現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む54

2018/10/28(日) 09:12:48.59

それで、いま前スレ53で議論していたのが、下記の定理1.7と関連の系1.8だ
（前スレ53で一段落ですが）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.

系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
つづく

2018/10/28(日) 09:14:07.05

>>14 つづき
話の始まりは、https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/422-423
（現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む46）
定理の詳細の始まりは下記から。定理1.7と関連の系1.8の証明のPDF（今はリンク切れ）が、下記リンクからダウンロードできる
（引用開始）
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/594
＜スレ46の422に書いた定理＞
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI
以下の pdf に証明を書いた。

ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz （注：残念ながら、2018年10月時点では削除されているので、下記アスキー文ご参照。手元にはPDFは残っているのだが）

なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所ではその都度
「内点を持たない閉集合」
という言葉に置き換えた。
(引用終り)

2018/10/28(日) 09:15:24.27

>>15 つづき

スレ49において、PDFから、証明をアスキー化して、その全文を貼った
（文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め（・・と書いたが、削除されてしまった）。（＾＾ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明）
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178-186

つづく

2018/10/28(日) 09:16:22.72

>>16つづき
この話を理解するためには、ディリクレ関数、トマエ関数、The modified ruler function などの病的関数の知識が必要だ
そのための参考が下記

（参考）
http://nygsuken.webcrow.jp/article/8.html
病的な関数とは? 西大和学園数学研究部 2016-04-10

＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007

あと、これ（下記２つのPDF）くらいは、読まないと
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/81 より
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.

スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/366 より
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.

2018/10/28(日) 09:16:48.68

テンプレは、以上です。（＾＾

2018/10/28(日) 10:59:27.80

ちょっと調べたのでメモ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
可算集合

可算個の可算集合の和集合や、有限個の可算集合の直積集合はまた可算である。これより、代数的数全体の集合 Q は可算であることが従う。しかし、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の冪集合は非可算であり、その濃度は連続体濃度である。

可算個の可算集合の直積集合の濃度は、この濃度不等式

2^No <= No^No <= (2^No )^No = 2^No
( Noは、アレフゼロを表わす)
によって、 N 　と等しいことが示される。
( N は、アレフを表わす)

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1388503163
ID非公開さん2012/6/403:36:36 Yahoo
可算集合の可算個の和集合も可算集合になることを示せ

ベストアンサーに選ばれた回答
nbr********さん 2012/6/406:20:08
[takeru5hSI]

A_m = {a_mn ，A=∪A_mとする．a_mnをm+nが小さい順に，m+nが等しいものはmが小さいほうを先に並べると(同一のものが重複して出てきたときは飛ばす），この順番ですべてのa_mnの番号付ができるから，Aは可算．

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 14:46:44.72

補題1.5の証明もなんか怪しいんだが

2018/10/28(日) 17:24:14.03

下記、以前も紹介したが、「最新版 2018/04/09 更新」がヒットしたので貼る（＾＾
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/
嶺幸太郎神奈川大学工学部数学教室
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/ep_del_2018_04_09.pdf
(抜粋)
実数の連続性とε-δ論法最新版 2018/04/09 更新

・ボリュームがありすぎたため１割程度カットしました。
　削除された部分は、2018/02/27バージョンに残っています。
更新内容：
・ボリュームがありすぎたため１割程度カットしました。
　削除された部分は、2018/02/27バージョンに残っています。
・削除後の整合性を取るために、色々と書き加えました。
・前書きと索引を加えました。
実数の連続性とε-δ論法（2018/02/27）
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/ep_del_2018_02_27.pdf

目次
第１部：数列の極限と実数の連続性
　第１章　集合概念の基礎
　第２章　実数の性質
　第３章　数列の極限とその性質
　第４章　数列の極限と実数の連続性
第２部：写像の基礎とε-δ論法
　第５章　写像概念の基礎
　第６章　実数値関数
　第７章　関数の極限
　第８章　連続関数
　第９章　指数法則
第３部：距離空間の幾何学
　第１０章　点列の収束と写像の連続性
　第１１章　位相
　第１２章　距離空間に関する諸概念
　第１３章　連結空間と中間値の定理
　第１４章　点列コンパクト空間
第４部：付録
　第１５章　より厳密な微分積分法へ
　第１６章　命題と論理式
(引用終り)

2018/10/28(日) 17:29:20.12

>>21
これ、キーワード”現代数学の系譜ガロア理論嶺幸太郎”google検索すると
下記がヒットした（＾＾；

スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/221
221 ：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む：2018/01/07(日)
(抜粋)
”ε-δ論法”にコンプレックスのある方へ（＾＾
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/ep_del_2017_10_02.pdf
実数の連続性とε-δ論法嶺幸太郎神奈川大 2017/10/02版
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 17:34:02.79

(前スレの最後の方の>617-618方に書いたがまとめて再掲)
久し振りに見に来たおっちゃんです。
pdf の定理 1.7 の証明は読んでいないが、有理数か無理数とかはどうでもよくて、
背理法での証明で大事なのは、実数直線R上で G_δ集合と F_δ集合を考えていて、
G_δ集合が F_δ集合の補集合になっていることだと思われる。
(前)スレを見ると激しい論争になったようだが、背理法も全体集合を直線Rとして
R上で G_δ集合と F_δ集合を意識して使っていると思われる。

スレ主は一致の定理が成り立つことを否定したのか。

それじゃ、ここ最近一日中計算して手が疲れているから、おっちゃんもう寝る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 17:38:41.43

前スレを見て、スレ主には唖然とした。
じゃ、おっちゃんもう寝る。

2018/10/28(日) 17:41:12.54

>>20
>補題1.5の証明もなんか怪しいんだが

えーと、補題1.5は下記だが、これは元PDFから、文字コピーして、
それをアスキーでない部分を手でアスキーにしたんだが

それで確認だが、補題1.5自身は成立と思っているのだが、それで良いかな？
証明はともかくとして
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178-179
(抜粋)
178 投稿日：2018/01/05
(抜粋)
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]が成り立つ.

証明
仮定により,
lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
を満たす正整数N が取れる.
lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜
に注意して,
inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
ということになるので, あるδ > 0 に対して
sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
である. 以下, δ > 1/M を満たす正整数M を1 つ取っておく. このとき,
∀y ∈ R [ ｜y － x｜ < 1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜] ・・・(1)
が成り立つことを示す. ｜y － x｜ < 1/M を満たすy ∈ R を任意に取る. もしy = x ならば, 明らか
に｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜が成り立つ. 以下では, y ≠ x としてよい. よって,
0 < ｜y － x｜ < 1/M < δ
となるので, δの定義から,
｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
となる. 特に, ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜となる. 以上より, (1) が成り立つ. 以上の準備のもとで,
題意を示す. y, z ∈ R であって
x － 1/M < y < x < z < x +1/M
を満たすものを任意に取る. このとき, (1) により
｜f(z) － f(y)｜ <= ｜f(z) － f(x)｜ + ｜f(x) － f(y)｜ <= N｜z － x｜ + N｜x － y｜ = N(z － y)
が成り立つ(絶対値が外れてN(z － y) になっているのは, y < x < z から出る). よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)

2018/10/28(日) 17:46:25.47

>>25
補足

１．もし、スレ49のNo.178のアスキー文を読んだとしたら、私のタイプミスもありうるのでね
２．なので、補題1.5の成否と、その証明の成否は、分けて考えたいのだが

2018/10/28(日) 18:02:03.65

>>23-24
おっちゃん、どうも、スレ主です。
生きていたんですね（＾＾
お元気そうでなによりです

>スレ主は一致の定理が成り立つことを否定したのか。

そんなことはしていないよ
例の定理の主が、我田引水で強引な主張をしているだけのこと

例の定理の主が、言いたいことは、
例の定理1.7と系1.8との関係で背理法を使っているのだが
そのアナロジーとして、一致の定理の背理法証明を持ち出して、自分の背理法証明を守ろうとしているってことですよ

それに対して、私は、系1.8は、補集合が稠密で開区間が取れない場合にも関わらず
定理1.7は明らかに、開区間が取れる場合、即ち、補集合が稠密でない場合の定理だから、それを適用することは誤りだと主張している

で、一致の定理の背理法証明と、彼の定理1.7→系1.8の背理法証明とは、きっと微妙に違うんだわ（面倒だからスルーしたけど）
で、彼の定理1.7は、補集合が有理数Qのような稠密な場合は、当然、開区間が取れないので不成立

つまり、彼の定理1.7は、「補集合が有理数Qのような稠密な場合ではない」というのが、隠れ条件になっていると思う
（それは本来明示すべきと思う。そして、「補集合が有理数Qのような稠密」な場合は、別に定理を立てるべき。そういう主張です）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 19:16:38.24

アホが主張するなコピペだけしてろと何度言えば理解できるのか？
いやそれが理解できないことがアホたる所以なのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 19:22:58.33

普通のアホは外界との相互作用により己のアホ具合を認知するが
認知症レベルのアホには一縷の望みも無い

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 19:28:32.09

>>26
補題1.5自体は(定義1.1から系1.4を承認した上で)多分合っていると思う
証明は最初の１文「仮定により,lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
を満たす正整数N が取れる. 」はいいとして次の式lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜から怪しい

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 20:15:46.90

糞スレ乱立させんな
ブログでやれカス

2018/10/28(日) 20:53:59.70

>>30
>補題1.5自体は(定義1.1から系1.4を承認した上で)多分合っていると思う

了解。安心したよ（＾＾

>次の式lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜から怪しい

えーと、ここ分かり難いけど
前スレ53 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/605
定義1.1 一般に, g : R → R とx ∈ R に対して,
lim sup y→x g(y) := inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ g(y)
と定義される.
(引用終り)

ここの定義1.1で、g(y)＝｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜と置いただけと思う

余談だが、
前スレ53 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/609
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)
と定義される.”
と書くのが、普通の数学の書き方だと思った
(引用終り)

と書いたのと関連しているが、変数をｘ、固定点を定数aとか、
普通の数学記法に従って書いてないので、読みづらかった
まあ、こっちがこの手の記法に慣れていないからかも知れんがね（＾＾

2018/10/28(日) 21:23:40.23

>>17

これ（下記）ちょっと読み直しているのだが、
下記の”Peano differentiable”、 ”Peano derivative”がよく分らない
検索したが、
分り易い文献がヒットせず（＾＾；
＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
[17] Alec Norton [Kercheval], "Continued fractions and
differentiability of functions", American Mathematical
Monthly 95 #7 (Aug./Sept. 1988), 639-643.
[MR 89j:26009; Zbl 654.26006]

Define g:R --> R by g(x) = 0 if x is irrational, g(0) = 1,
and g(p/q) = 1/2^q if p and q are relatively prime with
q > 0.

PROPOSITION: There exists a partition A_0, A_1, A_2, ...
and A_oo of the irrational numbers, where each set is
c-dense in the reals, such that g is infinitely Peano
differentiable at each point of A_oo and, for each
n >= 0 and for each x in A_n, g is n-times Peano
differentiable but not (n+1)-times Peano differentiable
at x. Moreover, the complement of A_0 is a first
category set and the complement of A_oo is a Lebesgue
measure zero set.

NOTE: Norton says "uncountable dense sets" instead of
"c-dense in the reals". While it is a little
ambiguous what he means (uncountable sets that
are dense in the reals, or sets having an uncountable
intersection with every open interval) until one
gets to the proof, it is clear from the proof
(the sets involved are Borel, for instance)
that the sets are, in fact, c-dense in the reals.

つづく

2018/10/28(日) 21:24:09.02

>>33

つづき

Regarding Peano derivatives, this is easy to find on
the internet. Norton writes: "... the Peano derivative
agrees with the ordinary higher derivatives whenever
the latter is defined, and has the virtue of allowing
us to discuss higher derivatives in the context of a
dense set of discontinuities."

The complete text of Norton's remarks on p. 642 follow,
with minor editing changes to accommodate ASCII format.

Remarks. (1) The Proposition says that g is either not
differentiable at "most" points or infinitely differentiable
at "most" points, according to whether "most" is interpreted
in the sense of category or measure. This is related to the
well-known dichotomy between the Diophantine irrationals
and the Liouville irrationals (those which are not
Diophantine). See [Oxtoby's book] for more on this
interesting topic.

つづく

2018/10/28(日) 21:24:31.98

>>34

つづき

(2) Suppose we alter the definition of g so that 2^q
is replaced by w(q), where w:Z+ --> Z+ is some increasing
function. Then the following are left to the reader.
(See [Nymann's paper] for (a) and other related results.)
(a) If w(q) = q^2, then g is nowhere differentiable.
(Use (2).)
(b) If w(q) = q^3, then g is differentiable on a dense,
uncountable set of irrationals, but nowhere twice
differentiable.
(c) No matter how rapidly w increases, the set A_0
of points of nondifferentiability is residual.

As a consequence of (c), no function vanishing at the
irrationals and discontinuous at the rationals can be
differentiable at the irrationals. In fact, a little
more argument shows that no function can be discontinuous
at every rational but differentiable at every irrational.
(This last has been known, by another method of proof,
for some time, e.g. [Boas' "Primer of Real Functions"],
[Fort's paper].) The following theorem implies (c) and
the above statements, and provides a nice application
of the Diophantine approximation point of view. (A slightly
weaker version appears in [Heuer's 1966 paper] and is
considered from a more general viewpoint in [Beesley,
Morse, and Pfaff's 1972 paper].)

つづく

2018/10/28(日) 21:24:50.73

つづき

On p. 643, Norton proves the following result.

