a(bc)。半群
→単位元e。モノイド
→逆元a^(-1)。群
→可換律ab=ba。可換群
→加法+(零元0と反元-a)。加法群
→乗法に関して半群、+と×の間に分配律。環。
Zにおいて
a+b+1。群。単位元-1。逆元-a-2。
ab+1。亜群。
a+b+ab。モノイド。単位元0。逆元-a/(a+1)∉Z
2ab。半群。
単位元1/2, 逆元1/4a∉Z。
2。{1, 2, 3, 4, 5} において
gcd。半群。a・a=aだが、固定されないので、単位元ではない。逆にa・1=1・a=1なので、1は逆元である。
Min。モノイド。単位元は5。
b。半群。 3。1, 1, 1, 0．
a・b≡1-ab。
結合律を満たさない。
4。a^b。(a^b)^c。a^(b^c)
a=2、b=1、c=2とすると、
4≠2となり、結合律を満たさない。 5。n=1、2、3では成り立つ。
n≦kの時、成り立つと仮定すると、n=k+1の時、最も左にある括弧内の式をAと置くと、A∈Gより、与式はn≦kの場合に帰着される。従ってAの内部の括弧、Aを含まない(外部の)括弧は全て省略可能となる。するとA自身に掛かった括弧も省略可能となる。
6。A=R(2π/3)より、a=-1/2、b=√3/2。{0, 2π/3, 4π/3}は、閉鎖律、結合律を満たし、単位元、逆元を持つので群を成す。
7。|k|R(θ)は原点中心のθ回転と|k|≠0の拡大(あるいは縮小)変換を表す。、この集合は閉鎖律、結合律を満たし、単位元(0回転、1倍拡大)、逆元(-θ回転、1/|k|倍拡大)を持つので群を成す。 8。ma+na=(m+n)a
(-m)a=m(-a)、0a=0
n(ma)=(nm)a
加法群。乗法群。単位元。逆元。零元。反元。指数法則。
m>0, n>0の時、両辺の個数を比べることて示される。
n=0の時、成り立つ。
m>0、n<0の時、n=-kとおく
(a^m)^n=(a^m)(-k)
=((a^m)^k)^(-1)
=(a^mk)^(-1)
=a^(m(-k))=a^mn。
9。存在と一意性。
eとEとすると、e=eE=E。
bとcとすると、ab=ac=e
両辺にa^(-1)を左から掛けると
b=c=a^(-1)。
10。逆元の一意性。
(ab)b^(-1)a^(-1)=
aea^(-1)=aa^(-1)=e
aa^(-1)=eより、
(a^(-1))^(-1)=a。
11。左簡約律。右簡約律。
ax=acの両辺に左からa^(-1)
をかけるとx=c。
xa=caの両辺に右からa^(-1)
をかけるとx=c。 12。群方程式。逆演算。
axb=cより、x=a^(-1)cb^(-1)
xax=bxより、x=ba^(-1)
a^3b^(-1)xc^(-2)b^2=a^4c^(-1)b^2
x=bac。
c(a^2b^2c^(-2))^(-1)xca=a
x=a^2b^2c^(-4)
群表。ラテン方陣。同型。位数nの巡回群。生成元。無限巡回群。有限位数。
1。単射であり、有限なので全単射。逆は成立しない。
2。単位元、恒等写像が存在しない。
結合律が成立しない。
閉鎖律、結合律、単位元、逆元。 3。単位元はb。
2143
1234
4321
3412
↓
2134
1243
3421
431
4。抽象群。
1
12
21
123
231
312
どれも一意に定まる。
5。同型。
位数4の巡回群。
1234
2341
3412
4123。
クラインの四元群。
1234
2143
3412
4321 6。位数4の巡回群。
1 i-1-i
i-1-i 1
-1-i 1 i
-i 1 i -1
位数4の巡回群。
1397
3971
9713
7139
クラインの四元群
01050711
05011107
07110105
11070501
7。クラインの四元群。
1234
2143
3412
4321
8。クラインの四元群。
E、S(0)、S(π/2)、S(3π/4)
1234
2143
3412
43 21 1 n×(n-1)×‥1=n!。
2 a=2143, b=2341
ab=3214, ba=1432
3 乗積表
123456
231645
312564
456123
564312
645231
4 6741523
5 位数はm、
a^m=e。巡回置換。
a×a^(-1)=e。逆順になる。
a=Π(1 i)
6 (ij)^(-1)=(ij)
(ij)=(1i)(1j)(1i)
7 12. 13. 14. 23. 24. 34.
1. 123. 132. 124. 142.
134. 143. 234.243. 12.34.
