実数の連続性について

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/09(金) 14:23:03.18

アルキメデスの性質、
デデキント切断、
コーシー列などについて論ずる
ε-δ論法も歓迎

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 14:07:11.78

数学の独学は無理だよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 14:09:55.62

上の奴なんか典型的な悪い傾向に陥っている
何が重要かが分かってる人が指導していないから、

「簡単にわかるもの」「自分の腑に落ちるもの」「なんとなく数学っぽいもの」

に手を広げたがる。んで、具体例を念頭におかずに集合位相のつまらない議論にハマってしまう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 18:59:59.83

>>69
ありがとうございます。頑張ります。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 19:09:38.38

>>70
無理ではありません。可能です。現に当初の目的であった「実数の連続性」については解析入門1§3を読んてよく分かりました。今はその先に進んでいるところです(従って、もうおまけみたいなもんです)。集合と位相の入門書の内容を身につけられるように頑張ります。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 19:11:05.93

>>71
たかが数学で偉そうてすね。頑張って生きて行ってください。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 19:21:19.19

今までマイペースで楽しく進めて来ましたが、若干の観客(辛口)が生まれたようなのでやり方を少し変えます。

>>71の示唆に従って、演習しながら進めます。テキストを変えます。解けなかったら答えを写します。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 00:22:13.46

「はじめよう位相空間」を読む。所々に問が挟まれており、巻末に解答があるので確認しながら進められる。姉妹書として演習書があるので併用する。

コンパクト性と連結性の勉強をしたいのだが、全12章の11、12章に出てくる。本当はそこから始めたいが我慢して最初からやることにする。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 00:44:02.73

問の数は7、11、10、9、10、11
7、8、10、15、9、13で120問。これらには解答が付いているのでやる。章末問題はとばす。その後、演習書をやる。

もちろんメインは本文の解説部分と命題の証明。例題も入っているので進むのが遅くなりそう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 00:52:02.91

文句だけ言ってマウント取ってくる奴がいるけど、やり方の基本姿勢は今まで通りとします。
つまり、分からなかったらとばす。後で考える。一通りざっと進みたいのです。

ちなみに本を普通に読んでいれば「大事な所」は分かります。著者が強調するから。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 01:23:04.89

1 ユークリッド幾何学と
トポロジー

位相幾何学と位相空間。
1・1 合同変換。

問1
AQ=R(30)APより、
Q=R(30)AP+A。

問2
A∈L∧P∉Lとする。(P∈Lでもいい)
AH=(AP・L/|L|^2 )L
OQ=OP+2PH。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 10:03:10.32

>数学の独学は無理だよ
数学の独学は難しい、けどやり続ける人の応援は（気が付けば）する

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 10:32:57.13

一生、開集合の性質の言い換えやってそう(笑)

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 14:54:10.30

>>81
お前は何処で学習が止まってんの笑

「自分が数学出来ない」からって人も同じだと思わない方が良いよ。何か根本的な勘違いしてる。

数学出来ないくせに数学に思い入れの強い数学馬鹿が見ているのは何か面白いけど。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 15:01:29.93

取り敢えず今やってる教材で挫折することは無さそう。
別の理由でこのスレへの書き込みをやめることはあり得るけど。

あと、このような馬鹿の出現は充分予想できていたし、別にその事自体嫌ではない笑

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/11(金) 16:52:06.66

>一生、開集合の性質の言い換えやってそう(笑)
定義定式化の根本を見直すことが意外な発展につながったりして（笑）
多くの数学者に分析されつくされて残ってないと思うが、無いことも証明されてない

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/11(金) 22:07:01.33

五十歩百歩だよみんな、そんなに変わらない

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/11(金) 23:58:09.03

たかだか有限
せめて有界コンパクトなことしか
この世の存在は扱えまい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/12(土) 10:47:42.38

有限、有界は制限として大事なんだけど
全有界と完備、有限次元とは限らない距離空間での制限の基本は
コンパクト性よりもゆるい条件で結果を得ようとすると途端にぼやけたことしか得られない
有限次元かつ有界閉のありがたみ

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/13(日) 23:10:28.64

実数空間、有限次元ユークリッド空間、距離空間、位相空間
これらの各空間で、さまざまな概念、定義定理（の定式化）を比較整理しながら、
位相空間論や微積分（特に極限、収束）の問題を見返すと、関数解析につながる
道、関数空間の構造が見えたりする

