テイラー展開っていつ使うの？？

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/25(月) 07:23:42.65

おしえて

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/30(金) 16:27:12.67

振り子の運動で微小角度とするとテイラー展開よりコレ！みたいなの見たとき力技すぎないか？と解せないことがあるんだが
これの説明を求めるには物理板で聞くべき事案か？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/30(金) 16:53:22.46

近似で使うのはテイラー展開というよりテイラーの定理だよね
剰余項が評価できるのが大切だと思う

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/30(金) 17:00:36.44

>>21
テイラー多項式以外の近似手法あんま知らないんだが、もっといい手法あるなら教えて

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/01(土) 18:24:30.13

>>159
テイラー展開(有限までも含む)がn次以下の多項式だけでの近似なら1番精度がいいはず.(テイラー展開した周りでは)

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/20(木) 12:19:49.47

そんなわけないやん
例えば[0,1]での近似で“最良の近似”の解釈を“∫[0,1]|f(x)-g(x)|dxが最小”とかした場合には例えばf(x) = e^xを一次で打ち切った1+xが“最良の近似”になるはずない
ノルム変えても同じ
近似としてみるなら“そこそこいい近似”に過ぎない
無理クリ打ち切り近似が最良になる意味付けを強引に見つけられるかもしれんけどな

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/20(木) 17:15:39.33

ここまでワイエルシュトラスの定理への言及なし

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/20(木) 17:27:19.35

だってワイエルシュトラスの定理は閉区間で連続でありさえすれば成立するんだからテーラー展開(誤差項付きじゃなくて無限級数展開の方)可能だろうがなんだろうが成立してる
つまりテーラーの定理は“そこそこいい近似を作る”事はできるけど“近似のための定理”というと少し話がずれる

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/04(金) 20:51:04.74

単位円板上の正則関数のテイラー級数の収束半径が
１以上であることのコーシーの積分公式を使わない証明を聞かれて
即答できなかった

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 22:45:42.43

>>163
どうやるの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 22:46:09.64

>>164
アンカーずれた
どうやるの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/03(土) 04:44:49.62

Abel limit theorem を使えばできる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/08(木) 09:03:04.54

ワイエルシュトラスの講義録の
第１１章に書いてある

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/08(木) 12:56:41.65

閉区間で連続関数を次数が増える多項式の列で一様に近似することはできる。
しかし多項式の基底系のとり方によっては、基底係数の大きさが
極端に大きくなる。
通常の単項式基底による多項式の列
　つまり P_n(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2 + ....+ a_n x^n

を使って連続関数f(x)の閉区間の座標を平行移動と縮小拡大して
閉区間【-1、1】あるいは[0,1]に変換したものをＰ_n(ｘ）で
近似しようとすると、係数 a_j (a_jは一般にはnに依存する）
の絶対値がとても大きくなる傾向がある。数学的には単項式は
線形独立な基底関数なのだが。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/10(土) 09:27:02.17

>>150
母関数って何じゃろ？　父関数や子関数もあるのかな？

間男関数とかね.....

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/10(土) 09:30:29.34

＞＞テイラー展開っていつ使うの？？

テイラー展開が必要な時じゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/10(土) 09:33:02.36

爺関数、婆関数とか

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/10(土) 09:44:18.40

汎関数や超関数って何じゃろ？
凡関数や並関数もあるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/10(土) 21:06:43.05

並関数があるのなら
松関数、竹関数、梅関数もあるのかな

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/13(火) 22:30:42.55

使わない

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/14(水) 09:32:35.12

模関数はあるよね

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/14(水) 09:39:45.66

奇関数、偶関数があるなら、鬼関数や愚関数もあってよかろう

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/14(水) 09:58:57.81

Y田M章風だね

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/16(金) 01:34:54.17

解析関数を表現するとき。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/16(金) 07:19:51.15

又黒関数とか

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/16(金) 11:13:15.56

トポロジーでは
白頭捩率とかありそう

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/17(土) 07:04:24.97

0＜x＜1において、
2x/(2+x)＜log(1+x)が成立することを示せ、っていう問題があって、これは大きいほうから小さいほう引いて微分すれば、解けるんだけど、

作問者がどうしてこの式を思いつけたのか、分かる人、いますか？
テイラー展開から糸口を探してるんですけど、わからない…

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/17(土) 08:31:46.00

>>テイラー展開から糸口を探してるんですけど
log(1+x)のマクローリン展開を知らなかったら
意味のない説明だけど
それがわかっていたら
それよりちょっと小さい等比級数といえば
左辺でしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/17(土) 14:15:49.64

なるほど。そっか、そうですね。

0＜x＜1において、
log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…
　　　　＞x-x^2/2+x^4/4-x^6/8+…　初項x、公比-x/2の等比数列
　　　　＝2x/2+x (0＜x＜1で、x^n→0（n→∞）を用いた）

