全ての命題が真かもしれないという事実

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/30(木) 23:11:06.64

どう思う？
ゲーデルの不完全性定理によって数学の無矛盾性は証明できない
よって「全ての命題が真」が"数学の答え"だということを否定できない

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/30(木) 23:13:38.13

数学者は「あの命題は真」「この命題は偽」とか言ってるけど、本当は全部真かもしれない
1=2だって真かもしれない
無矛盾性を証明できないんだから

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/30(木) 23:20:24.09

もしも1=2を証明できる可能性があるのに1=2じゃないと言い張るなら
数学の証明は全部が正しいわけじゃないと認めることになる
絶対だと思われてきた数学的証明の信頼が崩れるわけだ

どう思う？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/30(木) 23:33:47.79

中学生かよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/30(木) 23:39:07.88

望月新一がABC予想を証明したと言い張ってるけど
「でもABC予想が偽の可能性は否定できないですよね？数学の無矛盾性は証明できないんですから」
って言ったらどうなるんだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/30(木) 23:43:28.85

"数学の危機"は去っていない！

目覚めよ！！

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 03:35:52.86

「無矛盾性を証明できない」ってつまりどういうことなんだろ？
ずばり矛盾が生じるかもしれないってこと？
だとすると一旦証明された命題の否定命題が証明されてしまう可能性もあるってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 06:31:53.47

だから何？としか。
現在主に使われている議論の元になっている公理系から矛盾が出たら、それから対処すればよい。
どのような公理や推論規則が矛盾の原因となるか調べて、別な公理系を設定し、その上でもう一度現在の証明や主張が成り立つか検討しなおす。

もちろん、別な良い公理系がみつからない可能性もあって、そのときは危機って言えるかもしれないが。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 07:16:19.05

>>7
無矛盾性を完全に正確に命題として表現することはできない　という意味

つまり、無矛盾性を表したつもりの命題が偽で
しかも無矛盾性を有する理論が存在してしまう

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 11:24:00.18

>>7
そう
数学者が何を証明しようと意味がない

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 11:25:50.35

>>8
それはつまり「私の証明は間違ってるかもしれません」ってことだろ？
「間違いが指摘されたら直せばいいんです」って態度
数学ってそんな不確かな学問なの？数学的証明は揺るぎないものなんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 11:27:43.37

間違ってることが後で判明して修正しなくちゃいけないようなものを証明と呼ぶのか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 12:19:11.74

数学は数学者が信じてるほど大したものではない
物理とかと同じで"間違ってるかもしれない"もの

いいのか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 12:39:02.81

公理系というルールを作ってその中で理屈をこねて遊ぶゲームだろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 12:42:53.46

>>14
だとすると矛盾があったら
「このゲームの答えは『全ての命題が真』でした！おつかれ！」
ってなるんだけどそんなクソゲー誰がプレイすんの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 12:56:38.07

>>11
> 数学ってそんな不確かな学問なの？
その程度の確かさってだけのこと。で、それがどうかしたの？

>数学的証明は揺るぎないものなんじゃないの？
どこの妄想ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 12:58:54.99

>>15
> >>14
> だとすると矛盾があったら
> 「このゲームの答えは『全ての命題が真』でした！おつかれ！」
> ってなるんだけどそんなクソゲー誰がプレイすんの？
オマエはプレーしなければ良い。

そんなにいやだったら数学がかかわったもの全て利用しなければ良いでしょ。
数とか捨てて原始の生活を始めたらいかが？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:04:48.49

>>16
じゃあ数学者って"なにもしてない"よな
「この命題がたぶん証明できたと思うんですけど間違ってるかもしれないです」
いや、「真または偽」なんて言われなくてもわかるからｗ排中律ｗｗｗ

物理学なら検証可能性とか実用性があるけど
数学は現実と関係ない上に正しいことも言えないって存在価値ないよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:15:27.38

>>18
>「この命題がたぶん証明できたと思うんですけど間違ってるかもしれないです」
オマエが数学やったらそうなるだけでしょ。

> 物理学なら検証可能性とか実用性があるけど
オマエの物理学とやらに数学の結果を、過去も未来も全く利用しないことを確認してから言えば。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:28:54.42

>>17
「数学がかかわったものを使わないと原始の生活になる」と思ってるみたいだけどお前の定義だとそうはならんよ

お前の言うように数学が公理系というゲームを作って遊ぶゲームだとすると
そもそもその公理はどこから来たって話
科学の真似でしょ？

科学者が現実の物体を数えたり土地を計量したりして発見した法則を
数学者が真似して公理にしてゲームで遊んでるだけ

科学が先、数学が後
だから数学はなくなっても困らない
科学が無くなるわけじゃないから

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:31:37.30

>>19
>オマエが数学やったらそうなるだけでしょ。
自分が20分前に書いた文章くらい覚えとけよｗ
お前の主張だと数学は不確かなんだろ？

16１３２人目の素数さん2020/07/31(金) 12:56:38.07ID:dm4qkRLZ
>>11
> 数学ってそんな不確かな学問なの？
その程度の確かさってだけのこと。で、それがどうかしたの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:38:13.31

