eᵉが有理数か無理数か決着つけよう

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/24(金) 16:30:00.31

なんとか底を整数に出来ないかなぁと試行錯誤した結果⬇
aを素数とすると
eᵉ=a^(logₐeᵉ)=a^(elogₐe)←今ここ

elogₐeが無理数であることを証明出来ればeᵉが無理数って分かるんやがなぁ
↑
ちなみにelogₐeが無理数と分かったら
b=elogₑaとすると
aᵇ

aᵇが有理数であると仮定すると
aᵇ=n/m (n,mは互いに素)
maᵇ=n

nの素因数の個数は整数個ある
しかしmaᵇは素因数の個数は無理数個ある
(この時の素因数の個数とは例えば6であれば2×3なので2個、√7であれば1/2個)
これはnの素因数の個数は整数個あることに矛盾する
したがってeᵉは無理数

誰かelogₐeが無理数であることを証明してくれ…

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/01(金) 07:21:31.95

とりあえず、四則演算での有理数と無理数について説明してみてください

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/03(日) 03:21:18.10

実数がa.e.で超越数であることを考えればその数はa.s.で超越数だろう

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 02:37:38.07

問題を一般化して
ｘを実数とするとき　ｘ＾ｘ　の値はどのようなｘについて有理数になるだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 23:16:55.24

ｘが整数の時には有理数（整数）になる。
だがｘが有理数の時には一般には有理数にはならないな。
たとえばｘ＝1／2とすると
（1／2）＾（1／2）＝1／√2　となってしまう。
たとえばｘが1より大きければ、ｘ＾ｘは単調増加関数だから、
1以上の任意の有理数の値に対してその値をとるような1以上のｘが
実数の範囲で存在する。でもこれでは数論ではない。