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/19(月) 10:47:47.65

ところで、実数の連続性の分析は終わったの？
位相空間の基礎部分（距離空間というべきか？）で成立する諸概念と諸定理を
（有理数体から）実数体に適用したときのもろもろの論理展開のこと

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/29(木) 15:52:45.74

勉強すると公言して挫折防止するのって大抵挫折するね
人目を当てにする事自体が意思薄弱の証拠みたい

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 22:48:24.82

自分自身が数学に挫折してるんだろうな
そして他人を自分の尺度でしか測れないんだろうな(=他人も自分と同じように挫折すると思い込む)

でもいつか現れるかもと期待してこのスレを開いちゃうんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 23:11:00.84

ユークリッド幾何学は合同変換で不変な性質を研究する幾何学。
ピタゴラスの定理。
c^2=a^2+b^2。
相似変換。相似幾何学。

問3
(x-1)^2+(y-2)^2=2^2と変形出来るので、中心(1, 2)、半径2の円。
相似変換によって、
(s-2)^2+(t-4)^2=4^2に変わる。
x=s/2、y=t/2を元の式に代入する。中心(2, 4)、半径4の円。

注意1
写像、関数、変換という言葉
合成写像g・fは、fでうつしてからgでうつす。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 23:16:47.55

Surreal number とか Hyperreal number とかあるらしいがもう40年近く前興味を持って、イプシロン-デルタなんていらねえじゃん、けどなんかいいことあるのかと思って無視してる
feynman 経路積分の正当化とか, Nelson の確率量子化とかに関係あんのかねえ?

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 23:33:44.89

位相同型。定義は第5章でやる。
位相的な変形。切ったり貼ったりは出来ない。
A～～B。
位相的な性質。
穴の数。曲線で結べる。
トポロジー。位相幾何学。
ドーナツとコーヒーカップは位相同型である。

最大値・最小値の定理
中間値の定理
コンパクト性と連結性、位相的性質。

問4
位相同型な9個のグループ分け
CGIJLMNSUVWZ
EFTY
X
HK
DO
P
AR
Q
B

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/10(火) 00:25:04.12

注意2
トポロジーという言葉
等長変換。

補題11
証明法
背理法による。

補題12
証明
補題11より、あるとすればPは1個なので13、14よりf(P)=g(P)。Pは任意なのでf=g。証明終。

定理13
内容
平面上の等長変換は合同変換であり、それは平行移動、回転、鏡映及びそれらの合成に限られる。
向きが同じ場合は回転で、向きが逆なら鏡映である。

問5
内容
平面上の回転は2つの鏡映の合成として表せる。
ある軸に関して鏡映した後、別の軸に関して鏡映すると、ある回転になる。この表し方は一意的ではない。

問6
内容
平面上の等長変換は3つ以内の鏡映の合成として表せる。
証明
定理13において最初の平行移動を鏡映に換える事が出来る。
するとその後、逆向きならば合計2回の鏡映となり、同じ向きならば問5より2回の鏡映の合成として表されるから合計3回の鏡映である。証明終

問7
内容
一般に、2つの異なる鏡映の合成は変換の順序によってうつる先が異なる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/12(木) 02:01:34.16

2、ユークリッド空間とその図形

数直線・・・R
平面・・・R^2=R×R 直積集合

問1
A×B={1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b}
B×A={a1, b1, a2, b,2 a3, b3}
A^2A={11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}
B^3={aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb}

原点。距離。距離関数。

定義22
ユークリッド空間
集合ではなく空間になる。

問2
d=√(4+16+16+4)=2√10。

注意2
数学的空間は頭の中の模型である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/16(月) 23:30:43.74

図形とは何か。曖昧さをなくす。
定義23
閉区間、開区間、半開区間
直積集合I^2、I^3。
n次元閉球体B^n。
(n-1)次元球面S^(n-1)。

注意3
位相次元。

問3
B^4の切断面。
B^3またはB^0 :
x1^2+x2^2+x3^2=
0, 3/4, 1, 3/4, 0

注意4
アニュラス。位相同型。

問4
図示する問題。
正方形。
直線の下、円の外部
直線の上、円の内部。
直線の下、放物線の上。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/25(水) 23:54:30.71