THEOREM: Let f:R --> R be discontinuous on a set of points
that is dense in R. Then there exists a co-meager
(i.e. residual) set B such that for all x in B
and for all s > 0, f fails to satisfy a pointwise
Holder condition of order (exponent) s at x.

NOTE: See also the comments I make in Heuer [15] and Nymann [16] above.
(引用終り)

2018/10/28(日) 21:29:38.89

>>33

和文では下記くらい
英文なら、専門的な論文多数ヒットだが
ぱらぱら見たが、私には重すぎる感じだな（＾＾

https://kaken.nii.ac.jp/ja/report/KAKENHI-PROJECT-09640148/096401481998jisseki/
科研費
(抜粋)
1998 年度実績報告書
2進群上のベゾフ空間におけるフーリエ解析公開日 : 1999-12-11 更新日 : 2016-04-21

研究概要
今後の課題として,B^α_<pq>(2^ω)をチェザロ平均により特徴づけることや弱微分,強微分,
Peano微分の関係やこれらによるB^α_<pq>(2^ω)の特徴付け等が残っている.

2018/10/28(日) 21:35:15.83

>>27
”顧みて他を言う”
https://kotobank.jp/word/%E9%A1%A7%E3%81%BF%E3%81%A6%E4%BB%96%E3%82%92%E8%A8%80%E3%81%86-458990
コトバンク
(抜粋)
顧みて他を言う
（読み）
カエリミテタヲイウ
デジタル大辞泉の解説
顧(かえり)みて他(た)を言う

《「孟子」梁恵王下から》
答えに窮して、あたりを見回して本題とは別のことを言ってごまかす。

2018/10/28(日) 21:43:44.91

>>38

数学はディベートとは違う
”顧みて他を言う”では済まない

自分の背理法証明の失敗を、
一致の定理の背理法を引いて、
救うことはできない

（>>14より）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)

条件の”内点を持たない閉集合の高々可算和”を場合分けして
１）稠密でない場合
２）稠密な場合
それぞれを、証明すれば、それで終りの話だ
１）では、「ある開区間の上でリプシッツ連続である」は、楽に成立する
２）では、「ある開区間の上でリプシッツ連続である」は、成立しえない

２）の場合に、そんな関数は存在しないことが言えれば、系1.8は言える
それを、さっさと実行すればいいだけのことです。数学としては、それが王道でしょ？

2018/10/28(日) 21:47:08.89

>>39

場合分けは、数学の基本中の基本
場合分けしたら、証明できない？？

そんなバカな話は、聞いたことがない
が、おかしなことに例の定理の主さん、

これに抵抗するんだな
どうなっているんだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 22:08:20.50

消えろトンデモ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 00:57:55.10

>>32
＞ここの定義1.1で、g(y)＝｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜と置いただけと思う

ｗｗｗｗｗ

要するに定義1.1は使い物にならないということで

2018/10/29(月) 06:27:58.17

>>41
ありがとう（＾＾

2018/10/29(月) 06:57:01.74

>>42
>要するに定義1.1は使い物にならないということで

自分には分かり難かったね
普通、>>32に書いたように、二つの変数ｘ、ｙを使うのではなく
一つの変数ｘと、一つの定数aとを使う
二つの変数ｘ、ｙを使う表現は、混乱するかも
（二つの変数ｘ、ｙを、同時に動かす気はないんだろう。普通の極限の定義と思う）

2018/10/29(月) 07:58:30.14

>>44 補足

(抜粋 >>25より)
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]が成り立つ.
(引用終り)

ここで、最初の「lim sup y→x」でのｙと、後の「∀y, z」でのｙと、同じｙを使っているが
なんの関係もないんだ

だから、>>32で指摘したように
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)
と定義される.”として

（改善版）
補題1.5 f : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
lim sup x→a ｜（f(x) － f(a)）/（x － a）｜< +∞
を満たすとする.
このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [a － 1/M < y < a < z < a +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]が成り立つ.
(終り)

と表現する方が、分り易いと思う
最初の式と後の式で、共通はaだけになって、すっきりすると思う
まあ、証明の初版だし、許容範囲と思うが、
ちょっとした気遣いは必要と思うよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 12:34:24.65

そもそも｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の点ｘにおける上極限はどういう時に有限になるんだろうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 20:01:35.45

しかし凄まじく虚しい感じがしてきた。定義1.1はxの関数 sup 0<｜y－x｜<δ g(y) の従属変数が単調でないと適用できないはずなんだよなぁ。
これが一般に定義される、と言ってしまうと後の叙述では特に断りを入れないとsup 0<｜y－x｜<δ g(y)が単調でないgは扱えなくなる。何がしたいんだか。
「証明」を書いたのは恐ろしく虚無的な人間なんだろう。

2018/10/29(月) 20:39:13.97

>>46
その話は、例の定理の主さん、詳しかったね
過去ログでいろいろ例示を教えて貰ったよ（＾＾

まあ、まずは、下記知恵袋でも（＾＾
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12175270077
yahoo 知恵袋トップ>教養と学問、サイエンス>数学
(抜粋)
fiy********さん2017/6/1114:16:20
リプシッツ連続とはなんなのかさっぱりわかりません。
いろいろ調べましたが理解できませんでした
どなたかリプシッツ条件について簡単に教えて下さいm(__)m
よろしくお願いします

ベストアンサーに選ばれた回答
sma********さん 2017/6/1213:55:13
もう少し具体的に質問された方が回答しやすいのですが...
とりあえず定義を書いておきます.

【定義】
関数 f(x) が「リプシッツ連続」であるとは,
ある定数 K≧0 が存在して, 任意の x,y∈R に対して,
|f(x) - f(y)| ≦ K |x-y|
が成り立つこと.

あるいはもっと一般に.
【定義】
(X,dx), (Y, dy) を距離空間とする.
写像 f : X→Y が「リプシッツ連続」であるとは,
ある定数 K≧0 が存在して, 任意の x,y∈X に対して,
dy(x,y) ≦ K dx(x,y)
が成り立つこと.
※ 何か不明な点があれば補足します.

質問した人からのコメント2017/6/17 20:46:36
ありがとうございました
(引用終り)

つづく

2018/10/29(月) 20:44:30.76

つづき

>>48

あと、下記の関連を読むのが良いと思う
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12175270077
(抜粋)
続いて関連質問列挙
・関数f(x) がリプシッツ連続であるとは，ある定数M > 0 が存在して，不等式｜ｆ(...
・”リプシッツ連続ならば連続である” の反例を分かりやすく教えてください。
・リプシッツ連続に関して質問です。 f(x)＝x^2に関してリプシッツ連続かどうか求め...
・f(x)=x f(x)=x^2 はそれぞれリプシッツ連続ですか？またリプシッツ連続の場...
・解析学(微分)について質問です。『リプシッツ条件』ってなんですか？リプシッ...
・数学リプシッツ連続の問題です g(x)=√xが(0,1)でリプシッツ連続でないことを示し...

関連度の高い質問
・リプシッツ連続の判定についてf(x) = -xlog|x|がx=0以外でリプシッツ連続であるこ...
・次の連続関数はリプシッツ写像であるかどうか調べよ（1）E^1→E^1;x→sinx解き方分...
・１階微分がリプシッツ、またはヘルダー連続になる関数y=f(x)って、どんな関数です...
(引用終り)

以上

2018/10/29(月) 21:03:58.96

>>49

補足
１）あと、多項式の関数ｙ＝an x^n+an-1 x^(n-1)+・・・+a1 x+a0
　は、微分しても、y' はｘ→∞ の場合のみ y' →∞ になるので
　ｘが有限の範囲では、リプシッツ連続（但し、リプシッツ定数 k < ∞ ）
２．分数べきで、１未満の関数例えば、ｙ＝ｘ＾（1/2）では、ｙ’＝（1/2）ｘ＾（-1/2） =1/(2*ｘ＾（1/2）) (注微分すると負数冪になる関数な。なお、式中の*は、エクセルで使う積の記号です。普通は数学では省略されるのだが、アスキー文では見難いので入れた)
　　ここで、ｘ→０で、ｙ’→∞ となるので、ｘ＝０でリプシッツ連続ではない

とりあえず、こんな簡単な例でもどうぞ
例の定理の主さん、
もっと面白い例を沢山挙げていたけどね（＾＾

2018/10/29(月) 21:17:25.82

>>47

ああ、そういう見方もあるかな（＾＾

>>32に書いたけど
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)
と定義される.”

として
>>45の補題1.5で
（改善版）
補題1.5 f : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
lim sup x→a ｜（f(x) － f(a)）/（x － a）｜< +∞
を満たすとする.
(引用終り)

で、lim sup x→aを、「inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ」を使った表現に、定義1.1を使って書き直して
（>>25の証明の）
”あるδ > 0 に対して sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N である. ”
みたいな風に、式を展開していきたいための、定義1.1だと思ったけど

私は、全く単純に、こう考えたんだがね（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 21:54:34.96

>>49 >>50
有り難う。自分が知りたいのは、リプシッツ連続になる例から何が言えるのか、なんだから参考にしてみる。

>>51
それならリムスプは一切書かずに上限の下限で一貫すればいいと思うんだよね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 11:59:44.44

>>52
前半了解

で、後半は、定理の主さんは、いろいろ考えがあって、
これが分かりやすいと思ったのでしょうね
（>>51より）
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)
(引用終わり)

これ明らかに、”イプシロン・デルタ論法”に持ち込みたいって意図ですよね（＾＾
つまり、「lim」の記号を、「inf δ> 0」みたく書きたいという意図

参考に、下記に”イプシロン・デルタ論法”の例がありますので、見てください
https://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-06-07-1
ねこ騙し数学
第１９回　リプシッツ連続と一様連続 2017-06-08
(抜粋)
Xを実数Rの空でない部分集合とし、fをXからRへの関数とする。このとき、任意のx1,x2∈Xに対して、あるK>=0が存在し、
|f(x2)-f(x1)| <= K|x2-x1| （１）
であるとき、fはXでリプシッツ連続という。また、（１）式の定数Kをリプシッツ定数と呼ぶ。
関数f(x)がXでリプシッツ連続であるとき、f(x)がXで連続であることは、次のように証明できる。
(引用終わり)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 12:50:15.58

>>47だけど単調うんぬんはどうも間違った事を書いてしまったようだ。済まない。
それでもinf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)のinf δ> 0というのはやっぱりおかしい。
多分inf 0<δ<+∞のつもりで書いたんだろうが、これだと上限の上界が決まらない。
lim δ→0　sup 0<｜x－a｜<δ g(x)にすべきだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 15:21:22.98

>>54

まあ、下記でも読んでみて
（余談だが、”任意の（どんなに小さい）正の数ε に対しても，適当な（大きい）実数N(ε) を見つけて”と
　親切に、小さい、大きいを書いてくれているのが良いね。多分数学科では、わざとスルーじゃないかな？）
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/index-j.html
原隆（数理物理学）のホームページ九大
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/11/kisoenIII01.html
基礎数学演習III (物理学科)
Last updated: 2011/08/04
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/11/kisoenIII01.pdf
基礎数学演習III (物理学科) 講義内容のまとめ（5/18版）2011
大学２年向け

1 極限の厳密な定義（最低限）
(抜粋)
皆さんは高校でlim n→∞ an = α という式の意味を習ったはずだ．
多分，n が限りなく大きくなるとき，an が限りなくα に近づくなどという「定義」を聞いたのではないか？
この定義は特に間違ってはいないし，これで十分な場合はこれでやれば良い．
しかし，この言い方は以下の理由で困ったものである．

次に，「近づく」「大きくなる」などの「動き」が何となく入っており，考えにくい．
・もっと困ったことに，この言い方には「どのくらい速く極限に収束するのか」の収束の速さに関する言及が全くない．
そのため，少しややこしい極限?? 特に２つ以上の変数が混ざった極限1?? を考えだすと，お手上げになる．

これらの欠点を克服すべく，極限への収束の速さまで含めた，定量的な定義が考えられた．これがε-N 論法で，
以下のように書かれる．

（ア）任意の（どんなに小さい）正の数ε に対しても，適当な（大きい）実数N(ε) を見つけて，
すべてのn > N(ε) で，｜an ? α｜< ε とできる．

1.2 関数の極限：ε-δ 論法

この定義にもε-N 論法の時と同じ注意が当てはまる．簡単に繰り返すと
・極限を考えているのに，ともに正で有限のε, δ しか定義に現れないところがミソである．
・ε, δ をどんなに小さくとっても良いという掛け合い漫才によって，
「x がa に近づく」ときに「f(x) がb にいくらでも近づく」ことを表現しているのは，ε-N 論法と同じである．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 15:22:04.04

>>55

つづき

1.6 上極限と下極限
収束先がわからない数列が収束するか否かを判定するもう一つの必要十分条件として，
「上極限」と「下極限」を考えておくことにする．
そのあとで，「コーシー列なら収束する」の証明も付け加えよう．

A の端と端を決める（ギリギリの数にする）つもりで，「上限」と「下限」を定義する．
定義1.6.2 (上限と下限) A を実数の集合とする．A が上に有界のとき，
A の上界の最小値をA の上限（supremum）と定義し，sup A と書く．
同様にA が下に有界のとき，A の下界の最大値をA の下限（infimum）と定義し，inf A と書く．
（注）上限と上界は間違いやすいから，注意する事．（正直，僕は日本語だとどっちがどっちだったかすぐにわからなくなる．）

