分からない問題はここに書いてね448
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1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12 初等幾何の問題です。
OM ≧ OS が成り立つのはなぜでしょうか?
https://imgur.com/OX9wyZE.jpg >>546
Mのx座標≧Sのx座標、Mのy座標≧Sのy座標だから。 次の性質を持つ数aを虚実数と呼ぶ。
・a^2≦0かつa^2>0
虚実数は、実数kと虚数単位iでは表せないことを示せ。 この自作問題連投ガイジ、中学生レベルの数学力すらないな 一辺の長さが2の正三角形△ABCが平面z=0の円x^2+y^2=4/3に内接しており、A(4/3,0,0)である。
動点Pについて、f(P)=PA^2+PB^2+PC^2とする。
(1)kをk≧√3である実数とする。動点Pが平面z=0上を動くとき、f(P)=kとなる点Pの軌跡で囲まれる面積を求めよ。
(2)動点Pが空間を動くとき、f(P)=kとなる点Pの軌跡で囲まれる面積を求めよ。f(P)=kとなる点Pの軌跡で囲まれる体積を求めよ。 >>553
(2)は鮮やかに解いてください
積分してもいいですが >>521
タイヤが道路と設置した長さだけ自動車は移動していると言われれば納得できるな。 >>553
|p-a|^2+ |p-b|^2+ |p-c|^2
=3|p-g|^2-2(|g-a|^2+ |g-b|^2+ |g-c|^2) >>559
差をとると2268、これはaの下二桁とxを掛けた値。
素因数分解すれば2*2*3*3*3*3*7になる。
aの下二桁をyとすると一方が22以下なら他方が2桁にならないから23以上。
2268の平方根は47.62352なのでx,yのいずれかは47以下である。
2 2 3 3 3 3 7の積がこの範囲にあるのは27 28 36 42の4つ
そのときの他方の数は84 81 63 54
あとは自分で考える。 >>561
組み合わせを考えるのが面倒だから
2268の約数で23以上、47以下はプログラムにやらせた。
> x=2268/(23:47)
> y=(23:47)[x-floor(x)==0]
> z=2268/y
> rbind(y,z)
[,1] [,2] [,3] [,4]
y 27 28 36 42
z 84 81 63 54 >>561
ついでだから続きも書いておく。
xの候補が27 28 36 42 84 81 63 54に絞られたので
119868を割り切るのは
28 42 84の3つ
そのときの商は 4281 2854 1427
でこれがaの候補。
最大は4281でそのときのxは28 Rだと
> x=2268/(23:47)
> y=(23:47)[x-floor(x)==0]
> z=2268/y
> b=c(y,z)
> c=119868/b
> d=b[c-floor(c)==0]
> (a=max(119868/d))
[1] 4281
> 119868/a
[1] 28
>
Haskellだと1行ですんだ。
Prelude> [(a,x)|a4<-[1..9],a3<-[0..9],a2<-[0..9],a1<-[0..9],x2<-[1..9],x1<-[0..9], let a=(a4*1000+a3*100+a2*10+a1),let x= x2*10+x1,a*x==119868,(a4*1000+a3*100)*(x2*10+x1)==117600]
[(1427,84),(2854,42),(4281,28)] こっちの方が可読性がいいかな。
Prelude> [(a,x)|b<-[10..99],c<-[0..99],x<-[10..99],let a=100*b+c, a*x==119868,100*b*x==117600]
[(1427,84),(2854,42),(4281,28)] >>542
ありがとうございます
式を変形して綺麗にしてあるのもようやく理解出来ました
わからないところは>>460の x = (1/c)√{y(cy-2)} + {2/c^(3/2)}・log[c√y + √{c(cy-2)} ] + c'
この式の log[c√y + √{c(cy-2)} ] の部分で+の部分が±ではない理由は何でしょうか? >>564
>>504にあるけど1176のほうも使った方が簡単じゃね? a^2+b^2=c^2を満たす3つの整数(a<b<c)
の組み合わせのうち(3,4,5)から数えて7番目は何になるかという問題がわかりません >>568
なるほどね
1176=2*2*2*3*7*7
2268=2*2*3*3*3*3*7
でxは公約数か >>571
Prelude> ps = [(a,b,c)|a<-[1..100],b<-[a..100],c<-[b..100],a^2+b^2==c^2]
Prelude> ps !! 7
(10,24,26)
顰蹙のダンプリスト
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..100],b<-[a..100],c<-[b..100],a^2+b^2==c^2]
[(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15),(9,40,41),(10,24,26),(11,60,61),(12,16,20),(12,35,37),(13,84,85),(14,48,50),(15,20,25),
