現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む54
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このスレは、皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てた） >>497
>しかし単位分数に変換というのは1つずつ行って無限個にするわけではないです
>無限個をまとめて単位分数に変換しています
現代数学の標準的なZFCの体系の中では、無限に対する操作は自由に行えるので
どちらも可と思います
>ただスレ主の主張ではしっぽの無限個の部分は決定番号が∞になるから
いや、最近気付いたのは、>>481に書いたけど
時枝の数列しっぽ同値類と、層の茎の芽との親和性で
決定番号は必ずしも∞でなくても良いんじゃない？
極限の寸止めみたいなこと
>>495-496のID:O1gpdTn1 さん、
ヒント（ >>498みたいな）を書いてくれたのかも >>500
早速の回答ありがとう
しかし、皆さん、日替わりIDなので
だれがだれか、分らんぞ
（あんただれ？ と言いたいけど・・
ひょっとすると、スレ28の住人でもう一人の方？ ）
で、本題は
１）それで、”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…，Xn，…”で
コイントスの裏表なら、各 X1 = X2 = X3 = … = Xn = 1/2
サイコロの目なら、各 X1 = X2 = X3 = … = Xn = 1/6
からスタートすることでよろしいか？
２）数学における定義とは、議論の途中で簡単に変わるというようなことは無いと思うのだが？
例えば、√2の背理法証明において、”√2 ＝p/q p,qは互いに素な整数 とおく”と
これは、一種の背理法内における定義とも考えられるわけ
つまり、背理法の議論の中では、一貫して、”√2 ＝p/q ”で扱われるものだ
普通の数学の議論においても、同じと思うがどう？
以上です >>501
> どちらも可と思います
無限公理を採用しているので1つずつ行って無限個はダメです
>>502
> サイコロの目なら、各 X1 = X2 = X3 = … = Xn = 1/6
> からスタートすることでよろしいか？
スタートすることはできるがそのまま箱にいれることはできない
つまり箱に入れる数字をサイコロで選ぶことはできるが
確率変数として各X1 = X2 = X3 = … = Xn = 1/6としてはダメ
数当てゲームの結果を確認する場合に審判員を構成したとする
審判員が6n人いるとする
箱の中身(= 確率変数)が各X1 = X2 = X3 = … = Xn = 1/6だと
審判員それぞれが箱を開けて得る数字はnが大きければ
1: n人, 2: n人, 3: n人, 4: n人, 5: n人, 6: n人
として考えてよいから数当ての成否は判定できない
審判員が全員同じ数字を答えるにはサイコロを振って
出た目をa(1から6のどれか)としてaを箱に入れる場合
確率変数としてはX{a} = 1, X{a以外} = 0となっていないといけない >>503
確率変数の書き方が混ざっているので要注意
> 各X1 = X2 = X3 = … = Xn = 1/6
この書き方だと添字は箱の番号
> X{a} = 1, X{a以外} = 0
これは添字は箱の番号ではなくてサイコロの目 >>502 訂正 (記法が正確でなかったので)
コイントスの裏表なら、各 X1 = X2 = X3 = … = Xn = 1/2
サイコロの目なら、各 X1 = X2 = X3 = … = Xn = 1/6
↓
コイントスの裏表なら、各 P(X1) = P(X2) = P(X3) = … = P(Xn) = 1/2
サイコロの目なら、各 P(X1) = P(X2) = P(X3) = … = P(Xn) = 1/6
ここに、 P(X1), P(X2) , P(X3) , … , P(Xn) などは、各 X1, X2 , X3, … , Xnたちが特定の値を取るときの確率を表わす >>478
数学において無限が存在するのは当たり前。まさか自然数は有限個じゃあるまい？
そんな言うのも憚れるほど当たり前なことを講釈された側はどう反応すればいいのか、
そっちを教えてくれ しかし無限の存在を示すのに拡張実数を持ち出す人がいるとは思わなんだ >>503
前半
>無限公理を採用しているので1つずつ行って無限個はダメです
そんなことは無いんじゃない？
下記、「この手続きは何回でも繰り返すことができる」とあるよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理（むげんこうり、英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、「無限集合の存在」を主張するものである。エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示された。
(抜粋)
目次
1 定義
2 解釈と帰結
3 独立性
4 関連項目
5 外部リンク
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A ∧ ∀ x∈ A(x ∪ {x}∈ A))
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合 A は以下の性質を満たすことを確認できる。
・ Φ ∈ A（空集合 Φ は A の要素である）
・ Φ ∪ {Φ }={Φ }∈ A （「空集合 Φ を要素にもつ集合」は A の要素である）
・ {Φ }∪ {Φ ∪ {Φ }}={Φ ,{Φ }}∈ A（「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は A の要素である）
・（以下同様に繰り返す）
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ ,{Φ },{Φ ,{Φ }},・・・ } とおくと、 B は A の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A ≠ Bである。
なぜならば定義により B∪ {B}∈ A であるが、 B∪ {B} not∈ B となるからである。
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。
ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
(引用終り) >>503
後半
>スタートすることはできるがそのまま箱にいれることはできない
>審判員が全員同じ数字を答えるにはサイコロを振って
わかんねー
あの〜、
時枝記事は、
普通のサイコロ振りが
許されているとしか
解釈できんぜ >>507-508
現代数学において、無限は多様だということですよ
拡張実数以外にもあるよ
超実数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
(抜粋)
超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである。
1+1+ ・・・ +1
の形に書ける如何なる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。
(引用終り) >>511
幾何学の方では、無限遠点が考えられている
天才リーマンは、
複素直線（複素数平面）C に一点 {∞} を加えた空間（2 次元の）球面と同相な、リーマン球面を導入して
複素関数の理論を展開した（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E9%81%A0%E7%82%B9
(抜粋)
無限遠点（むげんえんてん、point at infinity）とは、限りなく遠いところ（無限遠）にある点のことである。日常的な意味の空間を考えている限り無限遠点は仮想的な概念でしかないが、無限遠点を実在の点とみなせるように空間概念を一般化することができる。そのようにすることで理論的な見通しが立てやすくなったり、空間概念の応用の幅が拡がったりする。
例えば、通常、平面上の二直線の位置関係は一点で交わるか平行であるかのどちらかであるとされている。これを、平行な二直線は無限遠点で交わるのだと考えることにすると、平面上の二直線は必ず一点で交わるという簡明な性質が得られることになる。（この例について、詳しくは非ユークリッド幾何学などを参照のこと）
ユークリッド平面上の互いに平行な 2 直線の交点のことである。厳密にはこの交点はユークリッド平面の中には存在しないから、無限遠点はユークリッド平面の外に存在する。 無限遠点の全体は無限遠直線を描く。
実射影平面と呼ぶ。すると、上で述べたことは 実平面 R2 は実射影平面 P2(R) に埋め込めるということに他ならない。
無限遠点の全体は直線になる。この l∞ を無限遠直線と呼ぶ。
互いに平行な直線の交点
平行な二つの直線を斉次化して ax + by + cz = 0, ax + by + dz = 0 と表すと、連立させて解いて [b, -a, 0] = [-b/a, 1, 0] という交点を見つけることができる。
一般化
一般に、n 次元のユークリッド空間に対し、斉次座標の方法により、空間外の点を加えてn 次元実射影空間 Pn(R)を構成することができる。
例えば、複素直線（複素数平面）C に一点 {∞} を加えた空間は（2 次元の）球面と同相であり、リーマン球面と呼ばれ、 P(C) と書かれる。（次数を明示して P1(C) と書かれることもある。）
リーマン球面は、複素射影直線であり、実射影平面P2(R) とは位相が異なる。 >>509
> 無限集合の存在を認めること
Aは最初から無限集合で有限集合から構成しているわけではない
時枝記事でいうと無限個の箱があり中身は未定という状態が無限公理
その箱の中身にペアノの公理を適用すれば1つずつではなくて
直ちに箱の中身が{1, 2, 3, ... }になることが分かる
http://mathworld.wolfram.com/AxiomofInfinity.html