以上の準備の下に，数列an の上極限と下極限を以下のように定義する．
定義1.6.4 (上極限と下極限) 実数列{an} が与えられたとき，極限
lim n→∞ (sup k?n ak) (1.6.1)
を{an} の上極限といい，lim sup n→∞ an (1.6.2)
上極限の定義の中に現れている
(sup k?n ak)は，n について単調減少である．
従って，上極限は必ず存在する（特別な場合として+∞ も極限に含めるとして）．
(引用終わり)

以上

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 15:26:38.00

>>56 文字化け訂正

lim n→∞ (sup k?n ak) (1.6.1)
　↓
lim n→∞ (sup k >= n ak) (1.6.1)

(sup k?n ak)
　↓
(sup k >= n ak)

余談だが、ほんと不便な板だよ
ちょっと凝った数学記号が入ると、すぐ文字化け発生だからね
まあ、原文見てもらう方が早い

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 15:44:46.62

>>55
この原先生の「極限の厳密な定義（最低限）」は、過去スレでも紹介していると思う
まあ、物理学科生向けに、数学の厳密な扱いを教える講義らしい
で、数学科向けではおそらく省略される（わざと省略する？）表現が
入れてあるので、良いと思った
（私らには、イメージがはっきりして有難いんだ）

”1.6 上極限と下極限”（>>56）
まあ、分かっていると思うが
「A の端と端を決める（ギリギリの数にする）つもりで，「上限」と「下限」を定義する．」
「A が上に有界のとき，A の上界の最小値をA の上限（supremum）と定義し，sup A と書く．」
ってことで、
定理の主さん定義1.1で
”上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)”（>>53）
みたく、inf sup を使っていると思う
（ここら、もうちょっと調べると、資料が見つかるかもね）

あと、>>47で書かれた”単調”って話も
「(sup k >= n ak) は，n について単調減少である」（>>56）
と出てくるので、話は合っている気がするよ

2018/10/30(火) 20:54:30.30

>>58
　>>47の”単調”って話も、ID:4srmLQLtさんなかなかレベル高いね
　おれら、ぜんぜん浮かばないキーワードだわ（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 21:38:16.05

ロリータさんと初のお散歩

https://m.youtube.com/watch?v=Sc57eewItKo

2018/10/31(水) 07:23:10.70

>>53
良いテキストが見つかった（下記）
この服部哲弥先生の数学基礎も、当時過去スレで紹介だけはしたんだがね（＾＾
”(11) lim ￣n→∞ an = inf N∈N sup n >= N an”辺り、原文を見て下さい
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/hattori.htm
服部哲弥
現職：慶應義塾大学経済学部教授
1958年生まれ 1985年東京大学大学院理学系研究科博士課程（物理学専攻）修了（理学博士）
専門：数理物理学，確率過程論
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/suukiso.htm
1999-2002年度（於名古屋大学1年理系対象）の記録
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/kiso1r.pdf
数学基礎第１学期．１変数関数の初等解析学．服部哲弥 2002
(抜粋)
P10
§3.2 数列の上極限，収束，極限．

問題点は何か．これから，いくつかの単語を定義する．なぜか？
最終的に定義したいのは極限だが，周知のように極限は必ずあるとは限らない．上極限は上に有界な数列
なら必ず存在する．極限の存在しない数列があることは良く知っているだろうが，極限が存在しなくてもn
が大きくなるときのan の傾向を示す量が必ず存在してほしい．
上極限は，n が大きいときのan たちの「最大値の極限」である．
例えばan = (?1)n のとき，
上極限は lim ￣n→∞ an = 1 であり，
下極限は lim ＿n→∞ an = ?1 である．
そして上極限と下極限が一致するとき極限がある，と定義することができる．

定義4 (上極限) 「プレ」極限の概念として上極限がある．
これは数列の遠く（大きなn）のほうの上限という気持ちである．
数列{an} の上極限lim ￣n→∞ an とは
単調減少数列 bN = sup{an | n = N,N +1,N +2, ・・・}, N ∈ N, の下限のことを指す．

定義を式で書けば，
(11) lim ￣n→∞ an = inf N∈N sup n >= N an

上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．

lim ￣, lim ＿はそれぞれ上（下）極限を表す一つの記号．
limsup とも書くが，sup をとってさらにlim をとる，という意味ではない！
(引用終り)

2018/10/31(水) 07:26:32.43

>>61 補足

「数列{an} の上極限lim ￣n→∞ an とは
単調減少数列 bN = sup{an | n = N,N +1,N +2, ・・・}, N ∈ N, の下限のことを指す．」
と書いてある

ID:4srmLQLt（>>47）さんの”単調でないと適用できないはず”という発言は
ここらのことを言おうとしていたのかな

2018/10/31(水) 07:57:05.10

>>61

で、おれら言いたいことは、もっと単純な話で、
>>39にも書いたけど
（>>14より）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.

系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
ってことなんだけど

つづく

2018/10/31(水) 07:58:22.49

>>63

つづき

定理1.7で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」なのだから
定理1.7で、場合分けして
１）リプシッツ連続でない点の集合が、R中で稠密稠密でない場合
２）リプシッツ連続でない点の集合が、R中で稠密稠密である場合
として、
定理1.7は、上記１）の場合の定理なのだ
上記２）の場合は、定理1.7の外

２）の場合に、こういう関数
具体的には、例えば、
有理数の集合Q上でリプシッツ連続でなく、無理数の集合P上でリプシッツ連続である
そういう関数が存在するかどうか
それが問題になる

つづく

2018/10/31(水) 08:04:50.69

>>64

つづき

で、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R 」は
２）の場合に当てはめるべき関数であると。
１）の場合に当てはまらないよと

２）の場合の上記例のように、「有理数の集合Q上でリプシッツ連続でなく、無理数の集合P上でリプシッツ連続である」
という関数が、存在しなければ、その系として、系1.8は導ける
存在すれば、系1.8は導けない

（元々系1.8は既存の確立した論文があって、簡単な別証明を考えようがスタートだったのだが、
　２）の場合の関数が存在するなら、系1.8の上位の定理 ”リプシッツ連続とリプシッツ不連続”の定理みたいなの（それが定理1.7だった）を作って、
　その系として、「系1.8 ”微分と不連続”の場合」を導くことはできないってことになると
　でも、さすがに、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という定理1.7を、
　２）の”リプシッツ連続でない点の集合が、R中で稠密である場合”に、適用しようというのは、無茶。そういう主張です）

以上

2018/10/31(水) 08:05:34.85

>>64
訂正

１）リプシッツ連続でない点の集合が、R中で稠密稠密でない場合
２）リプシッツ連続でない点の集合が、R中で稠密稠密である場合
　↓
１）リプシッツ連続でない点の集合が、R中で稠密でない場合
２）リプシッツ連続でない点の集合が、R中で稠密である場合

2018/10/31(水) 10:04:01.43

>>58

おっと、昨日はコテハンとトリップが抜けていたね（＾＾

2018/10/31(水) 10:33:36.39

>>63 追加

で、
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
の証明もすべっていると思う

つまり、証明の中のどこかで、ある開区間が取れて、
そこで、リプシッツ連続になる
あるいは、Bf 内に開区間が取れる
そういうものを無意識に使っちゃったんだと
そう思っている

だって、「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」というのがR中に稠密に存在するなら
Bf内には、開区間は取れないし、きっと、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」も言えないと思うから

でも、そういう証明の詳細に入る前に大きな問題がある
だから、そこには入らずに議論したかったし

なにより、具体的にどこがどうってところまで
まだ詰め切れていない

まあ、だいたいここかなというのはあるけどね
でも、それをまた数学的な主張まで煮詰めるのも大変だし、それをこの板で表現するのも大変だしね
でも、面白い問題ではある

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 10:55:01.33

>>68
>と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
>f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
>の証明もすべっていると思う

g(y) = 1/n^3 (∃m,n ∈N、y = m/n, (m,n) = 1 のとき) 0 (otherwise)
で定めて
f(x) = Σ[y∈Q、0≦y≦x] g(y)
と定めればR－BfはQの部分集合なので内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるけどfは連続にならないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 11:23:49.31

間違った>>69は無視して下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 13:06:19.21

【え！　総人口２５０万人減少？】　早く移民で水増しないと、■■■が原因だと、無関心層に気づかれる
http://rosie.5ch.net/test/read.cgi/liveplus/1540952533/l50

2018/10/31(水) 13:25:04.13

>>69-70
了解
（”f(x) = Σ[y∈Q、0≦y≦x] g(y)”の部分が、意味が取れなかった）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 17:41:17.47

>>61のpdfの５０頁を見るとlim δ→0　sup 0<｜x－a｜<δ g(x)の方で合っているみたいだ(ドヤァ)

2018/10/31(水) 18:13:20.30

>>73
>>61のpdfの５０頁を見るとlim δ→0　sup 0<｜x－a｜<δ g(x)の方で合っているみたいだ(ドヤァ)

へー、読むの早いね（＾＾
おれは、そこまでは、全く読まなかったんだ

で、えーと、それは、PDFのP50の命題51のすぐ下
（引用）「例えば
lim ￣ x→x0 f(x) ：= lim δ→0 sup{f(x) | 0 < |x - x0| < δ} .
sup は実数値または∞ の意味で確定する．
sup{f(x) | 0 < |x - x0| < δ} はδ に関して単調増加なので
δ → 0 とともに減少し，右辺の極限はR ∪ {±∞} の意味で確定する．」
の部分だね

で、さらに命題52があって、証明中に、次の式
（引用）「0
= lim ￣ x→c |f(x) - f(c)|
= lim δ→0 sup x； |x -c|<δ |f(x) - f(c)|
= inf δ>0 sup x； |x -c|<δ |f(x) - f(c)|.」
がある
（見易さを考えて＝の前に改行を入れたが、本文では横に長い式な）

この式の最後の”inf δ>0 sup x； |x -c|<δ”の部分が
（>>53より）
定義1.1 で、「lim sup x→a g(x) ：= inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)」に
対応していると思うよ
なので、両方使って良いんだと思う（場合により、使い分けかな）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 19:34:21.50

>>74
「上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．」と書いておきながら何でだろうね。
inf δ> 0 だったら開球の大きさが無限大に発散するということにならないか。

2018/10/31(水) 20:52:57.30

>>75
>「上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
>上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．」と書いておきながら何でだろうね。
>inf δ> 0 だったら開球の大きさが無限大に発散するということにならないか。

貴方は読むの早いね（＾＾
それ、良い質問ですね（by 池上）
おれも、それちょっと考えたんだ（いや別の文献でだが）

上記は、>>61の
「上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．」
だね

それで上記は、数列anで、「lim ￣n→∞ an」を考えているんだ
で、>>74の方「lim ￣ x→c |f(x) - f(c)| 」なんだけど
上記数列に書き直すと
点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞) を考えて
「lim ￣ n→∞ |f(xn) - f(c)|」と書くと、
P50の命題52と、上記の数列anとが、つながるんだ
（なおP50は、”20 連続性”の節なのだが）

もう少し追加で書くと
点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞) だから、 |xn -c|<δ→0 (n→∞) ってことなんだ
で、関数ｆが点cで連続ならば、|f(xn) - f(c)| <ε →0 (n→∞) となる
要するに、n が大きくなって、n→∞のとき、δ→0（小さくなる）だし、
関数ｆが点cで連続ならばεの方も小さくなるよと

そういう数列xn → c (n→∞) の記述（”n が大きくなった”うんぬん）と、
（>>74）”lim δ→0 sup x； |x -c|<δ”とのつながりじゃないかな

（参考）
https://www.oricon.co.jp/news/82608/full/
2010-12-01 17:25 オリコンNewS
【2010流行語トップテン】「いい質問ですねぇ」池上彰喜びのコメント

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 21:40:00.23

>>76
＞点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞)

収束するかなぁ。

2018/10/31(水) 21:41:55.32

>>76
蛇足

「上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．」
で
関数の連続の場合には、
点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞) を考えると
|xn -c|<δ→0 (n→∞) で、δが小さいところ、つまり点ｃに近いところの傾向のみが影響する
という言い換えになるんだな

2018/10/31(水) 21:43:22.53

>>77
>＞点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞)
>収束するかなぁ。

いや、これは”定義する”と読んでくれ
「点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞)」を定義するってことね

2018/10/31(水) 21:47:40.15

>>79

蛇足だが
円周率 π を、小数点以下計算するみたいなもので
円周率 π を計算する公式（例えば級数展開）があって、
「その公式を使って、どんどん正確なπを計算する」みたいなことです
定義だから、必ずπに収束すると考えるべし

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 00:14:39.11

>>78
済まない。勘違いしていた。

考えたんだけど、inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)　のg(x)の従属変数が単調でないと、どうあっても上限の上界が決まりそうにない。
関数値が＋∞、－∞のときにδが＋∞、とすることもできない。十分大きなδをとっても、さらに大きな開球に含まれている元がさらに大きな関数値と対応しているかもしれないし、していないかもしれない。
要するに、ε‐δではなく、ε‐Ｎでないといけない。>>79の点ｃに収束する数列の項は自然数と対応していなければならない。

2018/11/01(木) 08:05:30.36

>>81
>考えたんだけど、inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)　のg(x)の従属変数が単調でないと、どうあっても上限の上界が決まりそうにない。
>関数値が＋∞、－∞のときにδが＋∞、とすることもできない。十分大きなδをとっても、さらに大きな開球に含まれている元がさらに大きな関数値と対応しているかもしれないし、していないかもしれない。
>要するに、ε‐δではなく、ε‐Ｎでないといけない。>>79の点ｃに収束する数列の項は自然数と対応していなければならない。

