ラジアンって変じゃね

**まろゆき** · 2021/09/19(日) 19:08:07.87

例えば円の面積の計算で
円の面積=4∫[0→r]√(r^2-x^2)dx
=2r^2[θ+sin2θ/2][0→π/2]
このとき
2r^2*π/2の計算でπ/2ラジアンを掛けているので
2r^2*π/2=πr^2ラジアンにならないか←ここ重要
面積で単位がラジアンって変じゃね

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/19(日) 19:10:28.71

ひゃはー

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/19(日) 19:10:52.93

ラジアンは無次元量だった気が

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/19(日) 19:11:32.09

カップ麺５０周年か

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/19(日) 19:25:38.31

たしかに

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/19(日) 20:16:26.23

ラジアンは弧長と半径の比だから無次元量

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/20(月) 00:30:29.52

レイディアンだぞ

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/20(月) 05:19:59.28

>>6
回転の回数に2πを掛けたものだと思うと
面積体積等に出てくるケースは何なんだろう？。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/20(月) 11:43:44.30

いや、ラジアンが単位だろ
sin πとか言ってるのは正しくはsin πラジアン

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/20(月) 13:34:37.52

>>8
線分や面を回転させてできる図形だから

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/20(月) 14:20:39.25

無次元量だけど高校生相手には何か単位がついていた方がわかりやすいから、適当にラジアンなんて名前を付けたのかな、ぐらいに思ってた。
違ったら教えてくれ。

ちなみに、スカラーは無次元量だろうけど、逆も言えるの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/20(月) 16:18:52.43

中途半端にデキる高２が悩むとこやな
諸悪の根源はラジアンという名前そのもの
最初から無単位扱いにすれば>>9みたいな馬鹿も減る

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/20(月) 18:20:31.57

ちょっと気になったんだが
90°/90°=1ラジアン=57.296°
で合っているだろうか
90°/90°=57.296°が
感性に反するんだけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/20(月) 18:26:03.29

>>13
>90°/90°=1ラジアン

どういうこと？

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 22:31:15.38

>>13
１ダース×１ダース＝１２ダース
何もおかしいことないでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/28(火) 01:27:49.82

比率を割り振ればできるだろ、知恵を絞れよ
何のために頭付いてるんだ、大学生にもなってなんだその頭の悪さは
Rad のせいか、rad のせいでそんなに頭の悪い人間になってしまったんだな
ようし、rad を禁止します

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/29(水) 14:58:02.18

>>13
一時期流行った「√16%はいくつ？」って問題と似てる気がした

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/29(水) 18:53:55.95

テイラー展開って単位を考えるとちょっとおかしいんだよな

sin x rad = x rad - x^3/6 rad^3 + x^5/120 rad^5-…

左辺は無次元量だけど右辺は単位がめちゃくちゃ付いてる

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/29(水) 18:55:19.61

例えるなら1cm + 2cm^2みたいなことをやってる
長さ+面積って何？みたいな

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/29(水) 19:32:14.19

それは微分が逆に単位消してるからじゃないかなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/29(水) 19:52:30.99

物理でテイラー展開する場合は何か単位量で割ったものを展開してるものと見るべき
例えば熱力学でlogVのような関数を考えるときも体積の次元をもつVそのものの対数ではなく、何か体積の基準となるV_0を決めて無次元量log(V/V_0)を考えるはず

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 13:52:47.27

ラジアン
ラジアン
ラジアン want you stay for me ♫

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 15:09:27.53

度数法のままだと、微分がややこしいことになる
弧度法というか、弧長という視点が必要なんだよな、と大学２年で気が付いた
曲線の微分幾何学（ベクトル解析だったかも）
微分幾何学、微分を学ばない高校数学では、その理由と意義が分からない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 16:06:23.29

え、習うでしょ微分

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 21:34:25.88

そんな諺いう医者はいないｗ高校数学では微分は習うが、微分方程式の解法は習わない

加減乗除の算数は習っても、一次方程式の解法を知らないのと同じ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 15:46:22.47

sin(x)を、微分するとcos(x)になるけど
xの単位がラジアンでないとき、例えば　
xの単位が度のときでも　
sin(x)を、微分するとcos(x)になるか
ならないか、悩んでる最中

もしならないなら、
sin(x)の微分は何になるか、キニナル

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 23:11:36.47

微分の定義を書いてみろ
x が弧度法だろうが360度法だろうが、微分は同じだろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 07:32:34.60

単位が「ラジアン」じゃなくて「πラジアン」だったら別におかしくない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 10:53:07.65

単位が度というのは厳密に書くと
sin(x 2π rad / 360°)
を考えてることになる。これを微分すると連鎖律から
cos(x 2π rad / 360°)・2π rad / 360°
と2π rad / 360°が出てくる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 15:58:11.93