だとペアノの公理も合わせて自然数全体の集合の存在を主張する公理となっている
> The axiom of Zermelo-Fraenkel set theory which asserts
> the existence of a set containing all the natural numbers,
>>510
> ”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…，Xn，…”
に合わせて何度も同じサイコロを振ることをX1, X2, ... と書くことにする
箱の中身が確率変数であれば同じ箱から数字を何度も取り出すことも
同様にX'1, X'2, ... と書くことができる
箱の中身が確率変数ということは
サイコロを振ったら出る目は確率変数であり
箱から取り出したら出る目は確率変数です 仮にプレイヤー1が箱の中に入れる実数をサイコロで決めたとしても、プレイヤー2に出題した時点でどの箱の中身も確率1で確定している。
確率変数の無限族なんて時枝解法とは関係無い。 >>512 補足
射影幾何というのがありまして（下記）
拡張実数というのは、
射影幾何の無限遠点に対応する
左右に伸びる直線で、右と左に無限遠点を加える
次ぎに、原点Oを定めて、数直線を構成する
そうすれば、右と左に無限遠点が、即ち拡張実数
まあ、そういう見方をすれば、
拡張実数もなんということもない単純な話
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
射影幾何学
(抜粋)
初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。
透視図法に関する理論が、事実射影幾何学の源流の一つともなっている。
初等的な幾何学とのもう一つの違いとして「平行線は無限遠点において交わる」と考えることが挙げられる。
これにより、初等幾何学の概念を射影幾何学へ持ち込むことができる。
これもやはり、透視図において鉄道の線路が地平線において交わるといったような直観を基礎に持つ概念である。
歴史
射影的な現象の幾何学的性質が初めて発見されるのは、3世紀ごろアレクサンドリアのパップスによる[3]。
ヨハネス・ケプラー (1571?1630) とジラール・デザルグ (1591?1661) はそれぞれ独立に、極めて重要な「無限遠点」の概念を作り上げた[11]。
これら19世紀の射影幾何学は、解析幾何学から代数幾何学への足掛かりであった。
実際、斉次座標系を用いた射影幾何学の扱いは、解析幾何学において幾何学的問題を代数へ還元する方法を拡張したものとみることができるし、このような拡張はいくつかの特別な場合に還元することができる。
幾何学におけるこのような状況が覆ることになるのは、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる（既存の手法を拡充する）一般の代数曲線に関する研究、そして不変式論の登場による。世紀の終わりにかけて代数幾何学イタリア学派（エンリケ, セグレ, セヴェリ）はそれまでの古い射影幾何学的手法を打ち破り、より深い手法を要する主題へと昇華させた。
つづく >>515
つづき
いくつかの重要な仕事が、特に数え上げ幾何学においてシューベルトによってなされ、これは今では、グラスマン多様体のトポロジーを表すものとして用いられるチャーン類の理論の先駆けと見なされている。
ポール・ディラックも射影幾何学を研究し、それを量子力学における彼の概念を展開する基礎として用いた（ただし、結果を公表する際は常に代数的な形にして述べられている）。
See a blog article referring to an article and a book on this subject, also to a talk Dirac gave to a general audience in 1972 in Boston about projective geometry, without specifics as to its application in his physics.
(引用終り)
以上 >514
>仮にプレイヤー1が箱の中に入れる実数をサイコロで決めたとしても、プレイヤー2に出題した時点でどの箱の中身も確率1で確定している。
>確率変数の無限族なんて時枝解法とは関係無い。
変数→未知数
と思われたら
よろしいのでは
ないでしょうか？
方程式：「この文脈で変数は未知数とも呼ばれる」（下記）
不定元などという概念もあります
ようするに、サイコロで決めた具体的な場合を、個別に扱うと収拾が付かないとき
数学では、それを方程式と同じように、文字を使って抽象化するのです
未知数、変数、不定元
この３つは、数学では必修です
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
方程式
方程式を解くということは、変数がどのような値のときに等式が成り立つかを決定することであり、等式を成り立たせる変数の値の集合を、方程式の解（かい、英: solution）と呼ぶ。この文脈で変数は未知数とも呼ばれる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%A0%B9
多項式の根
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数学における多項式 P(X) の根（こん、英: root）は、P(α) = 0 を満たす値 α を言う。すなわち、根は未知数 x の多項式方程式 P(x) = 0 の解であり、また対応する多項式函数の零点である。
定義 (多項式の根)[1][2]
多項式 P の A における根とは、A の元 α であって、不定元 X にその値 α を代入するとき、P(α) が A において零元となるものを言う。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E5%85%83
不定元
不定元 (ふていげん、英: indeterminate) は多項式や形式的冪級数に現れる記号であり、しばしば変数と呼ばれる。正式には、不定元は変数ではなく、多項式環や形式的冪級数環の定数である。しかしながら、多項式や形式的級数とそれらの定義する関数との間の強い関係のために、多くの著者は不定元を変数の特別な種類と考える。
不定元と変数の違いが表れる例として、二元体 F2 上で X を不定元とする多項式 f(X) = X2 + X ∈ F2[X] を考える。この多項式はもちろん 0 ではない。ところが、X を変数と考えた多項式関数 f(X) は 0 である[注 1]。
つづく >>517
つづき
注
[注 1]^ なぜならば、写像 f: F2 → F2; X → X2 + X は、f(0) = 0, f(1) = 1 + 1 = 0 であるため。
(引用終り)
https://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E5%85%83-125322
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
不定元
ふていげん
indeterminate
多項式 f(X)＝a0＋a1X＋・・・＋anXn というのは，本来は無内容な「記号」で，変数とは考えない。
X に数 x を代入することで関数 f(x) が考えられるとする。この X を不定元という。
高校数学では，f(x) と f(X) を混用しており，普通の多項式を扱う場合はそれほど区別する必要はない。
しかし，たとえば体 {0，1} の上で多項式を考えるようなときは，多項式としては X2≠X であるが，
すべての x (0と1しかない) で x2＝x となって，f(X) と f(x) を区別する必要が生じる。
有理式については，分母を0にする場合の処理をめぐって，有理関数の場合と微妙に区別するのが普通である。
出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
(引用終り)
以上
… >>513
>Aは最初から無限集合で有限集合から構成しているわけではない
同意だが
>時枝記事でいうと無限個の箱があり中身は未定という状態が無限公理
>その箱の中身にペアノの公理を適用すれば1つずつではなくて
>直ちに箱の中身が{1, 2, 3, ... }になることが分かる
無限公理及びペアノの公理の適用方法と
”1つずつではなくて”のところが
ユニークです
下記引用の記述と違いますね
因みに、貴方が引用の http://mathworld.wolfram.com/AxiomofInfinity.html でも
”Following von Neumann, 0=emptyset, 1=0^'={0}, 2=1^'={0,1}, 3=2^'={0,1,2}, .... ”
だとある
それは、下記ですよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
(抜粋)
ペアノの公理
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、
つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、
A は帰納的集合であるという。
ここで、次のように定義する。
・0:=Φ ={}
・N := 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
・suc := 後者関数のNへの制限
集合 N を自然数全体の集合といい、これは時々（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω と表記される。
無限集合の公理は 0 を含む帰納的集合の存在を主張しているので、ここでの N の定義に問題はない。
自然数のシステム (N, 0, suc) はペアノの公理を満たすことが示される。
それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
・ 0:={}
・ 1:=suc (0)={0}
・ 2:=suc (1)={0,1}={0,{0}}