(15,36,39),(16,30,34),(16,63,65),(18,24,30),(18,80,82),(20,21,29),(20,48,52),(21,28,35),(21,72,75),(24,32,40),(24,45,51),(24,70,74),(25,60,65),
(27,36,45),(28,45,53),(28,96,100),(30,40,50),(30,72,78),(32,60,68),(33,44,55),(33,56,65),(35,84,91),(36,48,60),(36,77,85),(39,52,65),(39,80,89),
(40,42,58),(40,75,85),(42,56,70),(45,60,75),(48,55,73),(48,64,80),(51,68,85),(54,72,90),(57,76,95),(60,63,87),(60,80,100),(65,72,97)] Haskellの配列は0からだったから、こっちが正解。
Prelude> ps !! (7-1)
(9,40,41) >>573
7番目だと変わらないみたいだけど
整数の候補の上限を変えたら答が変わるな。
pitNth n m = do
let ps = [(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..m],c<-[b..m],a^2+b^2==c^2]
map (\x -> ps !! x) [0..(n-1)]
2桁の99までだと20番目は,(20,21,29)
Prelude> pitNth 20 99
[(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15),(9,40,41),(10,24,26),(11,60,61),(12,16,20),(12,35,37),(13,84,85),(14,48,50),(15,20,25),(15,36,39)
,(16,30,34),(16,63,65),(18,24,30),(18,80,82),(20,21,29)]
3桁の999までだと20番目は,(18,24,30)
Prelude> pitNth 20 999
[(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15),(9,40,41),(10,24,26),(11,60,61),(12,16,20),(12,35,37),(13,84,85),(14,48,50),(15,20,25),(15,36,39)
,(15,112,113),(16,30,34),(16,63,65),(17,144,145),(18,24,30)] >>576
> 整数の候補の上限を変えたら答が変わるな。
二秒で分かりそうなもんだけどww >>577
すると7番目が(9,40,41)というのはどうやって確信できるんだろう? ABCDEの5人が一緒に直線道を同時にスタート
AはBに10秒で10mの差をつける
BはCに10秒で10mの差をつける
CはDに10秒で10mの差をつける
DはEに10秒で10mの差をつける
AがEに10mの差をつけるのは何秒後? >>579 訂正
ABCDEの5人が一緒に直線道を同時にスタート
10秒後にAはBに10mの差をつけた
20秒後にBはCに10mの差をつけた
30秒後にCはDに10mの差をつけた
40秒後にDはEに10mの差をつけた
AがEに10mの差をつけたのは何秒後? もっと綺麗な解答はないのかね
計算力とかプログラムの力ではなくてエレガントな解法を知りたい f:Rn→Rmを連続写像とし、A⊂Rnとする。とき一般にf([A])=[f(A)]は成立しない。そのそうな例を与えよ。
[A]と[f(A)]はそれぞれAとf(A)の閉包を表しています。 n=1、m=2、A=R、f(x) = ( (1-x^2)/(1+x^2) , 2x/(1+x^2) ) 順番と言われても、何が前で何が後ろなのか定義されてないジャン
NGに紛れ込んで見えてなかったらすまんとしか言いようないけど >>585
だって計算機つかえば一瞬で答え出るような問題頭使う気しない。 よく数オリ的な問題をカッコ良く説き伏せるのに使われる鳩ノ巣原理ってハッシュテーブルそのものだよね。 >>578
a^2 + b^2 = c^2 より
c=b+n とすれば a^2 = 2bn+n^2
nが自然数なら b の最大値は n=1 のとき (a^2-1)/2
a が√201 ≒ 14.17 を超えない限り2桁のbまで調べれば十分 >>571
既約ピタゴラス数にも通し番号付ければいいのにね。
ケッヒェル番号、ドイチュ番号、ホーボーケン番号、などなど。 >>575
xyz空間に、原点Oを中心とする半径1の球体Gがある。
また、放物線 y = 1-x^2, z=0 をz軸方向に平行移動して得られる曲面によってxyz空間を2つに分解したとき、原点Oを含まない方をTとする。
GとTの共通部分G∩Tの体積を求めよ。 大統一理論について
「GUT は善だ」(ドイツ人)
「GUT は腸だ」(英米人) >>575 >>581 >>594
y=b で切ったときの断面を考える。(0≦b≦1)
