現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む54
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このスレは、皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てた） >>85
> 「どんな小さなεが来ても、それに対応するδを準備出来ますよ」
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/124
> 時枝の無限長の数列で、決定番号は∞まで可能性があるから、決定番号が有限に収まる確率は０。
時枝記事の時にスレ主は極限(この場合はε-Ｎ)のことを全く理解できていなかったみたいだが
「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
ということです
だから決定番号が有限に収まる確率は1になる 極限どころか∀、∃の意味が理解できてなかったけどな >>90
ありがとう
で、そういうなら、あなたの説明は？
それなら、>>81-82の説明を聞きたいんだが？
まあ、逃げるんだろうね（＾＾ >>89
>「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
>ということです
>だから決定番号が有限に収まる確率は1になる
突然で、話が見えない人も多いだろうから、簡単に書くと
数学セミナー 2015年11月号 箱入り無数目 時枝 正（下記参考）で
話の前提は、こうだったね
１）可算無限個の箱の列（まあ自然数で１番〜n番までの箱で、n→∞を実現したよと）
２）箱に任意の数を入れる（実数でもなんでも良し。重複も許す）
３）この数列を、列のしっぽの同値類で分類する
４）二つの数列において、ある番号mから先の数列しっぽが一致するとき、mを決定番号と呼ぶ
で、その流儀の説明倣えば
ａ）決定番号が１になる確率（２列の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
b）決定番号が２になる確率（２列の２番目以降の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
c）以下同様に、決定番号がｋになる確率（２列のｋ番目以降の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
d）よって、どの有限な決定番号を考えても、それ以降の全ての、しっぽの対応する可算無限個の箱の数が、一致する場合の確率は、０になります ！！（＾＾ （∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
（参考）
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/6987.html
数学セミナー 2015年11月号
箱入り無数目───────────────時枝 正 36 >>92
一晩時間をやるから
>>81-82について
あんた、なんか書いて見なよ
何にも書けないなら
100年ROMってろってことよ >>94
その計算の仕方だとR^Nから一つ任意に数列を選ぶと選んだ数列が
R^Nの中に含まれる確率が0になるのでおかしいともいえますね
R^Nから一つ任意に数列を選ぶと選んだ数列がR^Nの中に含まれる
確率は当然1です
R^Nの中には選んだ数列が「必ず」存在します
> 決定番号が有限に収まる確率は1になる
これは代表元の中にしっぽが一致する数列が「必ず」存在することによる >>96
多分、その考え、確率計算の問題から逸れていると思うよ
例えば、簡単のために箱が二つあるとする（可算無限長の箱の列の代わりにね）
１）二つの箱に、サイコロで1〜６の数を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/6（説明は省略する）
２）二つの箱に、サイコロで1〜100の数を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/100（説明は省略する）
３）二つの箱に、サイコロで1〜Nの自然を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/N（説明は省略する）
４）３）において、N→自然数の集合全体に拡大すると、二つが一致する確率は、1/可算無限（説明は省略する）
５）３）において、入れる数を自然数→実数の集合全体に拡大すると、二つが一致する確率は、1/非可算無限（説明は省略する）
６）３）において、入れる箱を２つから可算無限個に増やすと、可算無限個の箱の実数が全て一致する確率は、1/（非可算無限）＾（可算無限）（ベキね）（説明は省略する）
確率が０と、存在するとこととは、矛盾しません >>95
どうせ、一晩待っても何にも書けないんだろうが
まあ、別のこと（イプシロンデルタじゃないこと）でも書くか（＾＾
（>>63より引用）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
ここで、
「有理数の点でリプシッツ不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R 」
を考えると
系1.8 の証明中にあるように、
リプシッツ不連続な集合有理数Ｑは、”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”から、