・ 3:=suc (2)={0,1,2}={0,{0},{0,{0}}}
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる。
(引用終り) >>513 つづき
>箱の中身が確率変数ということは
>サイコロを振ったら出る目は確率変数であり
>箱から取り出したら出る目は確率変数です
意味不明ですが
１）まず、サイコロを振ったら出る目を、確率変数として扱うというのが、現代の確率論ないし確率過程論の常套手段です
２）上記の列記を、時系列で並べ変えると
ａ）サイコロを振ることで、それを確率変数として扱う
ｂ）その確率変数を、箱に入れると、箱の中身が確率変数として扱える
ｃ）箱から取り出したら出る目は確率変数ですが、
それを見て値が確定したら、確率変数ではなく、数学では定数になります。
３）なお、未知数、変数、不定元、この３つは、数学では必修です。おっと、定数もね
以上 >>521
１）おれが、通常の本を読んだか、あるいは読んでないかを、証明するには、このスレの余白は狭すぎる（＾＾
なので、各人の想像におまかせ
２）通常の本を読んでも、その内容を、ここにそれをアウトプットすることは、多大の労力を要する
（まあ、”この本読め”で済ますのも、場合によりありかな）
３）”この本読め”で済ますより、wikiからのコピペで済ます
この方が賢いと思うまで
ＱＥＤ >>519 補足
１）
（再引用）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理（むげんこうり、英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、「無限集合の存在」を主張するものである。
エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示された。
(抜粋)
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A ∧ ∀ x∈ A(x ∪ {x}∈ A))
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
定義中の集合 A は以下の性質を満たすことを確認できる。
・ Φ ∈ A（空集合 Φ は A の要素である）
・ Φ ∪ {Φ }={Φ }∈ A （「空集合 Φ を要素にもつ集合」は A の要素である）
・ {Φ }∪ {Φ ∪ {Φ }}={Φ ,{Φ }}∈ A（「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は A の要素である）
・（以下同様に繰り返す）
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ ,{Φ },{Φ ,{Φ }},・・・ } とおくと、 B は A の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A ≠ Bである。
なぜならば定義により B∪ {B}∈ A であるが、 B∪ {B} not∈ B となるからである。
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、
無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。
ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
(引用終り)
つづく >>524
つづき
３）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E8%B6%85%E6%BA%96%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
算術の超準モデル
(抜粋)
算術の超準モデル (英: non-standard model of arithmetic) とは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない要素（超準数）を含むようなモデルのことである。
それに対し、通常の自然数 N は算術の標準モデルと呼ばれる。
ペアノ算術の任意のモデルは線形順序で並んでおり、 N と同型な切片を持つ。
超準モデルは、その切片の外に元を持つようなモデルであると言える。
(引用終り)
要するに
ａ）無限公理で、直ちに通常の自然数 N （算術の標準モデル）が出来上がるわけではない
（上記３））
ｂ）通常の自然数 N （算術の標準モデル）は、ペアノとノイマンが手作りで作ってくれたものだ（>>519）
我々は、その作られたものを、使わせて貰っている。だから、一瞬で出来たと錯覚する。（そういうことは、日常茶飯事だろう）
ｃ）附言すれば、無限公理では、無数のノンスタ（ non-standard ）ペアノ算術のモデルができる
我々は、そういうややこしいものは、普通の用途では、取り敢ず避けて、通常の自然数 N （算術の標準モデル）を使うのだと
ｄ）なので、「無限公理！」と唱えれば、通常の自然数 N （算術の標準モデル）が出来るというのは、大いなる錯覚です
以上 >>517 補足
>仮にプレイヤー1が箱の中に入れる実数をサイコロで決めたとしても、プレイヤー2に出題した時点でどの箱の中身も確率1で確定している。
これ、下記と同じ考えだね
「プレーヤー１が数列を選んだ時点で、箱の中の実数は定まっているわけですから、それらは確率変数ではなく、ただの定数です」
「問題が出題されたら箱の中身は決定され確率変数ではなくなる」
「数列が選ばれた時点で、各箱の独立性はなくなります」
「s は固定されており確率変数ではなく」「固定されたいかなるsでも」
”固定”という用語が、まったく理解できなかったのだが（未定義だし）
”それらは確率変数ではなく、ただの定数”と同じ意味だったのか
いやはや
(引用開始)スレ28
(抜粋)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/10
プレーヤー１が数列を選んだ時点で、箱の中の実数は定まっているわけですから、
それらは確率変数ではなく、ただの定数です。決定番号もただの定数。
したがって、プレーヤー２の勝ち負けを決定する時点で、決定番号dを確率変数とみて確率分布を考える意味がありません。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/51
それらは箱を出題に関する確率変数として、それを用いて定義されますが、
問題が出題されたら箱の中身は決定され確率変数ではなくなるので
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/52
数列が選ばれた時点で、各箱の独立性はなくなります。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/61
> 一方で>>15のp1の計算においてμの計算が終わるまではsは確率変数ではないですか？
> そうであれば無限直積sを構成するR（箱の中身）の独立性は議論対象になるのではないか？と思いました。
>>15の積分 ∫[R^N]{∫[E_s]dν(k)}dμ(s) の内側の積分 ∫[E_s]dν(k) を計算する際は s は固定されており確率変数ではなく、
外側の積分 ∫[R^N]{f(s)}dμ(s) (f(s):=ν(E_s))を計算する際は確率変数ですが箱の独立性はf(s)に関係しません。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/64-65
結局のところ、固定されたいかなるsでもν(s)≧99/100と言えることがポイントですね
(引用終り) >>502 補足
> ２）数学における定義とは、議論の途中で簡単に変わるというようなことは無いと思うのだが？
> 例えば、√2の背理法証明において、”√2 ＝p/q p,qは互いに素な整数 とおく”と
> これは、一種の背理法内における定義とも考えられるわけ
> つまり、背理法の議論の中では、一貫して、”√2 ＝p/q ”で扱われるものだ
> 普通の数学の議論においても、同じと思うがどう？
１）
ほんと、数学の基礎の基礎だけど
数学における定義は、議論の途中で変わらないのよ
”√2 ＝p/q p,qは互いに素な整数 とおく”としたら、議論の途中で変えてはいけない
（背理法の場合、矛盾を導くところまで不変で、矛盾の後「√2 ＝p/q とはできない」とする）
なので、”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…，Xn，…”と定義したら
その議論の最後まで、ず〜と、”独立”のまま
これを崩すなら、議論ではなく、再定義にするか
あるいは、最初に定義するときに、”こういう条件での定義”として、条件が変われば話は別としておかないといけない（条件つきの定義）
なので、上記の定義は、無条件の定義なので、勝手に解釈を変えるのは御法度ですよ
２）
また、確率変数を思いっきり勘違いしているよね
（数学で何のために、変数（文字）を使っているのか？を）
例えば、>>517とか>>520とか>>526に、書いたけど >>517
＞変数→未知数 と思われたらよろしいのではないでしょうか？
スレ主は
時枝問題の別バージョンについて論じているということ？ y/n
オリジナルの時枝問題は時枝解法が成立すると考えてる？ y/n >>520
> それを見て値が確定したら、確率変数ではなく、数学では定数になります
過去の書き込みではスレ主は数字を固定するという表現を見ると発狂するのが
常だったので全て箱の中身を確率変数として扱いたかったら
箱の中身はP(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 1/6ではなくて
P(X = {a}) = 1 (ただしaは1から6のどれか)としなさい
ということです
これは確率1なのでもちろん定数です
過去の書き込みでスレ主は定数になっていることを指摘されると
確率過程論を持ち出して逃げることと同様のことを繰り返している
わけです
決定番号が有限か無限大かが主な論点で
