面白い問題おしえて～な 28問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 00:19:23.87

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 16:34:10.74

前者の手法だけど、
>>189
k=0 の項を足し忘れてないかい？修正して計算し直したら
s(x) ≦ o(1) - inf(t≧δ)s(t)
になって、limsup_x とってから δ を ∞ に飛ばしても
α ≦ - β
にしかならなくて、ここから結論を同じように導くのは無理な気がする…

後者の素数定理のやり方はあってるっぽいので正解にします
analytic theorem については存じ上げなかったんだけどまあこんなうまいこと成り立ってくれるんだねえ
|S(x)-S(t)|≦|[x]-[t]| の >>194 での使われ方がうまいと思いました　ほんとお疲れ様でした

>>196
有界になるはずだよ
>>149 から x>0 が整数の時は μ(x)=0 になるし、
x が 1 以下動いた時の S(x),S(2x),S(3x) の値の変化はそれぞれ 1,2,3 以下だから μ(x) の変化も6以下になる

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 16:41:30.90

>>199
ありゃりゃ、やっぱり計算ミスしてたか。スマン。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 16:43:02.44

およ　ログ進んでた　すまんち
>>196 >>197
その様子を見ると、S(n) の最良のオーダーはだいたい n^(1/2 + ε) ぐらいにはなるのかねえ
まあ自分は証明できそうもないけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 16:51:08.50

剰余項つき素数定理の証明と同じようにすると、
(1/n)Σ_(k=1,n)a_k が 0 に収束する具体的なオーダーが
求められるかもしれない。最良のオーダーとして求まるわけではないし、
あまり詳しくないので何とも言えないが。

もし任意のε＞0に対して n^(1/2 + ε) のオーダーで抑えられるなら、
リーマン予想のS(x)バージョンになってるので、とても面白いｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 17:58:42.98

>>196
ですね。S(x)=S([x])で整数値のとこで0なんだからほぼ自明。
それにしても

>1以上の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k－1) と置く。

コレがうまい。
言われてみれば当たり前なんだけど。
私も池原の定理の類使うのは第一勘だったんだけど

f(s)=Σa[n]n^(-s)

を考えて失敗してこの方針捨てちゃったんだよね～
頭硬いorz

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 23:22:48.02

>>26 ももう答え書いていいかな

M = sup_x |f(x)| とおく。
実数 x と整数 n に対して y_n = x - n*√2 と定めると、
f(x+1) - f(x) = Σ_(k=0,2n) 2^(-2n) * (2n)C(k) * ( f(y_(2n)+1+k) - f(y_(2n)+k) )
= 2^(-2n) * Σ_(k=0,2n+1) ( (2n)C(k-1) - (2n)C(k) ) * f(y_(2n)+k)
となるから、
|f(x+1)-f(x)| ≦ 2^(-2n) * Σ_(k=0,2n+1) | (2n)C(k-1) - (2n)C(k) | * M
= M * 2^(-2n) * 2 * Σ_(k=0,n) (2n)C(k) - (2n)C(k-1)
= M * 2^(-2n) * 4 * (2n)C(n).
n は任意のであったから、n→∞ として f(x)=f(x+1) を得る。
これを元の式に代入することで f(x)=f(x+√2) も得られるが、
以上から f は稠密な集合 {a+b√2 | a,bは整数} 上で一定であるから、f は定数関数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 23:33:04.36

>>204
おながいします

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 23:34:22.25

>>172
　a_{n+1} = 2a_n + a_{n-1},　　　(a_2 = 2)
ならば
a_[n+2} = 6a_n - a_{n-2},　　　(a_1 + a_3 = 6)
　a_{n+3} = 14a_n + a_{n-3},　　　(a_2 + a_4 = 14)
a_{n+4} = 34a_n - a_{n-4},　　　(a_3 + a_5 = 34)
a_{n+5} = 82a_n + a_{n-5},　　　(a_4 + a_6 = 82)

(略証)
　a_{n+1} -2a_n - a_{n-1} = d_n,
とおくと
a_{n+2} -6a_n + a_{n-2} = d_{n+1} +2d_n - d_{n-1},
　a_{n+3} -14a_n - a_{n-3} = d_{n+2} +2d_{n+1} +5d_n -2d_{n-1} +d_{n-2},
a_{n+4} -34a_n + a_{n-4} = d_{n+3} +2d_{n+2} +5d_{n+1} +12d_n -5d_{n-1} +2d_{n-2} -d_{n-3},
a_{n+5} -82a_n - a_{n-5} = d_{n+4} +2d_{n+3} +5d_{n+2} +12d_{n+1} +29d_n -12d_{n-1} +5d_{n-2} -2d_{n-3} +d_{n-4},

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 23:40:24.39

>>204
そんなに簡単に終わるのかｗ

こっちは自分の証明の簡略化を考えてみたが、1行も短くならない (＾o＾)
しかも、>>177のpdfの手法を使った別証明も見つかったｗ
まさか>>26でも>>177が使えるとは思わんかった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 23:57:56.45

>>207
＞まさか>>26でも>>177が使えるとは思わんかった。
kesk

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 00:08:20.31

>>208
いま、長い方の証明から書き起こしてます(例のごとく、計算ミスしてるかもしれん)。
>>177の方針はそのあとになるんで、ちょっと時間かかりますｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 00:15:17.48

>>207 いや普通に気になる　よければ概要だけでも聞きたいわ

やや余談 >>201 の予想だけど、だんだん成り立たない気がしてきた
仮に任意の ε>0 について |S(x)|=O(x^(α+ε)) が成り立つと仮定すると、
Re(z)>α の範囲でf(z)が絶対収束するから >>191 の等式が成り立つことになるんだけど、
z が 3^z-2^z+1=0 を満たす場合、g(z)=0 も成り立たなければならなくなる。
例えば z=0.603312...+47.8074...i とか z=0.734188...+169.407...i が 3^z-2^z+1 の根になるらしいんだけど、
仮に α=1/2 ととれるなら、これらが全て g の根にもなる必要がある。
こんなうまいこと成り立ってくれるとはあまり思えない…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 08:44:17.10

>>204

スターリングの公式で
　2^(-2n)・C(2n，n) = 2^(-2n)･(2n)!/(n!)^2 ～ 1/√(πn),　　　(n→∞)
かしらん…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 17:14:52.91

>>109 ももう答え出しちゃおうか

ペル方程式 p^2 - 2q^2 = -1 には解が無数に存在するので、この解を用いて
x=q(p^2+9p+19),
y=p^2+6p+4
と定めれば
2x^2 - y^3 = 27(2p+11)
となり、p が十分大きければ 0<|2x^2-y^3|<100√|y| が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 17:34:38.20

>>212
その(x,y)はどうやって見つけたのかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 17:53:51.45