例28
アニュラスとメビウスの帯
例29 トーラス
問5 トーラスの方程式を図示する問題。
問6 対角線で折る。外枠を糊付けする。膨らまして球面に出来る。
クラインの壺。射影平面。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/26(木) 00:30:16.35

位相同型なグラフ。

問7 可能。不可能。偶点と奇点。奇点の数が0または2。

例211 カントル集合は非可算集合
問8 1/4は三進法で、
0.020202...と無限に循環する。これはカントル集合の元であることを示す。1/4, 1/36, 1/324,
カントル集合の作り方と証明。濃度。

例212 シャルピンスキーのカーペット。作り方。自己相似な図形。フラクタル幾何学。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/26(木) 01:19:05.70

和集合、差集合、共通部分
交わる。交わらない。

集合族、集合系。部分集合族
和集合と共通部分の定義。

問9 第一象限と第二第三象限
第二象限と第三象限。

問10
ある整数xが存在して、全ての整数yに対してx=0となる。真。
全ての整数xに対して、ある整数yが存在してyy-xとなる。真。

問11 ドモルガンの法則の証明。有限集合の場合は直感的に把握できる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 19:03:43.76

完備性?

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/02(木) 03:06:55.93

図形の変形と写像
問1 ((1−y)cos2πx, (1−y)sin2πx, y)
円錐面。E1は底面の周。E2とE4は貼り合わせた母線。E3は頂点。

問2 折れ線の式。螺旋運動の式。
ホモトピーには触れない。

定義39 制限または制限写像
像と逆像

問3 b。bc。bc。24。Ø。24。

定義314 全射。上への写像onto。始域。終域。定義域。値域。単射。一対一写像one-to-one,。全単射。

一対一の写像は単射、
一対一の対応は全単射、
を意味する。違うので注意が必要である。
中への写像into。これは全射でないという意味。単射の場合も単射でない場合もある。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/02(木) 03:42:58.42

補題319 全射と全射の合成、単射と単射の合成、全単射と全単射の合成はそれぞれ全射、単射、全単射になる。

問4 [0, 4]。[-1, 0]∪[2, 3]。
0<a≦1の時、[3, -a^2+2a+3]
1≦a≦2の時、[3, 4]
2≦aの時、[-a^2+2a+3, 4]
0<b≦4の時、[-1, 1-√(4-b)]
∪[1+√(4-b), 3]
b=4の時、[-1, 3]
a^2-2a+(b-3)=0。
a=1±√(4-b)。

問5 単射。(0, +∞)
全射。R。
全単射。R。
どちらでもない。[-1, +1]

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/02(木) 04:36:32.39

問6 [1, 2) [0, 2) [2, 8) [0, 1]
(-∞, 1]。(-1, 0)∪(0, 1] (-1, 0]
∪(2n, 2n+1)。
逆写像は全単射に対してのみ。逆像は任意の写像に対して定義される。

定義320 逆写像は全単射に対してのみ定義される。恒等写像id。

定理323 逆写像の証明。
全射性と単射性を示す。
∀y∈Yに対して
y=ey=fgy=f(gy)∈f(X)。
∴全射であることが示された。
∀a, b∈Xに対してf(a)=f(b)とする。∴ gf(a)=gf(b)。
a=ea=gf(a)=gf(b)=eb=b。
∴単射である。
∀x∈Xに対して、gf(x)=ex=xより、g=f^(-1)。

定値写像。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/02(木) 05:58:54.06

点列。
問7 2(π/8)。(1/√2, 1/√2)。
(2/3)(3π/8)。(1/2)(0, 1)。
(2/5)(5π/8)。極限点。

問8。2/n<εより、n>nε≧2/ε=6666.66666...。nはn≧6667の任意の整数を取れるので無限個あり、無限集合である。

問9 (1,1) (1/2, 0) (1/3, -1/3)
(1/4, 0) (1/5, 1/5) |pn|≦√2/n
∀ε>0、∃nε∈N、n>nε⇒|√2/n-0|<√2/nε≦ε。nε≧√2/εとなるように取ればよい。