ひじょうーに、良い質問ですね（by スレ主（＾＾）
その考察正しいです
いま、説明の時間がないから、後で書くけど、自分でも考えてみて
多分そこまで考えているなら、自分で納得できる説明を考えつくでしょう
あと、
ヒント
・ここイプシロン－デルタ論法は、まずは関数の連続に使うのだが、少し進むと、位相の話で、開集合を使った同値な定義がある習う
この「位相の話で、開集合を使った同値な定義」と一緒に理解するのが良いと
・あと、関数の連続の話は、まずはある点aの回りの話ってことね。
　そうして、R全体で連続とは、点aでの連続が全てのRの点で言えるという話の流れになるってこと

この２つで大体答え（納得できる説明）は、自分で見つかるんじゃないかな？
まあ、これ日本の数学科での”イプシロン－デルタ論法”教育の欠陥のような気がする
要するに、日本の数学科ってのは、数学の心を語らないんだ。そういう情緒を排除して、ロジック１本勝負みたいな
そうすると、C++さんなんかが書いていたけど、「”イプシロン－デルタ論法”が分らないからお経のように丸暗記しています」と
それではちょっとね（＾＾；

2018/11/01(木) 10:41:41.88

>>82
まず訂正（細かいが）
誤開集合を使った同値な定義がある習う
　↓
正開集合を使った同値な定義があると習う

本題は、開集合を使った同値な定義の資料下記３点ご参考
（自分の検索で上位に来たもの）
まあ、別の資料も沢山あると思うが
（貴方なら、既習の範囲かもしらんが（＾＾；）

　記
１）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/renzokusyazou.html
連続写像（開集合の逆像は開集合）理系インデックス
(抜粋)
これは微分積分学でよく知られている関数の連続性を一般化したものである。
実際、微分積分学で知られているεδ論法と同様の形をしている。
(引用終わり)

２）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F
連続写像

目次
1 定義
1.1 開集合を用いた定義
1.2 閉集合を用いた定義
1.3 近傍系を用いた定義
1.4 点列および有向点族を用いた定義
1.5 閉包作用素による定義

３）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/
授業/山田光太郎東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻
集合と位相第一（2011年度）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/20110607.pdf
講義資料 10 開集合・閉集合集合と位相第一山田光太郎（東京工業大学理学部2年次）20110607
(抜粋)
■連続写像
定理10.17. 距離空間(X， dX) から(Y， dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，
任意のY の開集合U に対してf?1(U) がX の開集合となることである．
(引用終わり)

2018/11/01(木) 10:53:23.95

>>83

ああ、そうそう
学生さんなら、大学図書館で、
数学セミナー 2018年9月号
”やわらかいイデアのはなし／
　　連続写像の概念(演習)……藤田博司　70”（下記）
を、チラ見したらいいと思う
分かりやすく書かれていたと思う（＾＾
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/7833.html
数学セミナー　2018年9月号

・やわらかいイデアのはなし／
　　連続写像の概念(演習)……藤田博司　70

2018/11/01(木) 16:04:41.70

>>82

「ε-δ論法」で”∀ε>0”だから、∀＝すべての、又は、任意のだよね
だから、”十分大きなδをとって”どうなるかを考える

そういうところでつまづく人もいるかも知れないね
原隆先生も>>55で書いてあるけど、

”任意の（どんなに小さい）正の数ε に対しても，適当な（大きい）実数N(ε) を見つけて”です。
同じことは、下記にもあるけど

まあ、お説のように、εで大きいところは、考えないんだ（だからδも（普通は）大きくならない）
まあ、それって、普通の数学の「∀＝すべての、又は、任意の」と使い方が違う（普通大きい方も考えて良いが）。

これ、おかしいかもね
そこらの「なんで？」という疑問に答えるのが、上記の>>83とか>>84とかかな（＾＾

https://www.hellocybernetics.tech/entry/2017/04/29/091113
2017-04-29 HELLO CYBERNETICS
理系大学入学後にどん詰まる「ε-δ論法」について
(抜粋)
・はじめに
・ε-δ論法
・ε-δ論法が難しく感じる理由
・ε-δ論法の解説
・直感的な極限の話
・ε-δ論法での話
・最後に

ε-δ論法
ε-δ論法とは要するに、以下のように極限の定義を行うことです。

lim x→a f(a)=b
　↓↑
∀ε>0,∃δ>0:|x - a| <= δ→|f(x) - b| <= ε

これで理解ができた人は、もうこれ以上記事を読む必要はありません。

ポイントと言えば、「任意のε」というのは結局のところ「非常に小さなε」と解釈していいということです。そしてεに対して「とあるδ」は何でも良いのです。小さいεに挟まれた式を成り立たせることのできるような適当なδを１つ見つければ良いのです。

大抵の場合、教科書は技巧的な仮定を置いていたりしますが、ともかくやろうとしているのは、「どんな小さなεが来ても、それに対応するδを準備出来ますよ」ということの証明です。
(引用終わり)

2018/11/01(木) 16:07:15.13

>>85
youtube補足追加（外にもyoutube２本ヒットしたがスルー）
そこそこ分かりやすかった（1.5倍速で見た（＾＾；）
https://www.youtube.com/watch?v=t3JPms8Y1l4
【大学数学】ε-δ論法(関数の連続性)【解析学】
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
2018/05/04 に公開

2018/11/01(木) 18:08:01.29

>>86 補足

youtube 6分15秒くらいのところ（下記なんだが）
https://youtu.be/t3JPms8Y1l4?t=375
この図で、εを狭くすると、
ｙの不連続ギャップにハマり込んで
ｘの領域｜x-a｜＜δを、いくら狭めても（δをいくら小さくしても）
不連続ギャップが存在するので、
｜f(x)-f(a)｜＜ ε という説明をしているのだが
もう少しくどく（ある意味大げさに）説明した方が良いと思った
まあ、分かると言ったら分かるけど
この場面が、このyoutube の一番のキモで要点のところだかね（＾＾

2018/11/01(木) 18:13:11.08

>>87 訂正

｜f(x)-f(a)｜＜ ε という説明をしているのだが
　↓
｜f(x)-f(a)｜＜ ε と出来ないという説明を、しているのだが

補足
まあ、youtubeビデオでも言っているのだが
εを小さく取っていくと、不連続からギャップにハマるところが出てくる
そこで、今度は、”ｘの領域｜x-a｜＜δ”側から見ると
｜f(x)-f(a)｜＜ εと出来てないねと
まあ、言葉で書くと
もどかしいけどね
youtubeビデオ見てください（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 19:31:28.24

>>85
> 「どんな小さなεが来ても、それに対応するδを準備出来ますよ」

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/124
> 時枝の無限長の数列で、決定番号は∞まで可能性があるから、決定番号が有限に収まる確率は０。

時枝記事の時にスレ主は極限(この場合はε-Ｎ)のことを全く理解できていなかったみたいだが
「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
ということです
だから決定番号が有限に収まる確率は1になる

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 19:41:00.24

極限どころか∀、∃の意味が理解できてなかったけどな

2018/11/01(木) 20:23:56.02

>>89
ありがとう（＾＾

2018/11/01(木) 20:25:32.22

>>90
ありがとう
で、そういうなら、あなたの説明は？
それなら、>>81-82の説明を聞きたいんだが？
まあ、逃げるんだろうね（＾＾

2018/11/01(木) 20:26:02.36

>>91
それ正しいよ

2018/11/01(木) 21:01:30.22

>>89
>「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
>ということです
>だから決定番号が有限に収まる確率は1になる

突然で、話が見えない人も多いだろうから、簡単に書くと
数学セミナー 2015年11月号箱入り無数目時枝正（下記参考）で

話の前提は、こうだったね
１）可算無限個の箱の列（まあ自然数で１番～n番までの箱で、n→∞を実現したよと）
２）箱に任意の数を入れる（実数でもなんでも良し。重複も許す）
３）この数列を、列のしっぽの同値類で分類する
４）二つの数列において、ある番号mから先の数列しっぽが一致するとき、mを決定番号と呼ぶ

で、その流儀の説明倣えば
ａ）決定番号が１になる確率（２列の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
b）決定番号が２になる確率（２列の２番目以降の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
c）以下同様に、決定番号がｋになる確率（２列のｋ番目以降の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
d）よって、どの有限な決定番号を考えても、それ以降の全ての、しっぽの対応する可算無限個の箱の数が、一致する場合の確率は、０になります！！（＾＾（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）

（参考）
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/6987.html
数学セミナー　2015年11月号
　箱入り無数目───────────────時枝正　36

2018/11/01(木) 21:20:37.29

>>92
一晩時間をやるから
>>81-82について
あんた、なんか書いて見なよ
何にも書けないなら
100年ROMってろってことよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 21:32:57.32

>>94
その計算の仕方だとR^Nから一つ任意に数列を選ぶと選んだ数列が
R^Nの中に含まれる確率が0になるのでおかしいともいえますね

R^Nから一つ任意に数列を選ぶと選んだ数列がR^Nの中に含まれる
確率は当然1です
R^Nの中には選んだ数列が「必ず」存在します

> 決定番号が有限に収まる確率は1になる
これは代表元の中にしっぽが一致する数列が「必ず」存在することによる

2018/11/01(木) 23:05:44.08

>>96
多分、その考え、確率計算の問題から逸れていると思うよ

例えば、簡単のために箱が二つあるとする（可算無限長の箱の列の代わりにね）
１）二つの箱に、サイコロで1～６の数を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/6（説明は省略する）
２）二つの箱に、サイコロで1～100の数を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/100（説明は省略する）

３）二つの箱に、サイコロで1～Nの自然を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/N（説明は省略する）
４）３）において、N→自然数の集合全体に拡大すると、二つが一致する確率は、1/可算無限（説明は省略する）

５）３）において、入れる数を自然数→実数の集合全体に拡大すると、二つが一致する確率は、1/非可算無限（説明は省略する）
６）３）において、入れる箱を２つから可算無限個に増やすと、可算無限個の箱の実数が全て一致する確率は、1/（非可算無限）＾（可算無限）（ベキね）（説明は省略する）

確率が０と、存在するとこととは、矛盾しません

2018/11/01(木) 23:34:10.61

>>95
どうせ、一晩待っても何にも書けないんだろうが
まあ、別のこと（イプシロンデルタじゃないこと）でも書くか（＾＾

（>>63より引用）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.

系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)

ここで、
「有理数の点でリプシッツ不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R 」
を考えると
系1.8 の証明中にあるように、
リプシッツ不連続な集合有理数Ｑは、”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”から、
定理1.7より、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”となる

これは、有理数の点が、Ｒ中で稠密に反する
矛盾を生じたので、このような関数は存在しないと結論される
が、これは、ちょっと論証としておかしい

当然定理1.7は、
このような関数ｆ「有理数の点でリプシッツ不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R 」
は、扱えない（場合分けの説明を、>>64に書いた通りである）
（本当に、存在するか、不存在かを立証するには、別の考察が必要であると）

つまり、もともとの定理1.7の設定（結論と条件）が適切でないと思うし、それがこういうおかしな帰結の原因であると思う

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 00:51:15.66

>>97
> 確率が０と、存在するとこととは、矛盾しません

>>94
> １）可算無限個の箱の列（まあ自然数で１番～n番までの箱で、n→∞を実現したよと）

ε-ＮのN(決定番号に対応)が∞であれば極限は発散する
R^nをn→∞の極限を考えてR^Nにすると決定番号は有限値をとる
決定番号が∞ということはスレ主が選んだ無限数列がR^Nの元ではないということ

2018/11/02(金) 07:00:46.90

>>99
おれが>>97で書いたことは、それとは違う
・可算無限長の箱の列
・先頭からある有限個ｎを取り除いても、残りのしっぽは可算無限長の箱の列で、変化なし
・これが、時枝パラドックスの手品のたねの一つだろうと
（そもそも、「可算無限長の箱の列」は、時枝記事に書かれている前提条件ですしね）

2018/11/02(金) 07:20:37.28

>>98 補足

系1.8の背理法という邪念を捨てて
定理1.7の結論
「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」
を素直に眺めてみると

”リプシッツ連続という関数の族で、
　どんな条件設定をしたら、この結論が導けるのだろうか”
という疑問がわいてくる

有理数の集合Ｑ上でリプシッツ不連続のような関数を、
病的関数と呼ぶとすれば
病的関数は、排除する条件設定でなければならない

だから、素直に
「リプシッツ不連続な集合が、Ｒ中で稠密でない」が浮かぶ

「Ｒ中で稠密でない」は、
言い換えると
どこかの区間（開閉問わず）で、
リプシッツ不連続な点を含まないと
できるってこと

で、定理1.7の条件「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」
これじゃ、条件足りないねと
「Ｒ中で稠密でない」を入れないとね

条件足りないのに、証明しちゃったの？
それ、”リプシッツ連続という関数の族で、一致の定理を証明しました”と
そういう話になっちゃうってことです
一致の定理を証明するなら、正則条件は外せない

と同様に、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」を証明するためには
「リプシッツ不連続な集合が、Ｒ中で稠密でない」という条件
これは、外せない