有限派: 数当てで用いる袋の中の代表元の集合にはしっぽが一致する元が必ず
1つ入っているので数列が確定したら有限
無限大派(スレ主): なんで数列を確定するのか理解できない
確率過程論の本を読みなさい
>>396
> 自分では、確率過程論のテキストを買ったことはないが、
> 代わりに、いまどきの確率過程論のテキストPDFは、過去スレで紹介したろう？
> あの程度は、目を通した Nに上界は無いが、Nから一つ元を取り出せば、それは必ず自然数（有限値）である。
決定番号の集合{d(s)|s∈R^N}にもまったく同じことが言える。そうでなければ決定番号の定義に反する。
確率過程論など不要だし∞にもならない。なぜこんな簡単なことが理解できないのか？
まあ確率過程論の本を推奨する本人がネットでチラ見しただけってのは笑って済ますとして >>528
時枝問題の別バージョンについて論じているということ？ n
オリジナルの時枝問題は時枝解法が成立すると考えてる？ n
補足
＞変数→未知数 と思われたらよろしいのではないでしょうか？
数学の確率論では、
例えば、簡単に
確率変数X1,X2,として２つの場合を扱うとして
サイコロの場合は
１回の試行で、1,2,3,4,5,6 の６個の値を取り得ます
そうすると
６通りｘ６通り＝36通りが考えられます。
定数とすると、この36通りを全部、いちいち個別に扱う必要があります
そこで、確率変数X1,X2,として、個別の場合を抽象化して議論を進めるということです。
これが、確率変数を導入する意義ですよ
時枝記事で言えば、出題者は答えを知っていると考えれば、定数でしょうが
解答者は、答えをしらないので、未知数または変数ということです。未知数または変数、どちらもで同じことです。
学術用語なので、確率変数としているだけで、数学では定義により、その意味を定めていますよ。
なお、例えば、出題者が１〜６の札を目隠しをして、引いた札を順に入れていくことにすれば、
出題者も箱の数を知らず、出題者にとっても、未知数または変数となります。 >>529
>決定番号が有限か無限大かが主な論点で
違いますよ
（>>499）
”１）時枝記事では、
”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…，Xn，…”
を、先頭から、 1，2，3，…，n，… 番目の箱に入れても良いか？
（Yes or No）
２）この場合の”独立”の定義は
”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”
を採用して良いか？
（Yes or No）
当然、どちらもYes”
数学的には、ここで勝負がついています。
”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…，Xn，…”を箱に入れたら
これは定義ですから、定理でこの定義を覆すことはできませんね
（確率過程論をご勉強ください） >>530
つー>>532
（確率過程論をご勉強ください） >>531
出題者が知っていようがいまいが関係ない。
一度蓋を閉じたら中の実数は確率１で定まっている。
そうでなきゃそもそも数当てゲームにならないｗ
あまりのレベルの低さに呆れた。数学以前。 出題者が、サイコロで数を決めたら、出題してとたんに
箱を開ける前に、それは確率変数ではなくなり
常数になる？ 固定？
なにバカなことを言っているんですか？
それなら、現代数学の確率論や
確率過程論は、全部書き直しだわ >>535
> 出題者が、サイコロで数を決めたら、出題してとたんに
> 箱を開ける前に、それは確率変数ではなくなり
箱に入れていないじゃん
箱に入れる前にサイコロを振った結果を見るんですよ
そしてサイコロの出目と同じ数字を箱に入れる
サイコロの出目と同じ数字は確率変数ですか？ >>535
何その確率論や確率過程論の代表者みたいな言い方ｗ
観測者の無知に由来する観測値のゆらぎを確率で表現することはできるよ
量子論でいうところの混合状態は純粋状態と明確に区別される
しかし時枝問題にはそんな設定はない
世の中にそういう確率の扱いがあるというだけの理由で、勝手に問題設定を改変してはならない
お前みたいなちょっとかじって分かった気になってるアホが一番厄介なんだよな 確率過程を理解してないスレ主は延々と意味不明のコピペを繰り返すだけでしたとさww >>532
> 当然、どちらもYes
と書いているけれども
>>478
> 箱を先頭から連番をつけます(なお、拡張実数として∞を導入します)
> f(1/1),f(1/2),f(1/3),・・・,f(1/n),・・・,f(0)
のf(0)を除いたf(1/m)を可算無限個の箱だと思って
> ”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…，Xn，…”
とする
> ”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”
1つの箱なら有限部分族ですよね
1, 2, 3, ... と順番にサイコロを振るのではなくて
まずは1番最初にf(0)の1つ前(or n個前)の箱にサイコロを振って
数字を入れることはスレ主は可能なんですか？ スレ主はガロア理論も確率過程もわかってない
わかってないWebサイトをコピペする仕事に戻るんだ 確率が得意なスレ主に問題
(1) 自然数の集合 N から一つ元 n を取ったとき、n が有限値である確率を答えよ
(2) 実数列の集合 R^N から一つ元 s を取ったとき、d(s)（s の決定番号）が有限値である確率を答えよ 突然ですが、これ面白かった
細かいところは、フォローできていませんが
https://adventar.org/calendars/170
ADVENTAR
Mathematics Advent Calendar 2013
作成者：Maleic1618
https://www.dropbox.com/s/an989ncsyd7wt8r/kenron.pdf
12/24 CFT_math
圏論という考え方
藤田知未
平成25 年12 月24 日
(抜粋)
概要
このPDF はMathematics Advent Calendar 2013(http://www.adventar.org/calendars/170) の企
画として書かれたものです. 正式な数学的な学会発表でもなんでもないので, 自分が圏論に対して考えて
いるイメージというものをあえて全面に出して, 自分の圏論観というものを伝えられるように書きました.
この記事を見て, 圏論という考え方に興味を持って頂けたらな, と思います. 細かい数学的議論は出来る限
り省略し, 本質を伝えられるように書いたので, 肩肘張らずにご覧下さい.
1 はじめに
しばしば, 圏論というと多くの人はなんだか少し変わった考え方であるかのような言い方をします. そし
て, 時には圏論を教える側の人間ですら「圏論と集合論は根本的に違う」かのような発言をする事が見られ
ます. しかし, 私はそうは思いません. 圏論における様々な定理や構成は, 集合論における類似を持ちます.
たとえば, 米田の補題は集合論の外延性公理に対応し, 前層の圏は冪集合に, (左)Kan 拡張は集合の順像に,
そしてGrothendieck topos は位相空間に対応します. が, このような対応が書かれた教科書がないという
のも事実です. 数学はアナロジーの学問と呼ばれるように, 自分はこのアナロジーは「圏論」という学問を
理解するのをとても助けてくれると考えています. きっとこのPDF を読み終わる頃には, Mac Lane の「す
べての概念はKan 拡張である」という言葉の意味も, 皆さんには伝わることでしょう.
(引用終り) >>536-542
なにを血迷っているんですかね？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/22
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
（時枝記事より）
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
(引用終り)
この時枝記事の通りですよ
（>>408より）
(1)と(2)とは、同値ですから
「私たちの戦略は頓挫」
それを支える数学の根拠が
「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」ってことですよ
全ては、>>408の通り（かつ時枝記事の通り）ですよ
以上 箱の数当てで、ある箱の数Xiについて、
コイントスなら確率1/2
サイコロの数を入れれば確率1/6
・
・
・
という具合に
どんな数の入れ方をするかのみに依存し
その箱が、どこに置かれようが、位置には無関係
かつ
その箱の周りにどんな数の箱を置くかも無関係
それ、数学として当たり前でしょう？
それを、きちんと定義したのが
確率変数の独立の定義ですよ
（無限族、有限族ともですが） スレ主にとっては定数もサイコロも同じものらしい
スレ主の身長はサイコロで決めるの？スレ主の年齢はサイコロで決めるの？今日が何月何日かはサイコロで決めるの？
常人には理解できないトンデモワールド >>545
> その箱の周りにどんな数の箱を置くかも無関係
同値類に関しては違いますよ 馬鹿が馬鹿な話を延々と繰り返してるだけ
いくら違うと言ってもわからない
確率過程論など理解できるだけの頭も基礎知識もない
延々とコピペするだけ >>543
追加
(抜粋)
2.4 Grothendieck topos は位相空間？
この類似は集合との対比という形ではあまり明示的には書かれていませんが, 基本的には[SGA4-1] で展開されている理論です. このように元々Grothendieck は「一般化された空間論」としてtopos 理論を展開したのでした.
そして, その特別な場合としてエタールコホモロジーなどの通常の位相空間では扱えないコホモロジー理論などが, 数学の発展に大きく寄与したのでした. Grothendieck が上の類似を明確に意識していたかは, もはや誰にも分かりません.1
しかし, 彼の爆発的な研究はただの神業ではなく, 上のような類似のイメージが根底にあったことによるのかもしれません.