>>20
> だから数学はなくなっても困らない
> 科学が無くなるわけじゃないから
自分に都合の良いように名前をつけて批判するパターンですか。

まあ、数学とか物理とかいっているあたりでそんな気はしたけどね。

ようするに気に食わないものに名前を付けて批判したいだけってことですね。

オマエの言うような科学と数学を、歴史上も含めてどこでどう区別するのか明確になったら他の人も興味もつかもね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:40:09.21

だいたい、矛盾があるかもしれない時点で現実問題に役に立たないよね
数学者に仕事を任せたら「1=0が証明できました！だから1億円と0円は同じです！」とか言い出すかもしれないってことでしょ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:42:10.68

>>21
> その程度の確かさってだけのこと。で、それがどうかしたの？
公理系がくずれたらやり直しが必要、その程度の確かさ。
だからなんだ？

公理系がくずれるなんて、少なくとも自分が生きているうちには発生しないていどに珍しい現象だとは思っているよ。
その程度の確かさ。

自分は、別にあやふやで不安定なものと思っているわけではない。
他人には他人の感覚があるだろうが。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:43:25.22

>>23
> だいたい、矛盾があるかもしれない時点で現実問題に役に立たないよね
> 数学者に仕事を任せたら「1=0が証明できました！だから1億円と0円は同じです！」とか言い出すかもしれないってことでしょ？
はいはい。オマエの考える数学者はそうだってことだね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 13:44:00.48

>>22
はい反論を諦め負け犬の遠吠え
こうなったら終わり

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 14:04:28.93

>>24
>公理系がくずれたらやり直しが必要、その程度の確かさ。
>だからなんだ？

その話は>>18で終わった
数学者が「命題Pを証明しました」って言っても￢Pが真である可能性を排除できない上に
嫌なことがあったら公理系を作り直して主張がコロコロ変わるんじゃ相手する価値ないよね

そんなの無視して科学者が実験と観測で真偽を決めればいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 17:31:36.39

間違ってるかもしれないと言うなら科学の方がそうじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 18:41:33.14

>>28
科学は実験で確かめられた範囲では再現性がある
数学は「命題Pを証明しました」と言われてもPを信じていいか分からない

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 19:09:29.36

普通はいくつか値を入れてみたりグラフを描いたりしてだいたい正しそうな感覚が得られるもんだけどね

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/31(金) 21:50:45.22

基礎論は初心者レベルなので見当はずれかもしれないが
もし矛盾が見つかったら、いまある公理系を検討して
矛盾が出ないように作り直すんじゃないの
(演繹規則とかまで検討し直しとなるとなかなか骨が折れそうだが)
その点、ニュートン力学を相対論に置き換えるとかと似た作業な気がするんだが
(まあ数学の場合、ここは近似です、では済まされない事情があるが)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 03:34:16.61

>>29
それは科学も一緒やん
再現性がありますと言われてもそれを信じていいか分からない
「確かめた」のが本当かどうか「証明」できないし

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 05:42:41.81

従来、科学とは違って数学の定理は普遍だと考えられてたけど
数学の定理も科学と同じで「証明しても間違ってるかもしれない」ってことでオーケー？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 07:04:16.65

数学といっても広いし、個々の分野では、矛盾がない理論体系だってある。
ユークリッド幾何の公理系は無矛盾であることが知られているから、ユークリッド幾何の定理は全て真。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 08:36:18.36

「かもしれないという事実」に、数学的な意味はあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 11:45:26.35

>>34
非ユークリッド幾何の公理系も無矛盾であることが知られているから、
非ユークリッド幾何の定理も全て真。

・・・ということでいいんですね？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 11:53:48.83

>>34
それはよくある誤解で、数学の一部の無矛盾性を証明しても他の部分が矛盾するかもしれないから意味がない

ユークリッド幾何以外の部分に矛盾があればユークリッド幾何の命題は全部真になるでしょ
ユークリッド幾何の無矛盾性を証明する体系にだって矛盾があるかもしれない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 11:55:10.10

>>35
「矛盾してるかもしれない」=「無矛盾性が証明できない」

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 11:55:10.16

>>35
「矛盾してるかもしれない」=「無矛盾性が証明できない」

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 12:14:32.32

無矛盾であることが実際に分かっている公理系もいくつか存在するんだよな。
その公理系で扱える範囲が狭くてあまり応用先がない感じだけど。

https://ja.wikipedia.org/wiki/ゲーデルの不完全性定理

＞プレスバーガー算術は帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全である。
＞プレスバーガー算術は加法しか含まない公理系であり、
＞ゲーデル数によるコード化のテクニックを扱えない。
＞そのため、不完全性定理は適用できない。
＞また、実閉体の理論やユークリッド幾何学も帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全であり、
＞（直観に反して）算術を含まないため、不完全性定理は適用できない。
＞したがって実閉体の理論は（計算可能性の意味で）決定可能である。
＞もっと精密にいうと実閉体の理論では量化記号消去が可能である。
＞この事実は数式処理系の実装などに応用されている。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 12:28:49.55