>>212
おお、素晴らしい！

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 18:20:45.73

>>213
この問題考える前にまず |x^2-y^3| を小さくできないかって考えてて、
x,y をnをパラメータとした多項式で表して良いのが作れるかなって考えたんだけど、
いつぞやのメーソン・ストーサーズの定理から、多項式 f,g について
deg(f^2-g^3) > (1/2)deg(g)
が成り立つことがわかるため、これは断念。
でも、例えば無限個のnについてh(n)が平方数になるようなあるhについてなら
deg(hf^2-g^3) ≦ (1/2)deg(g)
が成り立ってくれるのでは？と思って、状況を簡単にするために
(mx^2+1)(mx^2+ax+b)^2 - (mx^2+cx+d)^3
が x についての一次以下の自明でない式になるように
整数係数 m,a,b,c,d についての方程式を立てて解いていった、というのが見つかったきっかけ。
ただこの場合、最後に残った m,a についての方程式が確か
81m=a^2
だったから、どう頑張っても m が平方数にしかならなくて、h(n)が無限回平方数になるという目的は断念。
副産物として m=1 として a,b,c,d を定めていってできたのが >>212 で使われた
(x^2+1)(x^2+9x+19)^2 - (x^2+6x+4)^3 = 27(2x+11)
という式。これでも h にあたる x^2+1 が無限回（平方数×２）になってくれるからまあいいか、と。
ちなみに
8(2y^2-x^3) = (4y)^2-(2x)^3
でもあるから、Y^2-X^3 < 800√|X| を満たす(X,Y)も無限に存在する事になって、
無事最初の目的も果たされることになったとかそんな感じです

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 18:37:16.39

ただまあ後で調べてみたら Hall's conjecture というのがあるらしくて
https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_conjecture
この問題を考える過程で Danilov さんが既に同等のことを証明していたらしいことがわかって、やや萎え（？）
（式は自分のの方がより簡単になってるから意味無くはないと信じたいけどまあその辺はどうでも）
おそらくこれがその論文↓
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&;jrnid=mzm&paperid=6024&option_lang=eng
ロシア語で書かれてるけど実質２ページしかないからグーグル翻訳にちょっとずつ入れてって何とかなるレベルかと
英語版もあるらしいけど有料みたいなのでまあいいやと

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 19:55:19.13

素数定理の方針を使った>>26の証明を書きます。
示したいのは次の定理(I)で、>>26はこの定理の特殊な場合になります。

定理(I)　m≧2とする。a_1,…,a_m は正の実数で、ある異なるa_uとa_vがQ上一次独立とする。
λ_1,…,λ_mは正の実数で、Σ(k＝1～m)λ_k＝1を満たすとする。
f：R→Rは連続かつ有界で、f(x)＝Σ(k＝1～m)λ_k f(x－a_k) (x∈R) が成り立つとする。
このとき、fは定数関数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 19:58:30.09

補題1　m≧2とする。a_1,…,a_m は正の実数とする。
λ_1,…,λ_mは正の実数で、Σ(k＝1～m)λ_k＝1を満たすとする。
写像 f：R→R は f(x)＝Σ(k＝1～m)λ_k f(x－a_k) (x∈R) を満たすとする。
このとき、limsup(x→－∞)f(x)＝sup(x∈R)f(x), liminf(x→－∞)f(x)＝inf(x∈R)f(x) である。
また、fが局所ルベーグ可積分なら、Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)f は
xに依存しない定数である。よって、xに依存しない定数 α∈R を

α ＝ (Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1} Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)f

として定義できるが、実は
α≦limsup(x→－∞)f(x), α≦limsup(x→＋∞)f(x),
α≧liminf(x→－∞)f(x), α≧liminf(x→＋∞)f(x) が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:02:26.03

証明　帰納法により、x∈Rとn≧1に対して

f(x)＝Σ(k_1,…,k_n∈[1,m]) λ_{k_1}…λ_{k_n}f(x－a_{k_1}－a_{k_2}－…－a_{k_n})

が成り立つ。c＝limsup(x→－∞)f(x) と置く。sup(x∈R)f(x)≦c を示す。
c＝＋∞のときは明らか。c＜＋∞のときは、c＜rを満たす実数rを任意に取る。
limsup(x→－∞)f(x)＝c＜r だから、あるδが存在して、t＜δのとき f(t)＜r が成り立つ。
a＝min{a_1,…,a_m}＞0 と置く。x∈Rを任意に取る。xに依存した十分大きなn≧1を取れば、
x－na＜δ となるので、k_1,…,k_n∈[1,m] に対して
x－a_{k_1}－a_{k_2}－…－a_{k_n}≦x－a－a－…－a＝x－na＜δ である。よって、

f(x)＝Σ(k_1,…,k_n∈[1,m]) λ_{k_1}…λ_{k_n}f(x－a_{k_1}－a_{k_2}－…－a_{k_n})
≦Σ(k_1,…,k_n∈[1,m]) λ_{k_1}…λ_{k_n} r ＝ (Σ(k＝1～m)λ_k)^n * r ＝ r

となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:04:45.72

証明の続き　x∈R は任意だったから、sup(x∈R)f(x)≦r となる。
c＜rは任意だったから、r↓cとして、sup(x∈R)f(x)≦c となる。
次に、sup(x∈R)f(x)≧c を示したいが、これは明らか。
よって、sup(x∈R)f(x)＝c すなわち sup(x∈R)f(x)＝limsup(x→－∞)f(x) が成り立つ。
fを(-f)で置き換えれば、(-f)自体が補題1の仮定を満たすので、同じ議論によって
sup(x∈R)(－f)(x)＝limsup(x→－∞)(－f)(x) が成り立つ。
よって inf(x∈R)f(x)＝liminf(x→－∞)f(x) が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:07:19.81

証明の続き　次に、fは局所ルベーグ可積分とする。x≦yのとき

∫(x,y)f(t)dt＝∫(x,y)Σ(k＝1～m)λ_k f(t－a_k)dt
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x,y)f(t－a_k)dt
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,y－a_k)f(t)dt
＝Σ(k＝1～m)λ_k (∫(x－a_k,x)＋∫(x,y)＋∫(y,y－a_k))f(t)dt
＝∫(x,y)f(t)dt＋Σ(k＝1～m)λ_k (∫(x－a_k,x)＋∫(y,y－a_k))f(t)dt

なので、Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)f ＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(y－a_k,y)f
となる。よって、Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)f はxに依存しない定数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:11:12.83

証明の続き　次に、α ＝ (Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1} Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)f
と置く。α≦limsup(x→＋∞)f(x) かつ α≦limsup(x→－∞)f(x) を示す。
どちらもほぼ同じ議論なので、前者のみ示す。b＝max{a_1,…,a_m}と置いておく。
c＝limsup(x→＋∞)f(x)と置く。α≦cを示せばよい。c＝＋∞なら、明らか。
c＜＋∞のときは、c＜rを満たす実数rを任意に取る。
limsup(x→＋∞)f(x)＝c＜rより、あるδが存在して、x≧δのときf(x)＜rが成り立つ。
δ＋b＞δ＋b－a_k≧δ (1≦k≦m) であるから、

α＝(Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1} Σ(k＝1～m)λ_k ∫(δ＋b－a_k,δ＋b)f ≦ r

となる。すなわち、α≦rとなる。c＜rは任意だったから、r↓cとして、確かにα≦cとなる。
次に、α≧liminf(x→＋∞)f(x) かつ α≧liminf(x→－∞)f(x) を示す。
補題1のfとαに対して(-f)と(－α)を考えれば、補題1の条件が成り立つので、
同じ議論ができて－α≦limsup(x→＋∞)(－f)(x) かつ－α≦limsup(x→－∞)(－f)(x)
となる。よって、α≧liminf(x→＋∞)f(x), α≧liminf(x→－∞)f(x) である。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:17:32.43

定理1　m≧2とする。a_1,…,a_m は正の実数で、ある異なるa_uとa_vがQ上一次独立とする。
λ_1,…,λ_mは正の実数で、Σ(k＝1～m)λ_k＝1を満たすとする。f：R→RはR上でリプシッツ連続で、
f(x)＝Σ(k＝1～m)λ_k f(x－a_k) (x∈R) が成り立つとする。このとき、fは定数関数である。