4 おわりに
いかがでしたでしょうか. この類似を通して眺めてみれば, それまではとてつもない道具のように見えたtopos だったり, Kan 拡張だったりというものもなんだか身近なものに見えてくるのではないでしょうか.
Mac Lane は「すべての概念はKan 拡張である」と述べましたが, Kan 拡張がすべての概念であるかはさておき, 少なくとも集合論でいう「順像」にあたる息を吐くように使うような操作である事は伝わったと思いますし, それを駆使せずに圏論をするという事がどれくらい議論を(非本質的に) 複雑にしているかというのも分かると思います.
また, topos 理論というのも圏論版の「位相空間論」だというのが分かったと思います. topos 理論について私が注意しておきたいのは次の2 点です.
多くの人は「エタールコホモロジー」などの応用的な側面を主な関心の対象としているようですが,本命として認識されるべきものは「topos 理論」という理論の方であり, 理論と比較すると, コホモロジーは理論が如何に深いところまで掘り下げているものであるかを示す単なる「一つの指標」に過ぎません.
「集合と位相」が数学科の基礎課程であるように, 私は「圏とtopos」も基礎課程に入るべきものである
と思います. 少なくとも, 大学院生でないととても扱えないような大層なものであるとは到底思えません. こ
れは数学全般にいえる事だと思いますが, 一番の敵は「圏論は難しい」という思い込みだと思います. この
類似によって, その思い込みを破壊し, 少しでも皆さんにとって圏論が馴染み深いものに見えたらな, と思います.
(引用終り) 定義ですからね
定義は、いくら”ヘ理屈”をこね回して定理を作ったところで
定義を変えることは、できませんよ
サイコロを投げる一回の試行の確率は1/6
これを、可算無限回繰返して
可算無限長の数列を作った
”サイコロを投げる一回の試行の確率は1/6”
は不変です
全ての箱において
https://bellcurve.jp/statistics/course/6596.html
11-1. 確率変数と確率分布 統計web Social Survey Research Information Co
■確率変数
「確率変数」は、ある変数の値をとる確率が存在する変数のことです。例えば、さいころを投げて出る目は｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝のいずれかであり、それぞれの目が出る確率はであることから、さいころを投げて出る目は確率変数であると言えます。
http://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2016/07/795316b92fc766b0181f6fef074f03fa-12.png
の場合、確率変数の値（＝さいころの出る目）をとおくと次のように表すことができます。右側のカッコの中はがとる値の範囲であり、この例では「確率変数が1から6までの整数の値を取る」ことを表しています。
https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a77e14e19307711c47221707d8abf623_l3.png
P(X)=1/6 (X=1,2,3,4,5,6)
例えば「さいころを投げて3の目が出る事象の確率はである」ことは、次のいずれかのように書くことができます。
P(X=3)=1/6
P(3)=1/6
さいころの場合、出る目の値をそのまま確率変数がとる値とすることができますが、事象に数字がない場合でも、それぞれ事象に数値を設定することで確率変数がとる値とすることができます。例えば1枚のコインを投げる場合に、表が出る事象に「1」を、裏が出る事象に「0」を対応させると、確率変数になります。
http://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2016/07/c8856789ec11ab8b1013037cef6929f9-7.png >>550
誰も
＞”サイコロを投げる一回の試行の確率は1/6”
を否定してません。
スレ主への問題
サイコロを一回投げて出た数字を箱に入れ蓋を閉じる。
次に蓋を開けた時に中の数字がもとのままである確率を答えなさい。 >>481 関連
下記の動画、前層、層は、まずは関数論で使われるので、関数との関係も語った方が良いように思う
その次ぎの「層空間のイメージの紹介」を併読するといいかも（これ結構分り易い）
相転移プロダクションは、おまけ
https://www.youtube.com/watch?v=4d2jmuYCC-8
数学 前層 イメージ presheaf (ver 1.0) （動画5：43）
HanpenRobot
2013/10/12 に公開
なんとなく前層のイメージが理解できたので、アップしました。
ただ、僕自身勉強中なので、間違っているかもしれません。注意してください。
http://searial.web.fc2.com/aerile_re/sou.html
層空間のイメージの紹介
(抜粋)
今回の層を使って芽の定義を書くと x=p における芽 とは
p∈Xを含む開集合での連続関数の集合を、
p∈Xを含むある開集合で一致する時に同値
とみなす同値関係で割った商集合 です
茎の元を記述指定するには、
例えば「x=0において連続関数f(x)=1-x^2で代表される芽」で指定できます
これは「x=0において連続関数g(x)=|1-x^2|で代表される芽」とは同じ元ですが
「x=0において連続関数h(x)=cosxで代表される芽」とは別の元です
解析関数に限れば、テイラー展開が一致すれば同じ芽と言えると思います
そうやって点0∈X上に茎が生えています
Xの他の各点の上に同様に茎が生えています
その全体が「層空間」（etale space）Hです
<img src="sou.png">
層空間に位相を定めます
開集合U=(-2,2)でのFの断面（切断）とはU上での連続関数です
f(x),g(x),h(x)の定義域をUに制限したものは断面F(U)の元です
そこで、
S = {x=pにおいてf(x)=1-x^2で代表される芽 | p∈U}
は層空間Hの部分集合をなします。
(引用終り)
http://phasetr.com/members/
相転移プロダクション メンバーサイト
https://phasetr.com/members/myfiles/file/math_manifold_00_01.pdf
第 0 章
数学大荒行 幾何学への道: はじめに
https://phasetr.com/members/myfiles/file/math_manifold_01_01.pdf
1.1 層と前層
https://phasetr.com/members/myfiles/file/math_manifold_01_02.pdf
1.2 基本的な構成
以上 HanpenRobot付録（動画13分くらい）
https://www.youtube.com/watch?v=p34ml-bBiBw
代数幾何 アファイン座標環の極大イデアルの集合
HanpenRobot
2014/12/27 に公開
アファイン座標環の極大イデアルの集合が，代数図形と同一視できる事を説明します. さいころを投げることは二度手間で、確率論の架空からは損な世界だよな。
でも人間のギラギラしたダイナミズムはあるだろうな。博打ごとの。 手の癖や地盤、イカさま、記憶、神の見えざる手などを考慮して分析もいいかも。 無限と有限 無罪有罪となるほうが、現代的かもねー。 >>550
> 定義は、いくら”ヘ理屈”をこね回して定理を作ったところで
スレ主もやっているじゃない
サイコロを投げて出る目が独立かどうかではなくて
同値類がどの確率変数で決定されるかは無限の扱い方で変わる
>>544
> (1)無限を直接扱う
数列anの長さをLとしたときに
a(L - k), a(L - (k + 1)), ... , a(L - 2), a(L - 1)
と数列の全ての項を直接扱える
この場合は数当て戦略は失敗する
> (2)有限の極限として間接に扱う
数列anの長さをLとしたときに
a(L - k), a(L - (k + 1)), ... , a(L - 2), a(L - 1)
と数列の全ての項を直接扱えない場合は
同値類はしっぽの無限個の確率変数に依存する
可算無限数列の長さは>>269-270にある「最小の極限順序数」であるから