>>40
>>37で書いたけど、それは無矛盾性証明とは言えない
数学全体の中に矛盾が一つでもあれば全部の命題が真になってそいつらも矛盾するんだから、無矛盾性を証明できてないでしょ

そして数学全体の無矛盾性を証明できないことはゲーデルが証明した

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 12:34:35.36

分からないかな
例えばラッセルのパラドックス
これはユークリッド幾何とかプレスバーガー算術の”外”にある矛盾だけどこいつのせいで
ユークリッド幾何とかプレスバーガー算術の命題も全部真になる

無矛盾性は全体に対してやらないと意味がないんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 12:44:06.69

>>41
> 数学全体の中に矛盾が一つでもあれば
すべての数学が同じ公理系にもとっいているわけではないが。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 12:52:17.14

>>43
「すべての数学」と数学があたかも複数あるかのように書いてるのは集合論の公理系にZFCとかNBGとかがあるって話か？
それでも同じ
全体の無矛盾性を証明しないと意味ない
ZFCを使ってZFCの無矛盾性を証明しないと
矛盾が一つでもあったらアウトなんだから

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 12:54:07.50

ZFCを使ってユークリッド幾何の無矛盾性を証明しても
「で、ZFCは無矛盾なの？そこに矛盾があったら意味ないよね？」って話よ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 19:47:12.53

https://ja.wikipedia.org/wiki/プレスバーガー算術

＞プレスバーガー算術は加法と乗法両方含むペアノ算術より弱い体系である。
＞ペアノ算術とは異なりプレスバーガー算術は決定可能である。
＞これはプレスバーガー算術の言語で書かれた任意の閉論理式が
＞プレスバーガー算術の公理で証明可能かどうかを判定する
＞アルゴリズムが存在することを意味する。

この時点で ID:ALxs7FIt の指摘は全てナンセンスだと分かる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 21:22:44.52

同じこと何回か書いてるけど

プレスバーガー算術は数学の"一部分"にすぎないんだよ

>プレスバーガー算術は因数分解に関する規則や素数のような概念を形式化できない。一般的に乗法に関する自然数の概念は不完全性と決定不可能性につながることからプレスバーガー算術では定義することはできない。
(wikipedia)

部分的な無矛盾性を証明した気になっていても意味ない
それ以外の部分（この場合は因数分解とか素数とか）に矛盾があるかもしれないから
数学全体の無矛盾性証明以外に価値はない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 21:42:11.33

>>47
小さな公理系の無矛盾性にも価値はある。応用範囲が狭くなるだけ。

また、「数学全体」という言い方はナンセンス。
無矛盾性は公理系ごとに考えるものであり、「全体」なんていう概念は存在しない。
敢えて「全体」を設定するなら、対象とする公理系が「全体」そのものになる。
たとえば、プレスバーガー算術の無矛盾性は、

「数学全体の中のごく一部分の無矛盾性を述べている」

のではなく、

「プレスバーバー算術を全体像とする公理系の、全体的な無矛盾性を述べている」

のである。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 21:44:51.45

「数学全体」という考え方がナンセンスであることは、次のような観点から述べることもできる。

・ "公理" を増やせば、いくらでも数学の "全体像" を拡張できてしまう。

あんたの世界観に沿って考えると、たとえ今現在の「数学全体」の無矛盾性が証明できたとしても、
公理を1個増やすだけで "全体像" を拡張できてしまい、その無矛盾性がどうなっているのかは
また個別に考えなければならなくなり、このプロセスに終わりはなく、
永遠に「数学全体の無矛盾性は証明できない」と言えてしまう。

つまり、あんたの世界観に沿って考えると、
"今現在" かどうかに関わらず、未来永劫いつの段階の「数学全体」に対しても、
「数学全体の無矛盾性は証明できない」と言っていることになる。

このように考えれば、「数学全体」という考え方がいかにナンセンスかが分かる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 22:00:10.43

>>48
プレスバーガー算術の範囲だけで思考してる人にとっては価値があるかもしれないけど
普通の人は素数とか使うんだから他人事じゃないか
"俺たちがやってる数学"の無矛盾性を証明してくれよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 22:16:13.20

>>50
＞ "俺たちがやってる数学"の無矛盾性を証明してくれよ

それができたら理想的だが、未だに誰も成功していない。

そして、"俺たちがやってる数学" がたとえ "矛盾" していたとしても、
プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。

たとえば、ペアノの公理系を「全体」と見なしたときに、
プレスバーガー算術をその「一部分」と考えることは可能である。
では、ペアノの公理系がもし矛盾していたら、プレスバーガー算術も矛盾していることになるのか？
実は「ならない」。プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。
小さな公理系の無矛盾性にも価値があるのは、こういう事情も影響している。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 22:29:28.20

>>49
俺は数学を「自由に決めた公理系から定理を導出するゲーム」とは思っていないから不必要に公理を追加することはしない
ある公理系の無矛盾性が証明でき、その公理系を変更する必要が生じなければそれで目的達成としていい