証明　あるL≧0が存在して、任意のx,y∈Rに対して|f(x)－f(y)|≦L|x－y|である。
特にfは連続なので、局所ルベーグ可積分である。よって、補題1により、
limsup(x→－∞)f(x)＝sup(x∈R)f(x) かつ liminf(x→－∞)f(x)＝inf(x∈R)f(x) であり、
xに依存しない定数αが

α＝(Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1} Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)f

として定義できる。実は sup(x∈R)f(x)＜＋∞ が成り立つ。これを背理法で示す。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:21:03.19

証明の続き　もしsup(x∈R)f(x)＝＋∞ならば、任意のN≧1に対して、
あるt∈Rが存在して、N＜f(t)が成り立つ。y_1＝t と置くと、N＜f(y_1)である。
また、f(y_1)＝Σ(k＝1～m)λ_k f(y_1－a_k) である。
よって、あるkに対して N＜f(y_1－a_k) である。そこで、y_2＝y_1－a_k と置く、
これを帰納的に繰り返すと、点列 {y_i}_i が定義できて、
N＜f(y_i), y_1＝t, y_i－y_{i＋1}∈{a_1,…,a_m} となる。
特に、y_iは狭義単調減少で、y_i→－∞ となる。よって、x∈(－∞,y_1]を任意に取ると、
y_{i＋1}＜x≦y_iを満たすiが取れる。b＝max{a_1,…,a_m}と置けば

|f(x)－f(y_i)|≦L|x－y_i|≦L|y_{i＋1}－y_i|≦Lb

なので、f(x)≧f(y_i)－Lb≧N－Lbとなる。これがx∈(－∞,y_1]のとき成り立つので、

α＝(Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1} Σ(k＝1～m)λ_k ∫(y_1－a_k,y_1)f ≧ N－Lb

となる。すなわち、α≧N－Lb となる。N≧1は任意だったから、α＝＋∞となって矛盾する。
よって、sup(x∈R)f(x)＜＋∞である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:28:30.09

証明の続き　fを(－f)で置き換えれば、(－f)自体が定理1の条件を満たすので、
同じ議論によって sup(x∈R)(－f)(x)＜＋∞ である。
よって、inf(x∈R)f(x)＞－∞である。よって、fは有界である。
次に、g＝f－α と置く。このとき、gは有界である。
また、|g(x)－g(y)|≦L|x－y| (x,y∈R) である。
また、g＝f－α とαの定義により

Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)g ＝ 0 (x∈R)

である。特に Σ(k＝1～m)λ_k ∫(－a_k,0)g ＝ 0 である。
また、g(x)＝Σ(k＝1～m)λ_kg(x－a_k) (x∈R) が成り立つ。
xを－xで置き換えて、g(－x)＝Σ(k＝1～m)λ_kg(－x－a_k) (x∈R) も成り立つ。
ここで、Re(z)＞0 を満たす複素数zに対して

G(z)＝∫(0,∞)g(－x)e^{－zx}dx

が定義できて、G(z)はRe(z)＞0の範囲で正則である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:30:52.77

証明の続き

G(z)＝∫(0,∞)g(－x)e^{－zx}dx＝∫(0,∞)e^{－zx}Σ(k＝1～m)λ_kg(－x－a_k)dx
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(0,∞)e^{－zx}g(－(x＋a_k))dx
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(a_k,∞)e^{－z(x－a_k)}g(－x)dx
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(a_k,0)e^{－z(x－a_k)}g(－x)dx＋G(z)Σ(k＝1～m)λ_ke^{a_kz}

であるから、

(1－Σ(k＝1～m)λ_ke^{a_kz})G(z)＝Σ(k＝1～m)λ_k∫(a_k,0)e^{－z(x－a_k)}g(－x)dx

となる。右辺をH(z)と置き、u(z)＝(1－Σ(k＝1～m)λ_ke^{a_kz}) と置けば、
H(z)とu(z)はC全体で定義可能な正則関数であり、Re(z)＞0 のとき u(z)G(z)＝H(z) が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:36:53.57

証明の続き　

H(0)＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(a_k,0)g(－x)dx＝－Σ(k＝1～m)λ_k ∫(－a_k,0)g(x)dx＝0

である。また、u(0)＝0 だが、lim(z→0)u(z)/z＝u'(0)＝－Σ(k＝1～m)λ_ka_k ≠ 0 である。
よって、z＝0を含むある開円盤 B_0 とある正則関数 H_1：B_0→C とある正則関数
u_1：B_0→C－{0} が存在して、w∈B_0のとき H(w)＝wH_1(w), u(w)＝wu_1(w) と表せる。
次に、Re(z)＝0 かつ z≠0 のとき u(z)≠0 が成り立つことが示せる
(自明ではないが、省略する)。よって、Re(z)＝0 かつ z≠0 のとき、
その z を含むある開円盤 B_z の上で u(w)≠0 である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:39:28.98

証明の続き　

U＝{z∈C｜Re(z)＞0}∪(∪_{Re(z)＝0}B_z)

と置けば、Uは連結開集合である。G_1：U→C を

G_1(w)＝G(w) (Re(w)＞0)
G_1(w)＝H(w)/u(w) (w∈∪_{Re(z)＝0, z≠0}B_z)
G_1(w)＝H_1(w)/u_1(w) (w∈B_0)

と定義すると、G_1 は well-defined である(自明ではないが、省略する)。
また、G_1はU上の正則関数である。また、Re(z)＞0 のときは G_1(z)＝G(z) である。
よって、G(z)はU上に解析接続される。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:42:28.44

証明の続き　まとめると、gは有界であり、Re(z)＞0 のとき
G(z)＝∫(0,∞)g(－x)e^{－zx}dx であり、GはU上に解析接続されるので、
analytic theorem により、∫(0,∞)g(－y)dy が存在する。
すなわち、∫(－∞,0)g(y)dy が存在する。そこで、ε＞0を任意に取る。
∫(－∞,0)g(y)dy が存在することから、lim(x→－∞)∫(x,x＋ε)g(y)dy＝0 である。
また、x≦y≦x＋εのとき|g(x)－g(y)|≦L|x－y|＝L(y－x)であるから、

∫(x,x＋ε)g(y)dy≧∫(x,x＋ε)(g(x)－L(y－x))dy
＝εg(x)－L∫(x,x＋ε)(y－x)dy＝εg(x)－L∫(0,ε) y dy＝εg(x)－Lε^2/2

となる。limsup(x→－∞) を取って、0≧εlimsup(x→－∞)g(x)－Lε^2/2 となるので、
limsup(x→－∞)g(x)≦Lε/2 となる。ε＞0は任意だったから、
limsup(x→－∞)g(x)≦0 となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:44:54.14

証明の続き　次に、gのかわりに(－g)を考えると、∫(－∞,0)(－g)(y)dy が存在し、
|(－g)(x)－(－g)(y)|≦L|x－y| (x,y∈R) であるから、同じ議論によって
limsup(x→－∞)(－g)(x)≦0 となる。すなわち、liminf(x→－∞)g(x)≧0 となる。
以上より、lim(x→－∞)g(x)＝0 となる。g＝f－αだったから、lim(x→－∞)f(x)＝αとなる。
limsup(x→－∞)f(x)＝sup(x∈R)f(x) かつ liminf(x→－∞)f(x)＝inf(x∈R)f(x) だったから、

sup(x∈R)f(x)＝limsup(x→－∞)f(x)＝lim(x→－∞)f(x)＝α,
inf(x∈R)f(x)＝liminf(x→－∞)f(x)＝lim(x→－∞)f(x)＝α

