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51コメント22KB
円と直線の接点なんて存在しない　交点が2つできるか永遠に交わらないかのどちらかだ
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0001１３２人目の素数さん垢版2022/11/04(金) 05:46:55.06ID:mrkmZryW
円はどこまで細かく切り取っても曲線
永遠に出っ張りがなくならない
0002１３２人目の素数さん垢版2022/11/04(金) 06:33:10.35ID:sZyqtigC
ある点を中心として円の直径未満の任意の半径の円が直線や円と合わせて4点で交わるならそのときその点において円と直線は接していると言って良いのでは
0003１３２人目の素数さん垢版2022/11/04(金) 17:34:40.43ID:CguLd+IF
>>1
その考えだと鋭角も曲線と同様に交わらないことになってしまいますが？
0004１３２人目の素数さん垢版2022/11/04(金) 17:52:47.18ID:CguLd+IF
直線と直線が交わる場合と、
曲線と曲線が交わる場合について考察してみてはいかがでしょうか
0005１３２人目の素数さん垢版2022/11/04(金) 20:36:51.09ID:1Lq1aadm
元気ですか〜
0007１３２人目の素数さん垢版2022/11/04(金) 22:39:16.90ID:Qv7B1NRf
>>1
>永遠に出っ張りがなくならない

だからこそ、その出っ張った1点だけで交われるんじゃないか。
でっぱりがなくなったら重なってしまうだろ。
0008１３２人目の素数さん垢版2022/11/05(土) 05:42:17.80ID:MrnMuGCC
>>7
その出っ張った部分は点と定義できないだろ
0009１３２人目の素数さん垢版2022/11/05(土) 06:24:59.35ID:g2r7RqL1
『直線』とは、2点間を最短距離で結ぶ線。まっすぐな線
『曲線』とは、曲がった線
『交点』とは、線と線、または線と面とが交わる点
『接点』とは、ある曲線または曲面とその接線または接平面とが共有する点
『接線』とは、曲線または曲面と一点を共有する直線

【Wikipedia　参照】

初等幾何学において接するとは「触れること」であり、接線とは「ただ触れるだけ」という直観的概念を定式化するもの
特に、曲線の接線は、平面曲線に対しては、曲線上の一点が与えられたとき、その点において曲線に「ただ触れるだけ」の直線を意味する

ライプニッツは接線を、曲線上の無限に近い二点を通る直線として定義した
。より具体的に解析幾何学において、与えられた直線が曲線 y = f(x) の x = c（あるいは曲線上の点 (c, f(c)）における接線であるとは、その直線が曲線上の点 (c, f (c)) を通り、傾きが f の微分係数 f'(c) に等しいときに言う。同様の定義は空間曲線やより高次のユークリッド空間内の曲線に対しても適用できる
0011１３２人目の素数さん垢版2022/11/05(土) 09:15:10.99ID:g2r7RqL1
『ライプニッツは接線を、曲線上の無限に近い二点を通る直線として定義した(>>9)』
このことからも分かるように、スレ主の考えは全くの荒唐無稽というわけではないようです
しかし、これは直線と曲線の場合のみで便宜上定義されたと思われます
なので、スレタイと>>1の内容がまかり通るなら、曲線と曲線または異なる大きさの円同士の接線(接点)で不備が生じてしまいます
↓
異なる円同士の接線は、1つの点で接する
異なる円同士の接線は、1つの点で接しない(接点なんて存在しない)
0013１３２人目の素数さん垢版2022/11/05(土) 11:13:41.42ID:Ysin55mU
>>11
>『ライプニッツは接線を、曲線上の無限に近い二点を通る直線として定義した]