公理の追加が必要になる可能性は否定できないが、
（事例を挙げれば、ZFCで十分だと思われていたところに圏論が誕生してZFCでは構成できない「集合のクラス」が必要になったなど）
それは頻繁に起こるものではないし意図的に引き起こすものでもない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 23:01:55.09

とりあえず不完全性定理が分かってないようなので鹿島亮の『数理論理学』を読もうね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 23:07:52.91

>>52などとストイックなことを言っている間にも
それが飯の種である人々によって新たな公理系が生み出されていく…

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 23:44:07.31

>>52
>圏論が誕生してZFCでは構成できない「集合のクラス」が必要になった

これってホントにそうなんかね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/01(土) 23:53:35.46

>>55
ヒント:ノイマン(1903-1957)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/02(日) 22:14:59.95

>>51
> では、ペアノの公理系がもし矛盾していたら、プレスバーガー算術も矛盾していることになるのか？
> 実は「ならない」。プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。

ペアノの公理が矛盾していた場合、
プレスバーガー算術の範囲に制限された証明法では矛盾は出てこなくても、
ペアノの公理の証明法でプレスバーガー算術に含まれる命題が真かつ偽だと証明することができる。

プレスバーガー算術の範囲で思考してるAさんがペアノの公理の範囲で思考してるBさんに対して「命題Pが成り立つ」と主張しても、
Bさんから見たら￢Pが真である可能性が否定できないから、Bさんにはプレスバーガー算術の無矛盾性はやはり他人事だ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/02(日) 22:30:33.25

>>57
ナンセンス。

公理系とは、公理を扱うプレイヤーが扱える操作をリストにまとめたものである。
公理が多いほど、プレイヤーが扱える操作は増えていく。
ペアノの公理系とプレスバーガー算術だったら、次のような関係性になっている。

・プレスバーガー算術で扱える操作は、ペアノの公理系で扱える操作の一部分であり、
　ペアノの公理系で扱える操作のうち、プレスバーガー算術では扱えない操作が存在する。

また、"矛盾" に関しては次のようになっている。

・もしペアノの公理系が矛盾しているなら、それは
　「ペアノの公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができる」
　という意味である。

・もしプレスバーガー算術が矛盾しているなら、それは
　「プレスバーガー算術の公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができる」
　という意味である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/02(日) 22:31:03.46

すると、もしペアノの公理系が矛盾しているなら、
ペアノの公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができるが、それは

「プレスバーガー算術の公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができる」

という意味にならない。なぜなら、プレスバーガー算術の公理系で扱える操作は、
ペアノの公理系で扱える操作の一部分でしかないからだ。
ペアノの公理系の矛盾を引き出すのに使っている操作が、もし

「ペアノの公理系独自の操作であって、プレスバーガー算術の中に存在しない操作である」

ならば、その操作はプレスバーガー算術の中では使えないのだから、

「プレスバーガー算術の公理系で扱える操作を使って矛盾を引き出すことができる」

とは結論できない。すなわち、プレスバーガー算術が矛盾しているとは結論できない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/02(日) 22:31:29.60

また、このことをプレスバーガー算術から見れば、

「ペアノの公理系で扱える操作のうち、プレスバーガー算術では扱えない操作こそが矛盾の原因であり、
　つまりその操作がクソであるにすぎない」

ということになる。このように考えると、ペアノの公理系が矛盾しているのは、
そのクソみたいな操作を採用したペアノの公理系の責任なのであって、
その操作を採用していないプレスバーガー算術までもが「矛盾している」などとは結論できないことは明白である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/02(日) 22:32:23.49

公理系は「公理を扱うプレイヤーが扱える操作をリストにまとめたものである」と書いたが、
これは格闘ゲームのキャラクターで例えると分かりやすい。

・ここに、格闘ゲームの2人のキャラクターA,Bがいるとする。

・ Aが扱える技はBも完全に扱うことができるとする。

・ Bが扱える技のうち、Aが扱えない技Xが存在するとする。

・ただし、この技Xにはバグがあって、この技を使うとゲームが100％フリーズする。

この場合、

「 Bを使ったプレイヤーはゲームをフリーズさせることが可能で、具体的には技Xを使えばよい」

と言える。しかし、

「 Aを使ったプレイヤーはゲームをフリーズさせることが可能」

とは言えない。なぜなら、Aは技Xを使えないからだ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/02(日) 22:48:43.27

再び>>57に戻ると、

＞プレスバーガー算術の範囲で思考してるAさんが
＞ペアノの公理の範囲で思考してるBさんに対して「命題Pが成り立つ」と主張しても、
＞Bさんから見たら￢Pが真である可能性が否定できないから、
＞Bさんにはプレスバーガー算術の無矛盾性はやはり他人事だ。