ですね。そういうことか…。早急なレス感謝ですm(_ _)m
　　　　

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/18(日) 07:39:10.49

再び、失礼します。実は、昨日質問させていただいたlog(1+x)の評価の大きい方が、実は
log(1+x)＜x-x^2/4が成立することを示せ、というものだったんですけど、
この右辺の4分の1は作問者はどこからもってきたのでしょうか？
1日考えたんですけど、わかりませんでした（汗）。

log(1+x)＝x-x^2/2+x^3/3-…となっているので、
log(1+x)＜x+ax^2を満たすようなaが存在していそうではあります。
そのようなaを仮定して、（右辺ー左辺）を微分すればa=-1/4でちょうどいい感じになる
というのは分かるのですが、もっとダイレクトに-1/4を見つけてくる方法はないでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/18(日) 13:26:56.55

テイラー級数を中心に考える問題だとすれば

1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9 < 1/4

はダイレクトと言えばダイレクトですが。
計算自体は小学生でも暗算でできるでしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/18(日) 19:05:33.01

なるほど。

等号が成立するときもあるような「ぴったり」の式を見つける方法で確立したものは無いんですね。
sinxやcosxはMaclaurin展開した時に出てくるx^nの係数部分でちょうど「ぴったり」はさめるので、
log(1+x)を「ぴったり」はさむ不等式もMaclaurin展開それ自身やラグランジュの余剰項
やベルヌーイの余剰項を用いて簡単に生み出せるものだけかと思っていました。
Maclaurin展開から直ちに得られる式も「ぴったり」はさむ不等式だと思いますが、それ以外にも
たくさんあるんですね（そりゃ、当然か・・・）
ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 00:21:10.02

https://i.imgur.com/YQLyxDF.jpg
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https://i.imgur.com/kEBwnoJ.jpg
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https://i.imgur.com/3sBtRmC.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 08:01:57.56

２ちゃん時代にも118みたいのが涌いた。
その時はそれがきっかけで２ちゃんは見なくなってしまった。
今度もそうなるだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 10:39:59.18

>>118ってそんなに凶悪か？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 11:04:34.51

>>189
188はそれを狙って荒らしている

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 16:45:42.54

テイラー展開は展開の中心の近傍においてだけ良い近似であって、
展開の中心から離れるに従って近似が劣化する。

たとえ級数の収束半径が無限大であっても、たとえば
　exp(x) を x=-100 でテイラー展開で計算することを
考えて見れば、その近似は最初のうちは極めて悪い。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/11(土) 21:13:00.81

学部1年のとき以来使っていない

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/11(土) 21:14:24.97

高校で習ったけど大学でも使わなかった

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/11(土) 21:32:02.65

数列の極限では「極限は近似じゃない！動くイメージは捨てろ！」というのに、関数列だと近似を強調するのは何故なんだぜ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/13(月) 19:44:18.57

今でしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/13(月) 23:51:10.32

関数電卓とかでは内部でテーラー展開とか使っているのかいな？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/13(月) 23:53:26.25

>>193-194
そりゃ、近似計算自体がコンピュータ内部のチップに内蔵され、普段我々は考えなくても良いからな。

でも、多倍長実数計算やらせようとして、ルーチンを自作しようとすると途端にテーラー展開が必要になってくる。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/13(月) 23:53:34.74

収束悪いから使わない
連分数展開とか使う

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 00:02:19.72

その連分数を作って検証するのに、そもそもテーラー使うんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 00:05:52.50

そんなあ歩はいない

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 00:06:58.47

じゃ、どうやって作っているのだ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 00:09:08.29

連分数の理論勉強しなはれ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 00:41:57.77

検索してみると、変換の方法書いた pdf があったが、どっちが良いかはやってみないとわからないとあるぞ。

70年代の一松信センセの本では、a0 + a2x^2 + a4 x^4 +…　みたいな級数にして、それぞれの係数は、
求める精度ごとに、テーラー展開の数値からコンピュータで計算して、収束効率が良いものを選択するって方法だった。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 01:05:40.95

ごちゃごちゃ言わずにやればいい。任意精度で10000桁くらい計算してみればわかるさ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/23(木) 18:18:11.30

初等関数の数値計算
一松信著
教育出版（シリーズ新しい応用の数学　8 ）
A5判 248頁
1974年11月発行
ISBN　978-4-316-37591-5
https://www.kyoiku-shuppan.co.jp/book/book/cate5/cate524/sho-514.html

入門的なことが書いてあるからありがたく拝読するように。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/22(水) 14:04:49.85

今月号の「エレガントな解答を求む」の
解答者は一松先生
今月号から解答者の年齢は不明になった