> （>>408より）
> (1)と(2)とは、同値ですから
n→∞としても(1)と(2)は同値にならない >>558の
a(L - (k + 1))はa(L - (k - 1)) 気晴らしに見に来ました。お久しぶりです、おっちゃんです。また時枝問題やってんのか。
実数列の集合 R^Nを考える. 実数列 s＝( s_1、s_2、s_3、… )、s'＝( s'_1、s'_2、s'_3、… )∈R^N について、
或る番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき関係〜を s 〜 s' と定義する。
関係〜は同値関係になる。非可測集合を考えて、商射影 R^N→ R^N/〜 の切断を構成したのは
R^N から収束する実数列を取り出して時枝問題を成立ため。
実数列には収束する実数列と正か負の無限大に発散する実数列と、振動する実数列とがあって、
非可測集合を考えて、商射影 R^N→ R^N/〜 の切断を構成しないと、
名前を忘れたが収束列を考える問題は成立しない。
でな〜、その名前を忘れた問題では、或る実数aに収束する実数列 {a_n} の或る第m項 a_m を除く他の {a_n} の項をすべて見ると、
収束する実数列 {a_n}} について n→+∞ のとき a_n→a となることを考えていることになる。
mは収束する実数列 {a_n}} の決定番号だから、aに収束する実数列に関して、
{a_n} の R^N における同値関係〜についての同値類の代表元が決まってその代表元がaになる。
従って、無限列を考えるときは箱の中の数が当たる確率が1になる。
有限列を考える本来の時枝問題では、n→+∞ とすることは出来ないため、
有限集合上で等確率で選ばれる箱の中の数が当たる確率を考えている。
その確率は、0より大きく1より小さいが、有限集合の点の数つまり有限列の項の個数が増えれば増える程1に近づいて行く。 >>560の中程にある「{a_n}}」は「{a_n}」の間違い。
で、本来の時枝問題は非可測集合上で確率を考えてはなく、
有限集合従って零集合上で考えていて、零集合は可測集合だから、可測集合上で確率を考えている。
確率過程とかは全く必要なくて、確率を考える部分は、実質的には中学か高校の確率の問題になる。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 >>561
>本来の時枝問題は非可測集合上で確率を考えてはなく、
>有限集合従って零集合上で考えていて、零集合は可測集合だから、可測集合上で確率を考えている。
おっちゃん、どうも、スレ主です。
どもありがとう
なるほど、
「有限集合従って零集合上で考えていて」か
つまり、全体集合の測度有限で、これが全体だから確率で言えば、 １だと
対して、時枝問題は零集合上の確率だから、全体に対しては、零だと
つまり、99/100＊0＝0だということか
なるほど
おっちゃん、良く考えているね >>552
>下記の動画、前層、層は、まずは関数論で使われるので、関数との関係も語った方が良いように思う
下記、壱大整域さんの「位相空間上の層」では
関数の例を沢山挙げてくれているので
分り易いわ
（「可能な限り最短でKan拡張に到達する PDF」は、余録です）
http://alg-d.com/
壱大整域さんのHP
http://alg-d.com/math/kan_extension/
圏論
http://alg-d.com/math/kan_extension/sheaf.pdf
第0章 圏論入門
・ 位相空間上の層
alg-d
2018 年 9 月 10 日(2018-09-10微修正)
http://alg-d.com/math/kan_extension/kan_extension_short.pdf
その他
可能な限り最短でKan拡張に到達する PDF版 (2018-08-15追加)
第0章〜Kan拡張のPDF(kan_extension.pdf)までの内容を短くまとめました。 >>543
>https://www.dropbox.com/s/an989ncsyd7wt8r/kenron.pdf
>圏論という考え方 藤田知未
上記より
”参考文献
[alg d] 圏論ミサのノート, 2012 年12 月8 日, http://alg-d.com/math/ft math/
[alg d2] 圏論ミサのノートのTeX 版(一部), http://alg-d.com/math/ ”
これ、>>563の
http://alg-d.com/
壱大整域さんのHP
だったんだね
タイムスタンプ見ると、もう2012 年ころのファイルはないかも
だが、2012 年当時より充実していると思う >>550 補足
１）私が、ある箱の中にサイコロを投げて、出た目の数字を入れる
それを確率変数Xiとする。
各Xi=1,2,3,4,5,6 である確率は、
いずれもP(Xi)＝1/6 だ
２）P(Xi)は、問題の箱の周囲の箱の位置には依存しない。
例えば、箱の周りに、別の箱を置く。
まず有限個ｎとしよう。
P(Xi)は、周りに置かれた箱に影響されない
従って、問題の箱の周りに、他の有限個ｎ箱を置いても、同じP(Xi)＝1/6
つまり、周りの他の有限個ｎ箱の配置に対して、P(Xi)は不変
次ぎに、同様に、ｎ→∞としても、周りに可算無限個の箱を配置したとして、P(Xi)は不変
有限、無限の二つを纏めて、”周りの箱の配置に対して、P(Xi)は不変”といえる
３）P(Xi)は、箱の位置には依存しない。
従って、箱の位置を移動しても同じP(Xi)＝1/6
つまり、箱の位置に対して、P(Xi)は不変
４）上記２）３）より、箱の列の並べ変えに対しても、P(Xi)は不変
５）問題の箱以外の周囲の箱を、一部又は全部開けたとしても、P(Xi)は不変
６）従って、時枝記事の箱についての全ての操作、
”周囲への箱の配置”、”移動”、”列の並べ変え”、”問題の箱以外の周囲の箱を明ける”操作について、P(Xi)は不変
７）さて、私が、全ての箱の中にサイコロを投げて、出た目の数字を入れたとすると、
上記の１）〜６）の如く、∀i∈N で P(Xi)は不変
従って、時枝記事で、 ∀i∈N で P(Xi)＝1/6
QED
PS
上記は、サイコロの例を書いたが、ランダムな確率変数Xiの与え方は、世の中に沢山あり、すべて同じことが言える >>565 補足
本来、当たらないものが、当たるように見える
先日も、TVであったが、トランプカードのマジックに同じ
きちんとシャッフルしているように見えて（見せて）
実は、タネも仕掛けもある
時枝記事も同じで、可算無限長の数列のシッポの同値類を使った、決定番号の大小比較に
本来、当たらないものが、当たるように見えるタネと仕掛けがある 相対性理論、量子力学の確率解釈、カントールの無限理論・・・
世の中には、認めないという人がいる（多分理解できないのだろう）
確率過程論に同じ 「スレ主への問題」には全問白紙のゼロ点なのに、その自信は一体どこから来るのやら
アホの脳内は摩訶不思議なり >>544&>>565 補足
独立な確率変数の無限族、
X1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立
これは、（>>408より）
”任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）”
です
なので、”独立な確率変数の無限族、
X1，X2，X3，・・・”は、
現代数学の確率過程論の射程内です
実際、確率過程論のテキストで扱われています
サイコロを振って、出た目を入れるとき
∀i∈N で P(Xi)＝1/6（>>565に書いた通り）
です。
現代数学の確率過程論が分らない人は、可哀想ですね 確率を求める問題にゼロ点のスレ主が確率過程論を論じるスレ >>571
（>>544 時枝記事より）
「当てられっこないではないか」、
「勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観」
その直観を裏付けるのが、
現代数学の確率過程論（>>571）
であり
初心者向けにかみ砕いて書けば、>>565です
あとは、現代数学の確率過程論をお読みください
それで、当たらないことは、（読めれば）理解できます
（注：”当たらないこと”の理解には、現代数学の確率過程論のごく入り口を読むだけで、十分ですけどね） はいはい、講釈は確率の問題 >>542、>>551 に正解してからにしてね〜 >>571