ペアノの公理系が矛盾していた場合、プレスバーガー算術で記述された命題を、
ペアノの公理系の証明法で「真かつ偽」だと証明するには、
プレスバーガー算術には存在せずペアノの公理系に存在する操作を用いる必要があり、
矛盾の原因はその操作にある。つまり、そのクソみたいな操作を使ったことが矛盾の原因なのであり、
その操作を使わなければ、たとえペアノの公理系であっても問題は起きない。

この意味において、Bさんから見たときにプレスバーガー算術の無矛盾性が「他人事」なんてことはない。
また、ペアノの公理系のうちどの公理が「クソ」なのかが、
プレスバーガー算術の公理との比較によって明らかになる。
この意味においても、やはりBさんから見たときに「他人事」なんてことはない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/02(日) 22:50:24.23

格闘ゲームの例で言えば、>>57は

・ Aを使ったプレイヤーが、Bを使ったプレイヤーに対して「ゲームはフリーズしない」と主張しても、
　 Bを使ったプレイヤーから見たらフリーズの可能性が否定できない(技Xを使えばフリーズする)から、
　このプレイヤーにとって「ゲームがフリーズしない」という主張は他人事だ

と言っていることになるが、明らかにそんなことはなく、このプレイヤーにとっても、

「そうか。Aと同じ技しか使わない限りにおいては、自分のキャラでもフリーズしないのか」

ということが分かるわけで、これのどこが他人事なんだと。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/02(日) 23:50:42.52

>>58-61までの内容は俺が>>57に三行で書いた「ペアノの公理が矛盾していた場合、.
..が真かつ偽だと証明することができる。」という部分に反するものではなく、ただの言いかえのような感じがする

結論に当たる>>62, 63だが
ペアノの公理が可能とする証明法のうちプレスバーガー算術で不可能なものを「クソみたいな操作」と表現しているが
それはプレスバーガー算術の範囲で思考してるAさんの理屈であって、普通の人はBさんのように因数分解とか素数とかを
使って数学をしているし「素数の概念を使う証明はクソだ！」などと思ったりはしない

普通の人は受け入れ可能な命題だけを公理にしているから、プレスバーガー算術が無矛盾だと言われても
「（ペアノの公理を"正しいと思っているのに使用を禁止して"）プレスバーガー算術に乗り換えよう」とはならない
自分はプレスバーガー算術の範囲だけで証明を書いてますっていうプロの数学者が何人いる？

そして>>50に戻る

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 01:35:15.82

>>64
＞ペアノの公理が可能とする証明法のうちプレスバーガー算術で不可能なものを「クソみたいな操作」と表現しているが
＞それはプレスバーガー算術の範囲で思考してるAさんの理屈であって、普通の人はBさんのように因数分解とか素数とかを
＞使って数学をしているし「素数の概念を使う証明はクソだ！」などと思ったりはしない

藁人形論法。論理を取り違えている。
ペアノの公理系のうちプレスバーガー算術で扱えない公理を
軒並み「クソである」と言っているのではない。

ペアノの公理系が　矛　盾　し　て　い　る　という前提のもとでは、
ペアノの公理系のうちプレスバーガー算術で扱えない公理の中に矛盾を引き起こすものが
紛れ込んでいるのだから、その公理のことを「クソである」と表現しているのである。
実際、矛盾を引き起こす公理はクソとしか言いようがない。
たとえば、もし素数の概念が矛盾を引き起こすのなら、その前提のもとでは、
実際に「素数の概念を使う証明はクソだ！」ということになる。
繰り返すが、これは「矛盾を引き起こすのなら」という前提のもとでの話である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 01:41:50.88

>>64
＞普通の人は受け入れ可能な命題だけを公理にしているから、プレスバーガー算術が無矛盾だと言われても
＞「（ペアノの公理を"正しいと思っているのに使用を禁止して"）プレスバーガー算術に乗り換えよう」とはならない
＞自分はプレスバーガー算術の範囲だけで証明を書いてますっていうプロの数学者が何人いる？

これも同じく藁人形論法。論理を取り違えている。
ペアノの公理系のうち、プレスバーガー算術で扱えない公理の中で矛盾を引き起こすものを
「クソだ」と言っているにすぎないのであって、これはそもそもペアノの公理系が
矛　盾　し　て　い　る　という前提のもとでの話である。出発点となる>51でも、

＞では、ペアノの公理系がもし矛盾していたら、プレスバーガー算術も矛盾していることになるのか？
＞実は「ならない」。プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。

と明確に述べており、「もし矛盾しているなら」という前提のもとでの話しかしていない。
あんたはこのレスに対して>57を書いているのだから、あんたもまた「矛盾しているなら」
という前提でレスを書いていることになるし、実際にそういう前提で>57を書いていることが読み取れる。
これに対して、>58-63で俺が書いたこともまた、「矛盾しているなら」という前提での返答である。

