面白い問題おしえて〜な 32問目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
例）
エルビウム(Er)-165 の半減期は 621.5 (分) です。 セシウム137の半減期を30年、セシウム134の半減期を２年としたときに総セシウムの数の半減期と総放射能の半減期は何年か？
って厳密解が計算できる？
どうやって計算するの分からなかったからシミュレーション解しか出せなかった。 >>937
(補足)
最初にセシウム137とセシウム134が1:1で存在しているとする。 >>937
式を簡単にするために、最初の量を2とする
1/(2^(t/30))+1/(2^(t/2))=1
wolfram先生によると t=5.93045 らしい 数値解ならだせるんだが、
C137 <- function(t) 0.5*(1/2)^(t/30)
C134 <- function(t) 0.5*(1/2)^(t/2)
C_total <- function(t) C137(t)+C134(t)
curve(C_total(x),0,30)
(t0.5=uniroot(function(t,u0=1/2) C_total(t)-u0, c(0,30))$root)
> (t0.5=uniroot(function(t,u0=1/2) C_total(t)-u0, c(0,30),tol = 1e-12)$root)
[1] 5.930454
https://i.imgur.com/DIyJXk0.png 総放射能の半減期は
C137 <- function(t) 0.5*(1/2)^(t/30)
C134 <- function(t) 0.5*(1/2)^(t/2)
CR_total <- function(t) (log(2)/30)*C137(t) + (log(2)/2)*C134(t) # log(2)/半減期=崩壊定数
curve(CR_total(x),0,30)
CR_total(0)
(tr0.5=uniroot(function(t,u0=CR_total(0)/2) CR_total(t)-u0, c(0,30))$root)
> (tr0.5=uniroot(function(t,u0=CR_total(0)/2) CR_total(t)-u0, c(0,30))$root)
[1] 2.178902 時刻tで未崩壊の総セシウム数は
f(t) = 30･(1/2)^(t/30) + 2･(1/2)^(t/2)
に比例する。
これが現在の半分になる時が t=T とすると
f(T) = f(0)/2,
T = 27.2071525 (年)
セシウム134 は ほとんど残ってない。
残っているのは ほぼ全部セシウム137. 原子数=放射能/崩壊定数=放射能/(log2/半減期)=放射能*半減期*log2だから放射能が同じなら原子数∝半減期だから>942の通りですね。 原子数=放射能/崩壊定数=放射能/(log2/半減期)=放射能*半減期*log2
原子数で１：１なら、
放射能は原子数＊崩壊定数＝原子数＊log2/半減期 ∝ 原子数/半減期
なので、原子数で１：１のときに放射能が１／２になるのは>941で
>942の計算は放射能比でCs137とCs134の比が１：１の計算でどちらも正しいと思う。 >>942
これは総セシウム数が半分になる期間で総放射能が半分になる期間ではないと思う。 時刻0において、何が1:1なのか？
初期状態において、セシウム137由来の放射線量と、セシウム134由来の放射線量が1:1と解釈するのか、
セシウム137の物質量と、セシウム134の物質量が1:1と解釈するのかでは、自ずと別の問題になる。
>>938の補足は、後者だという意思表明だと思うが、いずれであろうとも、
初期状態の設定の違いとして現れるだけなので、回答を作成する場合には、本質的な差は無い。
それよりも、混合線源に対して、「半減期」なるものは定義できないのでは？
問題作成者に問題があるとおもうが。 フクイチから放出されたセシウム137、セシウム134のベクレル比が１：１とすると本日の残存セシウム総数とそれからの放射能は
> cesium_now()
$mol_ratio
[1] 0.7561325
$radioactivity_ratio
[1] 0.02628639
という値になった。
セシウム総数が半分になるのが27年ということなので9.4年めの今は75％残存は感覚としてもあってそう。 >>946
＞混合線源に対して、「半減期」なるものは定義できないのでは
これはご指摘の通りです。初期状態の半分になる時間と考えてください。 >>900
「n」の正六角形
原点−中心の距離がn,
(外接円の半径R) = (一辺の長さ) = √n,
面積が (3√3)/2・n,
aが中心ならば -3a, -3ωa, -3ω~a も中心 >>900
自然数mに対して「m^2」の正六角形がある。
中心は -m^2, -m^2･ω, -m^2･ω~
(外接円の半径 R) = (一辺の長さ) = m,
面積が (3√3)/2・m^2 ボルトの頭ってなんで六角形が多いの？
五角形の方が良くない？
角が少ない分、角が潰れることが少ないし、
角度は90度未満で回せる点は六角形に劣らない。 >>927 或いは >>926
この等式の証明が分からない。誰か教えて。