> ∀i∈N で P(Xi)＝1/6
それでも決定番号は無限大にはならないですよ >>563
>下記の動画、前層、層は、まずは関数論で使われるので、関数との関係も語った方が良いように思う
これ
下記PDFの前層の定義中で、”集合P(U) ”は、
（関数論の文脈では）
例1にあるように
P(U) := {f : U → R | f は連続} のように
例1の場合連続関数であるが、集合＝関数である。
例2,例3も同じ。
この場合（例1,2,3）、制限写像は単に開集合を制限し狭めているだけ
（写像というより、制限と対応付けに力点がある。
圏論としては、それを射と考えるってことか。（矢の向きが逆になるので反変）
”写像”を重く考えて、” P(V) → P(U)”とは具体的にはなんだ？と考えたけど、
矢印”→”以上の意味は無かったよう（後のwikipediaもご参照））
あと、動画（>>552）の中で、
U ⊂ Vで、
開集合Vの上に少し浮かせて開集合Uを書いて、
如何にも射があるように図示したのが、良いと思った
（動画中では、文字A,B使っていたが）
http://alg-d.com/math/kan_extension/sheaf.pdf
第0章 圏論入門
・ 位相空間上の層
(抜粋)
定義. (X,OX) を位相空間とする．U ∈ OX に対して集合P(U) が与えられ，U, V ∈ OX，
U ⊂ V に対して，写像ρUV : P(V) → P(U) が与えられているとする*1．以下の条件が
成り立つとき，組(P, ρ) をX 上の前層(presheaf) という．
例1. U ∈ OX に対してP(U) := {f : U → R | f は連続} とする．U, V ∈ OX，U ⊂ V
のとき，f ∈ P(V) に対してρUV (f) := f|U と定義すれば写像ρUV : P(V) → P(U) を
得る．このとき(P, ρ) は前層である．
※ 例1 などの場合，U ∈ OX に対してP(U) は可換環になっている．更に各制限写
像は環準同型である．故にこの場合P は関手O^op_X → CRing を定めている．関手
O^op_X → CRing を可換環の前層という．同様にアーベル群の前層やC-線型空間の前
層などを考えることもできる．また区別したい場合，関手O^op_X → Set は集合の前層
と呼ぶ．ホモロジー代数などでは環の前層などのような代数的構造のついた前層を考
えることが多いが，ここでは集合の前層のみを考える．
(引用終り)
注：写像ρUVは、しばしば制限写像と言われる
つづく >>576
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
定義
(抜粋)
前層
(X, T) を位相空間とする。X 上の集合の前層 F とは、以下のデータが与えられているものである：
X の開集合 U ∈ T に対し集合 F(U),
開集合の包含関係 U ⊂ V に応じて制限写像（せいげんしゃぞう、restriction map）と呼ばれる写像
ρ _U^V ： F(V) → F(U)
（ρ _U^V を ρU, V のように記すこともある）。
圏論の言葉で言えば、X の開集合系（これは包含関係に関する順序集合となる） T を圏と見なすとき、X 上の前層とは T から集合の圏への反変関手のことであるということができる。また、可換群の（あるいは加群の）前層や環の前層は T から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、同様にして T から適当な圏 C への反変関手として C に値を持つ前層が定義される[1]。
(引用終り)
以上 >>574-575
はいはい>>573を読んでね
以上です 確率問題ゼロ点のスレ主が確率過程論を勉強しろと説教するスレ スレ主の「当たらない」は箱を閉じない数当ても「当たらない」だからなあ すばらしい。スレ主の間違いの本質をたった一行で言い当ててる。 >>577
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8C%8E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
(抜粋)
層の茎（けい，くき，英: stalk, ストーク）は，与えられた点のまわりでの層の振る舞いを捉える数学的構成である．
x を含む任意の開集合 U に対して自然な射 F(U) → Fx が存在する：それは F(U) における切断 s をその芽 (germ), すなわち直極限におけるその同値類に送る．
例
芽はある層に対して他の層よりも有用である．
定数層
ある集合あるいは群など S に付随した定数層 _Sは各点において茎として同じ集合あるいは群を持つ：任意の点 x に対して，開連結近傍を選ぶ．連結開上の _S の切断は S に等しく，制限写像は恒等写像である．したがって直極限はつぶれて茎として S を生み出す．
解析関数の層
例えば，解析的多様体（英語版）上の解析関数の層において，点における関数の芽は点の小さい近傍において関数を決定する．その理由は，芽は関数の冪級数展開を記録し，すべての解析関数は定義によりその冪級数に等しいからである．
解析接続を用いて，点における芽が関数がいたるところ定義できるような任意の連結開集合上関数を決定することが分かる．（これはこの層のすべての制限写像が単射であることを意味しない！）
つづく >>584
つづき
滑らかな関数の層
対照的に，滑らかな多様体上の滑らかな関数の層に対しては，芽は局所的な情報を含んではいるが，任意の開近傍上の関数を再構成するには十分ではない．例えば，f: R → R を原点のある近傍で恒等的に 1 で原点から遠く離れたところでは恒等的に 0 である隆起関数とする．
原点を含む任意の十分小さい近傍上 f は恒等的に 1 なので，原点において，値が 1 の定数関数と同じ芽を持つ．f をその芽から再構成したいとしよう．
f が隆起関数であると前もって知っていたとしてさえ，芽はその隆起がどのくらい大きいかを教えてくれない．芽が教えてくれることからは，隆起は無限に広くてもよい，つまり，f は値 1 の定数関数に等しいかもしれない．
原点を含む小さい開近傍 U 上で f を再構成することさえできない，なぜならば f の隆起が U におさまっているかどうかとか隆起が大きくて f が U 上恒等的に 1 であるかどうかは分からないからである．
一方で，滑らかな関数の芽は値 1 の定数関数と関数 1+e^{-1/x^{2}}を区別することはできる，なぜならば後者の関数は原点のどんな近傍においても恒等的に 1 ではないからである．この例は芽は関数の冪級数展開よりも多くの情報を含んでいることを示している，
なぜならば 1+e^{-1/x^{2}} の冪級数は恒等的に 1 だからである．（この追加の情報は原点における滑らかな関数の層の茎はネーター環ではないことと関係している．クルルの交叉定理によりこれはネーター環に対しては起こりえない．）
(引用終り)
以上 >>582-583
箱を閉じない数当ても可能
解答者と箱の間についたてを置いて
箱の数が見えないうようにして
時枝記事の操作は、アシスタントが行う
アシスタントは、数列の並べ変えを行う
解答者は、100列のどの列を選ぶかを指示する
後は、自動的に作業がアシスタントにより進む
数列のシッポの同値類及び決定番号を
解答者に教え（教える必要もないが）、あとは自動的に時枝記事の作業が行える
これで、箱を開けたままで
箱を閉じたのと、同じ状況が作れる
要は、箱に入っている数の情報を解答者が得られるかどうか？だよ
箱に入っている数の情報を解答者が得られない状況下では、Xiは確率変数のまま
箱に入っている数の情報を解答者が得られた状況下では、Xiは確率変数は定数に変わる
これがキモです。定義の通りです >>573
「時枝解法は、正しくない」
証明
背理法：時枝記事の解法が正しいと仮定する
１）
スレ47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/1-20
より、時枝記事の手順を、
簡単に確認しよう
１．可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れ、出題の数列ができる
２．閉じた箱を100列に並べる変える.
３．選んだ問題の列以外の列を開け、99列の決定番号を知る
４．決定番号の最大値Dを書き下す.
