大学学部レベル質問スレ 16単位目
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>>951
>1次元であるし直交行列と言うよりはただ1なだけ
違った
座標変換行列は(1/k)か
xe=(1/k)x(ke)
高次元でも直交行列ではなく正則であると言うだけ >>928
そもそも一般的に、次元の等しいベクトル空間V、Wの間の同型写像が
どう表せるかは知っているの？ >>955
φ_e: V -> K^n; Σ_i x_i e_i -> (x_i) とすると
同型T: V -> W (dim V = dim W)について可逆なn次正方行列Mがあって
T= (φ_f)^(-1) . M . φ_e
と書けるという話ですか？ 任意の有限次元の線形空間Vとその双対空間V*について基底に依存しない同型V->V*があると仮定するとどういう矛盾が起きるんでしょうか >>935
>まず線形写像の族を考えて,
>線形写像の族(α_e: V -> W)_{e: Vの基底}が基底に依存しないとは
>∀v∈V∃w∈W∀e:Vの基底(w=α_e (v))
>が成り立つこととします.
「基底に依存しない」と同値なのは「∀e,e' (α_e=α_e')」
言い換えると
「「線形写像の族が基底に依存しないと」いう定義をわざわざする必要は無い」
かな >>959
添え字無しのαを導入したかったので前段階として導入しました
一番気になっているのは>>958です >>960
そこの「基底に依存しない」が>>935の「基底に依存しない」の意味なら
基底に依存しない同型写像の存在に矛盾はない
それは>>914に書かれているとおり
>基底を固定して線形写像αを作ってしまえば、それは基底によらない意味を持つよ
という意味で
たとえば>>935の記法を使えば
あるe0についてのα_e0を以て任意のeについてα_e=α_e0と定義するという（アホみたいな）ことだけど >>962
んー中々うまくいかないですね
調べてみると>>926にある通り確かに色んな本で特別な同型はないとか色々な言い方がされてるみたいなんですが、特別な同型があるとどうマズいとかこういう矛盾が起きるというのがはっきり示されてないんですよね >>958
「表現行列」を勉強すれば、自分の質問が変なことが分かったり、
やりたいことを定式化して解決することができると思うよ >>964
ちなみに>>964さんなら以下の内容をどう定式化されます？
以下本の該当部分を引用
"Vが有限次元のときは，Vの基底を考えれば，それを双対基底にうつす同形V→V^*がある.．
しかし，この同形は基底に依存するもので，特別な同形V→V^*があるわけではない．" >>965
そこは
「基底を変えれば違う同型写像になる」
としか言ってないよ 今、小平の複素解析の細胞分割可能定理を読んでるんだが、くっそ長い。20ページぐらいある
論理展開を読むのがくっそだるいんだが、誰かこの証明を見やすい感じにまとめてる人いる？
文字が汚くても論理の流れを綺麗にしてくれるんなら、手書きノートでも全然読みたいんだが、誰か持ってる？ >>965
"Vが有限次元のときは，Vの基底を考えれば，それを双対基底にうつす同形V→V^*がある.．"
基底を考えた場合の同型はどう表せるかは分かる？ >>965
例えば1次元空間と体kの同型ですら特別なものは無いよ
基底に依存する話
VからV*への線形写像はV※Vからkへの線形写像と自然に対応するし
Vが1次元ならV※Vも1次元だから
上の話に帰着するわけ >>966
同型の表現行列を固定した時に基底を変えると違う写像になるっていうことが述べられてるんですかね？ なんで具体的に写像書いて基底変換してみないんだろうか >>971
だよね
>>970
1次元空間VからV*への線形写像作ってみなよ 横だけど「具体的に線形写像を作ったら基底によって変わる」で学部生ならまあ正解でいいと思う
修士は微妙だが、博士でこれを回答だと思ってるような人は流石にいないだろう >>973
>「具体的に線形写像を作ったら基底によって変わる」で学部生ならまあ正解
え？正解なの？てゆーか基底によって変わるのは行列による表現では？ >>973