問10
n∉Dの時、an=1/n
n∈Dの時、an=1。
∀ε>0、∃nε、n>nε⇒|1/n-0|≦εが成り立つかどうか調べる。

成り立つならば|1/n-0|≦1/nε≦ε
ε=1/10^nとして、nε=10^nとしてもan=1となるnが存在する。しかも無限個存在する。従って収束しない。または、
n∉Dの時、an→0
n∈Dの時、an→1
となり、集積点が2個存在するので収束しない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/16(木) 07:16:02.31

図形を破らない変形と連続写像
問題A 図形が破れない変形を表す写像について
定義41 ε近傍
問1 UIxε=3/2, √5。
UExε=3/2, 5/2。UZxε=2
写像の連続性。連続写像。
例題46

問2 (1/2+1/(m+1, 1/2))
問3 x=1、ε=1/2の時、√2/2, √6/2より√6/2-1。
問4 点列xn=1/nとする。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/16(木) 10:20:07.83

問5
x+yは連続。
xyは連続。技巧的な証明になる。

問6
球の内側半分の部分を固定して外側半分を回転させる写像。不連続。
リプシッツ写像。リプシッツ定数。縮小写像。

問7
fが連続写像であることの証明。
恒等写像はリプシッツ定数1のリプシッツ写像。定値写像はリプシッツ定数0のリプシッツ写像。
射影。射影はリプシッツ定数が1のリプシッツ写像。
問8
リプシッツ定数=|a|のリプシッツ写像。
リプシッツ写像ではない。
リプシッツ定数=1のリプシッツ写像。
問9
リプシッツ定数=2πのリプシッツ写像。
リプシッツ定数=1のリプシッツ写像。

連続性の表現(A)(B)(C)。
一度切ってから中を通してその後にくっつける写像はリプシッツ定数=1のリプシッツ写像であることに注意。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/26(日) 05:23:25.85

位相同型写像と色々な距離
定義51
位相同型写像。同相写像。
全単射かつ連続かつ逆写像が連続。XとYは位相同型である。同相である。
例53
位相同型な図形の例。

問1
y=(a-b)x/(c-d)+(bc-ad)/(c-d)
問2
f : J→J'は位相同型写像(全単射かつ連続かつ逆写像も連続)であるからJとJ'は位相同型である。
問3
f(x)=2^x、3^x。
補題
連続写像の合成は連続写像であることの証明。
同値関係であることの証明。
クラス。同値類。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/26(日) 13:04:49.85

n次元開球体。多項式関数。
有理関数。評価写像。
問4
有理関数の連続性、定値写像、恒等写像を使う。
問5
2xy, x^2+y^2。射影写像を使う。
sin(x^2-3y)π。sinxは連続関数である。
三角不等式の証明はシュワルツの不等式の証明に帰着。シュワルツの不等式の証明は相加相乗の不等式の証明に帰着。
ユークリッドの距離関数。
R^nにユークリッドの距離関数を定めるとE^nとなる。
色々な距離関数。
問6
10-23, 231-1
√35、11、4。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 09:46:35.47

問7
ピタゴラス数となる円周上の5点が取れる。
問8
距離関数に代入する。三角不等式を使う。
問9
d∞の方に注意する
問10
六角形。八角形。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 06:00:50.46

距離空間。距離関数。
定義
距離関数。
問1
距離関数の定義の確認。
距離関数ではない。
距離関数である。
問2
距離関数ではない。反例を考える。

定義
距離空間。距離関数。点。距離。
ユークリッド空間は距離空間である。集合としては同じでも別の距離関数が定義されていれば別の距離空間である。
部分距離空間または部分空間の定義。逆に関する議論。
以後における約束。図形→部分空間と呼ぶ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 06:33:15.64

例
S^2上に距離関数を定義すると距離空間になる。これはEの部分空間ではない。
測地線。
バスの運賃と距離。

問3
三角不等式が成り立たないので距離関数ではない。
例
離散距離関数。離散距離空間。
問4
距離関数の3条件の確認。
問5
X-{p0}。

補題
単射による距離空間。
誘導された距離関数。

例
行列の集合を距離空間と見なす。
問6
3√2
問7
角度を距離関数と見なす。
例
積分を距離関数と見なす。
連続性。
例
連続関数の集合を気と見なす。すなわち距離関数を定義する。

