探検
平方根について
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
おパンツ分解
体積がこの立方体の2倍となる立方体を作りたい
この問題って昔は難問だっただろうな
○の2乗は△だからこれより大きくて…
って調べていくしかないの？
開平法ってのがあって、筆算でもソロバンでもそれで何桁でも計算できる。
２進法＝コンピュータなら、割り算と同程度の速度で計算できる。
世の中にはこんなの考える天才がいたんだなあ
そしてhenselの補題
ところがぎっちょんなんと、コンピュータでも昔ながらの開平法（２進法ならまさに、大きい小さいの原始的２分法）
の方が超高速なんだよ。
２進法なら、２倍がビットシフトで実現できるし、１倍は「何もしないこと」と同値だ。
ビットシフトして１を加え、開平する数と差をとり、結果が負だったらその１を戻し差は放棄、大きかったら差を保持して繰り返し…
これだけでルートの計算ができるから、はっきり言って複数の掛け算が必須なニュートン法より遥かに高速だ。
実質割り算１回程度の速度でできる。
細部のデータの扱いが必須だから、アセンブラのみだろうな。
自分は数学の知識自体あやふやだがｗ
答えはプラスマイナスルート６
平方根とルートの違いがわかっているかを問う問題であり、コメント欄にはプラスマイナスルート６iを含めるなど数学的な誤答も多かった。
しかしなぜかそれよりも、問題自体を理解しながら単に気に入らない問題だからという理由で出題ミス認定するクレーマーが多かったのだ。
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
2 = (10/8)(10/8)(128/100)
= 1.25・1.25・1.28
= {(1.25+1.25+1.28)/3}^3
= 1.26^3,
∴ 2^{1/3} = 1.26
できた。
= 1.25・1.25・1.28
= {(1.25+1.25+1.28)/3}^3
= 1.26^3
2^{1/3} = 1.26
2 = (7/5)(10/7)
= {(7/5 + 10/7)/2}^2
= (99/70)^2,
√2 = 99/70 = 1.4142857
= {(45/26 + 26/15)/2}^2
= (1351/780)^2,
√3 = 1351/780 = 1.73205128
5 = (360/161)(161/72)
= {(360/161 + 161/72)/2}^2
= (51841/23184)^2,
√5 = 51841/23184 = 2.236068
7 = (119/45)(45/17)
= {(119/45 + 45/17)/2}^2
= (2024/765)^2
√7 = 2024/765 = 2.64575163
√10 = 1423/450 = 3.16222222
= {(10/7 + 7/5)/2}^2 - {(10/7 - 7/5)/2}^2
= (99/70)^2 - (1/70)^2,
3 = (45/26)(26/15)
= {(45/26 + 26/15)/2}^2 - {(26/15 - 45/26)/2}^2
= (1351/780)^2 - (1/780)^2,
5 = (85/38)(38/17)
= {(85/38 + 38/17)/2}^2 - {(85/38 - 38/17)/2}^2
= (2889/1292)^2 - (1/1292)^2,
√5 = 2889/1292 = 2.2360681
7 = (119/45)(45/17)
= {(119/45 + 45/17)/2}^2 - {(45/17 - 119/45)/2}^2
= (2024/765)^2 - (1/765)^2,
10 = (60/19)(19/6)
= {(60/19 + 19/6)/2}^2 - {(19/6 - 60/19)/2}^2
= (721/228)^2 - (1/228)^2,
√10 = 721/228 = 3.1622807
11 = (33/10)(10/3)
= {(33/10 + 10/3)/2}^2 - {(10/3 - 33/10)/2}^2
= (199/60)^2 - (1/60)^2,
√11 = 199/60 = 3.316667
13 = (65/18)(18/5)
= {(65/18 + 18/5)/2}^2 - {(65/18 - 18/5)/2}^2
= (649/180)^2 + (1/180)^2,
√13 = 649/180 = 3.6055555