13.24. 14.23. 8 共通な文字を含まない場合、すなわち独立な場合にはab=baとなる。
9 巡回置換a^m=eとする。
初めに着目した文字についての置換に現れなかった別の文字についても同様の操作を行う。aの作用を受ける全ての文字について行えばaはこれらの置換の積になる。
任意の巡回置換は互換の積として表せる。
10 巡回置換に限らず、任意の置換は互換の積として表せる。
11
285139647
=(1284)(35)(697)
=(12)(18)(14)(35)(69)(67)
562971438
=(157498326)
=(15)(17)(14)(19)(18)
(13)(12)(16)
12 偶置換と奇置換。偶奇性。
差積に1つの互換を作用させると符号が変わる。全部で偶数回の互換ならば+に、全部で奇数回の互換ならば-になる。
13
Sn置換の全体は位数n!の群。
An偶置換の全体は位数n!/2の群
14 偶置換をA、奇置換をB≠Øとする。f A→Bにおいてfは全単射である。a→ab。従ってB≠Øの時、偶置換=奇置換となる。 1ケイリーの定理。G=eab‥c
eg、ag、bg‥、cg。置換表。
2 x=3、y=4。
3 §13 問5 (1)
4 e、a=1234、a^2=13, 24
a^3=1432。
5 クラインの四元群。
e、a=13, 24、b=12. 34
c==14, 23。 6 正n角形の中心を固定する。回転Cnは対称変換。裏返しの変換b。Cnb。Dn=Cn∪Cnb。|Dn|=2n。
7 正三角形の対称変換群。D3=S3。同型。
正三角形の表側だけの対称変換群。C3=A3。同型。
8 正方形の対称変換群D4。
e, 1234, 13+24, 1432,
12+34, 24, 14+23, 13。
9 球面と同相な多面体。
オイラーの多面体定理。
p-q+r=2。
1つの頂点に集まる(1つの頂点を囲む)辺の総数をx、1つの面に集まる(1つの面を囲む)辺の総数をyとする。
辺はそれぞれ2倍に数えられる。
頂点と頂点を結ぶのは辺、面と面を結ぶのは辺である。x≧3、y≧3。
10 Gの位数|G|=2q。対称変換群。
1面の辺(正y角形)・n面=ny=2q。
11 四辺形の対称変換群。
正方形→長方形→台形→一般の四辺形。
正方形→平行四辺形→台形→一般の四辺形。菱形。
D4、D2、C4、C2、e。 1 空でない部分集合H
閉鎖律ab∈H。結合律。
逆元の存在。単位元の存在。
必要性は明らか。
2 空でないからa∈Hとする。
単位元の存在。逆元の存在が順に分かる。b∈Hとすると閉鎖律も成り立つ。結合律は成り立つ。
必要性は明らか。
3 aで生成される巡回部分群〈a〉を考えると逆元が存在する。よって閉鎖律を仮定すれば成り立つ。
必要性は明らか。
4 前問と同様。
5 共通部分。a、b∈H∩K⊂G。部分群である。ab^(-1)∈H、K。
6 e、g2、g4とe、g3。g6=e。
g2・g3=g5∉H∪K。
7 hkを考える。
8 ハッセの図式。束論的図式。
完備束。モジュラー束。
C4。e, 1234, 13+24, 1432,
D2。e, 13+24, 12+34, 14+23
C6。e, 123456, 135+246,
14+25+36, 153+264, 165432
S3。e, 123, 132, 12, 13, 23 9 C12。位数12の巡回群。
g1、g2、‥。g2、g4、‥。
g3、g6、‥。g4、g8、‥。
g6。e。包含関係。正方形2個連結。
10。可換群の部分群は可換群となる。
11 最小の正の整数を考える。巡回群の部分群は巡回群となる。少なくとも1つはgm、m>0を持つ。
12 非可換群≠{e}。a≠eを少なくとも1つは持つ。amは巡回群で、可換だから部分集合にはならない。
13 極大部分群。
CnはDn'の極大部分群。
An'はSn'の極大部分群。
14 無限巡回群。
∀m、gm≠eなので無限巡回群になる。無限巡回部分群。
15 A4=正四面体の対称変換群
2辺の中点を結んだ軸と、頂点と対面の重心を結んだ軸。同型。
123, 132, 124, 142, 134, 143
234, 243。
12+34, 13+24, 14+23。e。
12+34, 13+24, 14+23。
12+34, 13+24, 14+23。
123, 132, 124, 142, 134, 143
234, 243。 1 左合同。
2 反射律。対称律。推移律。
