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大学で初めて力学をやるんだが
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F2NP6
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Y4R
ネットが嘘をつくのではなく、人が嘘をつくのではないのでしょうか？
直交直線座標、デカルト座標。ラグランジュの方程式。便利で実用的な処方箋。機械的に方程式が立てられる。ニュートンの運動方程式から導き出す。
1) 平面極座標。保存力の時。放物運動。水平と鉛直。直交直線座標、デカルト座標。中心力。距離だけの関数になる。動径。面積速度一定の原理が導かれた。束縛条件。同心円的、放射的。平面極座標。直交曲線座標。微小変位。微小面積、面積素片rdrdθ。dxdy。ヤコビアン。2次の回転行列。
極座標による速度と加速度を求める。若干の計算が必要。
中心力ならば先程と同じ法則が導かれる。万有引力。
3) 極座標の一般化力
速度よりも運動量の方が基本的な量である。ma=Fよりもdp/dt=F。
d/dt (∂T/∂v)=F。
r方向には、見掛けの力、遠心力が現れる。
θ方向はr倍されている。
一般化力により置き換える。
(dr, rdθ)ではなく、(dr, dθ)で上手く行くように作られている。
d/dt (∂T/∂v)−∂T/∂r=Q。
座標、位置、速度、運動量を一般的に通しで表す。運動エネルギーも1個の文字で表せる。
Σmv^2/2=Σp^2/2m。
例題1。2原子分子の重心。
問題1。例題1とは逆に解く。全質量と換算質量。運動エネルギーの表現。
全微分。
問題2。極座標で表して微分する。偏微分。
Q=ΣF∂x/∂q。一般化力。ディメンションが合わなくても良い。
例題2。極座標に対する一般化力を求める。特に中心力について。
ポテンシャルを持つ保存力の場合。
共役な一般化運動量。p=∂T/∂v。
体積素片。微小体積。
dv=r^2sinθdθdφ。
運動エネルギーの極座標表示。
添字が逆。ポテンシャルを保つ場合、d/dt(∂T/∂v)-∂T/∂q +∂U/∂q=0
ラグランジュ関数。ラグランジアン。L=T-U。
d/dt(∂L/∂v)-∂L/∂q=Q。
p=∂L/∂q。中心力。角運動量。全く機械的に。
問題3
動径成分。動径とｚ軸に垂直な角運動量の成分。これも角運動量。
例題1
運動エネルギーと位置エネルギー。ラグランジアン。これを一般的に描くことは容易ではない。
保存力の時。ラグランジュ関数。ラグランジュの解析力学。ニュートンのプリンキピア。静力学。動力学。ダランベールの原理。仮想仕事の原理。オイラー。束縛条件。未定乗数法。一般化座標。ベル。思考の経済。マッハ。
エネルギー保存則。T+U=Ｅ。保存量。エネルギー積分。定数。ラグランジュ関数。循環座標。
演習1
三角形の面積、ヘロンの公式。余弦定理。偏微分。楕円群。双曲線群。直交曲線座標。面積要素。
演習2
中心力場。動径。有効ポテンシャル。円運動。中心力のポテンシャル。周期。ラグランジアン。有効ポテンシャル。見掛けの力である遠心力のポテンシャル。振動的。振幅。円運動。周期。
3 軌道。角運動量。弱い撃力。エネルギーと角運動量。乱される。微小振動。半径。運動エネルギー。ポテンシャルエネルギー。角速度。角振動数。高次を省略。
最小作用の原理。ホロノミックな束縛。作用積分。作用。