それって、0.999...=1の議論と似てるよね。
0.999...という無限級数が1に収束するのと同様、二点を通る直線は二点を
限りなく近づけると接線に収束すると考えればええんでないか？
１が存在するように、接戦も存在する。
0014１３２人目の素数さん垢版2022/11/05(土) 11:13:59.86ID:Ysin55mU
接戦じゃなくて接線ｗ
0015１３２人目の素数さん垢版2022/11/05(土) 11:15:35.09ID:Ysin55mU
>>8
点でなければ、どんどん短く切り取ればいずれ出っ張らなくなるんでないか？
0017１３２人目の素数さん垢版2022/11/06(日) 12:05:16.06ID:McfJj9KV
円と直線が2個の共有点をもっているときに、その２つの点の距離のinfとなるような直線が接線…みたいな？(なんか説明が下手で申し訳ないけど)
0019１３２人目の素数さん垢版2022/11/07(月) 19:06:26.19ID:Tjdkrvlm
曲線のカテゴリの中に直線があるんだろう。
曲線と直線が接しなかったら
曲線と曲線が接しないことになる。
すると全ての線は交差もしないことになる。
すると宇宙のありとあらゆる線は全て並行って
ことになっちゃう。
0020１３２人目の素数さん垢版2022/11/08(火) 19:12:46.65ID:okWi09jn
無限に角が存在する多角形を無限角形または正無限角形というなら、
正無限角形は円と等しい、もしくは限りなく等しいと解釈しているように思える

なので、スレ主さんが正無限角形と直線が接する場合にどのような解釈の仕方をするのか気になる
0021１３２人目の素数さん垢版2022/11/18(金) 03:37:05.65ID:PyLvN2vU
円と直線は点ではなくて、有限な長さの線分で交わる？？　
0022１３２人目の素数さん垢版2022/11/18(金) 03:45:42.63ID:PyLvN2vU
円と直線は接する、交わることはできるが　
接点は、点だろうか？

複素関数論では、直線は円の一種の極限と見なす考えがある　
0023１３２人目の素数さん垢版2022/11/18(金) 07:48:26.61ID:2rncObJg
視野が狭いです

直線と曲線だけを考察するのではなく、直線、直角、鋭角、曲線、円(大きさが同じ円、大きさが異なる円)
それぞれを交点、接線、接点、交わらない、考察してください

>>22『接点は点だろうか？』について
直線ABと直線CDが交わる点Pを交点とするとき、∠APCと∠BPDとなるように分離させた鋭角が、再度∠APCと∠BPD同士を接しさせた場合、
[1].接した部分は 1 つの点で接するか？
[2].接した部分は 1 つの点で接しないか？
[3].接した部分は点では接しないか？
[4].その他

>>22複素関数論では、直線は円の一種の極限と見なす考えがある(※便宜上)
0024１３２人目の素数さん垢版2023/01/01(日) 12:50:51.35ID:bVpk4vzc
直線LとLに含まれない点Oが与えられたときに、
定規とコンパスだけを用いて、点Oを中心としてLに接する円Cを作図せよ。
　この問題ができない大学生が多いらしい。
0025１３２人目の素数さん垢版2023/01/01(日) 13:54:27.49ID:P3GW+325
作図問題は試験にでないから暗記しないのは当たり前
0026１３２人目の素数さん垢版2023/01/01(日) 14:31:07.22ID:hLUKZW/A
「長方形の一片の中点がコンパスを使わずに定規だけを使って
作図できる理由を述べよ」

という問題なら出題できると思うが。
0027１３２人目の素数さん垢版2023/01/01(日) 17:35:10.28ID:DuwpjEhW
【基本の作図　私的数学塾　参照】
平成２４年２月２６日付け
社団法人日本数学会が、国公私立４８大学の５９３４人を対象に行ったテストの結果、
「平均の意味」…正答率　７６％
「奇数と偶数を足すと奇数になる理由」…正答率　３４％
「定木(定規)とコンパスを使って線分を３等分する方法」…正答率　８％
という結果であったという。正答率８％の「線分の３等分」も、方法を１回経験していれば易しいと思うのだが、経験していなければ、上記の発想を個人の力で捻出するのは難しいかもしれない

上記から暗記力や応用力はあっても発想力がない人が圧倒的に多いのではと感じた
ちなみに自分は、>>26も線分の3等分もできませんでした。平均と奇数と>>24はできた
0028１３２人目の素数さん垢版2023/01/01(日) 17:53:26.06ID:eol1NviH
奇＋偶＝奇の正解が３４％の母集団で線分三等分の正解が８％もいるなんて結構すごいじゃん
0029１３２人目の素数さん垢版2023/01/01(日) 20:52:14.84ID:hLUKZW/A
>>27