それなのに、なぜか>64では、その前提が無いことになっており、
「ペアノの公理を正しいと思っているのに～」などという文言が登場する。

話のすり替え。詭弁。問題外。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 01:47:30.36

話を戻すと、>51で俺は

＞では、ペアノの公理系がもし矛盾していたら、プレスバーガー算術も矛盾していることになるのか？
＞実は「ならない」。プレスバーガー算術は依然として無矛盾である。

と書いており、>57であんたは

＞Bさんから見たら￢Pが真である可能性が否定できないから、
＞Bさんにはプレスバーガー算術の無矛盾性はやはり他人事だ。

と書いている。これに対する反論は>>58-63であり、

「ペアノの公理系が矛盾しているという前提のもとでも、
　プレスバーガー算術の無矛盾性はBさんにとって他人事ではない」

というのが結論である。特に、>>63に書かれていることは非常に分かりやすいはずである。
あんたは>>64でこれに対して反論しておらず、いつのまにか
「ペアノの公理系が矛盾している」という前提を無かったことにして、
「ペアノの公理を正しいと思っているのに～」などという文言を登場させて、
今までの流れを完全に無視した的外れな見解を述べている。

話にならない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 03:18:13.77

>>65
なあ、お前にとって数学ってのは今まで疑いなく正しいと信じてきた証明に対して後から
「この証明はクソだ！」って手のひら返すような学問なのか？
それとも最初から「証明はできたっぽいですけどもしかしたらクソかもしれないです」
と自信なさげに主張するような学問なのか？

実在する数学者は自分の証明が"後日クソだったことが分かる"可能性なんて考えてないと思うが

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 03:47:49.87

chromeがunixでもwindowsでも動くように、ZFCが矛盾してても現実的に問題は起きないっしょ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:00:51.81

>>67
あんたが主張できてるのは「ペアノの公理に矛盾が見つかった時にペアノの公理とプレスバーガー算術の
差分を考えることでプレスバーガー算術の無矛盾性が矛盾の原因の特定に役立つ」ということだけど

そういう"もしも"の有用性はあるかもしれないけど現実にはペアノの公理に矛盾があるという前提はないし
その有用性が発揮される未来があるのか不明だよね
人類の歴史が今後矛盾を発見せずに終われば「結局役に立つことはありませんでした」ってなる

仮想的な話じゃなくて、「数学の無矛盾性が証明できないがゆえに数学の証明には信憑性がない
（Pを証明しても￢Pが真である可能性を否定できない）」という現実の問題に対して
プレスバーガー算術の無矛盾性が何の役に立つのさ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:02:11.72

>>68
バカの極み。話がどんどんズレてきている。
一応レスしてやるが、あんたの頭の悪さにはいい加減に呆れてくる。

＞なあ、お前にとって数学ってのは今まで疑いなく正しいと信じてきた証明に対して後から
＞「この証明はクソだ！」って手のひら返すような学問なのか？

「前提」が理解できないバカタレ。

たとえば、もし素数の概念が矛盾を引き起こすのなら、その前提のもとでは、
実際に「素数の概念を使う証明はクソだ！」ということになる。
なぜなら、矛盾が引き起こされることが分かりきっているからだ。

矛盾が引き起こされることが分かっている論法に対して、
「この論法はクソだ」と表現することに、いったい何の問題があるというのか？
いや、何の問題も無い。なぜなら、矛盾が引き起こされることが分かりきっているからだ。
もちろんそれは、「矛盾を引き起こすのなら」という前提のもとでの話である。

このような議論を「手のひら返し」などと表現するバカタレはお前しかいない。
お前は「前提」が理解できていない。あと、そもそも話がズレてきている。頭が悪すぎて話にならない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:03:43.93

>>68
＞実在する数学者は自分の証明が"後日クソだったことが分かる"可能性なんて考えてないと思うが

そういう数学者を前提にするなら、そういう数学者はそもそも
「ペアノの公理系は正しい」と信じて疑わず、
ペアノの公理系が矛盾している可能性について全く考えないことになる。
特に、>>50 に書かれているような

＞"俺たちがやってる数学"の無矛盾性を証明してくれよ

といった要求は全く考えないことになる。
その一方で、あんたは>>50でそのような要求をしている。
つまり、少なくともあんたは「そういう数学者ではない」ということになる。
それにも関わらず、都合が悪いときには「そういう数学者」を引き合いに出している。
これはダブルスタンダードである。話にならない。もうこの板から消えてくれないかな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:04:52.36

>>69
現実を扱うのは科学だからな
数学が「我々の体系には矛盾があるので1=2が成り立ちます」って主張しても
科学は「1個のリンゴと2個のリンゴは違うので1=2は棄却します」って言えばいい

でも数学者はどうか？
彼らは正しさを"観測で確かめる"ことができない
1=2がもしかしたら真かもしれないという可能性から逃げられないのだ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:06:20.81

ちょｗｗｗ一回寝るわｗｗｗｗ
こんな時間まで俺の相手ご苦労さん

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:07:46.40

>>70
＞そういう"もしも"の有用性はあるかもしれないけど

こちらは最初からそういう "もしも" の話しかしてないのに、
あんたがその話に "もしもではない観点" から
ナンセンスなイチャモンをつけてきたのである。

>>64にしても>>68にしても、あんたは「前提」のある議論が苦手らしい。
こちらが前提を明確に書いても、あんたはその前提を無意識のうちに無視してしまい、
前提がないシラフの状態での的外れな反論を寄越してくる。
これは、あんたの思考のクセだろう。要するにバカなんだよ。
いい加減にこの板から消えてくれないかな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:26:25.05