>微分の定義を書いてみろ
>x が弧度法だろうが360度法だろうが、微分は同じだろ
これ、大学１年までは俺も何ら疑問もたずにやってた、sinのテーラー展開なども
微分幾何（のベクトル解析の部分）やって、初めて疑問を持った
自分で計算して大発見したと思いきや、他のやつは高校生で気が付いていた（笑）

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 20:01:07.34

ラジアーンラジアーン
ラジアーンウォンちゅステイフォーミー

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/06(木) 17:23:19.30

>>26
>>29の言う通りで、cos(x)にいらん係数がかかってくる。

ラジアン単位の角度 x を変数とする三角関数をsin(x),cos(x)とし、
度数法単位の角度θを変数とする正弦関数を sind(θ), cosd(θ)と
表して区別してみる。当然、xとθは１対１対応し、x（θ)=(π/180)θ
であれば、sind(θ）=sin(x), cosd(θ)=cos(x)となっている。

したがって、度数法の三角関数の微分を考えると、
dsind(θ)/dθ = d sin(x)/dθ
合成関数の微分から、
= dsin(x) /dx ・dx（θ)/dθ
= cos(x) ・π/180
= cosd(θ)・π/180
となり、π/180という係数が現れてめんどくさい。

指数関数 a^x も a がなんであれ、微分すればa^xの定数倍になるが、
aをネイピア数eにしておけば、定数が1になって簡単になる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/07(金) 02:53:27.83

角度θが度数法のときって、sin(θ)をθで微分するとかθで展開するとか変だよね
例えばsin(θ)をθ=90°のまわりでテーラー展開しなさいって言われたとき
sin(θ) を (θ-90°)^n の閉線型結合で書くと
sin(θ)は辺の長さなのに級数は角度を表してるみたいなことにならない？

1°に対する比(ただの実数)がθという意味でθ°を考えるなら
sin(θ°)をθで微分するとかθで展開するとかできるのはわかる

ラジアンはもともと半径に対する円弧の長さの比だから角度というよりは
長さの比(ただの実数)としての性格が強いから微分の話自体はすんなりいくかもしれないけど
角度なんて無次元量なんだよとかいう物理屋くらいしか騙せない主張じゃなくて
この辺をちゃんと踏まえた初学者向けの説明ってあるもんなのかな

（個人的には、数学屋としてはsin(x)はただの実変数実数値関数と思いたいし、
思えば↑みたいな変な屁理屈に煩わされないから抽象化万歳だ、って立場にいるほうが心地いいけど）

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/07(金) 10:29:22.10

>>33
度数法も円周の長さを 360としたときの弧の長さだと考えればいい。
ラジアンは円周の長さを2πとしたときの弧の長さなので、定係数を
掛け合わせるだけの違いしかない。
両者の違いはメートルとキロメートルの違いと本質的に変わらんのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/07(金) 10:38:12.15

あと、sin(θ)は辺の「長さ」ではなく、辺の「長さの比」なので、角度と
同じく無次元量ですよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/07(金) 10:41:44.65

要するに、ラジアンで表す角度の数値は2π×(弧長/円周長）、
一方、度数法で表す角度の値は 360×(弧長/円周長）であって、
角度に対応する弧長と円周の比をそれぞれ2π倍するか360倍する
かの違いしかないってこと。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/07(金) 19:02:52.86

角度なんて無次元量なんだよとかいう物理屋くらいしか騙せない主張じゃなくてよろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/07(金) 22:14:02.12

おまえ、全然わかってないじゃん。

ったく、これがほんとのバカを見たってやつだなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 01:29:08.14

だよな、>>34の言ってることはsin(θdeg):=sin(θ)degってだけなのにな

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 10:21:18.64

はあ？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 10:40:45.32

>>34が言ってるのは、ラジアンも度も本質的に定数倍の違いしかない
ってこと。同じ無次元量で言えば、%で表すかppmで表すかの違いと変
わらん。
sin関数に対する変数として与える場合、ラジアンか度数法のどちらを
使うか、本来は明示的に示さないと結果が異なる。
sin(180度) =sin(πrad）だが、sin(180)=si(π)にはならんってこと。
sin(x)のxが度に対応してるのか、ラジアンに対応してるのかでsin(x)
の値が異なるということは、実際はそれぞれ異なる関数なのよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 10:46:42.46

たとえばエクセルの正弦関数SIN()はラジアンで表した角度を引数にしてるが、
度を引数にしようと思えば、radians関数を使ってラジアンに変換し、
SIN(RADIANS(x))のようにして値を求める。
つまり、度を変数とする正弦関数はsin(radians(x))という合成関数になってる
ので、ラジアンを変数とする正弦関数sin(x)とは別物だということ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 10:53:45.43