力学系 微小振動 具体例 一般論 二重振り子 基準振動 ノーマルモード 基準座標 平衡点 ラグランジュ関数 正値2次形式 直交関係 永年方程式が重根を持つ 振動が縮退している 分子の振動 基準座標 並進運動 変角振動 格子振動 連続体の振動 弾性論 流体力学 定立波 定常波 波動方程式 正弦波 近似
位置、速度、加速度
x成分とy成分に分ける。
P (x, y)、v=(dx/dt, dy/dt)、
α=(d²x/dt², d²y/dt²)
1-2 極座標
動径部分と角度部分に分ける
x=rcosθ、y=rsinθ
座標変換の公式A(a)=B(b)、
f:a→bよりE(r)=R(r')
R(45)：u(1,0)→v(1/√2,1/√2)
v→w(0,1)
E(a)=R(45)(b)
a=v、b=u。a=w、b=v。
Ax=cosθA(r)-sinθA(θ)
Ay=sinθA(r)+cosθA(θ)
逆変換(R(θ))⁻¹=R(-θ)より
r'=R(-θ)(r)
Ar=cosθAx+sinθAy
Aθ=-sinθAx+cosθAy
代数的に導くのと図を描いて幾何的に導くやり方。
x'=r'cosθ-rθ'sinθ、
y'=r'sinθ+rθ'cosθ
dS=dxdy=dr(rdθ)=rdrdθ
v=r'(er)+rθ'(eθ)
α=r''(er)+r'θ'(eθ)+r'θ'(eθ)-r(θ')²(er)
r(θ'')(eθ)=
(r''-r(θ')²)(er)+(2r'θ'+rθ'')(eθ)
D : er→eθ(θ')、eθ→-er(θ')
r(er)→r'(er)+rθ'(eθ)
北0~90、南0~90の180°
φ方位角、東経と西経
東0~180、西0~180の360°
ex→er、ey→eθ、ez→eφは右手系から右手系への直交座標変換
1・1
ex→0、ey→0だが、
er→θ'eθ、eθ→-θ'erと0にならないからである。これを込みで計算すれば当然合う。
1・2
Fr=m(r''-r(θ')²)、Fθ=m(2r'θ'+rθ'')
mr''=Fr+r(θ')²
これは遠心力と呼ばれる慣性力である。
Fθ=0として、m(2r'θ'+rθ'')=0
(1/r)d(mr²θ')/dt=0
L=r×p=r×(mv)=m(r×v)
mrv=mr²θ'。
中心力場において軌道角運動量は保存される。
デカルト座標ならば1次元の運動であるが3次元極座標ならばφ=一定の平面運動と見なせる。
Fr=-Fcosθ=-mgcosθ=-∂U/∂r
Fθ=Fsinθ=mgsinθ=-∂U/∂(rθ)
U=mgrcosθ
-mgcosθ==-mgcosθ (恒等式)
mgsinθ=mgsinθ
dr、rdθ
E(xyz)=R(rθφ)
直交行列なのでA⁻¹=tA
rsinθcosφ、rsinθsinφ、rcosθ
dr、rdθ、rsinθdφ
dV=dxdytz=r²sinθdrdθdφ
r→θ→φ
dr→rdθ→rsinθdφ
面積要素(r=1) dΩ=sinθdθdφは立体角。球座標、円筒座標
ex→t(c₁c₂ c₁s₂ -s₁)=eθ
ey→t(-s₂ c₂ 0)=eφ
ez→t(s₁c₂ s₁s₂ c₁)=er
f(ex ey ez)=(eθ eφ er)=F
(er eθ eφ)t(Ar Aθ Aφ)
=Arer+aθeθ+Aφeφ
=Axex+Ayey+Azez
=Et(Ax Ay Az)
E(x)=R(r)
δi=∑∂r/∂qi、i=1、2、3
=(∂x₁/∂q₁)e₁+(∂x₂/∂q₂)e₂+(∂x₃/∂q₃)e₃
r=x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃
