フェルマーの最終定理の簡単な証明その3
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【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、rが有理数のときの解は整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 >>949 日高
> 【定理】p=3のとき、x^p+7y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
> 【証明】x^3+7y^3=z^3を、z=x+rとおいてx^3+7y^3=(x+r)^3…(1)とする。
> (1)を積の形にすると、r^2{7(y/r)^3-1}=a3{x^2+rx}(1/a)…(2)となる。
> (2)はa=1、r^2=3のとき、x^3+7y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
> (3)はr=√3なので、yが有理数ならば、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
> ∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
最後から３行目までは正しい。
最後から２行目でyが有理数の場合しか調べてないのに「x,y,zは整数比とならない」と結論したのが誤り。
x=y=√3,z=2√2があるから。
だから、x^3+y^3=z^3の場合に最後から２行目の推論が正しいことを日高君が示さない限り元の証明も誤り。 >>952
>x=y=√3,z=2√2があるから。
はz=2√3の誤りです。訂正して読んでください。 >953
x=y=√3,z=2√3があるから。
だから、x^3+y^3=z^3の場合に最後から２行目の推論が正しいことを日高君が示さない限り元の証明も誤り。
x,y,zが、無理数で整数比となるならば、x,y,zが、有理数で整数比となります。 >>954
> >953
> x=y=√3,z=2√3があるから。
>
> だから、x^3+y^3=z^3の場合に最後から２行目の推論が正しいことを日高君が示さない限り元の証明も誤り。
>
> x,y,zが、無理数で整数比となるならば、x,y,zが、有理数で整数比となります。
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、無理数で整数比であるものが存在するならば、
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、有理数で整数比であるものが存在します。
この主張自体は正しいんですが、そのことが証明の中で意味がありますか？
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、無理数で整数比であるものが存在する、と仮定したとき、
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、有理数で整数比であるものが存在する、とは言えますが、
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、有理数で整数比であるものが存在する、とは言えません
前提に条件を追加したから結果にも同じ条件を追加できる、なんてそんな馬鹿げたことは考えていませんよね？ >955
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、有理数で整数比であるものが存在する、とは言えません
存在する例p=2
(4√3)^2+(3√3)^2=(5√3)^2
z-x=√3
x:y:z=(4√3):(3√3):(5√3)=4:3:5 >>956 日高
いまp=3の話をしているのにそうやってまぜっかえして楽しいかい？ >957
いまp=3の話をしているのにそうやってまぜっかえして楽しいかい？
p=2の場合も同じです。 >>958 日高
p=2のときはz-x=2なんだろ、君の理論では。 >959
p=2のときはz-x=2なんだろ、君の理論では。
理屈は、同じです。 >>956
> >955
> x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、有理数で整数比であるものが存在する、とは言えません
>
> 存在する例p=2
> (4√3)^2+(3√3)^2=(5√3)^2
> z-x=√3
> x:y:z=(4√3):(3√3):(5√3)=4:3:5
z-x=5-4= 1 で √3 じゃないけど良いの？ >>958
> r=√3なので、yが有理数ならば、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
r=√3なのでyが有理数ならばx,y,zは整数比とならない
を書き換えると
p=3のときa=2√3/3とすれば
(A): ar=2なのでayが無理数ならばx,y,zは整数比とならない
p=2のとき
(B): r=2なのでyが無理数ならばx,y,zは整数比とならない
> p=2の場合も同じです
だったら上の(A)と(B)は同じ内容なので
> p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
> p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
のどちらか1つは間違いということになります
>>960
> 理屈は、同じです。
(A)が整数比の解を持たない根拠であるのならば
(B)も整数比の解を持たない根拠(p=2の場合も同じ)になります >>960 日高
> >959
> p=2のときはz-x=2なんだろ、君の理論では。
>
> 理屈は、同じです。
日高の頭が理屈で動いているとはとても思えん。 >961
z-x=5-4= 1 で √3 じゃないけど良いの？
z-x=5√3-4√3=√3となります。 >962
p=3のときa=2√3/3とすれば
(A): ar=2なのでayが無理数ならばx,y,zは整数比とならない
p=2のとき
(B): r=2なのでyが無理数ならばx,y,zは整数比とならない
意味を詳しく教えて頂けないでしょうか？ >>964
> >961
> z-x=5-4= 1 で √3 じゃないけど良いの？
>
> z-x=5√3-4√3=√3となります。
あのー、それ
x=4√3,y=3√3,z=5√3,z-x=√3 …(3)の解
を√3で割って
x=4,y=3,z=5,z-x=1 …(4)の解
にしたあと√3を掛けて
x=4√3,y=3√3,z=5√3,z-x=√3 …(3)の解
に戻してるだけですよ？
結局、有理数解があるのは(4)じゃないですか >>966
> >>964
>
> > >961
> > z-x=5-4= 1 で √3 じゃないけど良いの？
> >
> > z-x=5√3-4√3=√3となります。
>
> あのー、それ
> x=4√3,y=3√3,z=5√3,z-x=√3 …(3)の解
> を√3で割って
> x=4,y=3,z=5,z-x=1 …(4)の解
> にしたあと√3を掛けて