>博士でこれを回答だと思ってるような人は流石にいないだろう
これは何についての回答なの？ >>972
>1次元空間VからV*への線形写像作ってみなよ
α:V->V*, α=(φ_e*)^(-1) . p_e . φ_e
但し p_e∈K, φ_e: V->K; xe->x
p_e != 0なら同型
と言うところまでしか… >>979
ちょっと話ごちゃごちゃしますけど
β:V->V**, β=(φ_e**)^(-1) . p . φ_e
はeに依存しないですよね？ 齋藤正彦著『線型代数入門』のp.136に以下の記述があります。
「
実線形空間の線型変換 T の場合、任意の基底に関する T の行列を A とすれば、 A は実行列であり、実数 α が T の固有値であるということは、
実係数の斉次一次方程式 (α*E - A) * x = 0 が、自明でない実解を持つということである。第2章§2注意2（p.58）により、これは α が実特性根
であるということと同値である。証明終。
」
第2章§2注意2（p.58）とは、 A を実行列としたとき、 A * x = 0 の解は複素ベクトルにはならず、実ベクトルになるというものです。
上の齋藤さんの記述の「第2章§2注意2（p.58）により、これは α が実特性根であるということと同値である。」って必要ですか？
当たり前のことですよね？
第2章§2注意2（p.58）というのはなぜ書いたのかが分かりません。非常に自明なことです。
A * x = 0 の解は、 A の成分と四則演算のみを使って表わされるから自明なことです。 >>978
本当に気になっているのなら、残念だがここで質問しても回答を得ることはできないかもしれない
俺が正解を書くことはできると思うが、それが正解であると判定できる人がいない
学部くらいの知識、常識で「反論みたいなもの」をレスされて、混迷を極める(ひどい場合には正解が潰される)展開になりうることは容易に想像できる
博士以上のきちんと正解が示せる人はここまで来ていないし、よりレベルの高い場所で質問をしたほうが良いかもしれない >>973の真意
>>971,>>972を「基底を変えたら写像そのものが変わるだろ？」と言ってるように見えた
に1票 >>982
とりあえず書いていただけるとありがたいです そもそも線形写像f:V->v^*が存在する空間Vの特徴付けができそうだが >>983
違うの？
>>966で明確に「基底を変えれば違う写像になる」と書いてあるが別人が別の主張をしてるのか ああそうか
eに依存して定義したものが実は他のすべてのe'でも同じになるということ
君の最初の奴はそうならないわけ >>986
たとえば1次元空間Vとその双対V*の基底eとその双対基底e*でなら
f(xe)=xe*と定義した線形写像は「別の基底で同じ定義をしたら」別の線形写像になるということ k≠0で(ke)*=(1/k)e*だから(ke)**=((1/k)e*)*=k(e**)だから
V→V*とV→V**は本質的に異なるってだけ>>ID:9wLeWaLz >>990
それが「基底に依存する」ことに対する回答であるならば、学部生なら正解
ただ数学的には（エッセンスは含まれているが）不正解
博士以上の人なら分かると思うが、いなさそうだな M∈K^(n×n)を固定してVの基底eに対して
α_e=(φ_e*)^(-1) . M . φ_e : V->V* (MはM倍写像と同一視)
と定義したときに∀e,f:Vの基底(α_e=α_f)が成り立つことを
α:V->V*は基底に依存しない線形写像
の定義だと思って良いんですかね？ >>996
一応調べる中で出て来たのでこれは読みました
Samuel Eilenberg and Saunders MacLane. General theory of natural equivalences. Trans. Amer. Math.
Soc., 58:231?294, 1945.
どちらかと言うと圏論によって証明される事実と言うよりは圏論が始まる切っ掛けとして線形代数の中で知られていた事実という扱いみたいです このスレッドは１０００を超えました。
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