接ベクトルhiei
hi²|ei|²=hi²=δi・δi=∑(∂xi/∂qi)²
dr=∑δidqi=∑dri
面積要素dSij=|dri×dj| (平行四辺形の面積)
=|hihj|dqidqj
体積要素dV=|(dr₁×dr₂)・dr₃| (平行六面体の体積)
=h₁h₂h₃|dq₁dq₂dq₃
det J=det ∂(x y z)/∂(q₁ q₂ q₃)
=det tJ
|J|²=detJ×tet tJ=
δ₁・δ₁ δ₁・δ₂ δ₁・δ₃
δ₂・δ₁ δ₂・δ₂ δ₂・δ₃
δ₃・δ₁ δ₃・δ₂ δ₃・δ₃
=Πhi²よりdV=|J|dq₁dq₂dq₃
JはJacobi行列式またはJacobian
x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ
h₁=1、h₂=r、h₃=rsinθ
dS₂₃=r²sinθdθdφ
dV₁₂₃=r²sinθdrdθdφ
位置(x₁x₂x₃)はxyz成分
質量(m₁m₂m₃)は質点1の質量でm₁=m₂=m₃=mとする。
T=(1/2)∑mivi²
(1/2)(m₁v₁²+m₂v₂²+m₃v₃²)
=(1/2)m(v₁²+v₂²+v₃²)=(1/2)mv²
∂T/∂v=mv=p
y=S(t)+rsinθ、x=rcosθ
q₁=r、q₂=θという座標(一般化座標)を導入すると
x₁=x₁(q₂)、x₂=x₂(q₂, t)
ここでq₁=r=lとして消去される。
束縛条件として
x²+(y-S(t))²=l²が付く。
ホロノミックな束縛条件とは確定した条件式が存在する束縛条件のこと
非ホロノミックな束縛条件
不等式などによる、束縛条件が確定的でないもの。
x=rcos(θ+ρ)、y=rsin(θ+ρ)
x²+y²=r²、θ+ρ=tan⁻¹(y/x)
r=√(x₁²+x₂²)=q₁(x₁x₂)
θ=tan⁻¹(x₂/x₁)-ρ(t)=q₂(x₁x₂t)
T(x₁' x₂')
=(m/2)(x₁'²+x₂'²)
=(m/2)(r'²+r²(θ'+ρ')²)
=T(q₁ q₁' q₂' t)
T(x₁'²+x₂'²)
=(m/2)(l²θ'²+S'²+2lθ'S'cosθ)
=T(q₂ q₂' t)
時間に陽に依存する。
r→dr/dt=v→d²r/dt²=α
pi=∂T/∂qi'=∂T/∂v
一般化運動量のi成分=運動エネルギーの一般化速度(一般化座標の時間微分)のi成分による偏微分
一般化座標qiに共役な、
一般化された運動量pi
正準共役変数 (qi pi)
T=(m/2)(R²+(rΘ)²+(rΦsinθ)²)
p₁=mR、p₂=mr²Θ、p₃=m(rsinθ)²Φ
p₁=p₄=m(dr/dt) 運動量
p₂=mr²(dθ/dt)=rp₅=L_φ 角運動量
p₃=mr²sin²θ(dφ/dt)=rp₆sinθ
=-sinθL_θ=L_z 角運動量
角運動量L
=r×p=re₁×(p₄e₁+p₅e₂+p₆e₃)
=rp₅e₃-rp₆e₂=(0, -rp₆, rp₅)
θ方向e₂には-が付く
φ方向e₃には付かない
a>0とすると
(0 0 1)×(a b 0)=(-b a 0)
第一象限内のベクトルは第二象限内のベクトルに移る。
L_z=(x₁ x₂)×(p₁ p₂)=x₁p₂-x₂p₁
=m(rsinθ)²Φ
=mrsinθ×v_φ=rsinθ×p_φ
=-sinθ×L_θ
dW=∑FidXi
dW=∑(∑Fi(∂xi/∂qj)δq
j+∑Fi(∂xi/∂t)δt
G=∑Fi(∂xi/∂qj)を一般化された力、一般化力と言う。