= {(136/33 + 33/8)/2}^2 - {(33/8 - 136/33)/2}^2
= (2177/528)^2 - (1/528)^2,
√17 = 2177/528 = 4.1231061
19 = (57/13)(13/3)
= {(57/13 + 13/3)/2}^2 - {(57/13 - 13/3)/2}^2
= (170/39)^2 + (1/39)^2,
√19 = 170/39 = 4.358974
23 = (115/24)(24/5)
= {(115/24 + 24/5)/2}^2 - {(24/5 - 115/24)/2}^2
= (1151/240)^2 - (1/240)^2,
√23 = 1151/240 = 4.7958333
29 = (377/70)(70/13)
= {(377/70 + 70/13)/2}^2 - {(377/70 - 70/13)/2}^2
= (99^2/1820)^2 - (1/1820)^2,
√29 = (99^2)/1820 = 5.385164835
= (19/7)^3 + (1/7)^3,
20^{1/3} = 19/7 = 2.714285
20 (7/19)^3 = 1 + (1/19)^3
1 = 20 (7/19)^3 - (1/19)^3,
50 = (70/19)^3 - 50 (1/19)^3,
50^{1/3} = 70/19 = 3.68421
= (21/5 + 25/6)^2 - (21/5 - 25/6)^2
= (251/30)^2 - (1/30)^2,
√70 = 251/30 = 8.36667
ただし φ = (1+√5)/2 = 1.618034
= {11 + (15/2)(11/10)^4 + (20/11)^4} /19,
2 = (140/99)(99/70)
= {(140/99 + 99/70)/2}^2 - {(99/70 - 140/99)/2}^2
= (19601/13860)^2 - (1/13860)^2,
√2 = 19601/13860 = (1/99)(140 + 1/140),
の根 √m をニュートン法で求める。
x=a。から始め、
a_{k+1} = a_k - f(a_k)/f '(a_k) = (1/2)(a_k + m/a_k),
に従って進む。
a_k = (√m) coth((2^k)θ),
ただし cothθ = a｡/(√m),
これを繰り返すと √m に収束する。
の根 √m をニュートン法で求める。この場合は
f "(√m) = 0
x=a。から始め、
a_{k+1} = a_k - f(a_k)/f '(a_k) = (a_k){(a_k)^2 + 3m}/{3(a_k)^2 + m},
に従って進む。
a_k = (√m) coth((3^k)θ),
ただし cothθ = a｡/(√m),
{a_k, m/a_k, m/a_k, m/a_k} の相加平均を {a_k + 3･m/a_k}/4 = b_k,
{a_k, b_k, b_k} の調和平均が a_{k+1}
a_{k+1} - √m = (a_k - √m)^2 / (2a_k),
二乗収束
>>33
a_{k+1} - √m = (a_k - √m)^3 / {3(a_k)^2 + m},
三乗収束
いわゆる「ペル方程式」もある。
x^2 - m y^2 = 0, x>0, y≧0
をみたす自然数 (x,y) がじゅうぶん大きければ x/y ≒ √m
〔グラーマグプタの恒等式〕
(a^2 - mb^2)(x^2 - my^2) = (ax±mby)^2 - m(bx±ay)^2
a>0, (a,b) ≠ (1,0) のとき
x_n = a x_{n-1} + mb y_{n-1},
y_n = b x_{n-1} + a y_{n-1},
まとめて書くと
x_n ± y_n = (a ± b√m) (x_{n-1) ± y_{n-1}√m)
= ････
= (a ± b√m)^n
山崎圭次郎：「ペル方程式」
数セミ増刊「数学・物理 100の方程式」 日本評論社 (1989) p.16-17
数セミ増刊「数学 100の定理」 日本評論社 (1983) p.170 囲み記事
b = 3√3 - 5,
c = 3√2 - 4,
とおくと
3a + 4b - 5c = 0,
∴ a^2 + b^2 - c^2 = (-2a -b +2c)^2 + (c-a)(3a+4b-5c)
= (-2a -b +2c)^2
= (-3 -4√2 +5√3)^2