である。任意のx∈Rに対して inf(x∈R)f(x)≦f(x)≦sup(x∈R)f(x) であるから、
α≦f(x)≦α となり、よって f(x)＝α (x∈R) となり、fは定数関数である。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:47:54.18

定理(I)の証明　補題1から、α＝(Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1}Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)f
がxに依存しない定数として定義できる。F(x)＝∫(0,x)(f(t)－α)dt と置けば、

F(x)－Σ(k＝1～m)λ_kF(x－a_k)＝Σ(k＝1～m)λ_k(F(x)－F(x－a_k))
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)(f(t)－α)dt
＝Σ(k＝1～m)λ_k ∫(x－a_k,x)f(t)dt－αΣ(k＝1～m)λ_ka_k＝0

となるので、F(x)＝Σ(k＝1～m)λ_kF(x－a_k) (x∈R)となる。
また、L＝sup(t∈R)|f(t)－α| と置けば、fが有界であることから L＜＋∞であり、
|F(y)－F(x)|＝|∫(x,y)(f－α)|≦L|x－y| (x,y∈R) である。よって、
FはR上でリプシッツ連続である。よって、定理1から、Fは定数関数である。
Fは各点で微分可能なので、F'＝0すなわち(f－α)＝0である。
よって、fは定数関数である。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 20:51:00.49

やっと終わった('A`)

長い方の証明も途中までは同じで、素数定理の手法を使っている部分が
別のやり方に変わっていきます。需要があったら書きます。
途中まで同じなので、やや省略できて＋10レスくらいになります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 21:24:55.86

一般の場合に証明しちまったのか…つよ…そりゃ長くもなるわ
書き起こすの大変だったろうに、気軽に頼んじゃってごめんよ　お疲れ様ですほんとに

f を積分した関数 F の挙動について考えたのはうまいなあと思いました
f と同じ等式が成り立つし、単に連続だったのをリプシッツ連続まで強くできるんだもんなあ
（まあ積分した関数も有界であることの証明は必要になったけど何とかなってたし）
α は何か f にとって重要な意味を持つ値なんだろうね　おおまかに f の"平均"ということになるのかしら
あとやっぱ analytic theorem つええなあ…

自分も一般的な場合の証明考えてみようかな…
個人的には、もう一つ見てみたいのとお腹いっぱいなのとの半々かなあ
もし既に書き起こしてるなら折角だし書いてみてもいいと思うけど、任せる！

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 22:44:16.46

>>233
じゃあ、明日か明後日あたりに投下しようかな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 22:55:53.30

ちなみに、もはや遊びですが次の定理も成り立ちます。

定理2　m≧2とする。a_1,…,a_m は正の実数で、ある異なるa_uとa_vがQ上一次独立とする。
λ_1,…,λ_mは正の実数で、Σ(k＝1～m)λ_k＝1を満たすとする。
f：R→R は L^∞ 関数で、f(x)＝Σ(k＝1～m)λ_k f(x－a_k) a.e.x∈R が成り立つとする。
このとき、fはa.e.で定数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 00:18:02.67

>>234 >>235
ありがとう気楽にやってくれい　てかそこまで一般化できるのか…
あと次みたいな拡張も考えられそうだ　例のごとく自分には証明できそうもないが

（予想）
実数上の有界連続関数全体からなるベクトル空間を V とおく。
V 上の線形作用素 S:V→V が次を全て満たすとする：
・任意の a∈R に対して定まる平行移動作用素 T=T_a:V→V ; (Tf)(x)=f(x+a) について、T と S は可換。
・f∈V について、f(x)≧0 for ∀x∈R ならば (Sf)(x)≧0 for ∀x∈R.
・f∈V が周期関数の時、（Sf=f）⇔（fは定数関数）
この時、f∈V が Sf=f を満たすならば f は定数関数である。□

作用素論とかに強い人いたら、もしよければ挑戦してみてくれ！！（他力本願）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 03:30:39.81

>>216
Hall’s conjectureってこれですね。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_conjecture
Hall’s conjecture の弱い形は ABC conjecture より従うとあるけどどんな形なんだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 03:35:05.71

あ、失礼しました。
――-
there is a positive constant C such that for any integers x and y for which y2 ≠ x3,

|y^{2}-x^{3}|>C|x|^(1/2).
――
が Hall’ conjecture で
――
for any ε > 0, there is some constant c(ε) depending on ε such that for any integers x and y for which y2 ≠ x3,

|y^{2}-x^{3}|>C|x|^(1/2-ε).
――-
がその弱型ですね。
どうやって ABC予想から示すんだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 05:00:13.35

でけたわ　作用素に課される条件が若干強くなったけどまあこれで十分と思われ　証明はまた時間ある時に

定理３
実数上の有界連続関数全体からなるベクトル空間を V とおく。
V 上の線形作用素 S:V→V が次を全て満たすとする：
・任意の a∈R に対して定まる平行移動作用素 T=T_a:V→V ; (Tf)(x)=f(x+a) について、T と S は可換。
・f∈V について、f(x)≧0 for ∀x∈R ならば (Sf)(x)≧0 for ∀x∈R.
・f∈V が定数関数の時、Sf=f.
・任意の a>0 について次が成り立つ：「f∈V が f(x)>0 for ∀x∈R-(aZ) を満たせば (Sf)(0)>0 も満たす」
この時、Sf=f を満たす f∈V は定数関数のみである。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 12:23:04.40

固有の番号の書かれたカードが何枚あり、
その枚数は１０００枚以下であることはわかっているが、その数を推定したい。
調査員が無作為に１０枚選んで番号を記録して元に戻した。
別の調査員が無作為に２０枚選んで番号を記録した。
二人の調査員の記録した番号を照合すると３人分の番号が一致していた。
この情報からカード枚数の期待値を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 13:03:18.44

>>240
>二人の調査員の記録した番号を照合すると３人分の番号が一致していた。

三枚一致した？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 14:11:06.47

>>241
そのとおり、三枚一致。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 14:44:52.93

>>240
とりあえず”3枚一致した”と解釈して

C:３枚一致するという事象、N:カードの枚数、p[n] = P(N=n)として
E(N|C) = Σ n P(N=n|C) = Σ n P(N=n＆C) / P(C) = Σ n p[n] P(C|N=n) / (Σ p[n] P(C|N=n))、
P(C) = Σp[n]P(C|N=n)、
P(C|N=n) = C[10,3]C[n-10,17]/C[n,20] (n≧27)
.　　　　　 0 (otherwise)、
により
E(N|C) = Σn p[n] C[10,3]C[n-10,17]/C[n,20] / (Σ p[n] C[10,3]C[n-10,17]/C[n,20])

ここまでは定義どうり。
しかし問題文にp[n]が与えられてないし、p[n]に依存すると思われるのでここで詰まる。
一様分布だとしてHaskell先生に聞く。

Prelude Data.Ratio> let c m n = div (product [m-n+1..m]) (product [1..n])
Prelude Data.Ratio> let pc n = ((c 10 3)*(c (n-10) 17))%(c n 20)
Prelude Data.Ratio> (sum [(fromInteger n)*(pc n)|n<-[27..1000]])/(sum[pc n|n<-[27..1000]])
21375 % 143
Prelude Data.Ratio> fromRational it
149.47552447552448