F₁(∂x₁/∂qi)+F₂(∂x₂/∂qi)+
F₃(∂x₃/∂qi)+F₄(∂x₄/∂qi)+
F₅(∂x₅/∂qi)+F₆(∂x₆/∂qi)+
F₇(∂x₇/∂qi)+F₈(∂x₈/∂qi)+
F₉(∂x₉/∂qi)=∑Fi(∂xi/∂qj)=Gj
dW=∑Gjδj
G₁=F₁(∂r/∂r)+F₂(∂θ/∂r)+F₃(∂φ/∂r)
=F₁
G₂=F₂=0、G₃=F₃=0
中心力は一般化しても中心力となる。
Fi=-∂U/∂xi
ポテンシャルエネルギーU
Gj=∑[i] Fi(∂xi/∂qj)
=∑[i] (-∂U/∂xi)(∂xi/∂qj)=-∂U/∂qj
(-∂U/∂x₁)(∂x₁/∂q₁)+
(-∂U/∂x₂)(∂x₂/∂q₁)+
(-∂U/∂x₃)(∂x₃/∂q₁)=-∂U/∂q₁
約分は出来ない。各xiに分配する感じ。
保存力の形式は一般化座標でも全く同じ。
Fのx₁成分=-∂U/∂x₁
Fのq₁成分=-∂U/∂q₁
Fが保存力⇒Gも保存力となる。
汎関数T=T(v)
=T(v₁(qi qi' t) v₂(qi qi' t) …)
pi=∑∂T/∂Qi=∑(∂T/∂Xi)(∂Xi/∂Qi)
=∑mXi(∂Xi/∂Qi)
x→v→α、q→b→c
dpi/dt=(d/dt)(∂T/∂bi)
=∑m(αj)(∂vj/∂bi)
+∑mvj(d/dt)(∂vj/∂bi)
ここで∂v/∂b
=∂(dx/dt)/∂(dq/dt)=∂x/∂q
(d/dt)(∂v/∂b)=d∂v/∂(dq/dt)dt
=d∂v/∂dq=∂v/∂q
∑Fj(∂xj/∂qi)+∑mvj(∂vj/∂qi)
=Gi+∂T/∂qi
∴d/dt(∂T/∂bi)=Gi+∂T/∂qi
=-∂U/∂qi+∂T/∂qi
=∂(T-U)/∂qi、T-U=Lとおく。LはLagrangianと言う。
(d/dt)(∂T/∂bi)=∂L/∂qi
Uがqのみの関数でありbに無関係な時、∂U/∂bi=0になるから
(d/dt)(∂L/∂bi)=∂L/∂qi
これはUがbに関係する時も変更を受けずに成り立つ。Lagrange方程式と言う。
Lはqiとbiとtの関数である。
(d/dt)(∂L/∂bi)=∂L/∂qi+Gi'
pi=∂L/∂bi
電磁力まで含めて考えるとこれを運動量の定義とした方が良い。
一般化座標qiに正準共役な一般化運動量biの定義。
定義を拡張していくと
L=T-Uは敗れる。
最終的にはL=L(qi bi t)の形をしているということしか要求しなくなる。
循環座標。Lがあるqkを含まない場合。(d/dt)(∂L/∂bk)=dpk/dt=0
pk=定数。これはpkが運動の恒量であることを表す。
Newtonの運動方程式
mα=mg、α=g、v=gt、x=gt²/2
Lagrange方程式
L=T-U=mv²/2-mg(h-x)
(d/dt)(∂L/∂b)=(d/dt)(mv)=mα
∂L/∂q=mg、mα=mg
α=g、v=gt、x=gt²/2
qとbによる。
Lagrange方程式
U=i∫kxdx=kx²/2
L=t-U=mv²/2-kx²/2
(d/dt)(∂L/∂b)=mα
∂L/∂q=-kx
mα=-kx、α=-ω²x
x=Asin(ωt+φ)
Lagrange方程式
L=T-U=m(R²+r²Θ²)/2-U(r, θ)
(d/dt)(∂L/∂b)
=(d/dt)(∂L/∂R)=mR'
∂L/∂q=∂L/∂r=rΘ²-∂U/∂r
=mrΘ²+F(r)
mR'=mrΘ²+F(r)
=(∂/∂r)(l²/2mr²+U(r))
遠心力、遠心力ポテンシャルエネルギー
(d/dt)(∂L/∂b)=(d/dt)(∂L/∂Θ)