流れ元の >>918, >>920 の方は理解できた。 平行な辺がないとレンチをきっちり当てるのに苦労しそうだな
レンチをはめることを考えると四角形より六角形の方がやりやすく、角をなめにくいことを考えると八角形以上より六角形の方が有利
ってことで六角形なんじゃないか？ >>955 これ自己解決しました。
閉領域 [0...n]× [0...i] に於ける格子点を考える。
P, Q, M を其々 直線: y= (i/n) * x の 下方にある/ 上方にある / 乗っている 格子点数とする。
(n/2, i/2) に対しての点対称性より P = Q, それと M= gcd(i,n)+1
領域の全格子点数は (n+1)(i+1) = P+M+Q = 2P + gcd(i,n)+1
∴ Σ[j=1,n] 2[ij/n] = 2( P + M -1-n ) = (n+1)(i+1) -gcd(i,n)-1 + 2(gcd(i,n) -n)
= gcd(i,n) -n + i(i+n) 前>>933
>>951
ペンチやモンキーで挟むとき辺が平行じゃないと力が均等にかからないから回しにくい。よって正方形か正六角形か正八角形が考えられるが、正方形の場合ペンチを差しこむ体勢が2つしかない。となりのネジに障って回せなかったりコードに手が支えたりするなか確率の低いことをするとなんでネジを正方形にすんねんてなる。逆に正八角形だとネジとペンチの接触面が少なく力をじゅうぶんに伝えられず効率がわるい。
あいだをとって正六角形にするのがよいと考えられている。もちろん別の考えで別のかたちのネジを作ってもよいが、世間に認められるかどうかは別だ。 >>951
数学脳は真実を見ない典型だな
72°>60°
これに尽きる ∫^1_0ln(x^2-x+1)/(x*(x-1))dxはどのようにして求められますか？ 組合せ論の天才ロバース（数学オリンピック3回金メダル）の本だけあって面白い問題がありました。
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2^n × 2^nのチェス盤から1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ。
□
□□ 2^n 倍に拡大したL字を 4^n 個のL字で敷き詰められることから帰納法 >>962
∫[0,1] log(x^2-x+1)/(x(x-1)) dx
と解釈すると、すぐに思いついたのは、 log(1+x) のテイラー展開より |x| < 1 のとき
log(1+x) = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)x^n/n
で、 log(x^2-x+1)/(x*(x-1)) = log(1+x(x-1))/(x(x-1)) において
0 ≦ x ≦ 1 のとき |x(x-1)| < 1 だから、
log(1+x(x-1))/(x(x-1)) = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)(x(x-1))^(n-1)/n
より、項別積分によって 0 ≦ x ≦ 1 における定積分が計算できる
ここで
∫[0,1] (x(x-1))^(n-1) dx = (-1)^(n-1) Β(n, n)
となるので、
∫[0,1] log(1+x(x-1))/(x(x-1)) dx = Σ[n=1,∞] Β(n, n)/n
= Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(n*(2n-1)!))
Wolfram大先生によると π^2/9 らしいが、どうやって証明するんだろう
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A3%5Bn%3D1%2C%E2%88%9E%5D+%28%28%28n-1%29%21%29%5E2%2F%28n*%282n-1%29%21%29%29 とりあえず
Σ[n=0,∞]n!n!/(2n+2)!=3F2(1,1,1;2,3/2;1/4)
になってコレにClausen's formulaなるものを使うと
=(2F1(1/2,1/2;3/2;1/4))^2
になりコレに2F1(1/2,1/2;3/2;s^2)=(1/s)arcsin(s)を適用すると
=(2(π/6))^2=π^2/9
にはなった Σ[n=m,∞] n!n!/(2n+2)! = 3Ｆ2(1,m+1,m+1;m+2,m+3/2;1/4)
で m=0 の場合。
>>965
□□
□△
○△△□
○○□□
のように分解していく････ 面白いな
関さんのブログに計算方法みつけたけど規制でリンク貼れない
http://integers.hate●nablog.com/entry/2018/12/19/150752
(●抜いて) >>968
模範解答は実は非常に分かりやすいんです。 帰納法でやるんですが、例えば、
2^1のときには明らかに敷き詰め可能です。
2^kのときOKと仮定します：
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を4分割します：
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□□□■