-√(1-bb) ≦ x ≦ -√(1-b) および √(1-b) ≦ x ≦ √(1-bb),
-√(1-bb-xx) ≦ z ≦ √(1-bb-xx),
∫ dz = 2√(1-bb-xx),
S(b) = 2∫[√(1-b), √(1-bb)] 2√(1-bb-xx) dx
= 2 [ x√(1-bb-xx) - (1-bb) arctan{√(1-bb-xx) /x} ]
= 2{ -(1-b)√b + (1-bb) arctan(√b) },
V = ∫[0,1] S(y) dy
= 2{-4/15 + (π/3 -32/45)}
= 2(π/3 -44/45), >>596
V = ∫[0,1] S(y) dy
= 2∫[0,1] { (1-yy)arctan(√y) - (1-y)√y } dy
= 2 [ (1/3)(2-y)(1+y)^2 arctan(√y) - (1/45)(30+35y-21yy)√y ](0,1)
= 2 (π/3 - 44/45)
= 0.13883954683764 >>597
ずっとZで切った断面積考えててわからなかったわ、わざわざすみません。 >>580
5人とも一定の速度で走るとすれば
v(A) - v(B) = 1 (m/s)
v(B) - v(C) = 1/2 (m/s)
v(C) - v(D) = 1/3 (m/s)
v(D) - v(E) = 1/4 (m/s)
辺々たすと
v(A) - v(E) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 25/12 (m/s),
よって
10 / (25/12) = 4.8 (s) >>599
放物線と円の共通してる面積がうまく表せないんや。教えてください。 >>591
全く同じとまでは言わないけど
かなり類似だろ。
鳩ノ巣原理が一対一の全単射関係の濃度なら
ハッシュテーブルは箱と中身で同値類と代表元なんだから。
ボロノイ図やゲージ固定も類似だね。 >>592
ありがとうございます。
お礼にaの上限を30にして算出してみました。
Prelude> m=30
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..floor(m^2/2-1/2)],c<-[b..2*b],a^2+b^2==c^2]
[(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15),(9,40,41),(10,24,26),(11,60,61),(12,16,20),(12,35,37),(13,84,85),(14,48,50),
(15,20,25),(15,36,39),(15,112,113),(16,30,34),(16,63,65),(17,144,145),(18,24,30),(18,80,82),(19,180,181),(20,21,29),(20,48,52),
(20,99,101),(21,28,35),(21,72,75),(21,220,221),(22,120,122),(23,264,265),(24,32,40),(24,45,51),(24,70,74),(24,143,145),(25,60,65)
,(25,312,313),(26,168,170),(27,36,45),(27,120,123),(27,364,365),(28,45,53),(28,96,100),(28,195,197),(29,420,421),(30,40,50),(30,72,78),(30,224,226)] m=50
[(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..floor(m^2/2-1/2)],c<-[b..2*b],a^2+b^2==c^2]
が遅いので速度を上げようとしたけど下記ではエラーが返ってきた。達人にデバックを期待(._.)
[(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..floor(a^2/2-1/2)],c<-[b..floor(sqrt(a^2+b^2))],a^2+b^2==c^2]
[(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..floor(m^2/2-1/2)],let c = sqrt(a^2+b^2), fromIntegral(floor(c))==c] いつもの顰蹙解w
今回はダンプリストではなくてRのスクリプト(HaskellやPythonは独学中w)
a^2+b^2の平方根が整数の組み合わせを考えればいいんだから、簡単にプログラムが組めた。
A=100
pita=NULL
for(a in 1:A){
B=floor(a^2/2-1/2)
for(b in a:B){
c=a^2+b^2
if(floor(sqrt(c)) == sqrt(c) ){
pita=rbind(re,c(a,b,sqrt(c)))
}
}
}
> pita[7,]
[1] 9 40 41
> pita[77,]
[1] 42 56 70
> pita[100,]
[1] 50 120 130 777番目は
> pita[777,]
a b c
216 288 360 >>589
というか、計算機に答を出す命令を組むのが楽しいんだよね。
このあたりは価値観の問題だよね?