=mr²Θ'+2mrΘ
∂L/∂q=∂L/∂θ=-∂U/∂θ=rF(θ)
mrΘ'+2mΘ=F(θ)
角度成分質量×加速度=力
という形になっている。
θに正準共役な運動量p₂は
p₂=∂L/∂Θ=mr²Θ=r×mv=r×p=l
角運動量の時間的変化率は力のモーメントに等しい。
中心力の場合はθは循環座標
角運動量が保存される。
z軸→xy平面に対して
Er=R(α)r'、r'=R(-α)×r
cosα sinα 0
−sinα cosα 0
0 0 1
y'軸→zx平面に対してr''=R(-β)r'
xz平面に対しては
r''=R(β)r' となることを利用する。
cosβ 0 −sinβ
0 1 0
sinβ 0 cosβ
r'''=R(-γ)R(β)R(-α)r
cosβcosα cosβsinα −sinβ
−sinα cosα 0
sinβcosα sinβsinα cosβ
cosγcosβcosα−sinγsinα
cosγcosβsinα+sinγcosα
−cosγsinβ
−sinγcosβcosα−cosγsinα
−sinγcosβsinα+cosγcosα
sinγsinβ
sinβcosα sinβsinα cosβ
Eulerの角
ccc+s1(-s) ccs+s1c c(-s)1
(-s)cc+c1(-s) (-s)cs+c1c ss1
1sc 1ss 1c1
z=1が2回、y=1が1回
r₀=R(θ)r₁
v₀=R'(θ)r₁+R(θ)r₁'
(cv₁-sv₂)ω(-sx-cy)+
(sv₁+cv₂)ω(cx-sy)=ω(v₂x−v₁y)
T(r)=T(r')+mω(v₂x−v₁y)+mω²(x'²+y'²)/2
Uはこの座標変換に関して不変でありU→U。
θ=ωtの関係があるためΘ=ω=一定となり消えた。sinθやcosθが消えた。従ってこの場合はtに関する陽関数にはならなかった。
回転座標系でのLagrange方程式
遠心力mrω²=mω×(r×ω)
rと同じ向き
コリオリの力2mvω=2mv×ω
vに対して右向き
L=T−U
=m(v₁²+v₂²+v₃²)/2+mω(xv₂−yv₁)
+mω²(x²+y²)/2−U
mα₁=2mωv₂+mω²x+F₁
mα₂=−2mωv₁+mω²y+F₂
mα₃=F₃
まとめると
mα=2m(v×ω)+mω×(r×ω)+F
ω=(0, ω)、r=(cosθ, sinθ)、
v=(−sinθ, cosθ)とする。半径r=1としてよい。
赤道上はθ=0としてF=0
南半球は−π/2≦θ<0、v₁>0
v×ω=e₁×e₂=e₃、z軸の向き、西向き
北半球は0<θ≦π/2、v₁<0
v×ω=−e₁×e₂=−e₃、−z軸の向き、東向きになる。慣性力は見かけの力である。遠心力は常にOPの向き。回転の中心Oから物体の位置Pに向かう向き。すなわち外向き。
ω=ωe₃に対してr=r₁e₁+r₂e₂、v=v₁e₁+v₂e₂とおける。どちらも
ω×(r×ω)=ω×(-r₁ωe₂+r₂ωe₁)
=r₂ω²e₂+r₁ω²e₁=ω²r
※の条件がなければω×a×ωとaは平行とは限らない。
一般には
(a×b)×c=(a・c)b-(b・c)a
=-c×(a×b)=-(c・b)a+(c・a)b
(b×c)×a=(b・a)c-(c・a)b
(c×a)×b=(c・b)a-(a・b)c
a×(b×c)=(a・c)b-(a・b)c
b×(c×a)=(b・a)c-(b・c)a
c×(a×b)=(c・b)a-(c・a)b
ka∈R³、a・b∈R、a×b∈R³
(a×b)×c、a×(b×c)
