>>165
つづき

さて
c)については、lim x→0 について収束のε-δ 論法 使う
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
(抜粋)
関数値の収束
関数 f(x) に対して、極限の式
lim _{x → a}f(x) = b
を ε-δ 論法で書くと
∀ ε >0, ∃ δ >0 s.t. ∀ x∈ R , 0<|x-a|<δ → |f(x)-b|<ε
となる。 s.t. は such that の略で ﾖ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。
すなわち
任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x ? a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) ? b| < ε が成り立つ。
という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。
(引用終り)

c)
「ν＝2のとき、ｘ＝0で微分可能」を示す
　１）まず、ｘ＝0で微分可能を示すためには、f'(x) ＝ 0 つまり
　　 f'(x) ＝ lim x→0 |(f(x)-f(0)/(x-0))| =0を示せば良い
　　定義 f(x) ＝ 0より、 |(f(x)-f(0)/(x-0))| = |f(x)/x| となる
　（なお、定義より、f(p/q) ＝ (1/q)^2 、無理数でf(x) ＝0を再掲しておく）
　２）ｘ＞0（正）から0に近づくとする
　３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
　　　上記b)同様に、ｘの区間[0、1/q]を考えると、
　　　この区間内の有理数p'/q'の分母q'（但しp'、q'は互いに素）は、qより大
　４）ｘ＝1/qで、|f(x)/x| =1/q
　　　ｘ＝p'/q'で、|(f(x)-f(0)/(x-0))| =1/(p'q')
　　　”q'>q かつ p'>=1” だから、1/(p'q') < 1/q
　　（なお、無理数点ではf(x)=0なので、|f(x)/x| =0）
　５）従って、ｘの区間[0、1/q]内の任意の点で、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立つ
　６）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
　７）ｘ＜0（負）から0に近づく場合も、同様に、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立ち、ε-δ 論法成立
　８）よって、ｘ＝0で微分可能

つづく