キレイに求まるんかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 14:55:08.32

>>243

正解です。

最頻値が20*10/3の６６なのに期待値との乖離が大きくてびっくりした。
Rでも
[1] 149.4755244755245

95%信頼区間をhighest densitye intervalで算出したら32 ～ 411

確率分布をグラフにしたらこんな感じ。

http://i.imgur.com/paJnhr9.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 19:37:40.91

>>239
ひえー！
予定していた長い方の証明は>>239には通用しないので、
書く意味がなくなりましたね(＾o＾)

>>235の証明だけ書いておきます。実は>>231とほぼ同じです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 19:42:09.32

>>235の証明　補題1の積分計算と同じ計算をすると、
α＝(Σ(k＝1～m)λ_ka_k)^{－1}Σ(k＝1～m)λ_k∫(x－a_k,x)f
がxに依存しない定数として定義できる(a.e.x の意味ではなく、任意のxに依存しない)。
F(x)＝∫(0,x)(f(t)－α)dt (x∈R) と置く。微積分学の基本定理から、
Fはa.e.で微分可能で F'＝(f－α) a.e. である。
次に、αが任意のxに依存しないことから、>>231と同じ計算で
F(x)＝Σ(k＝1～m)λ_kF(x－a_k) (x∈R) となる。
また、L＝|α|＋||f||_∞ と置けば、L＜＋∞であり、
|F(y)－F(x)|＝|∫(x,y)(f－α)|≦L|x－y| (x,y∈R) である。よって、
FはR上でリプシッツ連続である。よって、定理1から、Fは定数関数である。
よって、FはR全体で微分可能で、R全体で F'＝0 である。
一方で、F'＝(f－α) a.e. だったから、(f－α)＝0 a.e. となる。
よって、f＝α a.e. である。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 01:47:37.44

>>212 >>215 >>216 >>237 >>238

仮に C > 27*2 だとすると >>212 により無数に反例が出てくるので、
C≦27*2 ですかね…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 02:25:34.49

〔補題〕
ペル方程式 pp - 2qq = -1 には解が無数に存在する。

(略証)
(p_1, q_1) = (1, 1)　は一つの解である。

(p, q) が解ならば
　p ' + q'√2 = (1+√2)^2･(p+q√2),
　p ' - q'√2 = (1-√2)^2･(p-q√2),
(どちらでも同じこと）とおくと、
　p ' = 3p + 4q,
　q ' = 2p + 3q,
も解である。(漸化式)

これより解が無数に存在する。
　p_{2n+1} = {(1+√2)^(2n+1) + (1-√2)^(2n+1)}/2,
　q_{2n+1} = {(1+√2)^(2n+1) - (1-√2)^(2n+1)}/(2√2),

∴　p > (27*11-2C)/(C-27*2)　をみたすpも無数に存在する。(C>27*2 のとき)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 04:52:59.01

位数9852554225504584574の群を分類せよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 05:55:42.54

>>249
9852554225504584574の素因数分解は2×83×59352736298220389である。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=prime+factorization+9852554225504584574
p = 2、q = 83、r = 59352736298220389 とおき、それぞれの sylow group P,Q.R を選び、その共役の個数をl、m、n とおく。
このとき m = [G:N(Q)] = 1,p,r,pr、m ≡ 1 (mod q) である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Sylow_theorems
しかしこれを満たすのは m=1 のみである。
特に Q は正規部分群である。
同様にして R も正規部分群である。
よってQR = Hは位数qrの部分群であり、同様にしてRはHの正規部分群である。
よってHはRのQによるInner semidirect productである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Semidirect_product
ここでAut Rは位数 r-1 の巡回群であり、(r-1,q) = 1であるからQ→Aut Hは自明であるものしかない。
よってHはQとRの直積であり、位数qrの巡回群である。
同様にしてGはHのPによるInner semidirect productである。
ここでAut Hは位数q-1の巡回群と位数r-1の巡回群の直積であり、P→Aut Hは４つある。
以上によりGは
C[2]×C[83]×C[59352736298220389]、
D[83]×C[59352736298220389]、
C[83]×D[59352736298220389]、
<x,y,z|x^2、y^83、z^ 59352736298220389、xyxy、xzxz>
の４つのいずれかに同型である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 21:17:34.40

池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３６匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。
95%信頼区間も合わせて述べなさい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 22:13:33.36

>>36 の１つ目が本当にわからん…
mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、
剰余を使った証明はどうやら無理っぽいということまでしかわからん…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 00:31:58.54

次の等式が成立することを示せ。eはネイピア数である。
1/((1π)^2+1)+1/((2π)^2+1)+1/((3π)^2+1)+……=1/(e^2-1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 00:38:45.17

>>252
忘れてた。
これムズイよね？
多分すべてのp進数体では解を持つけど大域的には解がないHasse principle の反例になるやつだと思うんだけど、じゃどうせいと言われると手が止まるよね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 02:26:40.72

>>239 の定理３だけど、証明に致命的な間違いが見つかってやり直したが、それでもどう頑張っても修正無理そうだ…
代わりに、 S の条件をさらに強めたバージョンに変更して（主張がだいぶしょぼくなったけど）今度こそ証明したので報告。
安々と定理なんて言うもんじゃないな…

実数上の有界連続関数全体からなるベクトル空間を V とおく。
V 上の線形作用素 S:V→V が次を全て満たすとする：
(i)任意の a∈R に対して定まる平行移動作用素 T=T_a:V→V ; (Tf)(x)=f(x+a) について、T と S は可換。
(ii)f∈V が定数関数の時、Sf=f.
(iii)任意の a>0 について次が成り立つ：「f∈V が f(x)>0 for ∀x∈R-(aZ) を満たせば (Sf)(0)>0.」
(iv)次を満たす H>0 が存在する：「f∈V が f(x)=0 for ∀x∈[-H,H] を満たせば (Sf)(0)=0.」
（定理３．１）このような状況の時、Sf=f を満たす f∈V は定数関数のみである。

使う補題とすんごい大雑把な証明の概略
（補題１）f∈V が Sf=f を満たし、ある a>0 について f(x+a)=f(x) for ∀x∈R を満たせば、f は定数。
（∵）f(x) が f の最小値をとるような x の集合を L、 x∈L⇒x+a∈L を満たす a の集合を G とおくと、
G は閉集合で加法に関して群をなし、∪_(x∈L) {a∈R| x+a∈L でない} = R-G が言える。
R の強リンデレフ性から L の点列 {x_n} であって ∪_(n=1,∞) {a∈R| x_n+a∈L でない} = R-G を満たすものがとれて、
アスコリ＝アルツェラの定理から F(x) = Σ_(n=1,∞) 2^(-n)_f(x+x_n) は連続で S 不変、
かつ ∀x∈R-G で F(x)>0 となるから (iii) より G=R となるしかない。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 02:39:58.41

>>253
Σ[k≧1] 1/((kπ)^2 + 1)
=Σ[k≧1i≧1] (-1(kπ)^2)^i
=Σ[i≧1] ζ(2i)(-1π^2)^i
=Σ[i≧1] (-1)^(i+1)B[2i](2π)^(2i)/2/(2i)!(-1π^2)^i
=Σ[i≧1] (-1)B[2i]2^(2i)/2/(2i)!
= (1/2)(coth 1 - 1)
=1/(e^2-1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 03:57:25.66