>>68
＞仮想的な話じゃなくて、「数学の無矛盾性が証明できないがゆえに数学の証明には信憑性がない
＞（Pを証明しても￢Pが真である可能性を否定できない）」という現実の問題に対して
＞プレスバーガー算術の無矛盾性が何の役に立つのさ

一度返答が終わった話を蒸し返すバカタレ。少なくともプレスバーガー算術は無矛盾なので、
プレスバーガー算術を扱う限りにおいては、その証明には信憑性がある。
しかも、プレスバーガー算術は決定可能ですらある(>>46)。これはもう文句のつけようがない。
つまり、あんたが言うところの

＞「数学の無矛盾性が証明できないがゆえに数学の証明には信憑性がない
＞（Pを証明しても￢Pが真である可能性を否定できない）」

という主張は、少なくともプレスバーガー算術の範囲内においては的外れで、
その無矛盾性が実際に役に立っており、具体的には「証明に信憑性がある」と主張できる。
このことは、他の数学が矛盾しているか否かとは無関係である。
たとえば、ペアノの公理系が矛盾しているとしても、やはりプレスバーガー算術は無矛盾のままであり、
プレスバーガー算術の範囲内での証明には「証明に信憑性がある」と主張できる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:28:34.76

>>73
ZFCで1=2が証明されたら数学者はZFCを捨てて1=2が証明されないと思われる体系を考え出すだけだろ
だいたい自然科学も100回観察して100回1個のリンゴと2個のリンゴは違うことを観測できたら101回目も違うことを観測できるを信じてる時点で数学と変わらん

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:28:55.20

これとは別に、無矛盾であることが分かってない数学にまで
範囲を広げる場合には、あんたが危惧している

＞「数学の無矛盾性が証明できないがゆえに数学の証明には信憑性がない
＞（Pを証明しても￢Pが真である可能性を否定できない）」

という問題が実際に生じる。そして、そこで初めて>>50の

＞"俺たちがやってる数学"の無矛盾性を証明してくれよ

が登場する。しかし、これに関しては>>51で既に返答済み。具体的には、

「それができたら理想的だが、未だに誰も成功していない」

と>>51で既に書いている。そして、俺からはこれ以上のことは一言も述べておらず、
その後はあんたが延々とナンセンスなイチャモンをつけてきているので、
延々と返答を続けているだけである。

つまり、あんたが書いていることは既に返答が終わった話ばかりである。
今さらそれを蒸し返すことに意味はない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:35:36.58

>>73
＞科学は「1個のリンゴと2個のリンゴは違うので1=2は棄却します」って言えばいい
＞でも数学者はどうか？
＞彼らは正しさを"観測で確かめる"ことができない
＞1=2がもしかしたら真かもしれないという可能性から逃げられないのだ

科学と数学の違いについては>>32が既に返答しており、
この>32には反論が寄越されていない(よほど都合が悪いのだろうか)。

＞32１３２人目の素数さん2020/08/01(土) 03:34:16.61ID:NAmQ4WNu
＞>>29
＞それは科学も一緒やん
＞再現性がありますと言われてもそれを信じていいか分からない
＞「確かめた」のが本当かどうか「証明」できないし

また、>>77にも同じ趣旨の返答がある。
後はあんたが>32と>77に反論すればいいだけ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 04:36:57.94

化けの皮が剥がれてきたな
お前荒らしだろ
昔見たことあるわ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 11:45:02.11

>>79
> ＞科学は「1個のリンゴと2個のリンゴは違うので1=2は棄却します」って言えばいい
で、その1個とか2個とかはなんなのさ。科学者に聞けば自然数の演算を含む理論体系が無矛盾で定義できるの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 12:30:27.51

>>81
個数の概念くらい小学校で習得しとけよ
科学にとって無矛盾性は重要じゃない
Pと¬Pが両方証明できなら本当に正しいのはどちらか観測で結論を出せばいいし
違いを観測することが不可能なら真偽値はどっちでもいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 12:45:27.92

>>77
> ZFCで1=2が証明されたら数学者はZFCを捨てて1=2が証明されないと思われる体系を考え出すだけだろ

何で証明したことを信じないの？
「数学の証明は信用に値しません」「数学は信じたいものを真にして信じたくないものを偽にする
活動です。証明は関係ありません。」って認めるの？

そんなことしたら数学者は誰からも相手にされなくなるよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 12:48:23.66

>>77
> だいたい自然科学も...(中略)...数学と変わらん

数学をやってる人って自然科学にはない"普遍性"みたいなのを誇りに思ってるものだけど、捨てるの？
「数学は特別じゃないです。古典力学が間違っていたのと同じように数学も間違ってるかもしれないです」って言うの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 12:53:35.75

数学の危機が解決してないことが分かってきたでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 16:42:30.17