あるいは、それと等価な条件を含む設定でないと
まずいよと
だから、
「もともとの定理1.7の設定（結論と条件）が適切でない」
ってことだな

2018/11/02(金) 11:17:00.40

>>95
案の定
なんにも書けないのか？

じゃ、
おれは、”極限どころか∀、∃の意味が理解”できてない
おまえは、>>81-82のε‐δになんにも言えないレベルだと
それでいいな

100年ROMってろっ
なにか気の利いた数学のことが書けるようになってから、カキコしな

2018/11/02(金) 11:27:04.17

>>82
>ひじょうーに、良い質問ですね（by スレ主（＾＾）
>その考察正しいです

もう大体わかっているとおもうが
重要キーワードが、近傍（下記）です

イプシロン－デルタ論法は、暗黙の前提で、ある点ａの近傍を考えているんだ
だから、εもδも、小さい方を考えているってこと

”∀ε> 0”（>>85）で、小さい方には∀が有効だが、大きい方には∀が有効でない（近傍から出ることは考えてないってこと）
それが、私のいまの答えです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
近傍 (位相空間論)
数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、英: neighbourhood, neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。
近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。

目次
1 定義
2 距離空間における近傍
3 例
4 近傍系の定める位相
5 一様近傍
6 穴あき近傍

2018/11/02(金) 11:49:02.08

>>103 補足

簡単な例として
>>86のyoutubeな
これ、不連続な関数の例を挙げているのだが

不連続な点以外の連続な点を考えるとき
連続をすんなり言おうとすれば
ｙ側でとるεは、不連続な部分を含まない小さい近傍にすべきだと
不連続な部分を含む大きな近傍にすると、処理がややこしいから

2018/11/02(金) 17:38:39.98

>>104
補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F#%E8%BF%91%E5%82%8D%E7%B3%BB%E3%82%92%E7%94%A8%E3%81%84%E3%81%9F%E5%AE%9A%E7%BE%A9
連続写像
(抜粋)
目次
1 定義
1.1 開集合を用いた定義
二つの位相空間 X, Y の間の写像
f： X → Y
が連続であるとは、
任意の開集合 V ⊆ Y に対しその逆像
f^{-1}(V)= { x∈ X ｜ f(x)∈ V }
が X の開集合となるときに言う。
従って、f は集合 X, Y の間の写像（であってそれらの位相の元の間の写像ではない）にも拘らず、
f の連続性は用いられている X, Y それぞれの位相に依存する性質であることに注意すべきである。
(引用終わり)
注：f^{-1}(V)は、ｆの逆像（逆関数）である（まあ原文見てください）

さて、いまの場合
単純に
f： R → R として
ある点 x=aでの連続を考えると
上記定義ままでは、全開集合 V ⊆ Y を言っているが、
ある点 x=a に限定すれば、
点 x=a のごく近傍だけを見れば
それで足りるんだ（＾＾

でも、定義として”点 x=a のごく近傍だけを見れば
それで足りるんだ”と書くのも、
数学的美観から見て如何かということかな？と
（”「ごく近傍」ってなんだ！ちゃんと定義しろ” なんてツッコミが予想されるし）

普通は、点 x=a の連続を定義して、
そこから、全Rに至るというのが、
私ら素人分かりする流れですけどね（＾＾
（「全開集合 V ⊆ Y を見ろ」とか言われても、
>>54 のID:s/HOWja1さん言われるように、
　かえって分かりにくいと思いますし、
実務としては、「点 x=a のごく近傍だけで良いでしょ」なんです（＾＾）
まあ、ここらは、時代の数学の天才たちが、100年くらいかけて磨き上げて来た定義ですからね

2018/11/02(金) 17:40:51.52

>>105 追加

実際、いろんな証明を読んでも
「点 x=a のごく近傍だけで良いでしょ」
って感じで処理していますね（＾＾；

2018/11/02(金) 17:57:14.97

>>105

一言

連続写像
1.1 開集合を用いた定義
を引いたのは
こっちの方が
”点 x=a のごく近傍だけを見れば
それで足りるんだ”
をご納得しやすいと思ったから

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 18:17:17.46

>>100
> 先頭からある有限個ｎを取り除いても、残りのしっぽは可算無限長の箱の列で、変化なし
これは決定番号は∞になることはないということだからスレ主の主張とは真逆のこと

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/124
> 決定番号は∞まで可能性があるから、

スレ主の主張は決定番号が∞になるということであって先頭からある有限個ｎを取り除くと
nは有限値でもいくらでも大きくできるから残りのしっぽがなくなるということですよね

以下の例でも(***)はスレ主の主張そのままでしょう？

有限数列全体から選んだ二つの数列のしっぽに項がすべて0である無限数列を
加えて無限数列にする
この二つの数列のしっぽが一致する確率は有限数列の項数はいくらでも大きくできるので0 (***)

一方で項数(= 決定番号 - 1)が∞であるということは無限数列であるということだが
無限数列は有限数列全体の中には存在しない
有限数列全体の中から無限数列を選ぶ確率は0

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 18:39:52.70

いつでもそうだがスレ主は根本が解ってない
だからいつも頓珍漢なことを言う
典型的なトンデモ

2018/11/02(金) 19:55:01.63

>>108
ちょっと違うな
１）可算無限長の数列が二つあって
　その二つの列を先頭から比較して、一致する確率はゼロ（理由の説明は省略）
２）次ぎに、先頭からｎ個までは異なるが、n+1個目からあと無限個の箱の数が一致する確率は？
　n+1個目からあと無限個の箱の列と同じことだから、これも一致する確率はゼロ（理由の上記に同じ）
ＱＥＤ

2018/11/02(金) 19:56:47.11

>>110 補足

　その二つの列を先頭から比較して、一致する確率はゼロ（理由の説明は省略）
　　↓
　その二つの列を先頭から比較して、全部が一致する確率はゼロ（理由の説明は省略）

”全部が”ってことな
で、ｎは有限の自然数な

2018/11/02(金) 19:58:01.75

>>110 訂正

（理由の上記に同じ）
　↓
（理由は上記に同じ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 20:01:34.37

>>110
それは数列全体の集合から無作為に２元選んだ時の話であって、時枝記事とは何の関係も無い。
そんなだから「お前は一体何を批判した気になっているのだ？」と言われてしまうんだよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 21:16:49.45

>>110
>>113にも書いてあるが決定番号を求めるには選んだ無限数列が
属する同値類の代表元と比較しなくてはいけない

> 可算無限長の数列が二つあって
では二つの数列が同じ類に属することが保証されない

>>108の場合
> 有限数列全体から選んだ二つの数列のしっぽに項がすべて0である無限数列を
> 加えて無限数列にする
ここで作った二つの無限数列は同じ類に属するので決定番号を求めることができる

2018/11/02(金) 22:11:30.97

>>113-114
時枝記事が出たのが、2015年10月だった
このスレで取り上げたのが、2015年11月だったかな
あれから、３年
多分、当時数学科に居た１年生が、いま４年生
彼らは、おそらく正しい理解に達したろうと思う
あんたたち進歩ない

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 22:41:28.90

>>115
定義に書いてあるじゃないか

> ４）二つの数列において、ある番号mから先の数列しっぽが一致するとき、mを決定番号と呼ぶ

決定番号の定義から「ある番号mから先の数列しっぽが一致するとき」だから
m個目以降が一致する確率は1

決定番号を求めるにはしっぽが一致するまで比較する数列を選び直してよい
代表元の中にはかならずしっぽが一致する数列が存在する

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 22:59:35.52

問題はスレ主が定義という概念を理解しているかどうかだ

2018/11/02(金) 23:29:57.27

>>115
貴方たちが言っているのは、大体が代数の知識だが
確率論とか確率過程論の知識がからっぽ
数学科生だと、確率論が必修かどうか知らないが

もし、必修でなくとも、友人とか先輩とか院生とか教官とか
確率論や確率過程論に詳しい人から、
時枝記事に対する正しい見解を聞く機会があると思う

確率論とか確率過程論の知識が欠落している人には
時枝記事に対する正しい見方は難しいのかもしれないね
私には、あなた方に、確率論とか確率過程論を、ここで講義する力も時間も余白もない

わるいね（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 00:02:33.42

っぷ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 01:15:44.58

>>118
シンプルにするために時枝記事を極限の簡単な場合に書き換えると
「確率に詳しい」スレ主がやっている計算は

[問]
実数aに収束する無限有理数列がある
数列のしっぽの無限個の項の値は(a - ε, a + ε)に含まれるか？

[スレ主の答え >>94 >>110 ]
有理数全体の集合の濃度は可算無限
可算無限長の有理数列があって先頭から値を比較していくと
値が(a - ε, a + ε)に含まれる確率は0
よって数列のしっぽの無限個の項の値が(a - ε, a + ε)に含まれる確率は0

2018/11/03(土) 06:57:21.12

>>119
これは、”ぷふ”さん、お久しぶりです
お元気そうでなによりです＼（＾＾／

2018/11/03(土) 07:50:47.73

>>120
[問]
実数αに収束する無限数列を作る
ある人が、数直線上で点を選んで収束する点列anを作ったとする
（点を選ぶために、選択公理は仮定する）
いま、人は、選んだ数anが、無理数か有理数かを判定する一般的な手段を持たない
だから、選んだanが、無理数か有理数かを知らずに選んだとする
何十年後かに、任意の数が、無理数か有理数かを有効に判定する定理が見つかり、選んだanを調べたとする

さて(α - ε, α + ε)の区間において、
１）数列anに、無理数が含まれる確率は１（多分これは皆さん同意だろう）
２）数列anに、有理数が含まれる確率は０？（コルモゴロフ流確率論に乗るかどうかは別として、多くの人の直観は０だろう）

[スレ主の答え]
時枝先生は、ここ「数列anに、有理数が含まれる確率は１」みたいなことを言っているじゃないですかね？
もっともらしい理屈（数理？パラドックス？）を構築して
でも、その理屈は、現代数学の正統確率理論からみたら、まゆつばものだと（＾＾

2018/11/03(土) 10:16:31.89

>>82
>まあ、これ日本の数学科での”イプシロン－デルタ論法”教育の欠陥のような気がする
>要するに、日本の数学科ってのは、数学の心を語らないんだ。そういう情緒を排除して、ロジック１本勝負みたいな

以前、下記みたいな質問があって、これにうまく答えられなかった
それはいまも、あまり変わりないが
「なぜ”逆写像”を使う？」というところが、”イプシロン－デルタ”の心の説明とつながるかなと（＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516499937/626-627
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む50
(抜粋)
626 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2018/02/09(金) 22:10:57.11 ID:Wn/Os2G7
連続が単に定義であるなら、「”開写像かつ逆写像が開”を連続である」ではなぜいけないんだろう
元の連続の定義よりより強くていいと思うんだけど
(引用終り)（一部修正）

つづき

2018/11/03(土) 10:17:21.83

>>123

つづき

これ（「なぜ”逆写像”を使う？」）
（>>86-87より）
youtube https://youtu.be/t3JPms8Y1l4?t=375 【大学数学】ε-δ論法(関数の連続性)【解析学】予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」2018/05/04 に公開

で、この動画の図を借りて、
ｘ＝ａで不連続を式で表現するために
ｇ（ｘ）を連続関数として、
一般性を失わずに単調増加関数とします
（この方が、話が簡単なので）

ｆ（ｘ）
　＝ｇ（ｘ）　　　但しｘ＜＝a
　＝ｇ（ｘ）＋ｄ但し a＜ｘ
ここに、ｄはある正の実数とします
（まあ、要するに、ｘ＝ａでギャップｄを作りましたと）

で、これを、ε-δ論法に当てはめると
１）ｘ＝ａから、ｙ軸の点ｇ（ａ）を見つけます
２）ε＜dとなるように（ギャップに入るよう）、小さくεを考えると
３）ｘ＝ａ＋δで、δを小さくしても、
　 lim δ→0 ｜f(a+δ)-ｆ(a)｜ >= d
　 (｜f(a+δ)-ｆ(a)｜は、ギャップdより小さくできない)
４）開集合の”逆写像”でいうと、
　ε＜dとなるとき(下記ｆ^(-1)は、逆関数を表わす)
　ｆ^(-1) ：(f(x)-ε，f(x)+ε）→(a-δ，a+δ]
　 (半開区間なので、開集合ではない)
　となります

つづく

2018/11/03(土) 10:18:23.68

つづき

上記４）をまとめると、関数が不連続でギャップｄを持つとき
「ｙ軸の方から見て、ギャップｄを意識してεを小さくして、
ｄに嵌まる開集合（ｙ - ε，ｙ + ε）の逆像が、開集合ではない」
とできる

　もっと俗に言えば
「不連続なら、ｙの方から見る像を拡大する（εを小さくする）と、かならずギャップｄが見える」と
　それが、
「ｙ軸の方から、逆像で見る」ことの意義だろうと

で、これを”ε-δ”に翻訳すると、
まずｙ軸の方でεを決める。
その逆像として、（ａ - δ，ａ - δ）が取れるかどうかを見る。
取れなければ、アウト
εを任意に小さくしても、必ず（ａ - δ，ａ - δ）が取れるならＯＫ（連続）だと
（だから、先に”任意のεありき”なのだと）

以上です

2018/11/03(土) 10:34:05.90

>>125 蛇足

１）コンピュータプログラム風に言えば
　最初は、点x=aを決めて、
　次ぎにy側にf(a)を取るという手順になる
　そして、f(a)±εを考えるという流れ
　これ、最初の方を結構省略して説明してあるよね
２）ギリシャ文字として、δが先で英文字ｄに対応、εが後英文字でｅに対応している
　この順で、変数ｘにδを使い、変数ｙにεを使う
　これも、うろ覚えで混乱しないように、しっかり覚えておいた方がいいだろう（これ自戒を込めて）