> x=4√3,y=3√3,z=5√3,z-x=√3 …(3)の解
> に戻してるだけですよ？
> 結局、有理数解があるのは(4)じゃないですか
念のため、(3),(4)は
>>923 の
> x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)
>X^p+Y^p=(X+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)
とかもっと前の証明に書いてあるやつですね 元の
> x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、無理数で整数比であるものが存在する、と仮定したとき、
> x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、有理数で整数比であるものが存在する、とは言えますが、
> x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、有理数で整数比であるものが存在する、とは言えません
に話を戻すと、
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、無理数で整数比であるもの
として、
x=sw,y=tw,z=uw (s,t,uは有理数、wは無理数)
が存在すると仮定したとき、
x=s,y=t,z=u は
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、有理数で整数比であるもの
になりますが、
z-x=u-s=(uw-sw)/w=√3/w≠√3 なので
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、有理数で整数比であるもの
ではありません
z-x=√3 とするためにはwを掛ける必要がありますが、それは
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもありで整数比であるもの
に戻しているだけで、
x^3+y^3=z^3 の解x,y,zで、z-x=√3でもあり、有理数で整数比であるもの
にはなりません
> x,y,zが、無理数で整数比となるならば、x,y,zが、有理数で整数比となります。
という主張をしたところで、結局なんの意味もないのではないですかね また無意味な「修正」をして、○○を見てください、というパターンだろうなあ >>965
> 意味を詳しく教えて頂けないでしょうか？
p=2だろうとpが奇素数のときだろうと
rが有理数あるいはarが有理数として値を固定すると
その時の解x,y,zのyが無理数なら整数比にならないでしょ (修正35)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はr=p^{1/(p-1)なので、yが有理数ならば、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)はrが有理数のとき、(4)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)の解x,y,zも整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 >967
> x=4,y=3,z=5,z-x=1 …(4)の解
> にしたあと√3を掛けて
> x=4√3,y=3√3,z=5√3,z-x=√3 …(3)の解
> に戻してるだけですよ？
(4),(3)どちらも、整数比の解となります。 >968
> x,y,zが、無理数で整数比となるならば、x,y,zが、有理数で整数比となります。
という主張をしたところで、結局なんの意味もないのではないですかね
「x=sw,y=tw,z=uw (s,t,uは有理数、wは無理数)
が存在すると仮定したとき、」
の話です。 >970
p=2だろうとpが奇素数のときだろうと
rが有理数あるいはarが有理数として値を固定すると
その時の解x,y,zのyが無理数なら整数比にならないでしょ
p=2の場合は、整数比となります。 >>971
> (3)はr=p^{1/(p-1)なので、yが有理数ならば、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
yが無理数の場合は考えないんですか？ 【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^3+y^3=z^3を、z=x+rとおいてx^3+y^3=(x+r)^3…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^2{(y/r)^3-1}=a3{x^2+rx}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^2=3のとき、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(3)はr=√3なので、yが有理数ならば、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
(2)はa=1以外、r^2=a3のとき、x^3+y^3=(x+√(a3))^p…(4)となる。
(4)はrが有理数のとき、(4)の解は(3)の解の√a倍となるので、(4)の解x,y,zも整数比とならない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)はr=2なので、yが有理数ならば、xは有理数となり、x,y,zは整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。 >>974
> rが有理数あるいはarが有理数として値を固定すると
> その時の解x,y,zのyが無理数なら整数比にならないでしょ
だからrが有理数,yが無理数でも
> p=2の場合は、整数比となります。
たとえばあんたの理屈ではp=2の場合(x,y,z)=(5,2√6,7)は
rが有理数,yが無理数だから整数比なんでしょ
だったらp=2の場合と同じ理屈でpが奇素数のときも整数比と
ならないといけないですよ >975
yが無理数の場合は考えないんですか？
yが無理数の場合も、x,y,zは整数比となりません。 >978
たとえばあんたの理屈ではp=2の場合(x,y,z)=(5,2√6,7)は
rが有理数,yが無理数だから整数比なんでしょ
(x,y,z)=(5,2√6,7)は整数比では、ありません。 >>980
> (x,y,z)=(5,2√6,7)は整数比では、ありません。
5^2+(2√6)^2=7^2が成り立つからp=2の場合ですよね
√6倍するとyを有理数にすることができr=z-xは無理数になります
「z-xが無理数,yが有理数ならば整数比でない」ということに対して
> p=2の場合は、整数比となります。
と日高が自分で言っているのだけれどもおかしくないですか？
結局「z-xが無理数,yが有理数ならば整数比でない」は
「整数比の解を持たない」根拠にはできないということなんだけれども
例を挙げるために>>976と>>977をアレンジしてみましょう