>度を変数とする正弦関数はsin(radians(x))という合成関数になってる
>ので、ラジアンを変数とする正弦関数sin(x)とは別物だということ。

ここに気づかないからバカなこと言ってんじゃないかな？ >ID:gx1I6rg3

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 11:51:46.33

ID:c6YZcyDzはなぜ生きているのですか？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1641610204/

こちらの質問への回答ご協力よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 16:58:49.29

結局sin(θ度)の値は実数なのに (θ-90)度の冪級数は度になることを説明できないから別の関数とか言いだすんだな

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 17:02:07.61

ちがった
度数法のθの関数sin(θ)の値は実数なのにθ=90度の周りで展開した (θ-90度)の冪級数の値は度になること
だった

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 17:57:10.24

やっぱアホだな。
θをラジアンで表示したときのsin(θ)をテイラー展開したらラジアンの冪になるだろ。
度もラジアンもsin(θ)もすべて「長さの比」だって何度言えばわかるんだよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 18:02:40.23

ラジアンのときはラジアンの冪じゃないよね

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 18:11:00.65

今日の収穫は「sinは度だった」とかでいいかなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 18:20:46.98

通じてなさそう
辺の長さにsin(θ)を掛けたら辺の長さが出てくるのはおかしくないのに
辺の長さに角度の冪級数（結果も角度）を掛けたら何で辺の長さになるんだ
という疑問を持つ初学者に対して度は辺の比だというのは何も説明できてない
ラジアンは定義が（角度じゃなくて）「角度の大きさ」が辺と辺の比だからそもそも
大きさを掛けてる（角度そのものを掛けてない）という説明ができるが
「 (θ-90度)の冪級数」は角度そのものを掛ける話になってて意味不明
という話だぞ

**DiverCity** (りんかい線) · 2022/01/08(土) 19:06:10.39

>>1
[θ+sin2θ/2]の単位は面積かと思うが
ちなみに積分で求めようとしている領域が
「扇形＋三角形」だと思えば
半径１の円の場合
角度θの扇形の面積：θ/2
底辺cosθ、高さsinθの三角形の面積：cosθsinθ/2=sin2θ/4
なので計算は合う

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 19:10:17.51

θが大きさ（実数）のときsin(θ度)をθとかθ-90とかの冪で表すって言われたら何もおかしくないのに
度数法の角度θに対してsin(θ)をθとかθ-90度の冪で表せってのは変だねって話って言えば伝わるのか？
（中高レベルだとθが度数法の角度のときの表し方は後者（θに度まで含めてsin(θ)と書く）だろう？）

念のため書いておくが、>>48はラジアンのときは「ラジアンの大きさ」の冪になってるだろって意味だからね

**DiverCity** (りんかい線) · 2022/01/08(土) 19:13:29.97

＞sin(θ)をθで微分するとかθで展開するとか変だよね
別に変ではない　微分したときcos(θ)に係数がかかるだけで

2^xをxで微分するのが変ではないのと同じ

角度は　絶対値１の複素数の「対数」だが、
そのとき底をどうとるかの違いで
ラジアンになったり度数法になったりする

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 20:06:15.48

>>50
>辺の長さに角度の冪級数（結果も角度）を掛けたら何で辺の長さになるんだ

長さに角度をかけたら長さになるに決まってるだろ。アホか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/08(土) 20:12:28.17

>>50
>ラジアンは定義が（角度じゃなくて）「角度の大きさ」が辺と辺の比だからそもそも
>大きさを掛けてる（角度そのものを掛けてない）

ラジアンも度も角度の大きさを表す数値で、どちらも長さの比で定義される値だよ。
いったい何回言えばわかるのか。バカにつける薬はないものか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 01:07:10.76

ふつうは角と角度を言葉の上で区別しないから仕方がないが、
長さと角を掛けるのが当たり前とか言いだす奴はさすがに酷いな……

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 01:10:18.61

楕円積分

**DiverCity** (りんかい線) · 2022/01/09(日) 04:36:51.00

sin(θ)のθが度だったら
d sin(θ)/dθは、cos(θ)じゃなくて
π/180*cos(θ)だけど

その場合>>1は
円の面積
=4∫[0→r]√(r^2-x^2)dx
=2r^2[(π/180)θ+sin2θ/2][0→90]
となる筈

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 10:56:04.29

>>56
>長さと角を掛けるのが当たり前とか言いだす奴はさすがに酷いな……

ウルトラバカかｗ　
おまえ、ラジアンは角ではないとでも？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 11:00:39.51

おっと、角を数値化した角度を書けてんだろうが。
度数法だろうがラジアンだろうが、それは同じこと。度だけが違うわけではない。

**DiverCity** (りんかい線) · 2022/01/09(日) 16:34:53.01

角度は「対数」です
したがって、任意の底をとり得ます

一方で、ラジアンだけが半径と弧長の比になります

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 17:21:13.49

Guy Kitchy !