>>83
全ての信じたいものを信じるのではなく、ごく少数の信じたいものを強く信じるだけ
その意味でZFCはそこそこ信じたくなるが、自然数の性質の方がより信じたくなるというだけ
「誰からも相手にされない」は範囲がデカ過ぎるから「私は相手にしない」と言え
>>84
思ってない
言う

ところで「自然科学も観測のみによって確かめられる訳ではなく、信じなくてはならない部分がある」ということは認める？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 18:53:02.95

よく読んでませんが、不完全性定理自身には矛盾がなくて正しい論法だというのは>>1さんは認めているのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:07:28.58

>>87
定理のことを論法だと言ってる時点でなんかおかしいんだが言いたいことは分かる
ゲーデルの不完全性定理に矛盾があるかどうかはどっちでもいい

数学が無矛盾の場合、ゲーデルの不完全性定理によって無矛盾性は不可知
数学が矛盾してる場合、数学は無矛盾じゃない
よって、いずれの場合も”数学は矛盾しているかもしれない”と思いながら数学をするしかない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:24:04.87

>>88
良くないと思いますけどねー
ゲーデルの不完全性定理が正しいと認めるんですよね？
なら1+1=2も正しいじゃないですか

ゲーデルの不完全性定理を数学を使って正しさが証明されたように、1+1=2も数学を使って正しさが証明されてます

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:24:38.82

>>88
あと、ある公理系が矛盾してるかしてないかを調べることが可能であることを述べている健全性定理という定理があるのですが、それはご存知でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:34:00.81

あー、すまん
日本語が分からない系の人は流石に相手したくない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:34:38.70

>>91
後半だけでもいいから教えてくださいね

健全性定理はご存知ですか？

ある公理系に対するモデルが存在すれば、その公理系は矛盾していないという定理なのですけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:37:05.37

よくある誤解だと思うのですが、あなた不完全性定理正しく理解してないと思うんですよね

数学が無矛盾かを確かめる方法は存在しているのですよ
では、不完全性定理とは何を言ったことになるのか
そこに気づくことがポイントです

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:37:35.74

1個だけコメントする
1+1=2を証明しても1+1=2が正しいとはならないからな
1+1≠2が証明できる可能性がある以上、どっちが正しいか確定してない

無矛盾性が証明できない限り証明は無価値よ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:38:52.05

>>94
＞1+1=2を証明しても1+1=2が正しいとはならないからな

すなわち、健全性が失われているということでしょうか？

普通の論理体系においては、健全性は要求されるものだと思っていましたけどね

どのような論理系においては、そのようなことが起こるのでしょうか？

少なくともLKにおいてはないですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 22:52:19.17

無矛盾性は”特定の方法によっては” “証明” できないが、無矛盾かどうかを”確かめる”方法はある

理解できますでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 23:11:43.31

健全かつ完全な論理体系を用いたとしても、理論は不完全になりうるのだ

それがゲーデルの指摘したことです

健全性定理
完全性定理
不完全性定理

全て理解しないと、ここら辺の話にはついていけませんよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/04(火) 00:13:24.58

よほど都合が悪いのか、ID:Bkb4DfVは>32,>77,>86にちゃんと返答していない。

自然科学では、100回実験して100回とも同じ結果になったとしても、
101回目もまた同じ結果になることは原理的に決して保証されず、

「これだけ同じ結果が得られているのだから、
　101回目もまた同じ結果になるであろう(再現性があるだろう)」

と信じる以外に道がない。
この「信じる以外に道がない」という点について、ID:Bkb4DfVは返答していない。
>82では踏み込んだレスをしているように見えるが、よく見ると

＞Pと¬Pが両方証明できなら本当に正しいのはどちらか観測で結論を出せばいいし

としか言っていない。
観測で結論を出せばいい？違うだろ？観測結果を踏まえて、
Pと￢Pのうち "もっともらしいと思われる方を信じればいい" だろ？
結論を出すのではなく「信じればいい」だろ？

しかし、ID:Bkb4DfVはこのようには表現しない。よほど都合が悪いのだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/04(火) 02:02:06.63

はいID:CGyKu5bI= ID:hhceZbey=ID:knIqnJUr
QED
荒らしは無視

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/04(火) 02:16:44.27

>>99
このように、ID:Bkb4DfV＝ID:V0Mbis0Wは逃げ回るのみであり、
>32,>77,>86にちゃんと返答していない。よほど都合が悪いのだろう。

自然科学では、100回実験して100回とも同じ結果になったとしても、
101回目もまた同じ結果になることは原理的に決して保証されず、

「これだけ同じ結果が得られているのだから、
　101回目もまた同じ結果になるであろう(再現性があるだろう)」

と信じる以外に道がない。
この「信じる以外に道がない」という点について、ID:Bkb4DfVは返答していない。
観測で結論を出せばいい？違うだろ？結論を出すのではなく、「信じればいい」だろ？

しかし、ID:Bkb4DfVはこのようには表現しない。よほど都合が悪いのだろう。