以上

2018/11/03(土) 11:29:39.42

34分なので、1.5倍速で見たけど
途中であきらめた（＾＾；
https://www.youtube.com/watch?v=_DJfeP0cmI8
eが超越数であることの証明（34分）

予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
2018/10/31 に公開
高校数学のレベルで理解できる非常に面白い証明です

コメント
トラファルガーρ
2 日前
確かに数3までで習う計算しか使ってないけど、難しすぎる…w

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 12:32:38.24

ヨビノリと鈴木氏はコメント欄で突っ込んだことがあるけどスルーされた

学術 · 2018/11/03(土) 12:32:39.48

無限個を計測して頭に入れただけでわかるのがおかしい。
人生体験から類推すべきなのに。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 12:51:00.31

まぁ定理1.7とかいう件の証明もどきはまともな定義の上に立っていないと思われ

2018/11/03(土) 13:13:38.61

>>128-130
どもです（＾＾

2018/11/03(土) 13:33:59.81

>>124 訂正

誤；ｆ^(-1) ：(f(x)-ε，f(x)+ε）→(a-δ，a+δ]
　↓
正；ｆ^(-1) ：(f(x)-ε，f(x)+ε）→(a-δ，a]

だな（＾＾

2018/11/03(土) 14:33:15.34

>>106-107
「点 x=a のごく近傍だけで良いでしょ」は、
やっぱ近傍系を用いた定義から理解するのが早いかも（＾＾

あと、下記引用に、
「後者は逆像ではなく像を使った言い換えになっている」とあるので、
順像を用いる定義もあるみたい

なので、（>>123より）「”開写像かつ逆写像が開”を連続である」は、明らかに、重複
（逆像か順像か、どちから片方で、いいでしょう）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F
連続写像
(抜粋)
1.3 近傍系を用いた定義

近傍系を用いた定義
近傍を用いて位相空間の一点における写像の連続性を定義することもできる。

位相空間 X 上で定義された写像 f: X → Y が一点 x において連続であるとは、像 f(x) の任意の近傍の f による逆像が再び x の近傍となること、即ち

∀ N∈ N _f(x) ： f^{-1}(N)∈ M_x
が成立することを言う。

近傍系が上方集合（英語版）系であるという性質を用いれば、

∀ N ∈ N_f(x), ∃ M∈ M_x ： M ⊂＝ f^{-1}(N)
∀ N∈ N_f(x), ∃ M∈ M_x ： f(M) ⊂＝ N
などのように言い換えることもできる。

後者は逆像ではなく像を使った言い換えになっている。
言葉で言えば、
これはどんなに小さな近傍を選んでもそれに写される近傍が必ず見つけられる
ことを言っているのである。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 14:39:00.77

どうやら最近近傍という言葉を覚えたようだ
逆に言うと、今まではそんな基本すら理解せずに数学板で放言してたということか

2018/11/03(土) 15:04:06.02

>>133 補足

あと、近傍の補足例で
”εを小さい方は良いけど、
　大きく広げる方は良くない例”
を思いついたので書く（＾＾

ｙ＝１／ｘを考える
（この関数は、原点0に極（発散点）を持つことを、注意しておく）

ｘ＝１で連続を言いたい
ｘ＝１のとき、ｙ＝１だ

そこで(ｙ-ε，ｙ+ε）で、
εを0.1とか小さくとってれば
問題なく、ε-δ論法に乗る

だが、εを1.1とか大きくすると
(ｙ-1.1，ｙ+1.1）となって

その逆像は、ｘ軸全体
(-∞，+∞） (∵原点の極を跨ぐから)
となる
（正確には、原点0を除いた(-∞，0）＆ (0，+∞））

なので、
ｘ＝１で連続を言うのに、
εを原点の極を避けて小さく取るのはＯＫだが
一方、原点を含むような大きなεを取ると、
議論がややこしくなるだけ

（”(-∞，0）＆ (0，+∞）”でも開集合なので、
　理論上、問題ないと言えるが、
　ｘ＝１での連続をいうのに、
　無神経に（不必要に）εを大きく取るのは、議論を混乱させるだけの不経済ということだろうと（＾＾）

2018/11/03(土) 15:06:57.09

>>134
おつです

正確には、近傍という言葉を覚えたのは、高校だが
この質問とか

なんで逆像？
の説明に、

”近傍という言葉を使うのが分り易い”というのに気付いたのは
最近だね（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 15:11:19.65

limsupは、>>61のpdfの50頁に
>sup{f(x) | 0 < |x - x0| < δ} はδ に関して単調増加なので
>δ → 0 とともに減少し，右辺の極限はR ∪ {±∞} の意味で確定する
と書いてあるのが答えですよね

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 15:16:29.36

f：R -> R は写像，x0は実数として，
F：(0,∞) -> R∪{±∞} を F(δ) = sup 0<｜x－x0｜<δ f(x) と定義すると，
F(δ)はδについて必ず広義単調増加なので，

lim δ->0 F(δ) = inf δ> 0 F(δ)

が必ず成り立つ．すなわち

lim δ->0 sup 0<｜x－x0｜<δ f(x) = inf δ> 0 sup 0<｜x－x0｜<δ f(x)

が必ず成り立つ
よって、limsup x→x0 f(x) の定義には
lim δ->0 と inf δ> 0 のどちらを使ってもよい
これだけの話ですよね

2018/11/03(土) 15:24:53.89

>>134
>逆に言うと、今まではそんな基本すら理解せずに数学板で放言してたということか

Y （＾＾
それ一応断りを、>>8を書いてあるよ（＾＾

「スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です

じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます

が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし」
ってこと

2018/11/03(土) 15:35:52.31

>>137-138
レスありがとう

仰る通りですね（＾＾
それ質問者の>>81とか、>>54とか、>>52とか、>>47とかへの答えね

そして、（>>53より）例の定理の主さんは
定義1.1 で、「lim sup x→a g(x) ：= inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x)」
なので、左辺を右辺で定義しているってことです

そのこころは、
”δ> 0， 0<｜x－a｜<δ”を後で使いたいよ
その準備ですよ、ということだね

2018/11/03(土) 15:44:08.70

>>135
ほんとに、中学生向け蛇足だが

ｘ＝10^6 (俗世間では100万と呼ぶ)
での連続を考えると

対応するｙは
ｙ＝１／（10^6）
なので

εを、例えば１／（10^7） (=1,000万分の1)
と小さく取らなければ、原点ｙ＝0を跨ぐのでまずいことになると

なので、どれだけ小さくとるべきかは、場合によるけれども
小さく取る方は、いくら小さくとっても、無問題だと

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 16:29:19.81

>>140
いや、そこが違うんだが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 17:11:17.41

>>122
> 時枝先生は、ここ「数列anに、有理数が含まれる確率は１」みたいなことを言っているじゃないですかね？
全然理解していないじゃないですか

>>120は実数に変えても同じです
[問]
実数aに収束する無限実数列がある
数列のしっぽの無限個の項の値は(a - ε, a + ε)に含まれるか？

[スレ主の答え >>94 >>110 ]
実数全体の集合の濃度は非可算無限
可算無限長の実数列があって先頭から値を比較していくと
値が(a - ε, a + ε)に含まれる確率は0
よって数列のしっぽの無限個の項の値が(a - ε, a + ε)に含まれる確率は0

[一般的な答え]
極限の定義より数列のしっぽの無限個の項の値は(a - ε, a + ε)に含まれる

[決定番号に関する問]
可算無限長の実数列Anを一つ選んだとする
Anとしっぽの無限個の項が一致する無限実数列Bnがある

有限数列を{an}としたときにn→∞の極限で{an}→Anになる場合
この無限数列のしっぽの無限個の項はBnと一致するか？

[スレ主の答え >>94 >>110 ]
(略) 確率は0

[一般的な答え]
(略) 一致する

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 17:59:38.58

∞というのはいつでも数列の項として扱えるわけじゃないんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 18:28:22.26

F：(0,∞) -> R∪{±∞} と書きましたように，Rに値を取る関数ではなくて
R∪{±∞}に値を取る関数としているのだから，
途中のδでF(δ)がいきなり±∞になっていても正しいですね

2018/11/03(土) 18:29:49.76

>>142
クワスク（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 18:32:30.26

>>61のpdfの50頁でも，

>例えば \overline{lim} x->x0 f(x) := lim δ↓0 sup{f(x)|0＜|x-x0|＜δ}.
>sup は実数値または ∞ の意味で確定する. sup{f(x)|0＜|x-x0|＜δ} はδに関して単調増加なのでδ↓0
>とともに減少し，右辺の極限はR ∪ {±∞} の意味で確定する

このように，sup{f(x)|0＜|x-x0|＜δ} が
途中のδでいきなり ∞ の値になることを許していますし，
その設定で lim δ↓0 や inf δ>0 を考えてます

2018/11/03(土) 18:34:12.57

>>143
>> 時枝先生は、ここ「数列anに、有理数が含まれる確率は１」みたいなことを言っているじゃないですかね？
>全然理解していないじゃないですか

ここだけ
そこ、ジョークだよ
その例えは、時枝記事となんの関係もないけど
まあ、雑に言えばということですよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 18:51:28.86

inf δ>0だとδも＋∞の値を取らざるを得ないということになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 19:01:21.61

F：(0,∞) -> R∪{±∞} について考えているのだから，
inf δ＞0 F(δ) は inf δ∈(0,∞) F(δ) という意味ですよ
正式には

inf{F(δ)|δ∈(0,∞)}

という意味ですね
どこにδ＝＋∞があるのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 19:21:49.68

>>148
スレ主はε-Ｎは理解しているらしいからもっと簡単なところからやってみましょうか

時枝記事ではなくて通常の極限の話です

[問]
以下の無限数列{an}は収束するか？
a1, a2, ... , a3, ... , am, 0, 0, 0, ... , 0, 0, ...
収束するのであればε-ＮのN(ε)を示すこと

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 19:22:56.87

>>146
δが∞に近づくときsup 0<｜x－a｜<δ g(x)が∞に発散する、またはある値からは変わらない。
こういう場合以外にある値に収束するとき、∞は決して数ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 19:41:57.18

>>152
∞がRという数体系に含まれないこととlimsupの定義に何の関係があるのですか？
そもそも，なぜ δ->∞ の挙動を見るのですか？
F(δ) = sup 0<｜x－x0｜<δ f(x) はδについて広義単調増加なので，
inf δ>0 F(δ) を考えたときには δ->∞ の挙動を見る必要はないですよ
δが小さい領域しか影響しないので．

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 19:47:57.58

同じ話にはならないので混乱のもとかもしれないけど，
inf δ>0 ではなく min δ≧0 だったら分かりやすいかな

F：R -> R が広義単調増加のとき，F(δ)のδ≧0における最小値はF(0)なので

min δ≧0 F(δ) = F(0)

が成り立ちます
あなたはそこで，F(δ)のδ->∞における挙動を考えて
意味の分からないことを言ってるような感じです

学術 · 2018/11/03(土) 19:59:50.47

なんで実数定項を避けながら数学は発達したのかを考えてみると
面白いと思う。

2018/11/03(土) 20:32:16.04

>>151

まずさ、貴方、確率過程論の本１冊でも読んだ方が良いと思うよ
こんなところで、おれみたいな低レベルを相手に時間潰すよりも

それで、時枝が成立しない理由は分る
まあ、理系の確率過程論の本がむずいなら、

経済系の伊藤過程からみの本でも良いと思う
ここで駄文書いても、あんたレベルアップしないよ

で
>スレ主はε-Ｎは理解しているらしいからもっと簡単なところからやってみましょうか

買い被りだよ
ε-Ｎは詳しくない。”ε-δ”ほどにはね
”ε-δ”は、高校の時に読んだ。高校の教師が数学科出で、”ε-δ”の話をするから
大学の教程では、”ε-δ”は、やらなかった。が、いろんな証明で使われているのは、見たよ

その程度だ。そうそう、教育における”ε-δ”の扱いの教育論争は当時からあってね
おれは、高校の時に読んだで、”ε-δ”なんて無くても良いと
だけど、今回トマエ関数とかを考えると、”ε-δ”役に立つと思ったね

それだけだ（＾＾
あとスルーな

2018/11/03(土) 20:37:34.59

>>155
学術さん、どもありがとう

実数定項？
初耳です（＾＾
下記
”論理学の哲学における根本的な疑問の一つに、"論理定項とは何か?"というものがある。一体、論理定項のどのような特徴がそれらを論理的にしているのか？”
と同じような問い？（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AE%9A%E9%A0%85
論理定項
(抜粋)
論理定項の二つの重要な型は、論理結合子と量化記号である。等式述語（通常'='と書かれる）もまた、多くの論理体系において論理定項として扱われる。

上記のリスト以外の記号が一般的にさまざま論理定項を記すために用いられることもある。例えば、記号 "&" は論理和を表す。

論理学の哲学における根本的な疑問の一つに、"論理定項とは何か?"というものがある。一体、論理定項のどのような特徴がそれらを論理的にしているのか？[1]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 20:51:58.87

>>156
ボロが出るから逃げるのはスレ主らしくて微笑ましいね

> ε-Ｎは詳しくない。”ε-δ”ほどにはね
スレ主は以下の極限の厳密な定義の「最低限」には詳しくないんだ

>>55
> まあ、下記でも読んでみて
> （余談だが、”任意の（どんなに小さい）正の数ε に対しても，適当な（大きい）実数N(ε) を見つけて”

