SL(2,R) も SO(2) も和については閉じてないんぢゃ?

[ cosθ, sinθ]  +  [cosθ, -sinθ] = [2cosθ, 0]
[ -sinθ, cosθ]    [sinθ, cosθ]   [0, 2cosθ]

行列式 = (2cosθ)^2 ≠ 1,

思い違いかな?