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面白い問題おしえて〜な 39問目
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0001132人目の素数さん2021/10/11(月) 12:42:12.04
前スレ
面白い問題おしえて〜な 38問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/

過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
0952132人目の素数さん2021/12/20(月) 08:30:44.50ID:aTVADeRS
ここは面白い問題のスレだ
面白くないガイジはひっこんでろ
0953132人目の素数さん2021/12/20(月) 19:46:09.74ID:GvvJLFbq
>>904
I = ∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx、J = ∫[0,1]1/√(1+n^2x^n)dxとおいて
I = [x√(1+n^2x^n)] - ∫n^3x^n/(2√(1+n^2x^n))dx
. = √(1+n^2)-(n/2)(I - J)
∴ I = ( nJ + 2√( n^2 + 1 ) )/( n + 2 )
(0,1)において0≦1/√(1+n^2x^n)≦1より一様可積分であり1/√(1+n^2x^n)は1に各点収束するからlim J = 1
∴ lim I = lim ( nJ + 2√( n^2 + 1 ) )/( n + 2 ) = 3
0954132人目の素数さん2021/12/20(月) 22:06:29.80ID:j72vxFD3
「どちらかの一辺が自然数の長方形」達の非交和で長方形を作ったとき、その長方形も、どちらかの一辺が自然数であることを証明せよ.
0955132人目の素数さん2021/12/20(月) 22:13:23.24ID:j72vxFD3
この問題、解法を見ておったまげました
0957132人目の素数さん2021/12/20(月) 23:35:16.35ID:GvvJLFbq
>>954がおったまげまたのではない泥臭いやつ

分割の辺と頂点の作るグラフを考える
例えば
┏━┳┓
┣┳┻┫
┗┻━┛
なら頂点が10個、辺が横向きが7本、縦向きが6本の計13本からなるグラフである
各辺にその長さ13個が指定されるわけだけど、それが各面について縦横2つの方程式が導かれる
例なら8個の方程式となる
この方程式の解で各面の縦か横のいずれかは有理数だが全体の縦、横は共に無理数の解があるとして矛盾を導く
解の正の実数のはるQベクトル空間をVとする
dimV=1ならよい
dimV≧2とする
Vの基底をv1=1,v2,...,vnとして各vk(k≧2)に対して十分近い有理数wkを選んでw1=1,w2=v2としてviをwiにマップするQ準同型をとればdimΣQwi=2だから最初からdimV=2としてよい
同じ手法でv2は超越数としてよい
このとき全長方形の縦横はV\Qの元だから面積はVの元ではない
しかし各小長方形の面積は仮定よりVの元である
よって矛盾を生じた□

この証明引っ提げて解答読んでびっくらこいたな
0958132人目の素数さん2021/12/20(月) 23:43:29.00ID:GvvJLFbq
面積のくだりちょっとおかしいな
エスパーして読んでちょ
0959132人目の素数さん2021/12/21(火) 00:01:14.85ID:h3asEwSt
>>904
実数a,b≧0に対して |√a-√b|≦√(a+b)≦√a+√b が成り立つことを利用して
∫[0,1]|1-nx^(n/2)|dx ≦ ∫[0,1]√(1+n^2x^n)dx ≦ ∫[0,1]1+nx^(n/2)dx
の挟み撃ちでいけそうだな
左辺に lim(n→∞) n^(-2/n) が出現するから高校範囲ではややめんどいけど
0960132人目の素数さん2021/12/21(火) 00:12:40.94ID:8B59gmDB
部分積分使わずに受験縛りでやる手もあるのはある
上からはそれでいける
下からが中々いいのが見つからない
できるのはできる
0961132人目の素数さん2021/12/21(火) 01:28:09.90ID:/fOMOInE
>>956
ご存知でしたか

>>957
おーなるほど
代数的にも解けるのか 面白い
0962132人目の素数さん2021/12/21(火) 01:36:01.39ID:/fOMOInE
ということで皆さん知っていたかもしれませんが>>954のおったまげた解法です

{R_k}_k を条件を満たす分割とする
R=[a,b]×[c,d]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]=∪_k R_k
とする

∫_α^β e^(2πix)dx = 0 ⇔ α-β∈Z に注意すれば、

(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)
=∫_R e^(2πi(x+y)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πix) dx = 0
となり、a-b∈Z or c-d∈Z
0963132人目の素数さん2021/12/21(火) 04:26:49.99ID:yatk9tP0
>>962の焼き直しに過ぎないが、積分を経由しない書き方も可能。