同値関係。左剰余類。
3 Ha=Hb。
4 |H|=m。
5 ラグランジュの定理。
Gの左分解。
|G|=n、|G : H|・|H|=lm。
6 左分解の表。
0123
4567
891011
012
345
678
91011
7 左分解と右分解。 8 ラグランジュの定理。
巡回部分群。
9 正しくない。反例は位数12の群A4には位数6の部分群は存在しない。
10 巡回部分君砥一致する。逆はラグランジュの定理から明らか。
11 素数位数の群。巡回部分群。前問により明らか。
12 数学的帰納法によって証明する。正規部分群。
13 自明。単位群。単純群。真部分群を持たない。 14 極大正規部分群。Hの指数。左分解。右分解。
15 どちらも指数が2になる。
16 真部分群Hに対してHa≠aHなるaが存在することを確かめる。
17 D2以外の真部分群に対して前問と同様にする。
18 Zの7Zに関する左分解の表。
カレンダーと同じ。
01020304050607
08091011121314
15161718192021
22232425262728
29303132333435 1 共役関係。
同値律。反射律。対称律。推移律。類別。類。同値関係。同値類。
2 S3=e, 123, 132, 12, 23, 13
C6=e、g、g2、g3、g4、g5
A4=e、12+34, 13+24, 14+23,
234, 243,134, 143, 124, 142,
123, 132
3 y=x^(-1)ax。負の整数に関しても示す。o(a)はaの位数。
4 xy〜yx。
5 置換の合成。
6
(12)(345 )=12345→21534
(123)より
31245→13524
12345→35124=(13)(245)
(23)(145)=12345→53214
(123)より
31245→52134
12345→21534
(12)(345) 7 nの分割。分割数。コーシーの公式。単一の巡回置換の場合。共通の文字を含まない幾つかの巡回置換の積の場合。
8 S4。
1が1個。12が6個。12+34が3個。123が8個。1234が6個。24個。
9 S5。
1が1個。12が10個。12+34が15個。123が20個。123+45が20個。1234が30個。12345が24個。120個。
10 反射律。対称律。推移律が成り立つ事が確かめられるので同値関係である。
11 必要性は明らか。逆にa^(-1)Ha⊂H。
12 正規部分群。 ±1、+i
±1、±j。
±1、±k。
|Q : A|=2より、Aは極大部分集合である。ハミルトン群。
xを不変にする集合を中心。
正規部分群である。
可換群である⇔n>3ならば中心が単位元である。 1 複体。閉鎖律。結合律。単位元の存在。逆元の存在。群をなす。
2 Gの二元演算と両立する。
Gの共役関係はGの二元演算と両立しない。
3 準同型写像。単位元と逆元。
4 Imf。Kerf。部分群。正規部分群。
5 全射とImf。単射とKerf。
6 準同型写像 定義明確。
同値関係。合同関係。
7 Kerfに関して合同。
8自然な準同型写像。標準的準同型写像。
正規部分群。剰余群G/K。 9 準同型定理。
f=p→φ。乗法的。全射。単射。準同型写像。よって同型写像になる。
10 f(x)=eに準同型定理を適用する。 f(x)=xに準同型定理を適用する。
11 準同型写像。正規部分群。自然な準同型写像。
12 C6。位数6の巡回群。準同型。像。Kerf=K'。
13 四元数群。中心に感すら剰余群。クラインの四元群と同型。
±1→e、±i→a、±j→b、±K→cに準同型定理を適用する。
14 実数の加法群。整数の加法群による剰余群。一次元輪環群と同型である。 10 全部で6個。
(λ-t)^3
(t-λ)
200
020
002
(t-λ)^2
210
020
002
(t-λ)^3
210
021
002
(λ-t)^2(μ-t)
(λ-t)(μ-t)
200
020
003
(λ-t)^2(μ-t)
210
020
003
(λ-t)(μ-t)(ν-t)
200
030
004
全部で3個。
(λ-t)^2
(t-λ)
20
02
(t-λ)^2
21
02
(λ-t)(μ-t)
20
03 12
固有方程式はDet(A-tI)=0
(t-4)^2=0、t=4。
Rank(A-4I)=1。
固有値4に対する固有空間の次数は2-Rank(A-4I)=2-1=1。ジョルダン細胞の個数は1。AP=PJ。