(a×b)・c、a・(b×c)
(a・b)c、a(b・c)
I[x]は関数xの関数。汎関数と言う。I=∫[t₁→t₂] F(x, v, t)dt
作用積分または単に作用という
変分δI=I'-I=I[x+⊿x]−I[x]、
x'(t)=x(t)+⊿x(t)
δI[x]=δ(∫F(x v t)dt)
=∫ (F(x+⊿x、v+⊿v、t)
−F(x v t))dt
=∫((∂F/∂x)⊿x+(∂F/∂v)⊿v)dt
(d/dt)((∂F/∂v)⊿x)
=(d/dt)(∂F/∂v)⊿x+(∂F/∂v)⊿v
δI=∫((∂F/∂x)−(d/dt)((∂F/∂v)⊿x)dt
∫(d/dt)(∂F/∂v)⊿xdt
[(∂F/∂v)⊿x]=[f(t)⊿x]
=f(t₂)×0−f(t₁)×0=0
d(X(t)−x(t))/dt=X'(t)−x'(t)
=V(t)−v(t)=⊿v(t)
∴ ∂F/∂x=(d/dt)(∂F/∂v)
(Eulerの方程式)
汎関数I[x]に対して変分δI=I[x+⊿x]−I[x]。Iが極値を取る時、
δI=∫F(x v t)dt=0 (変分原理)
t₁、t₂のみならずその間ずっと最小値を取るような軌道。tに関わらず変分δIが0になる。tを止めてx、vの関数として⊿xの係数を0にすれば⊿x≠0の場合であっても変分δIは0になる。
F(x+⊿x, y+⊿y)=F(x, y)+
(∂F/∂x)⊿x+(∂F/∂y)⊿y+
(∂²F/∂x²)(⊿x)²/2+
(∂²F/∂y²)(⊿y)²/2+
(∂²F/∂x∂y)(⊿x⊿y)
Hamiltonの変分原理または最小作用の原理
停留点=極値点、鞍点、変曲点
極値を取るとは言えない。すなわち極小値を取るとは言えない。更には最小値を取るとは言えない。
条件としてはあくまでも一時停留しているだけであり極大値を取る例もある。
t=∫dt=∫ndl/c
dl=√((dx)²+(dy)²)=dx√(1+Y²)
ここではxy平面上の運動を考える。t=∫(n/c)√(1+Y²)dx
(1) n(x y z)=n=一定の時、
F(y Y x)=(n/c)√(1+Y²)
∂F/∂y=0
(d/dt)(∂F/∂Y)=(d/dt)(Y/√(1+Y²))=0
∴Y²=A²(1+Y²)、Y=aとおける。
y=ax+b、直線軌道。
(2) n(x y)=n/yの時、
(d/dx)(∂F/∂Y)−(∂F/∂y)=0
の両辺にYを掛ける。
Y(d/dx)(∂F/∂Y)−Y(∂F/∂y)=0
dF/dx−(∂F/∂y)Y=(∂F/∂Y)(dY/dx)
Y(d/dx)(∂F/∂Y)−dF/dx
+(∂F/∂Y)(dY/dx)
∴(d/dx)((Y(∂F/∂Y)−F))=0
Y(∂F/∂Y)−F=一定
F=(n/cy)√(1+Y²)の時、
(n/cy)Y²/√(1+Y²)=(n/cy)√(1+Y²)+A
y√(1+Y²)=−n/Ac
(1+Y²)y²=r₀²=(n/Ac)² (r₀>0とする)
dy/dx=±√(r₀²y²)/y
dx=±ydy/(√r₀²−y²)
x=±√(r₀²−y²)+x₀
(x−x₀)²+y²=r₀²
これは中心(x₀, 0)、半径r₀の円を表す。円軌道。r₀=n/|A|c、|A|=n/cr₀。
F=(√(1+Y²))/yの時、
Y(∂F/∂Y)−F=A
Y²/√(1+Y²)−√(1+Y²)=Ay
−1=Ay√(1+Y²)
A=−1/r₀とおくと、y√(1+Y²)=r₀
1+Y²=r₀²/y²
dy/dx=±√(r₀²−y²)/y
dx=±ydy/√(r₀²−y²)
x=±√(r₀²−y²)+x₀とおける。
