測度って、集合上の関数なの？関数上の関数なの？

[0001 １３２人目の素数さん 2021/07/18(日) 15:27:36.57 ID:EAQdOawU]

どっち

[0002 １３２人目の素数さん 2021/07/18(日) 17:28:09.01 ID:EU/AdRPr]

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[0003 １３２人目の素数さん 2021/07/18(日) 19:28:05.60 ID:+lLnAQvT]

ひゃっはー

[0004 １３２人目の素数さん 2021/07/22(木) 23:04:25.63 ID:1mnITI0E]

積分論を利用するだけなら、測度論や可測集合などは完成されたものとして
又は公理のように出発点としてみなすのもあり
だけど、基本的集合と有限加法的測度から、可測集合と可算加法的測度を構成する
議論をトレースするのは勉強になる
積分論を可測関数に対して定義して、積分値や可積分関数を定義するところは
測度論や可測集合の細かい議論は不要（可測関数の近似や細かい議論をするので）
必要になるのは、フビニの定理を導く時に、測度論というか可測集合の
定義に戻って考える必要がある

[0005 １３２人目の素数さん 2021/07/24(土) 15:38:44.52 ID:cELgkOdw]

そもそも測度は関数じゃないだろ

[0006 １３２人目の素数さん 2021/07/25(日) 02:40:48.49 ID:XFSJMVT+]

測度は与えられた集合の部分集合族から非負実数への写像
関数ではないというのは狭い了見だな

[0007 １３２人目の素数さん 2021/07/25(日) 08:57:12.86 ID:fFVXyd9e]

集合関数というくくりだよな
可測集合族から非負実数への写像
定積分も集合関数という見かたも出来るけど、それ以上の拡がりが無い
新たな言葉を増やしただけで次なるブレイクスルーには行かない

[0008 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 08:42:09.24 ID:yDa/Ey+f]

完全加法的集合関数の議論は一度は読んだほうがいい、それ以上のものは無い

[0009 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 09:19:06.32 ID:3sx2olCB]

容量について要領よくまとめた本はありますか？

[0010 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 14:47:43.12 ID:B9gcZh7w]

定義を読めない人のスレだなー

[0011 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 15:05:19.42 ID:UPv9TYAb]

>>10
で、測度については何か？

[0012 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 19:13:42.00 ID:UNu2x5XL]

リース＝マルコフの定理も知らんのかこいつら

[0013 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 19:19:06.86 ID:ccQR65vm]

>>12
リースの表現定理を我々が知らないと判ずるに至った理由を述べよ

[0014 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 19:35:03.28 ID:Px1pzlaM]

ID:ccQR65vmは頭のおかしい人なので真面目に答えなくていい

[0015 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 19:43:27.46 ID:B9gcZh7w]

>>11
すでに書かれてる事に何を追加しろってんだ？

[0016 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 19:50:58.21 ID:B9gcZh7w]

ふと思いついて大学の自主ゼミでやったルベーグ積分を
思い出しながら証明も再構成してみたら
全部できた上に当時はフォローできなかった証明もできた
あのやり方は必然だったと今頃納得！

[0017 １３２人目の素数さん 2021/07/28(水) 20:03:49.76 ID:eV1tSUou]

写像ではあるが、関数ではないだろ

[0018 １３２人目の素数さん 2021/07/29(木) 10:22:00.53 ID:H2FgJJT5]

ルベーグ積分論は、何通りもの構築方法がある、積分値の定義だけとっても
測度論をやり終えて単函数からの積分定義は基本でマストだけど、別ルートも
そこまでやって初めて分かったと言える、と昔習った
完全加法的集合函数（やその分解）は、大学の講義じゃやらないか端折って説明される
半年間週一コマで、測度と積分の定義と基本的定理の証明でほぼ終わるのが多い
ほとんどいたるところ、という文言をほとんどいたるところ使う、というお決まりのギャグ（笑）

[0019 １３２人目の素数さん 2021/07/29(木) 20:38:23.20 ID:aJqViSYt]

>>17
写像と関数と区別なんて慣習的なものに過ぎず、厳密な定義の違いなどない

[0020 １３２人目の素数さん 2021/07/30(金) 13:21:09.00 ID:/30zxL2G]

>>18
直積測度で積分を定義した方がスッキリかと思ってやって見たら
思いも寄らない困難が出てきて教科書の方法の良さが分かったよ

[0021 １３２人目の素数さん 2021/07/31(土) 09:15:17.22 ID:obIDFIhV]

>>20
具体的にその困難のほうを語ってよ。

[0022 １３２人目の素数さん 2021/07/31(土) 13:36:49.58 ID:75GpPEI9]

直積測度で積分を定義したら
「積分可能なら可測関数」の証明がすごく面倒だったから
それ以上やる気を無くした
他の同値性の証明も更に難しそうだったし

[0023 １３２人目の素数さん 2021/07/31(土) 13:41:28.15 ID:75GpPEI9]

教科書定義から他を出すのは簡単で逆は難しいってのは
教科書定義を出発点にするのが最適ってことだ

[0024 １３２人目の素数さん 2021/08/09(月) 13:42:09.70 ID:M7UKfTzU]

>教科書定義を出発点にするのが最適ってことだ
複数の方式を一度は比較検討してみることで理解が深まったりする
複数の登山ルートを歩いてみることは新たな発見につながることもある
でも教科書がなぜこう記述されていたのか、という理由の確認で終わることが多い

[0025 １３２人目の素数さん 2021/08/11(水) 10:30:59.76 ID:9KEWQJ8X]

測れる集合を増やす、積分が出来そうな関数を増やす、積分の定義、までは割と分かる
可測集合と可測関数の定義が、フビニの定理の時に再確認が必要になる
直積測度、加えて完備測度空間、完備測度という細かい点を含む議論
それを整理して理解出来るまで結構時間がかかった、俺の場合

[0026 １３２人目の素数さん 2021/11/28(日) 15:31:20.51 ID:hiK51UYc]

塾講師さん、三角関数の合成もできないwww
https://hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1638077678/