>>26も線分の3等分もできませんでした。

「チェバの定理の応用」がヒント
0030１３２人目の素数さん垢版2023/01/01(日) 22:59:49.24ID:nFWbYfeF
>>1
xx+yy=1とx=1の共有点
0031１３２人目の素数さん垢版2023/01/02(月) 09:04:45.56ID:x1hF9QIA
>>28
奇数+偶数=奇数ではなく、奇数+偶数=奇数になる理由の正答率が34%ですよ
自分は、自然数を n とした証明を用いて奇数になる理由を説明

>>29
チェバの定理を使って理由を述べることができないので勉強し直してきます

ちなみに、線分の3等分は比を使った作図
>>26は3角形の底辺と平行になる台形の対角線の交わる点と3角形の頂点から対角線の点を通る直線と底辺の交わる点が2等分になる性質があり、長方形の辺が平行なことから同様に中点(2等分)の作図ができると解答
0032１３２人目の素数さん垢版2023/01/02(月) 09:05:26.46ID:x1hF9QIA
・面白い問題スレ提出用
問1. 平均の意味　[正答率…76%]
問2-[1]. 奇数と偶数を足すと奇数と偶数どちらになるか
[2]. [1]の答えになる理由を述べよ　[正答率…34%]
問3-[1]. 定規とコンパスを使って線分を3等分せよ　[正答率…8%]
[2]. [1]になる理由を述べよ
問4. 直線LとLに含まれない点Oが与えられたときに、定規とコンパスだけを用いて、点Oを中心としてLに接する円Cを作図せよ
問5-[1]. 長方形の一片の中点をコンパスを使わずに定規だけを使って作図せよ
[2]. [1]になる理由を述べよ

どうかな？
0033１３２人目の素数さん垢版2023/01/02(月) 09:14:50.32ID:d1wOOdT6
>>31

>>26は3角形の底辺と平行になる台形の対角線の交わる点と3角形の頂点から対角線の点を通る直線と底辺の交わる点が2等分になる性質があり、長方形の辺が平行なことから同様に中点(2等分)の作図ができると解答

チェバの定理を使った答えと同等以上
0034１３２人目の素数さん垢版2023/01/02(月) 09:44:52.19ID:x1hF9QIA
>>33
ありがとうございます
2~3日後くらいに答え合わせをしたいので、チェバの定理を使った解答例を書き込んでもらえると助かります
0035１３２人目の素数さん垢版2023/01/02(月) 11:03:13.91ID:d1wOOdT6
「3角形の底辺と平行になる台形の対角線の交わる点と3角形の頂点から対角線の点を通る直線と底辺の交わる点」
にチェバの定理を適用すれば、後者の点は底辺の中点になる。

3角形としては中点を求めたい辺を底辺とし、他の2辺が底辺の対辺を切るようなものを定規で作図し、現れた台形の対角線の交点と三角形の頂点を通る直線と底辺の交点を作図する。
0037１３２人目の素数さん垢版2023/01/05(木) 19:07:43.37ID:S247uYm2
>>26
問題. 長方形の一辺の中点が、コンパスを使わずに定規だけを使って作図できる理由を述べよ
※チェバの定理を用いて

【チェバの定理】
3角形ABCにおいて、任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点Oは、3角形の内部にあっても外部にあってもよい
(AF/FB)・(BD/DC)・(CE/EA)=1

3角形ABCにおいて、辺ABを底辺とし、底辺AB上の点をFとする。点Fが中点のときAF:FB=1:1である
頂点Cと中点Fを結ぶ直線上に任意の点Oをとり、底角Aと底角Bから点Oを通る直線を引いた、斜辺BCと斜辺CAと交わる点を点Dと点Eとする
チェバの定理より、
(AF/FB)・(BD/DC)・(CE/EA)=1
AF:FB=1:1なので、
(1/1)・(BD/DC)・(CE/EA)=1
(BD/DC)=(EA/CE)
BD:DC=EA:CE
上記より、底辺ABと線分DEは平行である【三角形の(相似)比の定理】