> 1 極限の厳密な定義（最低限）
> これがε-N 論法で

>>85
> そういうところでつまづく人もいるかも知れないね
> 原隆先生も>>55で書いてあるけど、
> ”任意の（どんなに小さい）正の数ε に対しても，適当な（大きい）実数N(ε) を見つけて”です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 21:10:14.98

スレ主自惚れるな
お前は詳しくないのではない
まるで分かってないのだ

2018/11/03(土) 23:13:29.93

>>158-159
ありがとう
あんたらほんと微笑ましいね（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 00:31:53.32

[問]
以下の無限数列{an}は収束するか？
a1, a2, a3, ... , am, 0, 0, 0, ... , 0, 0, ...
収束するのであればε-ＮのN(ε)を示すこと

[答]
任意のε > 0に対してN(ε) = mとすればN(ε) < nとなる項anの値は全て(0 - ε, 0 + ε)に含まれる
よって与えられた無限数列{an}は0に収束する

[スレ主の答え >>156 ]
答えが分からない
> ε-Ｎは詳しくない。”ε-δ”ほどにはね

スレ主は定義をコピペしていても定義にそのまま当てはめることすらできないんだよなあ

2018/11/04(日) 07:41:04.46

>>161
[問]
確率過程論の本を読むのは難しいですか？
それなら、大学へ聴講に行かれたらどうですか？

2018/11/04(日) 10:54:21.31

>>161
>スレ主は定義をコピペしていても定義にそのまま当てはめることすらできないんだよなあ

はい（＾＾
では、ε-δ 論法の証明の習作をば以下に

>>156
>今回トマエ関数とかを考えると、”ε-δ”役に立つと思ったね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
(抜粋)
関数の連続性
実関数 f: R → R が
lim _{x → a}f(x)=f(a)
を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。
この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。
開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。
これを ε-δ 論法で書くと
∀ ε >0, ∀ a∈ I, ∃ δ >0 s.t. ∀ x∈ I, |x-a|<δ → |f(x)-f(a)|<ε
となる。
(引用終り)

さて
ディリクレ関数、トマエ関数の変形で
f(x) ＝ (1/q)^ν （ν>=0 ）但しｘ＝p/q（有理数で、p、qは互いに素な整数）
f(x) ＝ 0 　但しｘ＝s (sは無理数)
とします

なお、後の都合で、
f(x) ＝ 0 　但しｘ＝0 とする

（>>17より）
＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007

に示す通りだが
・ν＝0のとき、ディリクレ関数で、いたる所不連続
・ν＝1のとき、トマエ関数で、有理数Qで不連続、有理数Pで不続
・ν＞2のとき、modified ruler functionで、有理数P中に微分可能な点が出てくる
となります
（元の関数はf(0) ＝ 1だが、f(0) ＝ 0と定義すると、
　ν＝2のとき、原点で微分可能になるのです（後述の通り））

つづく

2018/11/04(日) 10:56:01.63

>>163
つづき

さて
「f(x) ＝ 0 　但しｘ＝0」つまり、f(0)=0と定義したので、
a)ν＝0のとき、ｘ＝0で不連続
b)ν＝1のとき、ｘ＝0で連続
c)ν＝2のとき、ｘ＝0で微分可能
となる

ここで、まずa)とb)の二つを、
上記関数の連続の”ε-δ”で、簡単に示そうと思う
（>>124には、この通俗解説を書いたのでご参照下さい）

a)「ν＝0のとき、ｘ＝0で不連続」を示す
　１）ｘ＝0に対応するのはｙ＝0。
　２）ｙ軸の方向から値を見ると
　　　定義より、有理数で１、無理数で0
　３）ということは、
　　どんなにδを小さく取って
　　（0-δ、0+δ）を考えても、
　　ここに必ず有理点が含まれf(x)=1となる点がある
　４）よって、そのような点では、｜f(x)-f(0)｜＝1であって、
　　”<ε”（小さいεを取ること）は実現できない
　　（ε-δ 論法不成立）
　５）よって、f(0）で不連続である
　６）これは、通俗的に言えば、
　　　ｘ＝0の近傍に有理点でｙ＝1の点が必ずある
　　　だから、” |f(x)-f(a)|<ε”は不可ということ

PS
ディリクレ関数をグラフで書くと、
ｙ＝１とｙ＝０の二本の線が横に伸びている図になる
しかし、ベール先生（範疇定理）の目では、
ｙ＝１の線は疎（痩せている）
ｙ＝０の線は密（太っている）
と見えるのです（＾＾
（普通にぼんやり眺めると、見分けがつきませんが）

つづく

2018/11/04(日) 10:58:01.55

つづき

b)「ν＝1のとき、ｘ＝0で連続」を示す
　１）ｘ＝0に対応するｙはｙ＝0。
　２）ｙ軸の方向から値を見ると
　　　定義より、有理数で1/q、無理数で0
　３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
　　　（0-δ、0+δ）＝（0-1/q、0+1/q）を考えると、
　　　この区間内の有理数p'/q'（但しp'、q'は互いに素）の分母q'は、qより大
　　　（∵ qより小なら、p'/q'＞1/qだから）
　４）よって、そのような点では、f(x)＝1/q'<1/q<εである。
　　　（qが負の場合も同様に論じることが、出来る）
　５）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
　　　よって、ｆはｘ＝０で連続である
　６）これは、通俗的に言えば、
　　　ｘ＝0の近傍にある有理点x＝1/qで、ｙ＝1/qの値であり、
　　　x＝1/qより原点に近い有理数は、分母がqより大なので、ｙの値は1/qより小さい
　　　だから、ｘ＝0の近傍では、有理点で1/qを筆頭にそれより小さい値が密集している
　　　だから、ｘ＝0の近傍では、隙間が見えない（＝連続）ってことです。（＾＾

つづく

2018/11/04(日) 11:02:08.65

>>165
つづき

さて
c)については、lim x→0 について収束のε-δ 論法使う
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
(抜粋)
関数値の収束
関数 f(x) に対して、極限の式
lim _{x → a}f(x) = b
を ε-δ 論法で書くと
∀ ε >0, ∃ δ >0 s.t. ∀ x∈ R , 0<|x-a|<δ → |f(x)-b|<ε
となる。 s.t. は such that の略でﾖの条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。
すなわち
任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x ? a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) ? b| < ε が成り立つ。
という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。
(引用終り)

c)
「ν＝2のとき、ｘ＝0で微分可能」を示す
　１）まず、ｘ＝0で微分可能を示すためには、f'(x) ＝ 0 つまり
　　 f'(x) ＝ lim x→0 |(f(x)-f(0)/(x-0))| =0を示せば良い
　　定義 f(x) ＝ 0より、 |(f(x)-f(0)/(x-0))| = |f(x)/x| となる
　（なお、定義より、f(p/q) ＝ (1/q)^2 、無理数でf(x) ＝0を再掲しておく）
　２）ｘ＞0（正）から0に近づくとする
　３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
　　　上記b)同様に、ｘの区間[0、1/q]を考えると、
　　　この区間内の有理数p'/q'の分母q'（但しp'、q'は互いに素）は、qより大
　４）ｘ＝1/qで、|f(x)/x| =1/q
　　　ｘ＝p'/q'で、|(f(x)-f(0)/(x-0))| =1/(p'q')
　　　”q'>q かつ p'>=1” だから、1/(p'q') < 1/q
　　（なお、無理数点ではf(x)=0なので、|f(x)/x| =0）
　５）従って、ｘの区間[0、1/q]内の任意の点で、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立つ
　６）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
　７）ｘ＜0（負）から0に近づく場合も、同様に、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立ち、ε-δ 論法成立
　８）よって、ｘ＝0で微分可能

つづく

2018/11/04(日) 11:04:26.58

>>166
つづき

（なお、c)については、数学板で同様の証明が示されたことがあり見た記憶があり（多分質問スレだった）それが元ネタであることを附言しておく。
　ここの過去スレ46に、下記投稿があり
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/46
　現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む46
68 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/12(日) 09:23:27.23 ID:tybpW7Vy [1/7]
>>1への問題（大学1年程度）
Q1.　[0,1]上至るところで不連続な関数を１つ示せ
Q2.　[0,1]上の有理数で不連続、無理数で連続な関数を１つ示せ
Q3.　[0,1]上の有理数で不連続、無理数で微分可能（当然連続）な関数を1つ示せ
(引用終り)
　それ刺激になって、上記（多分）質問スレへの証明投稿や、定理1.7の話につながって、今に至るという流れです）

以上です

補足
ε-δ 論法というのは、こういうへんてこな関数を扱うのに、非常に便利な道具ですね
証明の道筋を示してくれますし、ε-δ 論法にそって証明を進めると、自然に証明が完成します
が、”ε-δ 論法”絶対視ではなく、視野を広げておく方が良いでしょう（過去レスの通り）

2018/11/04(日) 11:08:00.13

>>167 訂正

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/46
　↓
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/68

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 18:06:47.68

>>166
スレ主の「確率論」(>>94など)を使って計算するとδが有限になる確率は
0となるのだからおかしくないですか？

a, bは実数でありq, q'は自然数とする
f(x), g(x)は以下の条件を満たす区間[0, 1]で定義された連続関数とする
(条件) f(x) = a (x >= 1/q), g(x) = b (x >= 1/q')

区間(0, 1)から選んだ1点に対してf(x)あるいはg(x)の数当てを考える

たとえばf(x)を選んだとするとg(x) = b (x >= 1/q')を知ることができ
任意のε > 0に対してδ_g = 1/q'とすれば(1 - ε, 1)に含まれる点の値がすべてbとなる
そこで区間(δ_g, 1)の1点を選ぶとこの点の値がaに等しい確率は1/2
(aの値はたとえばf(1)から知ることができる)

スレ主の「確率論」はa, bは実数(非可算無限濃度)だから確率1/2はおかしいと主張

2018/11/04(日) 20:22:37.64

>>169
忠心から、ご忠告申し上げるが
こんなところで、時間を無駄遣いするより、確率過程論の本を一冊読むことをお薦めするよ

>スレ主の「確率論」(>>94など)を使って計算するとδが有限になる確率は
> 0となるのだからおかしくないですか？

それ、私＝スレ主の「確率論」ではないです
>>94は、「で、その流儀の説明（に）倣えば」ってことです
つまりは、そこ
「>>89
　>「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
　>ということです
　>だから決定番号が有限に収まる確率は1になる」を

パロっているというか、茶化しているというか
元々、真っ当な数学理論としては考えて、書いてはいないんですよ
つまり、「>>89 って何か変」ということを言いたいだけのことです

あと、余談だが、時枝記事に対する私の役割は終わったと思っています
まあ、当時もあの記事を批判したけど、
あの時枝記事（数学セミナー 2015年11月号箱入り無数目）は
中途半端な書き方で、あれじゃ、「パズルとか数学ジョークとか、分らないでしょ」と
記事中に「茶飲み話」と出てくるけどね

で、コルモゴロフ流確率論への批判なら、それなりの書き方があるだろうと
あれじゃ、あの確率解法を真に受ける人が出ますよと（それは不味いだろうと）
その警鐘の意味が一番で。あと、「なんで、正しそうに見える？」という謎解きも興味があったんだ

まあ、だけど、あの話も３年前ですからね
もう、良いでしょう
時枝記事に対する私の役割は終わったと

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 20:39:23.51

役割が終わったと言ってる割には
未練がましくスレ主の方から時枝の話してることあるけどな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 20:51:36.25

そういや、スレ主は東京近郊に在住なのかな

11月23～25日に駒場祭という東大の祭があって、
調べた限りでは数学科の出し物が毎年ある
たぶん今年もあるだろう

たまには外に顔出して東大生に時枝の話でもしてみては？
スレ主の見解を完膚なきまでに論破してくれると思うぞ

2018/11/04(日) 21:01:09.98

>>171
役割は終わったは正しいと思うよ
”未練がましく”というのは誤解だな
（下記）

時枝記事を正しいと誤解する人が出ないようにする役割は残っている
但し、「時枝記事を正しいと信じ込んでいる人を救う力」は、ないみたい
まあ、確率過程論を読んで下さい（＾＾

https://kotobank.jp/word/%E6%9C%AA%E7%B7%B4-640494
コトバンク
未練（読み）ミレン
デジタル大辞泉の解説
(抜粋)
［名・形動］
１執心が残って思い切れないこと。あきらめきれないこと。また、そのさま。「未練が残る」「過去に未練はない」「未練な気持ちを引きずる」

2018/11/04(日) 21:03:45.78

>>172
>スレ主の見解を完膚なきまでに論破してくれると思うぞ

そんなの簡単じゃない
「スレ主の見解を完膚なきまでに論破」するなんて
専門の数学論文１本、時枝記事が正しいとする投稿論文１本紹介してくれ
多分、それで私スレ主は、完全にノックアウトだろうね
だが、東大生と議論するのは、時間の無駄なのでしないよ（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 21:07:34.90

＞だが、東大生と議論するのは、時間の無駄なのでしないよ（＾＾
なんで東大生との議論が無駄なの？
東大生も自分と同じ意見に決まってるから祭に行くだけ無駄だってこと？
東大生が自分と違う意見でも、自分こそが正しいから無駄だってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 21:49:00.99