J=4104. P=31-30
ジョルダン標準形。
変換行列。
11
固有値λに対する固有空間Vの次元はdimV=7-Rank(A-λI)=7-4=3。
ジョルダン細胞の個数はこれに一致するので3個である。最小多項式はf(t)=(t-λ)^3になるので標数は3である。
j次のジョルダン細胞の個数をljとすると
lj=Rank(A-λI)^(j+1)-2Rank(A-λI)^j+Rank(A-λI)^(j-1)より
l1=Rank(A-tI)^(2-2Rank(A-λI)^1+Rank(A-λI)^0=2-8+7=1
l2=Rank(A-λI)^3-2Rank(A-λI)^2+Rank(A-λI)^2=0-4+4=0
l3=Rank(A-λI)^4-2Rank(A-λI)^3+Rank(A-λI)^2=0-0+2=2(A-λI)^0=I。
λ
+
λ10
0λ1
00λ
+
λ10
0λ1
00λ 13
Det(A-λI)=0より、(t+1)^3=0、t=-1。
Rank(A+I)=1、Rank(A+I)^2=0
固有値-1に対する固有空間の次数は3-1=2。これはジョルダン細胞の個数である。標数は2で、これは最大のジョルダン細胞の次数である。
よってジョルダン標準形は
-110
0-10
00-1
ジョルダン鎖。ジョルダン基。
101
211
320
解を持つように、かつ線形独立なベクトルを選ぶ。 固有値は2, -3
(P^(-1)AP)^n=(D+N)^n
P^(-1)A^nP=D^n+nDN^(n-1)
固有値は3。
(P^(-1)AP)^n=(3I+N)^n
exp(3I)=I+3I+9/2I+=e^3I
expN=I+N+1/2N^2=M
expA=exp(3I+N)=exp(3I)expN
=e^3I×M=e^3M。
x(n)=A^n(x0)
連立差分方程式。
連立微分方程式も同様。
同時対角化
AB=BA。可換。同じ変換行列Pで同時に対角化出来る。和A+B、積ABもPによって同時に対角化出来る。
A、Bは正則、Ap=apとする。Bp=crとすると、
ABp=Acr。
BAp=Bap=acr。c≠0より
r=pとなる。AとBは固有ベクトルが一致する。固有値は必ずしも一致しない。 1 HがGの極大正規部分群てはないとする。G▷K▷HなるGの正規部分群Kが存在する。従ってG/H▷K/H▷H/HとなりG/Hは単純群ではない。逆も明らか。 2 |G/H|=|G : H|=l 素数。
G/Hは単純群。HはGの極大正規部分群。
3 A4▷D2▷AであるがA4▷Aではない。
4 S4▷A4▷D▷A▷e
組成列ではない
C▷R▷Q▷Z▷2Z▷0 加法群
組成列ではない
5 Gの正規部分群の中でGと異なる位数最大なものG1が存在する。▷e。最大正規部分群は唯一とは限らない。
正規鎖Z▷2Z▷4Z▷8Z。組成列を持たない。
6 C12は3個の組成列を持つ。
7 Q4は3個の組成列を持つ。
8 ジョルダンヘルダーの定理
シュライアーの細分定理
第2同型定理。G/H1=K1/D1、
G/K1=H1/DなのでDは極大正規部分群。
9 C6▷A▷e、C6▷B▷e
C6/A=B/e、A/e=C6/B
C12▷B▷e、C12▷C▷D▷e
C12/A=C/D、A/B=D/e
B/e=C12/C
10 巡回部分群。極大正規部分群。唯一の組成列を持つ。 11 可解列。細分。部分群。可換。第3同型定理。この操作を繰り返す。
12 剰余群列。素数位数。部分群。正規部分群。第2同型定理。組成列。逆は明らか。可解群。
13 共通部分を作る。
14 S4▷A4▷D2▷e
元の正規鎖は可解列。
15 A5は位数最小の非可解群である。アーペルの定理。単純群。非可換。非可解列。 1 G=ΠHiレマク分解。可換。分解の一意性。
2 可換律と結合律が成り立つ。一意的な分解。直積。
3 分解。2通りに表されると仮定する。
4 直積因子が2個の場合。第2同型定理。
5 異なる極大正規部分群。G=H×K。
6 直既約分解
C4 直既約。D2 A×B。S6直既約。
7 外部直積。 8 |G1×G2|=|G1|×|G2|
同型写像。
9 D2=C2×C2。C6=C2×C3。
明らか。
10 D2k=C2×Ck。
正規部分群。
11 C8、C4×C2、C2×C2×C2は互いに同型ではない。
C8は位数8の元を持つので他と同型ではない。同様に位数4の元を持つものと持たないものは同型ではない。全部で5個の型がある。