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 20:15:52.29

非ユークリッド幾何で定義してみてはどうか

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 20:22:34.43

>>61,63
q解析と比較するほうが正しく思える。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 21:24:36.83

角度は1回転に対する割合に定数をかけたもの

360°回転=1回転=1回転が1
720°回転=2回転=1回転が2

右辺の1回転の単位は無名数だから左辺の360°、720°も無名数

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/13(木) 00:52:58.45

>>65
回転に対する割合を具体的にどうやって測るの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/13(木) 23:42:05.65

>>66
透明な板に1回転を384等分とか必要な精度の分だけ等分した線を引いて角の上に置く

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 01:25:41.61

>>67
だから、具体的にどうやって等分すんの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 01:27:10.58

つまり、具体的にどういう手続きで「等分した線」を引くの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 01:44:48.56

定義は単位円の弧の長さで弧の長さは半径に比例するんだから、例えば長さの単位がmならラジアン=m/mだろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 01:52:14.27

m/m=1

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 09:27:53.84

>>68
定規とコンパスで

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 09:35:12.34

1回転の1/2もしくは1/6を作って後は2等分していけばいくらでも細かく等分できる

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 10:24:00.14

ラジアン=m/m=1ならそもそもラジアンという言葉を使う意味がないよね

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 10:38:35.27

割合に100をかけたのが百分率、割合に100をかけた量であることを示すために%をつける
弧を半径で割ったのが弧度法、弧を半径で割った量であることを示すためにradをつける

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 10:43:29.14

>>72,73
だから、具体的に定規とコンパスをどのように使うんだよ？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 10:54:30.64

定規で基準の向きの直線を逆側に延長すれば1回転の1/2
コンパスで基準の向きに対して正三角形の作図をすれば1回転の1/6

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 11:00:24.04

後はできた角のなかに3辺が等しい合同な2つの三角形を作る角の二等分線の作図を繰り返す

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 13:18:19.55

>>77,78
そうやって角を２等分する操作は、コンパスで描かれた最初の円弧を
２等分することと同値でしょ。だったら、円弧の分割で定義する角度
（すなわち弧長と円周の比率で定義される角度）と同じものを求め
てるにすぎん。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 14:03:09.98

>>79

同じものですけどね
1回転というものは長さのように単位がつくようなものではない
角度がそれと同等のもの、ということ

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/17(月) 00:42:14.77

そうだよ。
だから、ラジアンも度も回転量を表すことになる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/17(月) 01:35:48.04

変じゃない、不変だ

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/10(木) 16:35:04.20

三角関数としてsin/cosより近代まで人気のあったcrd x = 2 sin (2/x)は解析的にキレイじゃないね、三角法やるならcrdベースの方が計算はしやすい
π/2のシフト(余角の関係)でsin/cosは相互変換するけど、倍にスケール(補角の関係)することで分数係数が落ちて、基本公式のsin/cosかcrdと補角のcrdに対応してキレイに書ける

sx := 180°-x
crd(sx)=crd(x)
crd^2 s + crd^2 sx = 4
crd(2/x) = √(2- crd sx)
...

今更覚え直す気にはならないけどな

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/21(月) 10:00:23.57

x=0の周りが汚い

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/21(月) 10:51:22.32

古い三角関数の定義が引数が半角倍角のケースに特化してるのは回転体を扱う文脈に特化してたからじゃね、球面三角法、天文学
基本単位が2πと4πの両体系を行き来する必要がある、√を扱うのを避けたいという動機

角θを望む回転体(錐角2θ)の立体角はπ vers θ sr

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/21(火) 12:23:29.33

>>13
90°/90°なんだから1°だろアホ過ぎ

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/21(火) 12:24:20.86

>>13
ラジアンならπ/180だろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/21(火) 21:34:25.85

>>1
ラジアンは距離の比だから無次元量

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/21(火) 21:36:55.96

孤の長さが半径と等しくなるときを1ラジアンと定義している

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/29(水) 15:53:48.76

デジアンだろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/30(木) 02:33:10.97

変ではないよ。三角関数を考える際には必須だよ

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/16(土) 22:28:26.83

>>58
＞sin(θ)のθが度だったら
＞d sin(θ)/dθは、cos(θ)じゃなくて
＞π/180*cos(θ)だけど

正確には、
sin(θ)のθが度だったら
d sin(θ)/dθは、cos(θ)じゃなくて
180*cos(θ)/πだけど
こうじゃね？

検算：
d (180*sin(θ)/π)/dθ = 180*cos(θ)/π　真