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■□□□
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□■□□
□□□□
□□□□
■□□□
□□□□
□□□□
□□□□
帰納法の仮定によりこれらの4つの欠損チェス盤は敷き詰め可能です。
もう一度、2^(k+1)の下のチェス盤を見てください：
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□■■□□□
□□□□■□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□ 中央の
■■
□■
黒い部分（欠損している部分）はL字牌で敷き詰められます。
以上です。 >>970
さんの持ってる模範解答はともかくとして
Clausen's identity
(2F1(a,b;a+b+1/2;z))^2
=3F2(2a,2b,a+b;2a+2b,a+b+1/2;z)
ってどうやって示すんだろう？ 次の漸化式で定められた数列の全ての項は平方数であることを示せ
a_1=a_2=a_3=1
a_(n+3)=-a_(n+2)+2*a_(n+1)+8*a_n 10
11
20
31
52
121
200
314
512
これ次の数字分かる人いる？
数学というより数学モチーフにしたクイズ
規則性はちゃんとあるけどね >>977
正解
これ注意書きなく単に「次の数字は？」って出し方したら悪問かな
どう思う？
自分は別にいい気がするけど >>975
力技だけど
4項間漸化式を特性方程式x^3+x^2-2x-8=0の根
α=2, β=(-3+√(-7))/2, γ=(-3-√(-7))/2
を使って
a_n=Aα^n+Bβ^n+Cγ^n
と形を決めて、初項から
A=2/7, B=-1/7, C=-1/7
と係数を決定して
a_n=(2^(n+1)-((-3+√(-7))/2)^n-((-3-√(-7))/2)^n)/7
となるが、これは次の数列
b_n=(((-1+√(-7))/2)^n-((-1-√(-7))/2)^n)/√(-7
を使って
a_n=(b_n)^2
と書けている
b_nは3項間漸化式
b_0=0, b_1=1 b_(n+2)=-b_(n+1)-2b_n
を満たす数列であり、すべて整数である
よってa_nは必ず平方数になる >>975
p=(-1+√7i)/2, q= (-1-√7i)/2, bn=(p^n-q^n)/(p-q)
とおく
b1=1, b2=-1, b3=-1
である
b[n+2]=-b[n+1]-2bn
によりbnは全て整数
cn=bn^2とおくとcnは全て平方数である
c1=c2=c3=1
cn=(p^2n+q^2n+2^n)/(p-q)^2
p^2+q^2+2=-1
2p^2+2q^2+p^2q^2=-2
2p^2q^2=8
によりcnは漸化式
c[n+3]=-c[n+2]+2c[n+1]+8c[n]
を満たす
∴ an=cn >>969
このarcsinの2乗のテイラー展開は神秘的だな
逆三角関数のwiki英語版には書いてるけど日本語版には書いてない >>969
この記事ではChu-Vandermondeの恒等式とやらを使って証明しているけど、
f(x) := (arcsin(x))^2 のテイラー展開は普通に微分係数を計算しても証明できるみたい
f(0) = 0
f'(x) = 2arcsin(x)/(1-x^2)^(1/2) より f'(0) = 0
f''(x) = 2(1/(1-x^2) + xarcsin(x)/(1-x^2)^(3/2)) より f''(0) = 2
ここで微分方程式
(1-x^2)f''(x) = xf'(x) + 2
が成り立つので、この両辺を n 階微分すると、
(1-x^2)f^(n+2)(x) = (2n+1)xf^(n+1)(x) + (n^2)*f^(n)(x) より
f^(n+2)(0) = (n^2)*f^(n)(0)
が成り立つ。
よって n が奇数なら f^(n)(0) = 0, n が偶数なら、 n = 2k のとき
f^(2k)(0) = (2^(2k-1))*((k-1)!)^2
となるので、 f(x) のテイラー展開が
f(x) = Σ[n=1,∞] ((2^(2n-1))*((n-1)!)^2/(2n)!) x^(2n)
と求まる。
ゆえに、
2(arcsin(x/2))^2 = Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(2n)!) x^(2n)
が成り立つ。
特に x = 1 とすれば、
Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(2n)!) = π^2/18
となるから、したがって
Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(n*(2n-1)!)) = π^2/9
が得られる。 >>979 より
b_0 = 0, b_1 = 1, b_{n+2} = -b_{n+1} - 2b_n,
ここで
b_n = (-√2)^n B_n, cosθ = 1/√8,
とおくと