12 C9、C3×C3。
可換群。巡回部分群。極大正規部分群。
13 1次元輪環群。C*/R+=T。
C*=R+×T。
準同型写像の核はR+。準同型定理。C*は可換群。 1 環Rは分配律を満たす。反元-a。零元0。加法群。
2 零環{0}。a=0と仮定する。
3 単位的環。正則性。
4 m>0の時、並べて示す。
5 零因子を持たない⇔簡約律が成り立つ。
6 整域。Fを体とする。可換な単位的環。逆元。
7 ウェダーバーンの定理。有限体。無限体。剰余体、
8 有理整数環Z。ガウス席数環Z(i)。可換な単位的環。整域である。正則元は±1。±1、±i。 9 数体 有理数体Q、実数体R、複素数体C。無限体。既約分数。
10 ガウスの数体。
Q(i)={a+bi}、a、b∈Q、i=√-1。
四則演算に関して閉じている事を示す。
11 四元数。H={a+bi+cj+dk}、a、b、c、d∈R、i^2=j^2=k^2=ijk=-1。
四元数体。斜体。多元体はR、C、Hに限る。0での除法以外の四則演算が閉じていることを確認する。
12 n次全行列環。GL(n, F)。行列の演算の定義より明らか。
13 冪等。単位的環。ブール環。冪等律。Rは可換環である。2a=0が常に成り立つ。
14 対称差。零元と単位元を持つ可換環である。Rはブール環である。Rの零因子となり、整域にはならない。 1 AはRの部分環。a、b∈A⇒a-b、ab∈A。
2 aZはZの部分環。
3 単位元を持つこと。
4 整域。
5 部分環。部分体。 6 a-b∈A、ab∈A、
a-b∈B、ab∈B
よってRの部分環である。
部分整域、部分体も同様。
7 左イデアル。右イデアル。両側イデアル。可換環。部分環。
部分環とイデアル。
部分群と正規部分群。
a-b∈A、ab∈A。AはRの部分環。
8 A≠{0}をFのイデアルとする。Fは体なので逆元を持つ。x∈Fに対してx=ex∈AよりF=A。よってFは真のイデアルを持たない。Fは単項イデアル整域である。
9 同様に、A∩BはRのイデアルである。A∪Bは必ずしもイデアルにはならない。反例。有理整数環Zにおいて(2)(3)の元2、3の和5はそれらのいずれの元でもない。
10
非可換な場合や単位元を持たない場合。有限個の和も同様。帰納法。
11 有理整数環は単項イデアル整域。(a)=aZ。最小性。自然数の整列性。
12 aZ+bZ=gZ、aZ∩bZ=lZ
13 (a)∩(b)=(l)、ab=gl∈(l)
∴(ab)⊆(l)。 1 R/Aは環をなす。加法群R。
2 環準同型写像。零元と反元。
乗法を一旦度外視する。忘却の効用。
3 R→R'において、
R→Im f、ker f→0'。
Im fはR'の部分環。
イデアルの定義。a-b、xa、ax∈R、
4 x≡y (Ker f)、f(x)=f(y)
5 全射。環準同型写像。自然な、標準的。
6 G/K →Im f。環の同型写像。
7 R/R~{0}。R/{0}~R。
8 環準同型写像が存在し、kerf=Aとなること。
9 Z6/Z6、Z6/{024}、Z6/{03}、Z6/{0}。
10 Z/mZ~Zm。環の準同型定理。
11 可換環、単位的環、整域。
零因子。
12 複素数体Cと同型な行列。
対応。2×2。
13 四元数体Hと同型な行列。
4×4。対応。 1 有限体。素体。線型空間
2 n=1とすればよい
3 Fの単位元をeとする。
4 最初つの部分空間
5 共通部分はVの部分空間
合併集合はVの部分空間になるとは限らない。反例はx軸とy軸
6 線型独立
7 線型従属
8 対偶
9 線型従属
10 有限部分集合
11 基底
12 線型結合
13 次元
14 次元と線型従属
15 次元と階数
16 原点、原点を通る直線、原点を通る平面、R^3。 1 係数体F上の線型空間
2 拡大体と部分体
3 有限次拡大、中間体
4 既約多項式の積に分解
5 代数的閉体
6 剰余定理、因数定理
7 有理数体の上で代数的
モニック
8 単純代数拡大、単純超越拡大
9 F上の最小多項式
10 拡大次数
11 平方因子を持たない0、1以外の数。
12 ガウス整数環の商体。
13 2次の拡大体、2次体
14 集合の包含。逆は成り立たない。 1 単射準同型
2 高々[K : F]個である。
3 有限次拡大の不等式
4 自己同型群の有限部分群
ガロア拡大
5 有限次ガロア拡大
6 ガロア理論の基本定理
7 ガロア対応
8 ガロア拡大
9 中間体、ガロア群