定理1.7より、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”となる
これは、有理数の点が、Ｒ中で稠密に反する
矛盾を生じたので、このような関数は存在しないと結論される
が、これは、ちょっと論証としておかしい
当然定理1.7は、
このような関数ｆ「有理数の点でリプシッツ不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R 」
は、扱えない（場合分けの説明を、>>64に書いた通りである）
（本当に、存在するか、不存在かを立証するには、別の考察が必要であると）
つまり、もともとの定理1.7の設定（結論と条件）が適切でないと思うし、それが こういうおかしな帰結の原因であると思う >>97
> 確率が０と、存在するとこととは、矛盾しません
>>94
> １）可算無限個の箱の列（まあ自然数で１番〜n番までの箱で、n→∞を実現したよと）
ε-ＮのN(決定番号に対応)が∞であれば極限は発散する
R^nをn→∞の極限を考えてR^Nにすると決定番号は有限値をとる
決定番号が∞ということはスレ主が選んだ無限数列がR^Nの元ではないということ >>99
おれが>>97で書いたことは、それとは違う
・可算無限長の箱の列
・先頭からある有限個ｎを取り除いても、残りのしっぽは可算無限長の箱の列で、変化なし
・これが、時枝パラドックスの手品のたねの一つだろうと
（そもそも、「可算無限長の箱の列」は、時枝記事に書かれている前提条件ですしね） >>98 補足
系1.8の背理法という邪念を捨てて
定理1.7の結論
「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」
を素直に眺めてみると
”リプシッツ連続という関数の族で、
どんな条件設定をしたら、この結論が導けるのだろうか”
という疑問がわいてくる
有理数の集合Ｑ上でリプシッツ不連続のような関数を、
病的関数と呼ぶとすれば
病的関数は、排除する条件設定でなければならない
だから、素直に
「リプシッツ不連続な集合が、Ｒ中で稠密でない」が浮かぶ
「Ｒ中で稠密でない」は、
言い換えると
どこかの区間（開閉問わず）で、
リプシッツ不連続な点を含まないと
できるってこと
で、定理1.7の条件「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」
これじゃ、条件足りないねと
「Ｒ中で稠密でない」を入れないとね
条件足りないのに、証明しちゃったの？
それ、”リプシッツ連続という関数の族で、一致の定理を証明しました”と
そういう話になっちゃうってことです
一致の定理を証明するなら、正則条件は外せない
と同様に、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」を証明するためには
「リプシッツ不連続な集合が、Ｒ中で稠密でない」という条件
これは、外せない
あるいは、それと等価な条件を含む設定でないと
まずいよと
だから、
「もともとの定理1.7の設定（結論と条件）が適切でない」
ってことだな >>95
案の定
なんにも書けないのか？
じゃ、
おれは、”極限どころか∀、∃の意味が理解”できてない
おまえは、>>81-82のε‐δになんにも言えないレベルだと
それでいいな
100年ROMってろっ
なにか気の利いた数学のことが書けるようになってから、カキコしな >>82
>ひじょうーに、良い質問ですね（by スレ主（＾＾ ）
>その考察正しいです
もう大体わかっているとおもうが
重要キーワードが、近傍（下記）です
イプシロン−デルタ論法は、暗黙の前提で、ある点ａの近傍を考えているんだ
だから、εもδも、小さい方を考えているってこと
”∀ε> 0”（>>85）で、小さい方には∀が有効だが、大きい方には∀が有効でない（近傍から出ることは考えてないってこと）
それが、私のいまの答えです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
近傍 (位相空間論)
数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、英: neighbourhood, neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。
近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。
目次
1 定義
2 距離空間における近傍
3 例
4 近傍系の定める位相
5 一様近傍
6 穴あき近傍 >>103 補足
簡単な例として
>>86のyoutubeな
これ、不連続な関数の例を挙げているのだが
不連続な点以外の連続な点を考えるとき
連続をすんなり言おうとすれば
ｙ側でとるεは、不連続な部分を含まない小さい近傍にすべきだと
不連続な部分を含む大きな近傍にすると、処理がややこしいから >>104
補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F#%E8%BF%91%E5%82%8D%E7%B3%BB%E3%82%92%E7%94%A8%E3%81%84%E3%81%9F%E5%AE%9A%E7%BE%A9
連続写像
(抜粋)
目次
1 定義
1.1 開集合を用いた定義
二つの位相空間 X, Y の間の写像
f： X → Y
が連続であるとは、
任意の開集合 V ⊆ Y に対しその逆像
f^{-1}(V)= { x∈ X ｜ f(x)∈ V }
が X の開集合となるときに言う。