日高理論から得られる日高定理の例
【日高定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^3+y^3=z^3を、z=x+rとおいてx^3+y^3=(x+r)^3…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^2{(y/r)^3-1}=a3{x^2+rx}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^2=3のとき、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^2=a3のとき、x^3+y^3=(x+√(a3))^p…(4)となる。
(4)の解は(3)の解の√a倍となる
(4)は√(a3)が有理数のとき、yが有理数ならば、xは有理数となり、x,y,zは整数比となる。
(3)の解は(4)の解の1/√a倍となるので、(3)の解x,y,zも整数比となる。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【日高定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は(3)の解のa倍となる
(4)はa2が無理数のとき、yが有理数ならば、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
(3)の解は(4)の解の1/a倍となるので、(3)の解x,y,zも整数比とならない。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 >981
(4)は√(a3)が有理数のとき、yが有理数ならば、xは有理数となり、x,y,zは整数比となる。
理由を教えて下さい。 >>982
> 理由を教えて下さい。
「z-xが無理数,yが有理数ならば整数比でない」ということに対して
> p=2の場合は、整数比となります。
とあんたが答えたことが理由です >983
「z-xが無理数,yが有理数ならば整数比でない」ということに対して
> p=2の場合は、整数比となります。
とあんたが答えたことが理由です
よく、意味が理解できません。
具体的に、詳しく教えていただけないでしょうか。 >>979 日高
> >975
> yが無理数の場合は考えないんですか？
>
> yが無理数の場合も、x,y,zは整数比となりません。
なぜですか？ >985
> yが無理数の場合は考えないんですか？
>
> yが無理数の場合も、x,y,zは整数比となりません。
なぜですか？
どの式の場合かを、教えてください。 >>986 日高
> >985
> > yが無理数の場合は考えないんですか？
> >
> > yが無理数の場合も、x,y,zは整数比となりません。
>
> なぜですか？
>
> どの式の場合かを、教えてください。
あんたが>>979で返事したときに念頭にあった式です。 >987
あんたが>>979で返事したときに念頭にあった式です。
式を示していただけないでしょうか。 そうだったね。でもまだスクロールして読める範囲でっせ。 スレが変わるとアンカーが使いにくくなるので，しかたない。答えよう。
>>971 日高
> (修正35)
> 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
> 【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
> (1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
> (2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
> (3)はr=p^{1/(p-1)なので、yが有理数ならば、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
この(3)です。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)はr=2なので、yが有理数ならば、xは有理数となり、x,y,zは整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。 >991
> (3)はr=p^{1/(p-1)なので、yが有理数ならば、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
この(3)です。
この(3)は、正しいです。 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はr=p^{1/(p-1)なので、yが有理数のとき、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)のrが有理数のとき、(4)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)の解x,y,zも整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 そうじゃなくて。
この(3)について，君は
>> 979 日高
> >975
> yが無理数の場合は考えないんですか？
>
> yが無理数の場合も、x,y,zは整数比となりません。
と答えました。その理由をお聞きしています。 【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^3+y^3=z^3を、z=x+rとおいてx^3+y^3=(x+r)^3…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^2{(y/r)^3-1}=a3{x^2+rx}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^2=3のとき、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(3)はr=√3なので、yが有理数のとき、xは無理数となり、x,y,zは整数比とならない。
(2)はa=1以外、r^2=a3のとき、x^3+y^3=(x+√(a3))^p…(4)となる。
(4)のrが有理数のとき、(4)の解は(3)の解の√a倍となるので、(4)の解x,y,zも整数比とならない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 >995
> yが無理数の場合も、x,y,zは整数比となりません。
と答えました。その理由をお聞きしています。
x,y,zが無理数で整数比となるならば、x,y,zが有理数で整数比となります。 >>997 日高
>> x,y,zが無理数で整数比となるならば、x,y,zが有理数で整数比となります。
「有理数で整数比」になったものは(3)の解ですか？ >998
「有理数で整数比」になったものは(3)の解ですか？
「(3)の解 x,y,zが無理数で整数比となったと、仮定すると」
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