>>255 の続き
（補題２）f∈V が Sf=f を満たし、lim(x→∞)f(x) と lim(x→-∞) f(x) が存在するならば、f は定数。
（∵）g(x)=f(x+1)-f(x) とおいて sup_x g(x) > 0 と仮定すると、g(x) が g の最大値になるような最小の x_0 と最大の x_1 について、
G(x):=g(x+x_0)+g(x+x_1) は S 不変かつ G(x)<G(0) for∀x≠0 となり、(iii) と矛盾。
これらの議論が -g にも適用できることから g が定数とわｂｩるので、補題ｂPより f も定数。□

（補題３）f∈V が Sf=f を満たすならば、F(x):=∫_(0,1) f(x+t)dt も SF=F を満たす。
（∵）関数列 f_n(x):=(1/n)Σ_(k=1,n) f(x+k/n) のコンパクト一様収束性から従う。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 04:33:13.19

>>253

オイラー積表示
　sinh(x) = x Π[k=1,∞] {1 + (x/kπ)^2},
より
　log|sinh(x)| = log|x| + Σ[k=1,∞] log{1 + (x/kπ)^2},
　coth(x) = cosh(x)/sinh(x) = ( log|sinh(x)| ) ' = 1/x + 2Σ[k=1,∞] x/{(kπ)^2 + x^2},
に x=1 を入れる…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 04:41:27.91

>>257 の続き　一番面倒な補題

（補題４）f∈V が１以下のリプシッツ係数を持ち Sf=f を満たすならば、lim_(x→∞) f(x) が存在する。
（∵）a:=liminf_(x→∞) f(x) < b:=limsup_(x→∞) f(x) であると仮定する。
各 r∈R に対して C(r)=lim_(ε→+0) limsup_(x→∞, f(x)<a+ε) f(x+r)-a とおくと、
アスコリアルツェラから C は有界かつ１以下のリプシッツ係数を持つことがわかる。
またこれより、各 r∈R に対して、非有界な上昇列 {x_n} であって n→∞ の時 f(x_n)-a→0、f(x_n+r)-a→C(r) を満たすものがとれるが
アスコリアルツェラから部分列 {x'_n} であって T_(x'_n)f-a が [-1,1] 上で一様収束するものがとれる。（Tの定義は(i)参照）
この部分列 {x''_n} をとって T_(x''_n)f-a が [-2,2] 上で一様収束するものがとれて、更に部分列 {x'''_n} をとって T_(x'''_n)f-a が [-3,3] 上で一様収束するものがとれて、…
と部分列を帰納的に定義できることから、{x_n} の部分列 {y_n} であって T_(y_n)f-a がコンパクト一様収束するものがとれる。
この関数列の収束先である F_r は 0≦F_r(x)≦C(x) for∀x かつ F_r(r)=C(r) を満たし、なおかつ S 不変。これが任意の r に定義できることから、
C(x) にコンパクト一様収束する V の関数列 {g_n} であって g_n(x)≧0 for∀x かつ (Sg_n)(0)=0 を満たすものが構成できるので、(SC)(0)=0.
r_1,r_2∈R について C(r_1)=C(r_2)=0 ⇒ C(r_1+r_2)=0 がわかるので、C の零点集合は (1) R の加法に関する離散部分群かその部分集合、(2) R 全体、
もしくは (3)０以上の実数全体か０以下の実数全体のどちらかの部分集合 X であって原点から離れるにつれ徐々に稠密になっていく集合、のどれかになる。
（続く）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 04:45:42.16

>>259 の続き

(1) の場合は (iii) と矛盾。(2) の場合は、十分小さい ε>0 と十分大きい実数 b_1<a_1<a_2<a_3<b_3 s.t.
（x≧b_1 かつ f(x)<a+ε ならば ∀r∈[-H,H] について f(x+y)<(a+b)/2）　∧　f(b_1),f(b_3)>(a+3b)/4
∧　f(a_2) = min_(t∈[b_1,b_3]) f(t) < a+ε　∧　a_1=min{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}　∧　a_3=max{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}
がとれるので、(T_(a_1)+T_(a_3))f(x)>2f(a_2) (for∀x∈[-H,0)∪(0,H]) から S(T_(a_1)+T_(a_3))f(0)>2f(a_2) となるが、これは f(a_1)+f(a_3)=2f(a_2) と矛盾。
これらから (3) の場合のみが残る。集合 X が伸びている方向を σ∈{+,-} とおくと、Xはσの方向に徐々に稠密になっていくから lim_(x→σ∞) C(x)=0.

これまでと全く同様の議論を -f に対して行い（勿論aとbも逆になる）、C にあたる関数を D とおく。
もし D の零点集合が伸びる方向が σ と逆ならば (C+D)(x)>0 for∀x≠0 より S(C+D)(0)>0 となるが、これは SC(0)=SD(0)=0 と矛盾。
よって、D は C と同じ方向に伸びるので、lim_(x→σ∞) D(x)=0. したがって、M>0, ε>0 であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。これより、M<b'_1<a'_1<a'_2<a'_3<b'_3 を
f(b_1),f(b_3) > b-ε　∧　f(a_2) = min_(t∈[b_1,b_3]) f(t) < a+ε　∧　a_1=min{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}　∧　a_3=max{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}
を満たすように定めれば、(1') |b'_1-a'_1|≦H または |b'_3-a'_3|≦H と (2') b'_1+H<a'_1 かつ a'_3<b'_3-H の二つの場合に分けてそれぞれ今までとほぼ同様に矛盾を示せる。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 05:14:14.61

（定理３．１）f∈V が Sf=f を満たすならば、f は定数。
（∵）補題３から F(x):=∫_(0,1) f(x+t)dt も S 不変かつリプシッツ連続であるが、
補題４（と対称性）から lim(x→∞) F(x) と lim(x→-∞) F(x) が存在。
補題２から F は定数であるから、f(x)=f(x+1). これと補題１から f は定数。□

（系１）正の数からなる無限列 λ_1, λ_2,… の総和は１であり、
有界な実数列 a_1, a_2,… のうちQ上一次独立な二つ組が存在すると仮定する。
この時、実数上の有界連続関数 f で
f(x) = Σ_(n=1,∞) λ_nf(x+a_n) (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。（証明略）

（系２）a<b を実数、φ を区間 [a,b] 上の連続関数であって
φ(t)≧0 (for∀t∈[a,b]), ∫_(a,b)φ(t)dt=1
を満たすものとする。この時、実数上の有界連続関数 f で
f(x) = ∫_(a,b)φ(t)f(x+t)dt (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。（証明略）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 05:34:37.06

ちなみに、例えばこんなことはまだ示せていません。和をとったりしてる範囲が非有界なので

（予想１）実数上の有界連続関数 f で
f(x) = Σ_(n=1,∞) f(x+√n)*2^(-n) (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。また、
f(x) = (1/√π)∫_(-∞,∞) f(x+t)e^(-t^2) dt (for∀x)
を満たすものも定数関数に限られる。

（予想２）S の条件のうち (iv) を
(iv)’ 関数列 f_n∈V (n=1,2,…) が一様有界かつ 0∈V にコンパクト一様収束するならば lim_(n→∞) (Sf_n)(0)=0.
まで緩めても、定理３．１と同様の主張が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 05:51:08.71

>>260 訂正
誤：
したがって、M>0, ε>0 であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。

正：
したがって、M>0, ε>0, m>3H であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[m-2H,m+2H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[m-2H,m+2H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 11:10:28.14