従って、f は集合 X, Y の間の写像（であってそれらの位相の元の間の写像ではない）にも拘らず、
f の連続性は用いられている X, Y それぞれの位相に依存する性質であることに注意すべきである。
(引用終わり)
注：f^{-1}(V)は、ｆの逆像（逆関数）である（まあ原文見てください）
さて、いまの場合
単純に
f： R → R として
ある点 x=aでの連続を考えると
上記定義ままでは、全 開集合 V ⊆ Y を言っているが、
ある点 x=a に限定すれば、
点 x=a のごく近傍だけを見れば
それで足りるんだ（＾＾
でも、定義として”点 x=a のごく近傍だけを見れば
それで足りるんだ”と書くのも、
数学的美観から見て如何かということかな？と
（”「ごく近傍」ってなんだ！ ちゃんと定義しろ” なんてツッコミが予想されるし）
普通は、点 x=a の連続を定義して、
そこから、全Rに至るというのが、
私ら素人分かりする流れですけどね（＾＾
（「全 開集合 V ⊆ Y を見ろ」とか言われても、
>>54 のID:s/HOWja1さん言われるように、
かえって分かりにくい と思いますし、
実務としては、「点 x=a のごく近傍だけで良いでしょ」なんです（＾＾ ）
まあ、ここらは、時代の数学の天才たちが、100年くらいかけて磨き上げて来た定義ですからね >>105 追加
実際、いろんな証明を読んでも
「点 x=a のごく近傍だけで良いでしょ」
って感じで処理していますね（＾＾； >>105
一言
連続写像
1.1 開集合を用いた定義
を引いたのは
こっちの方が
”点 x=a のごく近傍だけを見れば
それで足りるんだ”
をご納得しやすいと思ったから >>100
> 先頭からある有限個ｎを取り除いても、残りのしっぽは可算無限長の箱の列で、変化なし
これは決定番号は∞になることはないということだからスレ主の主張とは真逆のこと
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/124
> 決定番号は∞まで可能性があるから、
スレ主の主張は決定番号が∞になるということであって先頭からある有限個ｎを取り除くと
nは有限値でもいくらでも大きくできるから残りのしっぽがなくなるということですよね
以下の例でも(***)はスレ主の主張そのままでしょう？
有限数列全体から選んだ二つの数列のしっぽに項がすべて0である無限数列を
加えて無限数列にする
この二つの数列のしっぽが一致する確率は有限数列の項数はいくらでも大きくできるので0 (***)
一方で項数(= 決定番号 - 1)が∞であるということは無限数列であるということだが
無限数列は有限数列全体の中には存在しない
有限数列全体の中から無限数列を選ぶ確率は0 いつでもそうだがスレ主は根本が解ってない
だからいつも頓珍漢なことを言う
典型的なトンデモ >>108
ちょっと違うな
１）可算無限長の数列が二つあって
その二つの列を先頭から比較して、一致する確率はゼロ（理由の説明は省略）
２）次ぎに、先頭からｎ個までは異なるが、n+1個目からあと無限個の箱の数が一致する確率は？
n+1個目からあと無限個の箱の列と同じことだから、これも一致する確率はゼロ（理由の上記に同じ）
ＱＥＤ >>110 補足
その二つの列を先頭から比較して、一致する確率はゼロ（理由の説明は省略）
↓
その二つの列を先頭から比較して、全部が一致する確率はゼロ（理由の説明は省略）
”全部が”ってことな
で、ｎは有限の自然数な >>110 訂正
（理由の上記に同じ）
↓
（理由は上記に同じ） >>110
それは数列全体の集合から無作為に２元選んだ時の話であって、時枝記事とは何の関係も無い。
そんなだから「お前は一体何を批判した気になっているのだ？」と言われてしまうんだよ。 >>110
>>113にも書いてあるが決定番号を求めるには選んだ無限数列が
属する同値類の代表元と比較しなくてはいけない
> 可算無限長の数列が二つあって
では二つの数列が同じ類に属することが保証されない
>>108の場合
> 有限数列全体から選んだ二つの数列のしっぽに項がすべて0である無限数列を
> 加えて無限数列にする
ここで作った二つの無限数列は同じ類に属するので決定番号を求めることができる >>113-114
時枝記事が出たのが、2015年10月だった
このスレで取り上げたのが、2015年11月だったかな
あれから、３年
多分、当時数学科に居た１年生が、いま４年生
彼らは、おそらく正しい理解に達したろうと思う
あんたたち進歩ない >>115
定義に書いてあるじゃないか
> ４）二つの数列において、ある番号mから先の数列しっぽが一致するとき、mを決定番号と呼ぶ
決定番号の定義から「ある番号mから先の数列しっぽが一致するとき」だから
m個目以降が一致する確率は1
決定番号を求めるにはしっぽが一致するまで比較する数列を選び直してよい
代表元の中にはかならずしっぽが一致する数列が存在する 問題はスレ主が定義という概念を理解しているかどうかだ >>115
貴方たちが言っているのは、大体が代数の知識だが
確率論とか確率過程論の知識がからっぽ
数学科生だと、確率論が必修かどうか知らないが
もし、必修でなくとも、友人とか先輩とか院生とか教官とか
確率論や確率過程論に詳しい人から、
時枝記事に対する正しい見解を聞く機会があると思う
確率論とか確率過程論の知識が欠落している人には
時枝記事に対する正しい見方は難しいのかもしれないね
私には、あなた方に、確率論とか確率過程論を、ここで講義する力も時間も余白もない
わるいね（＾＾ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