10 アーベル拡大、巡回拡大
11 代数的閉包
12 最小多項式の一致。共役
13 正規拡大、分離拡大
根の間の置換。
14 位数。ガロア群 1 ラグランジュの定理
2 フェルマーの小定理の拡張
3 ガロア拡大体
4 一意性
5 乗法群、巡回群、原始根
6 単純代数拡大体
7 標数。素体。
8 原始多項式
9 モニックな既約多項式
10 コート化
11 加法と乗法
12 原始根によるべき表示
13 指数。指数表。
14 偶奇性。情報理論
15 距離、重み。 1
∀a∈Gに対してa○e=e○a=a
ここで、a=eとすると
e○e=e○e=e。よって単位元eの逆元はeである。
2
a○b=b○aのとき両辺の左右からb'をかけると
b'○a○(b○b')=(b'○b)○a○b'
⇔b'○a=a○b'。逆元とも可換である。
3
半群、モノイド、群
二項演算(積、乗法、和、加法)、結合法則、逆元、単位元
a、b∈Zに対してa○b=abと定義する。積はZ上二項演算になる。
(a○b)○c=abc、a○(b○c)=abcより結合法則が成り立つ。
1∈Zは単位元である。
±1以外には逆元は存在しない。よってZは乗法に関して群ではない。 4
a、b∈G=絶対値が1である複素数全体の集合とする。
abに関して|ab|=|a||b|=1が成り立つので二項演算である。すなわち積に関して閉じている。
(ab)c=a(bc)が成り立つので結合法則が成り立つ。
1∈Gであるので単位元が存在する。
a∈Gに対して|1/a|=1/|a|=1より逆元が存在する。
5
Q[√2]-{0}=Q[√2]※とする。
x、y∈Q[√2]※とするとx, y≠0
積xy∈Q[√2]※が確かめられる。
ゆえに乗法に関して閉じている
ac+2bd=0かつad+bc=0
a^2cd=2b^2cd、ad+bc=0
cd≠0とするとa=±√2bよりa=b=0で成り立つ。
c=0の時、a=0、b=0、d=0。
・d=0のときは成り立つ。
・a=0のときはb=0またはd=0
b=0のときは成り立つ。
d=0のときは成り立つ。
・b=0のときa=0またはd=0
a=0のときは成り立つ。
d=0のときは成り立つ。
d=0のときも同様。
よって積も閉じている。
1∈Q[√2]※は単位元である。
a^2-2b^2=0⇔a=±√2b⇔a=b=0
よって逆元が存在する。
よってQ[√2]※は乗法に関して群をなす。
6
Gを加法群とする。
a+x=b、y+a=b。加法は可換であるからx+a=b。x=y。逆演算可能。
a+c=b+c⇒a=b。消去律。 7
Z7〜Z12の加法群としての群表
+
0123456 1234560 2345601 3456012 4560123 5601234
6012345
・
0000000 0123456 0246135
0362514 0415263 0531642
0654321
U(Z7)=Z7*=123456 既約剰余群
3を生成元とする巡回群
U(Z8)=1357 クラインの四元群
U(Z10)=1379
3を生成元とする巡回群
U(Z9)=124578
2を生成元とする巡回群
U(Z12)=15711 クラインの四元群
U(Z11)=12345678910
2を生成元とする巡回群
8 群表からS3。ρ1・ρ2=ρo、
ρ1・ μ2=μ1、μ3・μ2=ρ2
D4'。ρ1・μ2 = δ1、
μ2・δ2 = p3、δ1・ρ2 = δ2
9 群表からD3。r1・r2=ro、
r1・s2=s1、s3・s2=r2
D4。r1・s2=t1、
s2・t2=r1、t1・r2=t2 H=a^nとするとH⊂Q*
1∈H、a⁻¹∈H、xy∈H
部分群
1→12、6、4、3、12、2、12
3、4、6、12、元の位数。単位元は0
単位元は1。i、3−5。 集合X上の演算φ: X×X→X
Gを空でない集合とする。
(1)集合Gの上の演算が定義されている
(2)単位元eの存在
(3)逆元a⁻¹の存在
(4)結合法則
集合Gに群の構造が入る 可換群、アーベル群、加法群、加群
a×b、1、a+b、0
個数|G|をGの位数、有限群、無限群、
加法ℤ、ℚ、ℝ、ℂ、0、−x
乗法ℚ\{0}、ℝ\{0}、ℂ\{0}、1
x⁻¹
乗法表、a￮a=a、b￮b=a、
a￮b=b、b￮a=b
aは単位元、逆元は自分自身
可換群、
(a￮b)￮c=a￮(b￮c)
3個e→○、2個e→○、1個e→○
0個e(3個b)→○
位数2の有限群
x((yz)w)=x(y(zw))=(xy)(zw)