>>252

> >>36 の１つ目が本当にわからん…
> mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、

どうやって示すんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 14:20:30.06

>>264
S(p,a) = Σ_(x,y,z,w=1～p) e^(2πi(x^4+y^4-6z^4-12w^4)a/p),
S(p) = Σ_(a=1～p) S(p,a)
とおくと、もし x^4+y^4-6z^4-12w^4=0 の解が (0,0,0,0) しか無ければ S(p)=p となるはず。
一方 S(p,p)=p^4 であり、Aがpで割りきれない時は確か
|Σ_(x=1～p) e^(2πi(x^4)A/p)|≦3√p
が Vinogradov(1954) の "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" から言えたはずだから、
S(p) ≧ p^4 - (p-1)(3√p)^4 = p^4 -
81p^3 + 81p^2.
以上から p≦80 がわかるから、あとはこれらの p についてパソコンか何かで調べ上げればOK

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 14:41:42.62

>>265
もし x^4+y^4-6z^4-12w^4≡0 (mod p) の解が x≡y≡z≡w≡0 (mod p) しか無ければ
だった　スマン

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 14:56:39.31

>>266
なるほど。
でもなんかこの問題 Hasse principle 使えるような気がしてきた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 17:24:26.51

>>262（予想２）普通にできたわ…何でこれ気づかなかったんや…

（∵）S の条件を変えたときに補題１，２，３は同じ議論で通用するから、補題４だけ証明すればよい。
まず g(x)=f(x+1)-f(x) とおき、この g に対して >>259 と同様に C を定めると、
(1)の場合に矛盾が生じるところまで同じ議論が成り立つ。
(2),(3) のいずれの場合も、σ∈{+,-} であって lim_(x→σ∞)C(x)=0 を満たすものが存在。
したがって、a = liminf(x→∞)g(x) < 0 と仮定すると、任意の N>0 について
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、
十分大きい全ての x∈R s.t. g(x)<a+ε が g(x+r)<a/2 for∀r∈[M,M+N] を満たすことがわかる。
このような x について、
f(x+M+N)-f(x+M) = g(x+M)+g(x+M+1)+…+g(M+N-1) < Na/2
が成り立つが、N>0 は任意であったからこれは f の有界性に反する。したがって、a≧0.
-g や逆方向の極限についても同様であるから、lim_(x→±∞)g(x)=0.
補題２から g は定数であり、補題１から f も定数である。
以上から補題４にあたる部分が示されたが、
補題１～４から主張を示す部分は、定理３．１と同様の議論が成立する。□

系として（予想１）も成り立つことがわかりますが、証明は略。
同様の結果が成り立つことを保証するのに条件(iv)'は本当に必要なのか？という疑問は当然わきますが、
任意の f∈V に対して定義されて f の x→±∞ での挙動「のみ」に依存する線形な作用素が、
そもそもそんな簡単には作れないような気がしてて、
ここは選択公理とか使ったりする必要がありそうと感じているため、
その辺の反例の構成とかは興味のある有志にお任せしたいと思います…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 17:29:24.42

>>268
誤：
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、

正：
M∈R, ε>0 s.t. C_ε(r)<|a/6| for∀r∈[M,M+N] がとれるから、

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 17:51:41.92

3×3行列Aについて、det(A) を tr(A) の式で表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 18:04:52.36

>>270
det(A) = (1/6)tr(A)^3 - (1/2)tr(A)tr(A^2) + (1/3)tr(A^3) とかはダメ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 18:15:07.67

できるわけないやん。trは等しいけどdetは異なる行列なんか死ぬほどあるやろ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 18:44:55.40

>>271
正解です。直ぐに出てくるなんて凄いな。
私は最近知ったんだけど、この手の内容について参考文献とかあったら教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 18:51:42.34

>>272
おまえはデキッコナイスか！

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 19:13:37.81

>>273
大学で使うような線形代数の教科書だったら何でも載ってる気がするけどなあ、わからんが
wikipedia の固有多項式の項目を見てみるだけでも結構色んな情報引き出せたりすると思うけど、
もし文献が欲しいならすまんが数学の本スレとか別のところで聞いてみてくれ

類題
3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。（detの中身は複数種類でも可）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 23:25:29.70

池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３６匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。

これ、７０匹でも６９匹でも同確率になるよね？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/15(木) 23:39:15.72

>>276
80匹じゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 00:14:14.66

>>277
いつもの芸風？56*45/36=70

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 00:21:41.73

56*45/36=70で求まる70匹のとき36匹の目印が見つかる確率

137149850039891/562949953421312
0.2436270741410791

69匹のときの36匹の目印が見つかる確率も
137149850039891/562949953421312
0.2436270741410791
となった。

import math
from fractions import Fraction
def choose(n, r):
return math.factorial(n) // (math.factorial(n - r) * math.factorial(r))
def dhyper(x,g,b,s):
return choose(g,x)*choose(b,s-x) / choose(g+b,s)
f69 = dhyper(36,56,69-56,45)
print (Fraction(f69))
print(f69)
f70 = dhyper(36,56,70-56,45)
print (Fraction(f70))
print (f70)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 00:25:09.70

プログラムのご紹介、乙。
でも、ま、プログラムとしての新規性の証明、解説が必要かな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 00:33:03.74

>>280
Rの超幾何分布関数で算出したら
最頻値が２つ出てきたので分数表示できるpythonでやっても同じになって困惑してるのが現状。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 07:16:29.90

全ての成分が自然数で、対角成分が全て0の正方行列Aについて
tr(A^3)は6の倍数であることを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 07:37:02.65

>>282
修正
正方行列→対称行列
です

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 08:09:34.01

>>282 >>283
B = A^3,
tr(B) = Σ[i=1,n] B(i,i)
= Σ[1≦i,j,k≦n] A(i,j) A(j,k) A(k,i)
= 6Σ[1≦i<j<k≦n] A(i,j) A(j,k) A(i,k)
∵　{i,j,k} のどれかが一致すれば 0
ぢゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 08:47:46.29

単発質問スレより　引用

1問目は1から9を多くて1回づつ使って等式を完成させる
https://i.imgur.com/os8xCr9.jpg

□/□　＊　□/□　＝　□□/□

(a/b)*(c/d) = (10*e+f) /g

左辺の分数は互換なのでa>cとして

Prelude> let r = [[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[1..9],b<-[2..9],c<-[1..9],d<-[2..9],e<-[1..9],f<-[1..9],g<-[2..9],(a/b)*(c/d)==(10*e+f)/g,
a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a>c]
Prelude> let f x = map floor x
Prelude> map f r
[[7,2,3,6,1,4,8],[7,6,3,2,1,4,8],[8,2,3,6,1,4,7],[8,2,7,4,6,3,9],[8,2,7,6,1,4,3],[8,4,7,2,6,3,9],[8,4,7,6,2,1,9],[8,6,3,2,1,4,7],[9,2,7,4,6,3,8],
[9,2,8,4,6,3,7],[9,4,7,2,6,3,8],[9,4,7,6,2,1,8],[9,4,8,2,6,3,7],[9,4,8,6,2,1,7],[9,6,7,4,2,1,8],[9,6,8,4,2,1,7]]

2問目は2個答える
最大になるように-5から5を多くて1回づつ使う
最小になるように-5から5を多くて1回づつ使う
https://i.imgur.com/H7btl39.jpg