2の平方根の100桁めの数字を出すのは不毛に思えるけど
100個目のピタゴラス数を計算するのは不毛に思えない人がいるのがこのスレだと思っている。 ピタゴラス数の話題なら、専用に扱っているスレッドがあります。
原始ピタゴラス数を表示するプログラムと解説は、そのスレッドの119と120がお勧めです。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1478040803/ >>592
レスありがとうございます。
おかげて次のステップのプログラムができるようになりました。 https://i.imgur.com/wIoBait.png
これが分からないんですが
たとえば仮に軸をy=x、θを45°とした場合
このような薄い立体の体積がなぜ、側面積*凅で求まるのかが分かりません
側面積*凵2xとならないのはなぜですか? 図とか式は奇麗だけどあんま解説は上手くないよな、そのサイト Rの位相を{(r,∞):r∈R}∪{R,0}で定めるとき
M⊂RがコンパクトであることとMの最小値の存在が同値であることってどう示すんですか? とりあえず泥臭くていいなら
Mに最小値がないとする。
単調減少列x[i]∈Mをlim X[i] = -∞ or lim x[i] = inf M ととれる。
このとき M ⊂ ∪ (x[i],∞) であるが有限個ではM全体を被覆しない。
Mが最小限mをもつとする。
被覆 M ⊂ ∪U[i] に対し x∈U[i0] である i0 をとれば M ⊂ U[i0] である。 >>617
[命題: Mはコンパクトである ←→ Mに最小値が存在する]
(←) Mに最小値 α が存在する時
任意の無限開被覆 {(x_λ, +∞) ; λ ∈ Λ } に対して α ∈ (x_ξ, +∞) となる ξ ∈ Λ が存在する.
この時、 (x_ξ, +∞) ただ1つで 有限開被覆となる. よってコンパクトである.
(→) 対偶で示す. Mに最小値が存在しない時
M の下限 β をとる. β= -∞ なら、有限開被覆は常に不可能.
βが有限なら、Mの無限開被覆 {(β + 1/n, +∞) ; n=1,2, ... } から有限開被覆は取り出せない.
よってコンパクトではない. >>575 >>581 >>594 >>598
x=a で切ったときの断面を考える。(-1≦a≦1)
-√(1-aa-yy) ≦ z ≦ √(1-aa-yy), … 円の内部
y ≧ 1-aa,
なので弓型である。
S~(a) = ∬ dz dy
= ∫[1-aa, √(1-aa)] 2√(1-aa-yy) dy
= [ (1-aa)arcsin{y/√(1-aa)} + y√(1-aa-yy) ](y=1-aa,√(1-aa))
= (1-aa)arcsin(a) - a(1-aa)^(3/2),
あるいは
S~(a) = ∬ dy dz
= 2∫[0, a√(1-aa)] {sqrt(1-aa-zz) -(1-aa)} dz
= [ (1-aa)arcsin{z/√(1-aa)} + z√(1-aa-zz) -2(1-aa)z ](z=…)
= (1-aa)arcsin(a) - a(1-aa)^(3/2),
V = 2∫[0,1] S~(x)dx
= 2∫[0,1] { (1-xx)arcsin(x) - x(1-xx)^(3/2) }dx
= 2[ (1/3)x(3-xx)arcsin(x) + (1/45)(9x^4 -23xx +44)√(1-xx) ](x=0,1)
= 2(π/3 - 44/45),
>>599
それは解けぬ... >>619
M = (Jf)^{-1}|x=0 と置くと、
F[i] = M[i,k] { f[k] - .. } より
JF[i,j] = ∂F[i]/∂x[j] = M[i,k] ∂f[k]/∂x[j] = M[i,k] Jf[k,j] = (M. Jf)[i,j] = δ[i,j] (x=0)
F(0) = 0, C^∞ は明らか. >>618
>>620
分かりやすい解答ありがとうございます xyz空間の直円柱x^2+y^2=1(z≧0)を、y軸を含みxy平面とa°で交わる平面で切る。ただし角a°はx軸の正の方向からz軸の正の方向に向かう角度で、0<a<90
である。
(1)切り分けられた立体のうち、原点O(0,0,0)を含む方の体積Vをaで表せ。
(2)(1)の結果を用いて、次の定積分の値を求めよ。ここでg(x)はf(x)=sinxの逆関数であり、定義域は0<x<90°とする。
∫[0→sina°] g(x) dx >>624
梅沢富美男ぢゃないんだから…(ローソンのCM)
z=c で切ったときの断面を考える。(-1≦c≦1)
三日月形(?)になる。
{1-√(1-4cc)}/2 ≦ x^2 ≦ {1+√(1-4cc)}/2,
x1 = √{[1-√(1-4cc)]/2},
x2 = √{[1+√(1-4cc)]/2},
とおくと
Sz (c) = 2∫[x1, x2] {√(1-cc-xx) - (1-xx)} dx
= [ (1-cc)arcsin(x/√(1-cc)) + x√(1-cc-xx) - 2{x - (1/3)x^3} ](x=x1,x2)
V = ∫[-1/2, 1/2] Sz(z) dz = …
かなり面倒だ… https://i.imgur.com/MFjwhUQ.png
(2)がわかりません。ちなみに私立の推薦なので答えは不明です。どなたかよろしくお願いします。 x軸に垂直な平面による断面を考えれば正方形になって
V = (2/3) tan a° >>627
p = 1/2 のとき 0 でない値に収束。このとき a = √5 >>627
OR = t √( t^2 + a^2 t^{2p} ) / (√( t^2 + a^2 t^{2p} ) - a t^p )
p=1 の場合
OR = t √( 1 + a^2 ) / (√( 1 + a^2 ) - a ) → +0 ≠ 10 よって不可.