B_0 = 0, B_1 = 1/(-√2),
B_{n+2} = 2cosθ･B_{n+1} - B_n,
これと sinθ の和積公式
sin((n+2)θ) = 2cosθ･sin((n+1)θ) - sin(nθ),
を比べて
B_n = B_1 sin(nθ)/sinθ = 1/(-√2) sin(nθ)/(sinθ)
b_n = (-√2)^{n-1} sin(nθ)/sinθ,
ここで
n-1が奇数 ⇒ sin(nθ)/sinθ はcosθ=1/√8 の奇関数、
n-1が偶数 ⇒ sin(nθ)/sinθ は cosθ=1/√8 の偶関数。
∴ b_n は整数。
なお、
sin(nθ)/(sinθ) = U_{n-1}(cosθ),
を第二種チェビシェフ多項式と云うらしい。 ついこの前も3項間漸化式をわざわざチェビシェフ多項式で解いてたレス見たわ
ところで偶然にも>>969のテイラー展開はチェビシェフ多項式を使った「チェビシェフ展開」と見れる説が浮上してる >>983
β,γは特性方程式の因数 x^2 + 3x + 4 = 0 の根
これより漸化式
a_{n+2} = - 3a_{n+1} - 4a_n + 2^{n+2},
を得る。ここで
a_n = (2^n)(A_n + 2/7), cos(2θ) = -3/4,
とおくと
A_1 = 3/14, A_2 = -1/28, A_3 = -9/56,
A_{n+2} = 2cos(2θ)･A_{n+1} - A_n,
これと cos の和積公式
cos(2(n+2)θ) = 2cos(2θ)･cos(2(n+1)θ) - cos(2nθ),
を比べて
A_n = - (2/7)cos(2nθ),
a_n = 2^{n-1}･(4/7){1-cos(2nθ)}
= 2^{n-1}･(8/7){sin(nθ)}^2,
となるが、平方数かどうか分からぬ･････ 線型回帰数列の一般項を求めるのに線型代数を使おうが母関数を使おうが自由ではあるが、
一般項を求めるだけでは解決しない問題にわざわざ複雑な方法を使う意味がわからない
別の方法で計算したところで全く役に立ってないし >>968
盤を 1x1のマスの集まりと見て、■マスを b_0
2x2 ブロックの集まりと見たとき、■を含むブロックを b_1
4x4 ブロックの集まりと見たとき、■を含むブロックを b_2
････
2^n x 2^n ブロック全体、b_n
とする。
b_0 ⊂ b_1 ⊂ ････ ⊂ b_n
これらの差分は、辺長が2ベキであるn個のL字形である。辺長は
(1,2), (2,4),････, (2^{n-1},2^n)
つまり、盤面全体が、■マスとn個のL字形とに分割される。
これらのL字形は、>>968 のやり方で半サイズのL字形に分解してゆけば、最後には
□
□□
に至る。 n^2 + 1個の相異なる整数からなる数列には、長さn+1の増加部分列があるか、あるいは長さn+1の減少部分列があることを証明せよ。 >>964 >>971
面白い問題ですね。
区画を 2*2 の4区画に分割していき、
切り分ける際に交点が1つあるのがミソですね。
これ、パーツを変更して
□□
ただの2マスの棒にしたら
成立しないんだよな。(面積が偶数になってしまうからスペースが残せない) >>964
□□■…
□□□…
□□□…
…
サイズが a^n × b^n のチェス盤がある。
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤が
以下の部品で敷き詰められる
ようなチェス盤は存在するか？
□□□
↑ 3マスの横棒
存在するならば、そのような自然数 a,b を求めよ。 >>964 の追加問題
■の位置が決まれば、L字形の敷き詰め方は >>988 に限るか？
頂点(i,j)については
○−△
｜ ｜
△ ○−△
｜ ｜
○−△−○
○ i+j=偶数
△ i+j=奇数
>>987
実数だけで解ける問題にわざわざ複素数を使う意味が分からぬ
次スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/ >>983
U_0 = 1, U_1(x) = 2x, U_2(x) = (2x)^2 -1, U_3(x) = (2x)^3 - 2(2x), …
U_{n-1}(x) は 2x の整係数(n-1)次式。
∴ (√2)^{n-1} U_{n-1}(1/√8) は整数 >>994
>実数だけで解ける問題にわざわざ複素数を使う意味が分からぬ
そういうことはせめて一般項を具体的に書き下してから言ってね
何？ sin(nθ) って？
それに>>987は>>975の解決に一切役に立っていないことを批判しているわけだが
わからないのか？ 実数だけの問題を解くのに複素数を使うほうが楽な例はある
波動方程式とかね
そういうとき複素数を使うことに違和感はないけどな >>996
cosθ = 1/√8,
すなわち
θ = arccos(1/√8) = (1/2)arccos(-3/4) = 1.2094292…
ですね。
よく見て「批判」しましょう。 このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
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