∴ (x−x₀)²+y²=r₀²
仮想仕事の原理
作用積分、変分原理
静力学的=静止∨等速度運動
動力学的=時間発展する運動
→ダランベールの原理
慣性力−mα
δVj=Vj−Vj₀=0、δrj=rj−rj₀
δW=∑Fj・δrj=0
Fj=−∇Vj=−dVj/dxの時、
δW=∑−(∇Vj)・δrj=0
仮想変位δrjの中ではδVj=0。この範囲でδVj=0またはδr⊥Fj。
重力mgと束縛力拘束力張力S。張力は変位を生じないので省く。
(−mgsinθ)
−mα(θ)=−mlΘ
δr=lδθ
最小作用の原理より
(−mgsinθ−mlΘ')lδθ=0
d²θ/dt²=−−(g/l)sinθ
Lagrangeの原理より
L=T−U=ml²Θ²/2−mglcosθ
(d/dt)(ml²Θ)=−mglsinθ
d²θ/dt²=−(g/l)sinθを得る。
仮想仕事の原理より
(mg−mα(x))δx−mα(y)δy=0
∑Fj・δrj=0
x=lcosθ、y=lsinθより
v₁=−lΘsinθ、v₂=lΘcosθ
α₁=−lΘ'sinθ−lΘ²cosθ、
α₂=lΘ'cosθ−lΘ²sinθ
δx=−lsinθ(δθ)
δy=lcosθ(δθ)
−(g+lΘ'sinθ+lΘ²cosθ)sinθ
−(lΘ'cosθ−lΘ²sinθ)cosθ=0
−gsinθ−lΘ'=0、
d²θ/dt²=−(g/l)sinθ
δI=∫∑(F-mα)δxdt=δI₁+δI₂=0
Fを保存力とすれば
δI₁=∫∑Fδxdt=∫∑-(∂U/∂x)δxdt
=-δ(∫Udt)
(∂U/∂x)δx+(∂U/∂y)δy
≒U(x+δx, y+δy)-U(x, y)
=δU
∴-∫δUdt=∫U₂dt-∫U₁dt=δ(∫-Udt)
δI₂=-∫∑mαδvdt
=-[mvδx]+∫∑mv(d(δx)/dt)dt
t=t₁, t₂の時、δx=x₂(t)-x₁(t)=0
∵x₂(t₁)=x₁(t₁)、x₂(t₁)=x₁(t₂)
=∫∑mvδvdt=δ(∫mv²/2)=δ(∫Tdt)
∴δI=δ(I₁+I₂)
=δ(∫(T-U)dt)=δ(∫Ldt)=0
=作用積分の変分原理
R=δ∫Tdt=m∫(v･δv)dt
(v･δr)'dt=(α･δr)dt+(v･δv)dt、
R=−m∫δr･αdt=−(∫(mα･δr)dt
=−∫e(E+v×B)･δrdt
ここでE=−∇φ−∂A/∂t B=∇×A
R=e∫(∇φ)+∂A/∂t−v×(∇×A))･δrdt
=e∫∇φ-∇(v･A)+∂A/∂t+(v･∇)A)･δrdt
=e[φ−(v・A)]+e∫(dA/dt)・δrdt
U=e(φ−v・A)とおくと
R=−(d/dt)(∂U/∂v)+∂U/∂r
U=eφ−e(v･A)の時、
L=T−U=mv²/2−eφ+e(v･A)
(d/dt)(∂L/∂v)=mα+edA/dt
∂L/∂r=−e∇φ+e∇(v・A)
ここで
v×(∇×A)=∇(v・A)−dA/dt+∂A/∂t
∂L/∂r=−e(∇φ+v×(∇×A))
+e(dA/dt−∂A/∂t)
∴ mα=−e(∇φ+v×(∇×A)+e∂A/∂t)
=e(−∇φ−∂A/∂t)+ev×(∇×A)
E=−∇φ−∂A/∂t、B=∇×Aとおくと
F=e(E+v×B)となる。
d(pQ−L)=d(pQ−T+U)
=∑(vdp+(P+G')dq)−(∂L/∂t)dt
(∂T/∂q)dq+Fdq
=(∂T/∂t)(dt/dq)dq+Fdq
mvα/v=(mα+F)dq=(G+F)dq
L=T−U=mv²/2−kx²/2
H=pQ−L=pv−p²/2m+kx²/2