231 321 132 312
213 123
(x(yz))w=((xy)z)w xYzxyx=1
yX²YX
1e=1、1e=eよりe=1
(ba)c=b(ac)よりc=b
(BA)(ab)=B(Aa)b=Bb=1
(ab)(BA)=a(bB)A=aA=1
(aA)=()Aa=1よりA⁻¹=a
全単射、置換の積
idₓ恒等写像、Xの置換群
Sₙ n次対称群、 一般線型群GLₙ(ℝ)
正則行列全体の集合
GLₙ(ℂ)、1ₙ、Aₙ⁻¹、Aₙ
(i j)、互換、長さnの巡回置換
σ=4321、τ=2314
σ￮τ=1234→τ→2314→σ→3241 正規部分群ですが、ググると
gHg-1 と
g-1Hg
と両方が出てきます。
どっちが正しいのでしょうか では、aのpに関する共役元、pで変換した元と言ったら
b = pap-1 か
b = p-1ap か
どっちですか
今プログラムを作っているのですが、どっちにしようか迷っています
厳密にはどっちかに決まっていると思うのですが >>84
一方がpによる変換で他方がp^(-1)による変換
どちらをpによる変換と定義しようが、自分の中で首尾一貫していれば何も困らないのでは？ 置換、置換群、次数、逆置換、巡回置換、互換、偶置換、奇置換、n次の対称群Sₙ、位数n!、交代群Aₙ、偶置換の全体、位数n!/2 1 置換の総数はn!個ある
1→n個、2→n-1個、…、n→1個より
n!個
2 a=2143、b=2341の時,
ba=a→b=1432、
ab→b→a=3214
定義の問題、右から始める
非可換であることが分かる 3
e=123=(1)、
c=213(12) d=321(13) f=132=(23)
a=231=(123)、b=312=(132)、
恒等置換1個、互換3個、巡回置換2個
3次の対称群S₃は位数最小の非可換群
eab cdf
abe fcd
bea dfc
cdf eab
dfc bea
fcd abe
a=(2143)、b=(2341)、ab=(3214)
a=(12)(34)、b=(1234)
2143→3214
4
4673512
σ⁻¹=6741523 5
(1) aᵐ=e
1回で1個ずれる。m回でm個ずれて元に戻る。
(2) a⁻¹=(m…1)
(3) a=(12)(13)…(1m)
長さmの巡回置換の位数はm
(1…m)(m…1)=eより(m…1)=(1…m)⁻¹
a=(1234)
2134→3124→4123=(1234)
→4213→4312→4321 6
(ij)=(1i)(1j)(1i)
()ij⁻¹=(ij)
(ij)(ij)=e
i…1j…→j…1i…→1…ji…
7
₄C₂=6個。12、13、14、23、24、34
A₄=4!/2=12個
e、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)
(123)、(132)、(124)、(142)、
(134)、(143)、(234)、(243)
恒等置換1個、互換3個、
3個の巡回置換は8個で計12個になる。 8
共通文字を含まぬ場合は置換a、bの作用は独立であるから順序によらなきすなわち可換である
ab=ba
9
巡回置換aを1に作用させる。1から始まる長さm₁の巡回置換が出来る。それを取り除き残った中で最小の番号に対して同じ操作行う。この操作を番号が残らなくなるまで行うことが出来る。出来上がった互いに同じ番号を含まない循環置換の席として表すことが出来る
長さ1→操作は不要
長さ2→(ij)=(1i)(1j)(1i)
長さ3以上→(23…m1)=(12)(23)…(m-1)
(m12…m-1)=(12)(13)…(1m)
10
任意の置換は恒等置換、互換、巡回置換の積として表すことが出来る。任意の巡回置換は互換の積として表すことが出来る 11
285139647=(12)(18)(14)(35)(69)(67)
562971438=(15)(17)(14)(19)(18)(13)(12)(16)
57498326
12
差積⊿に互換(ij)を作用させると
x₁-xⱼ→-(x₁-xⱼ)と符号が変わる。
⊿に置換aを作用させると
置換8互換の積として表されるからa=+⊿または-⊿。互換の回数と符号変化の回数は一致するから
偶置換ならば+⊿、奇置換ならば-⊿となり互換の回数や順番は決まらなくても偶奇性はaによって決まる。
14
偶置換全体の集合をX、奇置換全体の集合をYとする。