= {2/(147 + 104√2 + 85√3 + 60√6)}^2
≒ (1/294)^2,
∴ a：b：c ≒ 3：4：5,
3 + 4√2 ≒ 5√3,
(3/5)√(1/3) + (4/5)√(2/3) ≒ 1,
φ = (1+√5)/2 = 1.618034
e = 4√3 + 5√2 = 13.99927
とおくと
dd + ee = (5^2+4^2)(3+2) = 41･5 = 205,
√2 ＝(-4d+5e)/41,
√3 = (5d+4e)/41,
ここで d≒3, e≒14 とすれば
√2 ≒ 58/41 = 1.41463
√3 ≒ 71/41 = 1.73171
d = -4√2 + 5√3 = 3.003399788
より
dd - aa = (5^2-4^2)(3-2) = 9,
√2 = (5a+4d)/9,
√3 = (4a+5d)/9,
ここで a ≒ 1/7, d≒3 とすれば
√2 ≒ 89/63 = 1.41270
√3 ≒ 109/63 = 1.73016
(a, b, -c) = (1, √2, √3) × (3, 4, 5)
とおいた。
(a, b, -c) // (3 ,4, -5) ⊥ (3, 4, 5) // (a, b, c)
∴ a^2 + b^2 - c^2 ≒ 0
√6 = 5(1/2 - 1/99) = 485/198,
a = 5√2 - 4√3 = 1/7,
aa = 50 + 48 - 40√6 = 1/49,
√6 = (49 + 49 - 1/49) /40
= 4801/1960,
4√3 = (1/14)√(97^2 - 1) ≒ (1/14){97 - 1/(2･97)},
辺々引いて
a = 5√2 - 4√3
= 1/7 + 1/(14･99･97)
= 1/7 + 0.00000744
5√2 = √(7^2 + 1) ≒ 7 + 1/14,
4√3 = √(7^2 - 1) ≒ 7 - 1/14,
辺々引いて
a = 5√2 - 4√3 ≒ 1/7,
次に >>42
√(nn+1) - √(nn-1) = 1/n + 1/(8n^5) + 7/(128n^9) + …
a = 1/7 + 1/(14･99･97),
b = 3√3 - 5 = √(5^2 + 2) - 5 ≒ 1/5 - 1/(2･5^3),
b = 3√3 - 5 = (1/5)√(26^2 - 1) - 5 = 1/5 - 1/(2･5･26),
c = 3√2 - 4 = √(4^2 + 2) - 4 ≒ 1/4 - 1/(2･4^3),
c = 3√2 - 4 = (1/4)√(17^2 - 1) - 4 = 1/4 - 1/(2･4･17),
∴ a ： b ： c = 20/7 ： 4 ： 5,
(3 + √11)(√5 + √7) = 30.8366 < π^3,
π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3) - (√7)/2]^{1/6}
= 3.141587
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニュース
- 政府、コロナワクチン啓発に「YouTuber起用動画9本・3200万円支出」認める「接種の重要性など、正しい情報を知っていただくために」 ★2 [Hitzeschleier★]
- 「ドンドンショボくなる」大阪万博にまたまた“ガッカリ”報道、軟弱地盤のため「乗り物型」展示ゼロ [バイト歴50年★]
- 『平和堂』公式X、いなり寿司誤認逮捕事件「いなりずしを渡した知人もダメ」投稿2件に「いいね」 「誤った操作」と陳謝 [Hitzeschleier★]
- 他候補者に「おい売国奴」拡声器で罵声、「凸」と称して迷惑行為も…東京15区補選で何が起きているのか [バイト歴50年★]
- 【鉄道】女性「電車で隣に座ってくる男キモい」SNS“炎上”…男女で《賛否》真っ二つ、それぞれの言い分とは ★3 [ぐれ★]
- 【文春】「相合い傘で自宅マンションへ…」内田理央と人気YouTuberヒカルの寿司デート＆お泊まり愛“スクープ撮 [Ailuropoda melanoleuca★]
- 【悲報】日本のテレビアニメが北朝鮮製だった問題、思ったよりもヤバそう [455830913]
- スクリプとに負けないお🏡!
- 貴様とかいう一見侮辱っぽい敬語
- 金バエさん、最終フェーズに突入。腹水ではなく胸水が溜まり始める [834922174]
- 長谷川亮太 ちばけんま 唐澤貴洋 無能弁護士
- うちの妹がどんな小さな事も全力で取り組む子なんやが