Gはアーベル群とする。f:R^2 → G は写像とする。長方形 [a,b]×[c,d]⊂R^2 に対して、

f([a,b]×[c,d]):= f(a,c)−f(a,d)−f(b,c)+f(b,d)

と定義すると、分割
a=x_1<x_2<…<x_n=b,
c=y_1<y_2<…<y_m=d
に対して

f([a,b]×[c,d])=Σ[i=1〜n−1, j=1〜m−1] f([x_i, x_{i+1}]×[y_j, y_{j+1}])

となることが分かる(右辺を地道に計算すると左辺になる)。
このことから、長方形 I⊂R^2 が長方形の非交和 I=∪[i=1〜n] I_i
になるとき、f(I)=Σ[i=1〜n] f(I_i) となることが示せる。

よって、長方形 I⊂R^2 の少なくとも片方の辺が整数のとき、かつそのときのみ
f(I)=o となるような f;R^2 → G とアーベル群Gが作れたなら、>>954は直ちに従う。
そして、G=(複素数全体), f(a,b):= e^{2πi(a+b)} と置けばよい。
0964132人目の素数さん2021/12/21(火) 07:29:56.10ID:/fOMOInE
>>963
おーありがとうございます
なるほど確かに∫_R e^(2πi(x+y))dxdyの欲しい性質のみ抽象的に取り出せばおkですね

この手法が適応出来る安直な一般化として「直方体」とかの多次元でも使えるのがあると思いますが
なんか他に応用できないかな
0965132人目の素数さん2021/12/21(火) 14:38:14.12ID:P/a/5Sul
∫_R e^(2π√(-1) (x+y)) dxdyってようするにχを指示関数として、χ_Rをフーリエ逆変換して(1,1)を代入したものだよね
だから(1,1)代入する前の
F(s,t)=∫_R e^(2π√(-1) (sx+ty)) dxdy
って形の方がRの情報が失われずに色々出来そうではある
0966132人目の素数さん2021/12/21(火) 16:49:29.44ID:/fOMOInE
>>965
なるほどその見方は確かに熱いですね
それならプランシュレルの定理とか、ハウスドルフ=ヤングの不等式とかが使えるので何か言えそうですね
ありがとうございます
0967132人目の素数さん2021/12/21(火) 18:06:22.42ID:iAk4+Yg9
めっちゃアホな質問でスマン。

図を見てもらいたいから張りたいんだけど
Imgur が貼れない 。("お断りします" と言われる)

普通のアップローダーだと貼れるんだけど
いちいちDLしてもらう必要があって不便。

Imgurみたいなサイトとそれを貼れるブラウザを教えてくれ。
答えを張りたいんや
0968132人目の素数さん2021/12/21(火) 18:24:34.43ID:8B59gmDB
コレとか

http://imepic.jp/
0970132人目の素数さん2021/12/21(火) 18:28:05.39ID:iAk4+Yg9
>>968
あざす!!
0971132人目の素数さん2021/12/22(水) 09:51:31.73ID:dbzo25h+
>>969
この六角形は現実的に応用するとすれば
中華料理用?チャーハンなどのお皿、
食器の形として実用的。

一般の正六角形のお皿のように
ちゃんと食器棚に入る。(面積は正六角形よりも4%ほど少ないだけ)