５．問題の第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける
６．この第k列の決定番号は、Dより大きくない。
つまり、D >= d(s^k)である確率は99/100
７．これにより、第k列のD番目の箱の的中確率は99/100となる
kは、1から100列のどれでも良かったので、各列１個 計100個の箱について的中確率は99/100となる
８．列の数は、m列にできる。
m列並べたとすると、m個の箱で、的中確率が(m-1)/mにできたことになる
同様に、理論上m個の箱が的中確率が(m-1)/mにできたことになる
９．なお、最小２列の場合、その確率は最小値1/2となることを注意しておく。
つづく >>588
つづき
２）出題の数列をシャッフルすると、新しい数列ができる
・例えば、先頭から二つずつ、奇数番と偶数番とを、入れ替える
・あるいは、先頭から三つずつ、3h+1,3h+2,3h+3の中で、入れ替える
・同様に、先頭からg個ずつ、gh+1,gh+2,・・・,gh+gの中で、入れ替える
・このようにして、最初に出題した数列から、新しい並びの数列を作ることができる
・新しい数列に対して、上記１）の手順を繰り返す
３）
なお、上記１）及び２）の手順において
多数の解答者が居て、お互い情報を交換をすることなく、ゲームを行うものとする
こうすることで、上記１）及び２）で、各解答者にとって、新しい数列を出題されたと同じ条件になる
４）
ここで、後の手順復元の便宜のために、100列の並べ方を厳密に定める
つまり、例えば100列なら
100列の各列の先頭に、1から100番目の数を入れ
100列の各列の２番目に、101から200番目の数を入れ
・
・
という具合に順番に並べていくことにする。
こうすることで、元の出題の列が容易に復元できるし
復元した数列から100列への並び替えも、再現できる
（なおm列において同様）
つづく >>589
つづき
５）
ここで、問題設定は可算無限個の箱を扱うのだったから、無限回の操作が許されている前提だ
上記１）から３）において、これを無限回繰り返せるとする。
つまり、１）のm列並べのmはいくらでも大きくでき、２）の数列シャッフルのgもいくらでも大きくでき、無限回繰り返せる
また、解答者も、いくらでも、新しい人を無数に増やせるとする
６）
さて、このようにすると、非常に沢山の（おそらく無限個の）、最小値1/2以上の的中確率の箱が、増える。
７）
ここで、上記４）の復元手順を使うために、的中できる箱でシャッフルと列数と選んだ列番を記録するようにしよう。
例えば、シャッフル無しのときをS0、以下順次先頭から二つずつ入れ替え、三つずつ入れ替えに対し、連番S1,S2,・・・を振る。
（注：三つずつ入れ替えは複数通りあるが、複数通りのどれを選んだかを記録し、連番付けを行う）
また、列の番号は、m列中第k番目の列なら、k/mと書く。
例えば、”S2-3/100”の箱なら、２番目のシャッフル後、100列並べで3番目の列のD番目の箱（上記 １）の７項参照）ということ
手順が厳格に決めてあるので、並べ替えを再現して、時枝解法通りの的中確率が、この”S2-3/100”の箱に適用できることが分かる
つづく >>590
つづき
８）さて、このようにしていくと、ほとんどすべての箱の的中確率は、最小値1/2以上になる
（あるものは、99/100になるだろう）
例えば人は、記録を見れば、99/100になる箱を選ぶことができ、その時の枝解法の手順を再現することも可能。
９）ところで、先に書いたように
現代確率過程論では、”独立な確率変数の無限族、
X1，X2，X3，・・・,Xi,・・・”は、
現代数学の確率過程論の射程内だ
実際、確率過程論のテキストで扱われている。（>>571）
ここで、全ての箱に、サイコロを振って数字を入れれば、
∀i∈N で P(Xi)＝1/6（>>565に書いた通り）
これは完全に、８）と矛盾している。
矛盾が生じたので、「時枝記事の解法は数学的に正しくない」と、結論つけられる。
（もし、時枝が正しいとすると、現代数学の確率過程論は崩壊してしまうのだから）
QED
以上 >>591
大げさ過ぎる。
そんなに時枝のこと嫌い？ いつもなら「スレ主はよく理解してないので偉い人は別にやってください」と逃げるところ
時枝には何かスレ主もコンプレックスがあるんだろうなあ
確率過程がお勉強できなかったか >>586
どういう意味で「箱を閉じない数当て」と書いたのか分かっていないようなので解説する
時枝記事の数当てゲームは
(1) 出題者がR^Nの元を自由に1つ選んで出題する
(2) 回答者は箱を開けて中身を見ていって1つ箱を開けないまま残す
残した1つの箱以外の箱は開けて全て中の数字を見た情報を用いて
残った1つの箱の中の数字を当てる
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/12
> 片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが
> 一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう
> どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる
(1) サイコロを無限回振ってR^Nの元を自由に1つ選ぶとは
スレ主が>>429に書いたように
> くどいが、サイコロを１回振って、出た目の数を、一つの箱に入れていく意味な
つまりサイコロを無限回振って得られた無限数列Anがあれば
R^Nの元の中から「数字を全て見て」Anと等しい数列A'nを取り出すこと
これは「箱を開けたまま全ての箱で数当てを正解すること」と同じ
「数字を全て見て」当然しっぽが全て一致することも確認している
(2) 残す箱を決めるための決定番号を求めること
> 選んだ問題の列以外の列を開け、99列の決定番号を知る
99列の決定番号は「数字を全て見て」回答者が決める
(出題者側がチェックすべきは1つの箱は開けずに閉じたまま
残さねばならないことだけで100列に分けることは出題者は
知る必要がない)
そこで時枝記事の同値関係を用いてその代表元を使うわけだが
完全代表系の集合が空集合でなければよい
選択公理により完全代表系の集合が空集合でないことがいえるから
その元は少なくとも1つあるので元を1つ選ぶ
その元は代表元の集合であるがR^Nの部分集合である
よって(1)が可能であれば「数字を全て見て」得られる決定番号は
全て有限の値である
ところがスレ主は>>89-118(それ以降もだが)で
確率計算によると(1)の「箱を開けたまま全ての箱で数当てを正解すること」が
成功する確率は0であると実質書いていたわけ 仕事の都合で確率過程論の論文に
目を通したことがあると言ってるから、
確率には一家言あるんだろうな
トンデモが生意気に何言ってるんだって感じだが 確率の使い方を根本的に間違ってるところを見ると確率過程論の知識も怪しい
まあ反論があるなら勉強した確率過程論の書籍名、著者名を書いてみなさい
その本から問題少し変えて出してあげるから もともとここのスレ主はコピペで知ったかしてたのが
その11くらいで学部1，2年レベルの数学もわかってないことがばれてしまった
大元のガロア理論関係に関しては自分より理解してる人間（たいていはそうだw）がくれば
「こんなところに来ても仕方ないだろ」とか粘着して追い出してきた
確率もわかってないことがバレてんのに何か必死でカクリツカテーカクリツカテー
鳴いてるところを見ると仕事のことで確率にはコンプレックスあるんだろうな
馬鹿が5chのスレで必死に自分だけの砦作ろうと必死なんだろう SNSが発達したご時勢に5chに引きこもってくれてるのは幸いだが、
逆にツイッターとかで同じこと撒き散らしてる様子も見てみたいｗ
いずれ数学クラスターに発見されて袋叩きにされると思うｗ >>597
問題出してもココのスレ主は答えないよ。
都合の悪いことに口出しすると学力がバレてしまうことを知っているから
多分、適当に「(＾＾」を使って、煽るようなことコメント吐いてお茶を濁す。 昔、￥さんが、斎藤 恭司先生をえらく褒めていたんだ
層の検索でヒットしたんだが
これ、アップするのは２度目だと思う
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/web/htdocs/publication/
東京大学大学院数理科学研究科 理学部数学科
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/web/htdocs/publication/lecturenote.html
ホーム > 刊行物 > Lecture Notes in Mathematical Sciences
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/web/htdocs/publication/documents/saito-lectures
5 斎藤 恭司 述，松本 佳彦 記：複素解析学特論
（ Classical Topics in Complex Analysis of One and Several Variables. Communicated by A. Matsuo) [2009,
(抜粋)
序
本稿は，1978 年度夏学期に，東京大学理学部数学科3 年生，すなわち数学科進学初学
期の学生に行った複素解析学の講義を，その講義の受講生であった小林亮一氏のノートを
元に復刻したものである．
編集の経緯と謝辞
今から5 年ほど前のことと記憶していますが，同僚の齋藤秀司氏が『学生の頃に受けた
齋藤恭司さんの多変数函数論の講義は実に素晴らしかった』と力説されるのを聞く機会が
ありました．そんなに良いものならば，いっそ講義録として世に出してはどうかと考えた
のが，このレクチャーノートの編纂のそもそものきっかけです．昨年になり，研究科長の
桂利行氏に相談したところ，好意的なお返事がいただけたので，斎藤恭司氏ご本人に了解
を取り，東大数理のレクチャーノートの一冊に加えていただくことにしました．
幸いにして，当時の受講生であった名古屋大学の小林亮一氏が手書きのノートを保存さ
れていたので，それをもとに編集作業を行うこととし，同僚の斉藤義久氏，平地健吾氏，
吉川謙一氏にも編集委員に加わっていただいて，プロジェクトがスタートしました．手書
きのノートを整理してTEX 化する実働作業については，修士1 年の松本佳彦君が引き受
けてくれました．また，文中の図の入力については，博士3 年の中岡宏行君が協力してく
れました．
3.4 正則函数の芽のなす層. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
