X + Y + Z = XYZを満たす数

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/02(水) 17:01:59.80

1 2 3だけ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/02(水) 17:05:44.86

三角形の角度をα,β,γとするとき
tanα + tanβ + tanγ = tanα tanβ tanγ

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/02(水) 17:38:01.17

3 2 1 とか 3P3=6通りある 😅

**>>3 の続報** · 2021/06/02(水) 18:09:42.61

(x,y,z) = (0.0 , 0.0 , 0.0)
(x,y,z) = (0.8 , 2.5 , 3.3)
とか、そうだ
(x,y,z) = (-100 , 0 , 100)
(x,y,z) = (-123 , 0 , 123)
(x,y,z) = (-√5 , 0 , √5)
(x,y,z) = (-√7 , 0 , √7)
(x,y,z) = (-√57 , 0 , √57)
(x,y,z) = (-π , 0 , π)
(x,y,z) = (-3π , 0 , 3π)
・・・
∴無限個ある。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/02(水) 18:16:57.84

自然数で
a+b+c=x+y+z、abc=xyz
{a,b,c}≠{x,y,z}なものは存在するか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/02(水) 20:02:35.33

>>2
それで全部尽くされる？

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/02(水) 20:44:45.57

x+y+z=xyzならα+β+γ=nπなるα,β,γが存在してx=tanα,y=tanβ,z=tanγと書ける

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/02(水) 21:32:27.65

XYZ、の中で最小の整数は
2以上にはならないことまでは分かる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 09:02:28.21

X + Y + Z = XYZとする。

θ → tanθは、(-π/2, π/2)からRへの全射だから、-π/2 < α, β < π/2が存在して

X = tanα
Y = tanβ

と書ける。このとき、XY ≠ 1なら

Z
= (X + Y)/(XY - 1)
= (tanα + tanβ)/(tanα tanβ - 1)
= -tan(α + β)
= tan(π - (α + β))。

XY = 1なら、

X + Y = 0
∴ X^2 = -1

なので、XY = 1とはならない。

よって、この方程式をみたすX, Y, Zは、-π/2 < α, β < π/2、α + β ≠ ±π/2となるα, βを用いて

X = tanα
Y = tanβ
Z = -tan(α + β)

と書ける。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 11:21:32.74

なるほど
複素数解だとどうなる？

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 13:27:47.41

X, Yがともに±iでないなら、複素数α, βが存在して

X = tanα
Y = tanβ

とおける。
XY ≠ 1なら

Z = (X + Y)/(XY - 1) = -tan(α + β)。

XY = 1なら、

Y = -X
Zは任意。

X = ±iなら、

±i + Y + Z = ±iYZ

Z = (±i + Y)/(±iY - 1)

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 14:29:24.50

X+Y+Z=XYZ
1. Z=0の場合
X+Y=0となる任意のX,Yが解 ---(#1)
2. Z≠0の場合
(X+Y)/Z+1=XY
(X+Y)/Z=XY-1
X+Y=Z(XY-1)
2-1. XY=1の時
X+Y=0となるのでY=-X。X(-X)=-X^2=1となり実数解なし。
2-2. XY≠1の時
Z=(X+Y)/(XY-1) ---(#2)
ここで(#2)はX+Y=0の時Z=0となり仮定のZ≠0を満たさないが、(#1)より
"X+Y=0かつZ=0"も解なので(#2)はX+Y=0の時も成り立つ。
なおX,Y,Zは対称なので自由に入れ替えて良い。

そして、X,Y,Zがすべて自然数ならば3数は(1,2,3)のみである。以下はその理由。
1. X=1の場合
Z=(1+Y)/(Y-1)
=((Y-1)+2)/(Y-1)
=1+2/(Y-1)
2/(Y-1)は非負整数なのでY-1は2の約数(1または2)。ゆえに(Y,Z)=(2,3)または(3,2)。
2. X=2の場合
Z=(2+Y)/(2Y-1)
Zが自然数になるのは(Y,Z)=(1,3)または(3,1)。(2Y-1)-(2+Y)=Y-3なのでY≧4では
分母が分子よりも大きくなり0<Z<1。
3. X=3の場合
Z=(3+Y)/(3Y-1)
Zが自然数になるのは(Y,Z)=(1,2)または(2,1)。(3Y-1)-(3+Y)=2Y-4なのでY≧3では
分母が分子よりも大きくなり0<Z<1。
4. X≧4の場合
4-1. Y=1の時
Z=(X+1)/(X-1)
=(X-1+2)/(X-1)
=1+2/(X-1)
X≧4なので0<2/(X-1)<1つまり1<Z<2。
4-2. Y≧2の時
Z=(X+Y)/(XY-1)より
(XY-1)-(X+Y)=X(Y-1)-(Y+1)
Y-1は正なのでX≧4より X(Y-1)-(Y+1)≧4(Y-1)-(Y+1)=3Y-5≧3*2-5=1
つまり分母が分子よりも大きいので0<Z<1。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 14:35:37.74

(X, Y, Z) =

(tan(α), tan(β), -tan(α + β)) where -π/2 < Re(α), Re(β) < π/2, Re(α + β) ≠ ±π/2,
(±i, Y, (±i + Y)/(±iY - 1)) Yは任意,
(X, ±i, (X + ±i)/(±iX - 1)) Xは任意,
(±i, 干i, Z) Zは任意

これがすべて

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 15:08:49.11

せっかく>>8が頑張ったんだから使ってあげれば良かったのに

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 15:13:03.05

>>14
軍事機密スレ主です。
お前てれんすたおだろ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/04(金) 12:11:20.81

コンパクト化したら？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/10(火) 20:58:12.26

x^3+y^3+z^3-3*a*x*y*z=0