ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス （[ɡaʊs]; ドイツ語: Johann Carl Friedrich Gauß ラテン語: Carolus Fridericus Gauss、 1777年4月30日 - 1855年2月23日）は、 ドイツの数学者、天文学者、物理学者である。 彼の研究は広範囲に及んでおり、 特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。 数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、 彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。 19世紀最大の数学者の一人であり、 18世紀のレオンハルト・オイラーと並んで 数学界の二大巨人の一人と呼ばれることもある。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
In algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space (typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism classes of algebraic curves. It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding moduli problem and the moduli space is different. One also distinguishes between fine and coarse moduli spaces for the same moduli problem.
代数幾何学では、（代数的）曲線のモジュライ空間は、 点が代数的曲線の同型クラスを表す幾何学的空間 （典型的にはスキームや代数的スタック）である。 したがって、これはモジュライ空間の特殊なケースである。 考慮される代数的曲線のクラスに適用される制限に応じて、 対応するモジュライ問題とモジュライ空間は異なる。 また、同じモジュライ問題でも細かいモジュライ空間と 粗いモジュライ空間を区別することができる。 0250１３２人目の素数さん垢版2020/10/30(金) 20:46:31.56ID:iuPqYV+w The most basic problem is that of moduli of smooth complete curves of a fixed genus. Over the field of complex numbers these correspond precisely to compact Riemann surfaces of the given genus, for which Bernhard Riemann proved the first results about moduli spaces, in particular their dimensions ("number of parameters on which the complex structure depends").
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus ｇ>= 2. The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
リーマン曲面とそれに関連するフックス群のためのモジュライ空間は、種数g>=2の曲面上の複雑な構造の変化を記述するために6g-6のパラメータが必要であることを知っていたBernhard Riemann (1826-1866)の仕事以来、研究されてきた。 19世紀後半から20世紀初頭にかけてのタイヒミュラー空間の初期の研究は、幾何学的なものであり、リーマン曲面を双曲面として解釈することに基づいていた。 主な貢献者には、フェリックス・クライン、アンリ・ポアンカレ、ポール・コーベ、ヤコブ・ニールセン、ロベルト・フリック、ヴェルナー・フェンチェルなどがいる。 0252１３２人目の素数さん垢版2020/10/31(土) 09:03:57.66ID:CLm9DCft The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).
タイヒミュラーのモジュライ研究への主な貢献は、擬等角写像の導入であった。 これにより、それまでの初歩的な研究にはなかった付加的な特徴を与え、モジュライ空間の研究に深みを与えることができるようになった。 第二次世界大戦後、主題はこの分析的な流れの中で、特にLars AhlforsとLipman Bersによってさらに発展した。 この理論は現在も活発に活動しており、タイヒミュラー空間の複素構造（Bersによって導入された）の研究が数多く行われている。 0253１３２人目の素数さん垢版2020/10/31(土) 09:09:03.74ID:CLm9DCft The geometric vein in the study of Teichmüller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmüller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
The mapping class groups of surfaces have been heavily studied, and are sometimes called Teichmüller modular groups (note the special case of MCG(T^2) above), since they act on Teichmüller space and the quotient is the moduli space of Riemann surfaces homeomorphic to the surface. These groups exhibit features similar both to hyperbolic groups and to higher rank linear groups. They have many applications in Thurston's theory of geometric three-manifolds (for example, to surface bundles). The elements of this group have also been studied by themselves: an important result is the Nielsen–Thurston classification theorem, and a generating family for the group is given by Dehn twists which are in a sense the "simplest" mapping classes. Every finite group is a subgroup of the mapping class group of a closed, orientable surface, in fact one can realize any finite group as the group of isometries of some compact Riemann surface (which immediately implies that it injects in the mapping class group of the underlying topological surface).