しかも左奥と右奥にスペースがあるので
ここに醤油用の小皿などをおける。
省スペース食器としては実に良いデザイン。
0974132人目の素数さん2021/12/22(水) 17:52:02.45ID:kNymY3ew
誘導の使い方がよく分からんけどとりあえずtan(kπ/n)は多項式
C[n,1]x-C[n,3]x^3+C[n,5]x^5....
の根だからtan(kπ/n)+1は多項式
C[n,1](x-1)-C[n,3](x-1)^3+C[n,5](x-1)^5....
の根
よって求めるのはこれの-一次の係数/定数項
定数項は
-C[n,1]+C[n,3]-C[n,5]...
= -im(1+i)^n=-2^((n-1)/2)
一次の項は
C[n,1]-3C[n,3]+5C[n,5]...
=n(C[n-1,0]-C[n-1,2]+C[n-1,4]...
= re(1+i)^(n-1)=n2^((n-1)/2)
より求める和はn
かな
誘導がポイんだけどピンポイントにハマらない
0975132人目の素数さん2021/12/22(水) 18:31:02.34ID:7HQ37/sU
(x_k + (1-x_k)i)^n が実数、x_kも実数であることから
(x + (1-x)i)^n = f(x) + g(x)i  (f(x),g(x): 実数係数多項式) とおけば {x_k} は g(x)=0 の解
って気づけば誘導に乗れる
0976132人目の素数さん2021/12/22(水) 18:54:41.35ID:x+rhmqBF
>>972
>>907の問題、回答とその実用の話だから
ギリギリセーフ。
0977名無し一級2021/12/22(水) 18:57:44.31ID:GKEijcA0
エロ画像が生まれたのは江戸時代からとされるが最初の浮世絵に始まり春画が生まれ頭の良い人の中から情報を深奥の霊子レベルで破瓜から数式処理を施した栄養源であり生物の進化の時に女を食すというカーマストラという宗教書等があります。Qエロ画像ってどうやって作るの?
0978132人目の素数さん2021/12/22(水) 19:01:02.90ID:Gk+bjEAQ
>>975
なるほどそれやな
答え出すより誘導の意味考える方が難しい
0979132人目の素数さん2021/12/22(水) 22:22:51.91ID:rIQcTr/3
>>973
似た問題に、
Σ[k=1,n-1]1/sin^2(kπ/n)=(n^2-1)/3
がある。これを利用して、
Σ[k=1,∞]1/k^2=π^2/6
を導くことができるのは、初見の人には面白いはず。
0980132人目の素数さん2021/12/23(木) 00:17:20.28ID:2O6wbFET
Rを平面上の凸四角形ABCDとする
R上の経路p:[0,1]→Rにおいてp(0)が辺AB上、p(1)が辺CD上にあるときpはRを縦断するといい、p(0)が辺BC上、p(1)が辺DA上にあるときpはRを縦断するという
今RのPL部分集合(i.e. 有限個の線分と三角形の和集合による集合)X,YによってR=X∪Yと被覆されているときX上の経路でRを縦断するものか、もしくはY上の経路でRを横断するものがとれる事を示せ
0981132人目の素数さん2021/12/23(木) 04:06:27.08ID:8Sjzx1Td
谷口凌晟兵庫区三川口町2.5.8.1201
殺人未遂罪にて千葉刑務所に服役中。
0985132人目の素数さん2021/12/23(木) 14:06:57.16ID:PVbT0aVn
半径1の球の表面および内部のから三点を無作為に選んで
この三点を結ぶ面と球の中心との距離の期待値と中央値を概算せよ。
0987132人目の素数さん2021/12/23(木) 15:20:19.96ID:xOnURUe4
この程度ですら自力では解けないから面白いかどうかの判定すらできん能無し
0991132人目の素数さん2021/12/23(木) 16:47:16.56ID:Tj6qwdc0
>>982
使えなくはないけど
そういう巨大なのは使う頻度もすくないし
サイズの収納の手間とスペースの節約はたいして重要ではないと思う。

それと食事中に、向かい側の人が回転させた時に、
その反対側の人の醤油の小皿などに当たって溢す事故が
置きて危ない。
目の前での回転を考えれば
上下左右 が対称形であるのが一番安全だよ。
0992132人目の素数さん2021/12/23(木) 16:49:59.32ID:Tj6qwdc0
>>983
例えば 北側に座っている人が
食事中にうっかり、ギリギリの位置に醤油皿を置いた場合、
もしも誰かがこれを回転させたら ぶつかって倒れるので
すげぇ使いづらい。
0993132人目の素数さん2021/12/23(木) 17:23:08.80ID:ddJG0qNc
二人もいるの?
本格的に実用数学や統計を専門にやるスレを作って誘導した方がいいのかなこれ
0994132人目の素数さん2021/12/23(木) 17:55:06.94ID:peGZmhum
次スレのタイトルを
「面白い数学の問題おしえて〜な」
にしていいか?
0995132人目の素数さん2021/12/23(木) 18:38:38.93ID:ddJG0qNc
それだと「これも立派な数学だ」とか言い張られそうなのがちょっと心配

>>3あたりにルール貼るとかの方がはっきりした根拠ができていいかもと思っているけどどうだろう
(というかルール文的なのは昔あった気がする)
0996132人目の素数さん2021/12/23(木) 19:25:59.37ID:peGZmhum
数学どころか山がなぜ美しいかみたいなこと言い出すやつらだぞ
数学という表記は要ると思う
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