時枝戦略の確率って小学校レベルだよ
確率過程論がどうのってさ、まったく分かってないね

そのくせ
＞確率過程論の本を一冊読むことをお薦めするよ
と、さも自分はよく分かってますみたいな空気出そうとして恥ずかしい奴

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 21:51:49.71

スレ主よ
わからんならわからんと言った方がいいぞ
お前恥ずかし過ぎるから

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 21:57:00.16

スレ主は近傍という概念を最近分ったと白状してるが、それはつまり
今までは分ってないのに親切に教えてくれてた人たちに盾突いて偉そうに
してたってことだよな？
お前はアホなんだから素直に教えて下さいって言ってりゃいいんだよ

2018/11/04(日) 22:20:14.89

>>175
はいはい
論文紹介してね
楽しみに待ってますよ（＾＾

2018/11/04(日) 22:20:53.42

>>176-178
はいはい
お説の通りです
ご苦労さまです（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 22:24:36.75

>>180
お説の通りってことは確率過程論など不要ってことじゃん
お前バカ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 22:27:09.96

凡人: 無限数列を選びました

それは本当にR^Nの元ですか？

凡人: 代表元はR^Nの元なのですよね？

そうです

凡人: しっぽが代表元に一致します

それなら残りの有限個が実数であることを確かめたらOKです

スレ主: 無限数列を選びました

それは本当にR^Nの元ですか？

スレ主: 先頭からn個は実数でした

それだと全ての項が実数だとはいえませんよ

スレ主: nはいくらでも大きくできます

それでも全ての項が実数だとはいえませんよ

スレ主: 確率過程論の本を一冊読むことをお薦めするよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 22:28:40.52

>>179
おいどうしたよ、東大生との議論が無駄である理由を聞いているのだが？
無駄なんでしょ？そう言ったよね？なんで無駄だと思うの？

東大生も自分と同じ意見に決まってるから祭に行くだけ無駄だってこと？
東大生が自分と違う意見でも、自分こそが正しいから無駄だってこと？
たとえ東大生であっても数学者ではないので信じるに値しないってこと？
それとも論文以外は信じないってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 22:49:17.73

>>182
GJ!!!
スレ主とかいうアホの生態を見事に表現している

2018/11/04(日) 23:49:33.93

>>184
君本当に面白いね
なんでも良いから、数学のこと書いたみなよ

近傍でもなんでも良いからさ
君の数学の力量を見せない限りだれもあんたのカキコは信頼されないよね

外野のさらに外から犬の遠吠えかい
一晩時間やったけど、何にも書けない人よ

2018/11/04(日) 23:51:18.29

>>183
東大東大か
おれも東大生は賢いと思うけどね

で、自分が東大行って
時枝の議論してこいよ

それを、ここに報告しなよ
東大の教官でも良いから、議論してきなよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 00:12:29.57

>>186
こっちは距離的に東大には行けないし、
こっちが出向いても時枝は正しいですぐ合意しちゃうんだ

合意した報告書をここに書いても、どうせスレ主は
>>179の手口を繰り返すだけなので、こっちが東大に行くメリットは皆無なんよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 00:19:51.38

でもスレ主が東大に行くことには意味がある
スレ主は時枝を間違ってると思ってるから、
東大生と意見が対立するんだよ
そこに意味がある

リアルの会場で>>179みたいな手口を使ってもしょうがないっしょ？
自分の言葉で自分の正しさを説明しなきゃいけないでしょ？
スレ主にはそれをリアルの会場でやってみてほしい

そして、誰もスレ主の説明に賛成せず、逆にスレ主の説明の間違いを
リアルに論破されるという経験をスレ主にしてほしいｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 00:31:35.06

わかる？スレ主が東大に行かなきゃ意味がないことなんだ
だからスレ主に勧めてるんだ
東京近郊に住んでるんだろ？一回くらい行ってみなって

時枝の議論はもう3年もやってるんだろ？
たまには外に出て議論してみなよ

スレ主が正しいなら、拍手喝采で東大生の皆が賛成してくれるだろ？
そしたらお墨付きが得られて威張れるだろ？
スレ主にはメリットしかないじゃん？
この3年間の書き込みなんて全部ふっとぶじゃん？
最初から東大で聞いてればよかったわーってなるじゃん？

だから一回くらい行ってみなって

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 00:48:12.29

>>185
＞なんでも良いから、数学のこと書いたみなよ
時枝記事は正しい
スレ主は間違っている
はいよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 02:48:35.00

このスレ閉じろ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 03:06:03.98

>>191
賛成

2018/11/05(月) 07:35:11.77

>>187-189
>こっちは距離的に東大には行けないし、

じゃ、あなたの距離的行ける大学へ行きなさい
但し、議論する相手を院生以上（出来れば教員（出来れば確率論の専門家））にして下さい

>合意した報告書をここに書いても、どうせスレ主は
>>179の手口を繰り返すだけなので、こっちが東大に行くメリットは皆無なんよ

・ここを見ている皆さんには、
　どちらが正しいかはっきりして良いんじゃ無いかな？
　そして、貴方は、私が時枝記事について書いたときに
　自分は、「大学でこの問題を討議してして来た報告が既にある」と、引用すれば良い

・なお、もし時枝記事をサポートする論文なり、教科書なりの文献があれば、是非教えて貰って下さい
　それを、報告の中に入れて下さい
　しっかりした時枝記事をサポートする文献があれば、
　私はそれで結構ですよ

2018/11/05(月) 07:35:53.72

>>190
はいはい
よく分りました
高校レベルかな？
中学レベルかな？

2018/11/05(月) 07:36:50.60

>>191-192
どうぞ
依頼を出してきたらどう？

2018/11/05(月) 07:48:40.52

>>193
３年間間違ったことを書いていたという事実に直面するのが怖いんだろうね
だが、勇気を持って、一歩進んだ方が良い

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 08:39:37.90

スレ主は時枝記事のどこがどう間違ってると思うの？
間違ってる箇所を元記事を引用して具体的に言ってみ？

2018/11/05(月) 09:52:28.45

>>197
時間の無駄だからやらね（蒸し返し）
過去レス見てくれ

2018/11/05(月) 10:39:46.10

AIをブラックボックスでなく、中身を理解できる人も求められていると思う
就学科出身者は、近い位置にいると思うよ
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO37353660U8A101C1MM8000/
AIと分業、カイシャが変わる
生産性考　その先に何が（上）
生産性考ネット・IT
2018/11/5 0:02日本経済新聞　電子版
(抜粋)
https://www.nikkei.com/content/pic/20181105/96958A9F889DE1E5E1E7E1E4E4E2E2E6E3E3E0E2E3EA9F9FEAE2E2E2-DSXMZO3735370004112018MM8001-PN1-4.jpg

人間とロボット、AIの分業が進む（大阪府岸和田市の松浪硝子工業）

松浪硝子は2044年に創業200年を迎える。そのころには「ロボットに人工知能（AI）が埋め込まれ、一段と賢くなる」。そう考える松浪社長は「無から有を生むアイデアこそが利益の源泉になる」と、生産現場の社員を商品企画に移す案を練っている。

■「国富論」再び

経済学の父、英国のアダム・スミスは1776年に「国富論」で分業の意義を説いた。1人では1日1本のピンも作れないが、10人なら4万8千本になる。スミスの時代はヒトとヒトの分業だったが、AIの能力が急速に上がるなか「ヒトとAI」の分業の仕組みをつくれるかが生産性向上と成長の鍵になりつつある。

ものづくりから企業監査の現場まで。経済協力開発機構（OECD）は30年には32カ国の職業の46%、2億1千万人の仕事がAIやロボットの影響を受けると試算した。人手不足の日本には救いの面もあるが、AIに仕事を任せた分、ヒトは新しいアイデアや技術を生むことが使命となる。会社も社員が創造的な仕事ができるように根底から変わらざるを得ない。
(引用終わり)

2018/11/05(月) 10:45:12.57

>>199 訂正

就学科出身者
　↓
数学科出身者
な（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 13:33:47.78

>>196
怖いのはスレ主だろ？

スレ主は東大の祭りに行ける距離に住んでて、ちょうど祭りの時期じゃん？
スレ主が正しいなら、東大生はスレ主を肯定するじゃん？
東大生が肯定したっていう事実だけで、今までの書き込みが全部ふっとぶじゃん？
最初から東大で聞いてれば良かったわーってなるじゃん？
メリットしかないじゃん？

なのに東大に行かないって？

勇気を持って、一歩進んだ方が良いよｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 13:42:57.19

>そして、貴方は、私が時枝記事について書いたときに
>自分は、「大学でこの問題を討議してして来た報告が既にある」と、引用すれば良い
>>179の手口に対してそんなことしても水掛け論じゃん？
だからこっちが大学に行っても意味ないじゃん？
スレ主が自分から東大に行って議論してくれば水掛け論にならないじゃん？
スレ主が動くことに意味があるって何回も言ってるじゃん？

2018/11/05(月) 14:48:59.07

https://mainichi.jp/articles/20181104/ddm/001/040/179000c
ストーリー
早世の数学者、長尾健太郎さん（その１）　師も驚く美しい解答
会員限定有料記事　毎日新聞2018年11月4日　東京朝刊
(抜粋)
　気鋭の数学者がいた。その名を長尾健太郎という。

　高校時には、世界中の若者が挑戦する国際数学オリンピックで、日本人初の３大会連続金メダルという快挙を達成した。研究者となってからは、理論物理学の分野からも注目される論文を書き、若手数学者の登竜門とされる「日本数学会賞建部賢弘（たけべかたひろ）賞」を受賞した。

https://mainichi.jp/articles/20181104/ddm/010/040/078000c
ストーリー
早世の数学者、長尾健太郎さん（その２止）　数学の申し子の３１年
会員限定有料記事　毎日新聞2018年11月4日　東京朝刊

◆華やかな実績の陰、１５歳から闘病

病床にいつも問題

　全国から集まった小中学生が頬を紅潮させ、その隣で両親や祖父母はもっと興奮した顔をしていた。８月１９日に東京・渋谷であった、平成最後の大会となる算数オリンピックの表彰式。

　小学３年生以下の部の最優秀者に贈られる「長尾賞」に決まった浜松市の桜井純之介さん（９）は、はにかみながらトロフィーを受け取った。同賞は早世した数学者、長尾健太郎さん（２０１３年、３１歳で死去）の業績をたたえ、１４年に設けられた。表彰状を授与したのは長尾さんの父二郎さん（６９）だ。壇上から子供たちに、「この中でいったい何人の方が数学の道に歩まれるだろうか」と目を細めて語りかけた。

2018/11/05(月) 14:50:44.88

>>201
東大生でも確率過程論を学んだ人ばかりとは限らない
賢いのは99％保証だろうがね

2018/11/05(月) 14:52:01.38

>>202
おれが納得するとかそんなことはどうでもいい事よ
時枝記事にそれを裏付ける論文なり教科書なり、そういう文献の有無というのは、客観的に重要と思う

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 15:51:12.16

>>204
確率過程論をきちんと修めてないなら、
東大生ですらスレ主は信用しないのかｗ

では、同じく確率過程論をきちんと修めてなく、
東大生ですらないスレ主が書いた内容を、
スレ主自身が信じてるのは何故？信用に値しないんでしょ？
自分自身が考えたことだけは例外的に信用するの？おかしくね？ｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 15:54:00.40

確率過程論をきちんと修めてない東大生でも信用します、
スレ主の自分の見解も自分自身で信じます、

なら理解できるが、

確率過程論をきちんと修めてない東大生は信用しません、
ただしスレ主の自分の見解だけは、
確率過程論をきちんと修めてなく東大生でもないスレ主の見解だけど
例外的に自分で信じます、

は二枚舌じゃん？自分勝手じゃん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 16:00:02.00

>>205
どうでもいいわけないじゃん？
スレ主が納得しないで間違った書き込みを続けるから、
3年間の軋轢になってるんだぜ？

スレ主が東大に行って東大生とリアル会場で議論して、
東大生から論破されてスレ主自身が納得するのがゴールなんだぜ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 16:04:47.59

べつに、スレ主こそが正しかったという結末でもいいんだぜ？
掲示板の連中ざまーみろっていう結末でもこっちはオッケーだぜ？

スレ主が正しいなら、東大生はスレ主を肯定するじゃん？
東大生が肯定したっていう事実だけで、今までの書き込みが全部ふっとぶじゃん？
最初から東大で聞いてれば良かったわーってなるじゃん？
メリットしかないじゃん？

なのに東大に行かないって？
スレ主は東大の祭りに行ける距離に住んでて、ちょうど祭りの時期なのに？

勇気を持って、一歩進んだ方が良いよｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 17:03:44.63

ハーバード大学かオックスフォード大学かケンブリッジ大学に入りたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 17:54:19.41

東大も兄弟もクソ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 18:20:49.38

>>170
スレ主は最近は稠密とか近傍が好きなのでその関連だと

> 「>>89 って何か変」てことは
>>89
> 「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」

ある実数aがあり別の実数bを任意に選んでその差a - bの近傍を考えると
（a - b - ε, a - b + ε)には必ず有限小数が含まれる
（a - b - ε, a - b + ε)から条件にあう有限小数を取り出して議論する

といったことも「何か変」と感じるはずですよね

そうすると>>166の
> この区間内の有理数
といった議論のステップは正しくないとスレ主のいう「確率過程論の本」
を読めばおそらく書いてあるのだろう

だったらなぜ「確率過程論の本」を読んだスレ主は>>163-166のような
スレ主が「何か変」と感じる議論のステップを含んだ書き込みをわざわざ
するのでしょうね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 18:31:46.04

そもそもなんの話をしてんのかわかんねーＷ
>>94の「列のしっぽの同値類」てなんだよ意味不明