=p²/2m+kx²/2
∂L/∂v=p=mv+eA
L=T−U=(mv)²/2m−eφ+ev・A
H=p・v−L=eφ+(mv)²/2
=eφ+(p−eA)²/2m
dH=(∑(H_q)dq+(H_p)dp)+(H_t)dt
=d(∑pQ−L)=d(∑(pQ)−T+U)
=Qdp−Gdq−(∂T/∂q)dq−(∂L/∂t)dt
=Qdp−Pdq−
dq/dt=∂H/∂p、−dp/dt=∂H/∂q
Hamiltonの正準方程式
dH/dt=∑(∂H/∂q)(∂q/∂t)
+∑(∂H/∂p)(∂p/∂t)+(∂H/∂t)
=∑(∂H/∂p)(G'−∂H/∂q)
+∑(∂H/∂q)(∂H/∂p)
=G'∑(∂H/∂p)=0
G'=0の時、T+U=一定
∂H/∂p=0の時、dq/dt=0
q=一定。p=0となり
T+U=U(q₀)=一定である。
配位空間(x₁ x₂ x₃)
位相空間(q₁ p₁)正準共役変数の組
1次元調和振動子のHamiltonH
H=p²/2m+kq²/2
dH/dt=pP/m+kqQ=−kpq/m+kqp/m=0
Q=∂H/∂p=p/m、P=−∂H/∂q=−kq
(1) p²/(√2m)²+q²/(√(2/k))²=C²
C>0は初期条件。
(2) Q=p/m、P=−kq
(3) v(p, −q)⊥r(q, p)
→↓、←↓、←↑、→↑
H=(1/2m)(p²(r)+L²/r²)+U(r θ φ)
r方向の運動エネルギーとrに垂直なθ方向とφ方向の運動エネルギー
Lが一定すなわち軌道角運動量が保存される時、力は中心力となる。rのみの関数f(r)。
遠心力ポテンシャルL²/2mr²
[u, v]_qp=∑∂(u v)/∂(q p)
クロネッカーのデルタ
δij=1(i=j)、0(i≠j)
[A B]=−[B A] 交代性
[A+B C]=[A C]+[B C] 分配則
[A BC]=[A B]C+B[A C]
[q q]=[p p]=0
Q=[q H]=∂H/∂p、
P=[p H]=−∂H/∂q
F=F(q p)でtに陽に依存しない場合
[F H]=0 ⇒dF/dt=0
L=(m/2)(R²+(rΘ)²+(rΦsinθ)²)
−U(r θ φ)
dH/tt=[H H]=0
この時、H=T+U
T=(m/2)p²=Hより∂H/∂p=p/m、
∂H/∂q=0
dp/dt=[p H]=∂(p H)/∂(q p)
=∑(∂p₁/∂q)(∂H/∂p)−(∂p₁/∂p)(∂H/∂q)=0
よってp=(p₁ p₂ p₃)は定ベクトルになる。
dS'=['q p']dS=dS
リウヴィルの定理
[q' p']=∂(q' p')/∂(q p)
=(∂q'/∂q)(∂p'/∂p)-(∂q'/∂p)(∂p'/∂q)
p'=p+(dp/dt)⊿t=p-(∂H/∂q)⊿t
q'=q+(dq/dt)⊿t=q+(∂H/∂p)⊿t
(1-∂²H/∂q∂p⊿t)(1+(∂²H/∂p∂q)⊿t)-
(-∂²H/∂q²)⊿t(∂²H/∂p∂q)⊿t
J=(1-x)(1+x)+yz=1-x²+yz=1
1次近似により⊿tの2次以上の項を無視する。
(1 -x x² …)(1 x x² …)
-(0 -y y² …)(0 z z² …)≒1+x-x=1
y=hx/(h-a)、dy/dt=hv/(h-a)
L-Vt、h、√((L-Vt)²-h²)=xとする
dx/dt=-V(L-Vt)/√((L-Vt)²-h²)
-Vsecθ
引いても漠然としたのに
ある種のクソパヨさん
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