問8
距離空間であることの証明。3つの条件を満たすことを確かめる。
問9
積分する。
問10
積分と不等式。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 06:47:49.17

定義
極限点。収束の定義。
例
点列の収束。
問11
εδ論法による収束の練習。
約束
収束の意味。
補題
点列の収束と実数列の収束。必要十分条件。

例題
距離空間の中の点列の収束。
例題
関数列の収束。一様収束。
関数列の収束→点列の収束→実数列の収束。全部同じ。
例題
距離空間が違っても同じ値に収束する場合もある。

集合に距離関数が定義されて距離空間にならないと「収束」の意味は無い。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/22(金) 00:03:35.19

距離空間の間の連続写像と位相同型写像
定義 ε近傍。どの空間におけるどの点の近傍か。U(Xdxε)
問1 {x}。X。正方形。

連続性の表現。点列。εδ論法。
補題。
連続の定義と連続写像の定義
等距離写像。等長変換。合同変換。
問2
単射であることの証明。
例
リプシッツ写像とリプシッツ連続。リプシッツ定数。縮小写像。

問3
リプシッツ写像であること。
問4
合成写像の連続性。
A、B、Cのどれかに帰着させる。
問5
恒等写像。離散距離関数。連続でない。
リプシッツ写像なので連続である

問6
f : x→x (x∈Q)、x→0 (x∈R-Q)
g : 0→1、x→0 (x≠0)

問7
実数値連続関数fについて
∃x、f(x)>a⇒∀y、f(y)>a。
全単射、fと逆写像f^(-1)が連続である時、fを位相同型写像または同相写像という。この時、XとYは位相同型である。X~Y。
位相的に同値な距離関数。
別の距離空間を考えると、収束、発散が異なることがある。

例題。Q~Zではないことの証明。
注意。距離空間は常に位相空間である。

射影。制限写像。

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/04(木) 00:50:19.98

距離空間の開集合と閉集合
定義
境界点。境界。内部の点。
外部の点。
問1
{0, 1}。E1。Z。Ø。Øり
問2
{1}。{0, 1}。{1, 2}。
問3
(1, 0)、(1, π/2)。
{1, θ}。[0, π/2]。

定義開集合と閉集合。
注意2 常に開集合、閉集合。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/01(火) 11:25:09.97

距離空間の開集合系

連続写像の同値命題
部分集合が開集合であるかどうかに関して変えない写像のこと。

問1
∀x∈Xに対して
x∈f'(Y-F)、f(x)∈Y-F、
f(x)∉F、x∉f'(F)、x∈Y-f'(F)

問2
Uは開区間であるがf'(U)は開区間てはない。同様にFは閉区間であるがf'(F)は閉区間ではない。。

問3
∀開集合U∈E1。
0、1がUに含まれるかどうかで場合分けして調べるとf'(U)は開集合になる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/01(火) 23:10:35.74

位相空間
共通部分、和集合、開集合の基本3性質
離散位相、閉集合、
x-x=O∈x、X-O=x∈x
閉集合の無限個の和集合として開集合を表せる。
連続写像の定義
逆像

合成写像の連続性、
位相同型写像、同相写像
全単射、部分空間、近傍、
距離空間→距離空間
位相空間→位相空間
位相空間→距離空間
の同型写像。

距離化可能空間、ハウスドルフ空間、T2空間、

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 10:02:24.56

コンパクト性、被覆、
任意の有限開被覆、
位相同型写像、全単射連続写像
逆写像の連続性、

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 19:29:00.67

最小上界=上限
supA, infA
アルキメデス的順序体、完備順序体、実数の連続性、実数の完備性

連結性と中間値の定理
連結空間、非連結

101。0~9。
位相同型
0 1 2~3~5~7, 4, 69, 8
0469, 12357, 8

102。0~99。
26組。6+5+5+4+3+2+1=26
9組。3+3+2+1=9

103
輪っかを外す。
104
2つの輪っかの交差の1つを外す。
105
位相的に変形した図形
鉄道路線図

106
f=g○h○g^(-1)
y=R(θ)(x-a)+a
(a+(x-a)cosθ-(y-b)sinθ,
b+(x-a)sin+(y-b)cosθ)

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/18(水) 03:43:10.72

隣は必ず有るけど、定義できない

それだけのこと