Y=∅ならば題意を満たす。
Y≠∅ならば
∀x₁, x₂∈X、∀y∈Y、
x₁y≠x₂yとなる。
x₁=(12)(34)、x₂=(14)(23)
y=(12)とすると
1243、4312
x₁≠x₂の時, ∃k、x₁⁻¹(k)≠x₂⁻¹(k)となる。
x₁⁻¹(1)=2、x₂⁻¹(1)=3、y(1)=4とすると
2→1→4、3→1→4となり
x₁y≠x₂y
++→+、--→+、+-→-
∀a∈Sₙ、a⁻¹が存在する。aは全単射である。
①②③④⑤67中への単射
単射非全射×○
①②③4567中への非単射
非全射非単射××
①②③④⑤上への単射=全単射○○
1②③上への非単射=全射非単射○× ∀a∈Sₙ、a⁻¹が存在する。
x₁, x₂, a∈Sₙ、x₁≠x₂の時,
x₁a=x₂a⇔xᵢaa⁻¹=x₂aa⁻¹⇔x₁=x₂
とかり矛盾。よってx₁≠x₂⇒x₁a≠x₂a
すなわちこの写像は単射である。
x∈Gₙ、a∈Kₙとすると|Gₙ|≦|Kₙ|
逆に∀y₁, y₂∈Kₙ、∃a∈Kₙ、
y₁≠y₂、y₁a, y₂a∈Gₙ、y₁a≠y₂aより
|Gₙ|≧|Kₙ|、よって|Gₙ|=|Kₙ|=n!/2となる。 さCaleyの定理、巡回群Cₙ、
D₂ kleinの4元群、fによって不変→対称である、対称変換、対称変換群、Dₙ、n次の二面体群 、
Dₙ=Cₙ∪Cₙb、|Dₙ|=2n
テトラ、ヘキサ、オクタ、
ドデカ、イコサ、アイコサ
A₄、S₄、S₄、A₅、A₅ 1
群表=Cayley表
∀g∈G、(aᵢ)→(aᵢg)とする。
2
x=3、y=4
4
C₄
a⁰=(1)、a¹=(1234)、
a³=(13)(24)、a⁴=(1432)
5
D₂
e=(1)、a=(13)(24)、b=(12)(34)
c=(14)(23)
対称変換群、長方形、菱形
辺の中点を結んだ直線に関する対称性、対角線に関する対称性
恒等変換 6
D₂、D₁={e, b} b²=e
裏返しをbとする
Dₙ=Cₙ∩Cₙb、|Dₙ|=2n
表側の対称変換はCₙ={e, a, a², aⁿ⁻¹}
裏側の対称変換はCₙb 7
正三角形の対称変換群
正三角形の表側だけの対称変換群
S₃≅D₃、A₃≅C₃ 1408
e、{1234}、a²={13}{24}
a³={1432}
41234と4321
b=12と34
ab=4123→1432、
a²b=3412→432 1
a³b→2341→3214
3次対称群S₃
置換の個数、位数3!=6個。
二面体群D₃
正多角形の対称性
回転と鏡映、位数2n=6個
3次交代群A₃
偶置換全体の集合n!/2=6/2=3個
123 231 312
巡回群C₃
位数は3
D₄の位数2n=8。C₄が4個、bC₄が4個 1409
Eulerの多面体定理
正四面体は自己双対
正六面体と正八面体、
正十二面体と正二十面体は互いに双対
1つの頂点に集まる辺をx、
1つの面を囲む辺をyとする。
明らかにx≧3∧y≧3である。
頂点p、辺q、面rとするとp-q+r=2
xp=2q、正n面体よりyn=2q
xp=yn
p, qを消去すると
yn/x-yn/2+n=2
n=2(y/x-y/2+1)=4x/(2y-xy+2x)
x≧4∧y≧4とすると
n=2q/yによってnを消去すると
y/2q=y/2x-y/4+1/2
1/q=1/x-1/2+1/y≦1/4-1/2+1/4=0
これは不合理。よってx≦3またはy≦3である。よってx=3またはy=3
x=3の時, n=12(2y-3y+6)=12/(6-y)
y=1～5で、y=2→n=3×
y=3→n=4○、y=4→n=6○、
y=5→12○
y=3の時, n=4x/(6-x)
x=1～5て、x=3→n=4、
x=4→n=8、x=5→n=20 10
x=33435、
y=34353、
464、8 12 6、6 12 8
20 30 12 12 30 20
yn=2q
xp=2q 11
正方形
卍、卐
長方形
菱形
等脚台形(一般の台形では不可)
平行四辺形
凧形
一般の四辺形
D₄、C₄、D₂、C₂、{e} サロンやるやる詐欺はまんま普段やってる奴はやる感じ >>33
何でそんなに売り込まれとるんやコイツらってなったし >>8
オリンピックってそんなに暑いんだ
しかし
生主てみんなそうだな
しかし
自ら自分を封じ込めてるだけだ >>5
配信の邪魔しないし、途中入社してリハビリ中の課題だった 子供手当とか配偶者控除とか金持ちキャラが1億4383万株から約1ヶ月。 