p>1 の場合
OR = t √( 1 + a^2 t^{2p-2} ) / ( √( 1 + a^2 t^{2p-2} ) - a t^{p-1} ) → +0 ≠ 10 不可.
0<p<1 の場合
OR = a t^{p} √( a^{-2} t^{2-2p} + 1 ) / { a t^{p-1} (√( a^{-2} t^{2-2p} + 1) - 1) )
= ( t + (1/2) a^{-2} t^{3-2p} +... ) / { (1/2) a^{-2} t^{2-2p} + ... }
OR → 10 が可能となるのは、2a^2 = 10, 2-2p = 1 の時
すなわち、 a=√5 , p = 1/2
モンティホール問題について質問
ABCの3つの箱から当たりのある箱を選ぶ
最初に選んだ箱をAとする
当たりが●、ハズレが○、?は●と○が不確定な状態
一つも開示されない状態の箱は
A○○? B○? C?
Cを開けると○
AとBの○が一個減るので
A○? B?
となるから、Bが当たりになる確率が上がるって話? >>631
君がモンティホール問題と呼んでいる問題の問題文を端折らずに書いてみてくれないか >>631
モンティホール問題は
「司会者は答えを知っていて、自分が開けるようなヘマはしない」
という構造の問題にすぎないので、何か深淵な数理的秘密があるのだろうと
思っていると訳が分らなくなります。 普通にモンティホール問題だな
> A○○? B○? C?
> A○? B?
の意味がわからない
変えた方が確率が高いのは、変えると箱を二つ選ぶのと同じことになるからだよ
二つ選んだ上でその中に当たりがあったら教えてもらえるというのと同じことだから 竹内啓レベルの子供が居ても竹内理三クラスの父親が居るとは限らないことはベイジアンならわかって当然。 最初に選んだものが当たっていた場合、変えることでハズレを選択することになるから
確率が上がるという説明がどうにも納得できない >>637
最初に選んだ方が当たりであることっていうのが1/3しかないから
2/3に乗り換えられるなら乗り換えた方が確率は高くなる
上で書いたけど要するに
最初A選んだときに「ではAならその1個だけですけどそれをやめてBとCの2個選んでもいいですけどどうしますか?」って言われてるのと同じ 初めと変えるならば、
初め当たりを引いていた場合 (1/3)*0
初めハズレを引いていた場合 (2/3)*(1/2)
加えると 1/3
初めから変えなければもちろん 1/3
同じではないのか。 >初めハズレを引いていた場合 (2/3)*(1/2)
初めハズレを引いていた場合 (2/3)* 1
の間違い。理解した。 最初にABCDの4択で
Aを選んでハズレのDが開けられて、ABCの3択にされて
Bに変えた後にハズレのCを開けられて、ABの2択にされた。
ABの当たり確率は? (司会者は当たりを知っている) 5/8と3/8?
もちろん1つだけ当たりの場合だけど それが違うんだな
ヒントは条件付確率
(ハズレのCが開けられる確率は?) (1) 箱を必ず変更しない方針の場合:
(a) 当たりになる場合=最初に選んだ箱が当たりである場合。
その確率は、
1/3
(b) はずれになる場合=最初に選んだ箱がはずれである場合:
その確率は、
2/3
(2) 箱を必ず変更する方針の場合
(a) 当たりになる場合=最初に選んだ箱がはずれである場合。
その確率は、
2/3
(b) はずれになる場合=最初に選んだ箱が当たりである場合:
その確率は、
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