長方形の辺が平行である性質から、求める長方形の一辺と3角形の底辺を重ねて、平行な辺を含む任意の3角形の頂点を定める
この頂点から底辺と平行な辺をもつ台形の対角線同士の交点を通る直線と底辺で交わる点は、チェバの定理より底辺を2等分する中点である
また、上記の直線は全て定規だけで作図できる
したがって、長方形の一辺の中点は、コンパスを使わずに定規だけを使って作図できる
0038１３２人目の素数さん垢版2023/01/05(木) 19:12:08.51ID:S247uYm2
>>35
なるほど、すっきりして分かりやすいです

チェバの定理の証明で躓き、予定よりも時間がかかりました
0039１３２人目の素数さん垢版2023/01/13(金) 08:47:22.92ID:XutKHFR0
>>37　一部訂正
上記は、平行な直線が与えられているなら、任意の点と直線、直線同士が交わる点(交点)は定規だけで作図が可能
したがって、長方形の辺は平行であることから、長方形の一辺の中点はコンパスを使わずに定規だけを使って作図できる
0040１３２人目の素数さん垢版2023/03/01(水) 20:24:44.28ID:keWgoNlD
chatGPTに攻撃して混乱したことなんですが、
円というのは円周の線のことなのか、
面積を持ったあのまるいお皿のことなのかどっちなんですか？
0041１３２人目の素数さん垢版2023/03/02(木) 04:42:47.15ID:K1T6B/Pv
>>40
数学における点、線、円の定義が、
ユークリッド幾何学と微積分で違う

数学における線は、点を無限に連ねたもので、長さがなく幅がない1次元の図形です。線には無数の点が存在し、それらの点は互いに無限につながっています【chatGPT】
0042１３２人目の素数さん垢版2023/03/02(木) 04:43:55.00ID:K1T6B/Pv
定義１ー１５（円）
　円とは
　一つの線に囲まれた平面図形で、
　その図形の内部にある１点から
　それへ引かれたすべての線分が
　互いに等しいものである。

定義１ー１（点）
　点とは部分をもたないものである。
点には長さも幅も厚さもない。

定義１ー２（線）
　線とは幅のない長さである。
　長さ は線の第一の属性であり、
　異なる線を比較しうる指標である。
　（以下、定義１ー２の補足（長さ）という。）
線には厚さもない。
【ユークリッド原論をどう読むか】
https://euc-elements.matrix.jp/01/E-Elements0100.html
0043１３２人目の素数さん垢版2023/03/02(木) 04:48:40.14ID:K1T6B/Pv
>>42
この定義から、点と線と円とは何かを>40さんがどう解釈する(読み取る)かが大切だと思います
0044１３２人目の素数さん垢版2023/03/02(木) 21:13:28.16ID:K1T6B/Pv
>>40
えん〖円〗 (圓) エン（ヱン）・まるい・まるさ まどか
1.《名・造》
まるい。かどがない。
 「半径五センチの円を描く」
対義語:方
2.かけたところがない。過不足なく十分。
 「円熟・円満・円融」
3.あたり一帯。
 「東京一円」
日本の通貨の基本単位。百銭で一円。また、日本の貨幣。
 「円があがる」
かね。
 「金円」

また、数学において、円とは、平面上の、定点Ｏ からの距離が等しい点の集合でできる曲線のことをいう

面積を持ったあのまるいお皿とは何ですか？
からは、体積や重さ
0046１３２人目の素数さん垢版2023/05/26(金) 22:36:16.65ID:SDYgRnAc
交点が2つできると書いたけど、x軸とy軸の交点みたいな点と何かが違うのか同じなのか何なのか
0047１３２人目の素数さん垢版2023/08/29(火) 10:46:08.38ID:FoEEgmGH
自分で書いてなんですけど、永遠に出っ張りがなくならないからいつか交わるのと永遠に交わらないのとの、この場合の矛盾を説明してください
0048１３２人目の素数さん垢版2023/09/12(火) 00:34:30.48ID:aC6xOsAW
必ず2つあるのでは？
例外があるのはおかしい
0049１３２人目の素数さん垢版2023/09/12(火) 13:53:31.01ID:GT3P2Tlp
交点は集合としては必ず1つだろ
0050１３２人目の素数さん垢版2023/09/12(火) 17:52:08.30ID:uSimJZht
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