こっちが終わらない　：（

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/16(金) 09:08:17.41

前>>277訂正。
16×5⇒14×5

ま、でも印をつけられる段階ですでに「ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉」が10匹ぐらいいると思うんだよね。
すべての鯉をx匹、ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉をy匹とおくと、
x-y=70(匹)
印をつけられる確率は4/5じゃない気がする。
印をつけるたびすでに印をつけられた鯉が生け簀に増えてくわけで、
すでに印をつけられた鯉を捕ることもあるはず。
y=10なら80匹だし、それに70匹ぐらいなら80匹もぎりぎりオッケーじゃないの。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 09:40:36.84

>>285
２問目も計算、終わってた

y = [a/b*(c-d)-e*(f-g)|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5],
a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g]
f x = map floor x
yMax = maximum y
z=[[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5]
,a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a/b*(c-d)-e*(f-g)==yMax]
map f z

Prelude> map f z
[[-5,-1,3,-4,5,-3,4],[-5,-1,3,-3,5,-4,4],[-5,-1,4,-4,5,-3,3],[-5,-1,4,-3,5,-4,3],[-5,1,-4,3,5,-3,4],[-5,1,-4,4,5,-3,3],[-5,1,-3,3,5,-4,4],[-5,1,-3,4,5,-4,3],
[5,-1,-4,3,-5,4,-3],[5,-1,-4,4,-5,3,-3],[5,-1,-3,3,-5,4,-4],[5,-1,-3,4,-5,3,-4],[5,1,3,-4,-5,4,-3],[5,1,3,-3,-5,4,-4],[5,1,4,-4,-5,3,-3],[5,1,4,-3,-5,3,-4]]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 09:55:52.98

>>286
70匹のときの確率
137149850039891/562949953421312　 = 0.2436270741410791

80匹のときの確率　639173184839639/36028797018963968 = 0.017740619663298957

だから、80匹は可能性が低い

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 10:03:56.75

>>286
池の鯉の可能性を５６＋（４５－３６）＝６５匹から上限を１００００匹にして
その確率は一様分布に従う（つまり、６５匹の確率も１００００匹の確率も同じ）として計算したら

最頻値
$`mode`
[1] 69 70

中央値
$median
[1] 71

期待値
$mean
[1] 71.17647

９５％信頼区間(highest density)
$CI.hdi
[1] 65 78

パーセンタイル(2.5.%-97.5%)
$CI.Qqtl
[1] 66 80

80匹はまあ、ギリギリセーフといえなくもない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 10:33:03.57

>>36の出題者らしきレスなんにも出てこないけど、これ本当にとけるんかな？時々未解決問題貼るやついるからなぁ。
まぁもう諦めたからどっちでもいいけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 10:49:59.06

>>281
Wolframdでも同じだなぁ。６９匹と７０匹は同確率。
では、56*45/36=70の値は一体なんだろ

choose(56,36)*choose(13,9)/choose(69,45)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose(56,36)*choose(13,9)%2Fchoose(69,45)
3591292705/14740942556
choose(56,36)*choose(14,9)/choose(70,45)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose(56,36)*choose(14,9)%2Fchoose(70,45)
3591292705/14740942556

choose(13,9)/choose(69,45)
11/35471218518158136
(13!/(4!*9!)) /(69!/(24!*45!))

choose(14,9)/choose(70,45)
11/35471218518158136
(14!/(5!*9!))/(70!/(25!*45!))

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 12:24:02.61

大きな数を扱う化学では

コップの中の真水56ccを濃度1％の食塩水56ccで置き換えました。
よく混ぜた後45cc取り出して濃度を測ると36/45%でした。
最初の真水の量は何ccだったのか計算せよ。

36/45=56/x
x=70
答え 70cc

とかしてるわけだけど、
確率分布はどんな様子になってるんだろう。
>>276の問題の各数値を10^23倍くらいにすればいいわけだよね

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 13:11:22.71

小学校「さくらんぼ計算」に戸惑う声
https://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20181115-00000006-jct-soci
https://amd.c.yimg.jp/im_sigg4tEc9zbWoY9xWDiiNhYroA---x900-y720-q90-exp3h-pril/amd/20181115-00000006-jct-000-1-view.jpg
さくらんぼ計算とは、「8＋7」の足し算で、7を2と5に分け、8にこの2を足して10にする。
そして、10と残りの5を足して15と計算するやり方だ。7の下にぶら下がったさくらんぼの実を2つ描き、
2と5を実の中に書くことから、さくらんぼ計算と呼ばれている。

報告主は、「10＋7」の10を3と7に分けるといったムダなことをする子供もいたとして、
こうした考え方を示した文科省に疑問をぶつけていた。このほかにも、さくらんぼ計算のせいで
娘が算数が大嫌いになり、中学3年になっても苦手から抜け出せずに数学を拒否している。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 13:55:38.45

>>95
■P1stを求める

宝一つの時の自陣当たり数

(n(n+1)/2)-1　……①

その中での宝二個の組み合わせ数

((n(n+1)/2)-1)(((n(n+1)/2)-1)-1)/2　……②

最終マスと①との組み合わせ数　　

(n(n+1)/2)-1　……③

自陣の当たりと相手の当たりで自分が勝つ
組み合わせは②と差分の和

差分は1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……

それを表す関数

(4n^3+6n^2-4n-3+3(-1)^n)/48

nが一つずれているのでn-1に補正

｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　……④

計算知能で②x2+③+④を入力すると

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48　……⑤

全n(n+1)マスで宝二個の組合わせ数

n(n+1)｛n(n+1)-1｝/2　……⑥

引き分け数は、n(n+1)-1と同着数の和

同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……

これを表す関数は　｛2n^2-1+(-1)^(n)｝/8　……⑦

n(n+1)-1　……⑧

計算知能で⑦+⑧を入力すると

even =(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8　……⑨

計算知能で⑥-⑤-⑨を入力すると

Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48　

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/16(金) 14:41:56.79

前>>286
>>288-289>>291
期待値の問題か。
80匹もぎりぎりセーフってことで正解だね。
一万匹は無理だね。
金銭的にも興行的にも。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/16(金) 15:20:42.09

どこ～かで～かね～がな～ぁて～♪ らし～くな～ぃこと～ばかﾟ～ぅか～んで～♪ さむ～さかﾟ～ここ～ちよ～くて～♪ な～んでこ～ぃな～んかして～んだろ～♪ 前>>295
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**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 15:32:30.76

>>279
この式で56匹から100匹までの確率の総和を取ったら約2になった

sigma[choose(56,36)*choose(n-56,9)/choose(n,45), n = 56 to 100]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sigma%5Bchoose(56,36)*choose(n-56,9)%2Fchoose(n,45),+n+%3D+56+to+100%5D

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 15:40:55.85

>>292
カードの照合の問題も、最初に選んだ１０枚に印をつけて再捕獲したと考えればいいんだろうけど
200/3=66.6枚という最頻値がどれほどの信頼できるのか疑問。

固有の番号の書かれたカードが何枚あり、
その枚数は１０００枚以下であることはわかっているが、その数を推定したい。
調査員が無作為に１０枚選んで番号を記録して元に戻した。
別の調査員が無作為に２０枚選んで番号を記録した。
二人の調査員の記録した番号を照合すると３枚の番号が一致していた。
この情報からカード枚数の期待値を求めよ。

事前分布としてある枚数である確率を一様分布にするのが現実離れといえるけど。
まあ、男女の生まれる確率分布を一様分布として計算するのに似ているかも。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 15:43:07.21

>さくらんぼ計算のせい

アベノセイダーズを彷彿とさせるような記述だなぁ。