分からない問題はここに書いてね448
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>>96
宝の埋め方の組み合わせを列挙して分類したら
>95のようになるのは同意? >>92
この結果面白いね
問題が2つ見つけるまでやって多く獲った方どっち?だったらイーブンだけど、1つ目を先に獲った方が勝ち、とすると差が出る
この場合、2番目を先に見つける確率にもきっと差があるのだろう >>100
納得できないのは直観的に納得できないだけで、そういうことになるよなぁとはわかっていると思います
今ちょっと考えているのが、遅く見つけたほうが勝ちというルールで行うなら
Q:ABCDEFGHIJKL
P:AEIBFJCGKDHL
では、P君の方が勝率は高いということ。
じゃあ、Qに対してP以上に勝率の高い文字列(検索順序)は存在するはずだけど
それらを具体的に求める方法は?
とか考えてしまう。
で、頭がぐーるぐーるるるるるる >>101
先に2つの宝を発見した方を勝者とするのでやってみた。
n=2
ABC
DEF
の場合
> t232=treasure2(2,3,2)
P1st Q1st even
5 4 6
短軸方向探索Pが先に2つの宝を発見する埋め方:5通り
> print(matrix(LETTERS[t232$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] A A B B D
[2,] D E D E E
長軸方向探索Qが先に2つの宝を発見する埋め方:4通り
> print(matrix(LETTERS[t232$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] A A B C
[2,] B C C D
同時に2つめの宝を発見する埋め方:6通り
> print(matrix(LETTERS[t232$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] A B C C D E
[2,] F F E F F F 先に2つの宝を発見した方を勝者とするのでやってみた。
n=3
ABCD
EFGH
IJKL
の場合
> t342=treasure2(3,4,2)
P1st Q1st even
27 26 13
> #短軸方向探索Pが先に2つの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
[1,] A A A A A B B B B B C C C D E E E E F
[2,] E F I J K E F I J K I J K K F I J K I
[,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26] [,27]
[1,] F F G G G I I J
[2,] J K I J K J K K
> #長軸方向探索Qが先に2つの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
[1,] A A A A A B B B B C C C C C D D D D D
[2,] B C D G H C D G H D E F G H E F G H I
[,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26]
[1,] E E F F G H H
[2,] G H G H H I J
> #同時に2つめの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
[1,] A B C D D E F G H H I J K
[2,] L L L J L L L L K L L L L ABCD
EFGH
を一般化するとこうなるかな?
横一列に並んだ ABCDEFGH の中からランダムに2つを選んで宝を隠しておく
ABCDEFGH の中から宝を探す順番は8!通りある
最初の宝を見つけた時点で終わるものとするとき、
8!通りの探し方の中で最も有利な探し方はどのような探し方か もっとも有利なんてないやろ。
じゃんけんと一緒。
どんな列取ってきてもその先頭文字を末尾に回した探索には負ける。 A..B..C..D
A■■■□
E■■■■
I ■□■■ 全部の中で一番がないというのは>>107の考察通りだと思う。
けど、ある特定の列に対して最も勝率が高いのはどれだろうとは気になる。
けど、先頭文字を末尾に回した奴が一番勝率高くなるのかな。
ABCDEFGに対してなら
BCDEFGAが一番勝率高い気がする 最初に当たり一つ引けばそこでゲーム終了だから
二つ目の当たりとの組み合わせは考慮しなくていい
当たりがどの座標のマスに置かれても
要素の個数は変化しないので
どの方向からの探査によっても確率は変化しない これ、当たりが1個でも、探索順番によって勝率変わってくるな
やっと構造がなんとなくわかってきた
自分の脳みその弱さが悲しくなってくる >>109
部屋の数についての帰納法でいけるんじゃね?
主張は
部屋の数が n の時 P:A[1]A[2]…A[n] に引き分けないという条件下で勝つ確率最大なのは Q:A[2]A[3]…A[n]A[1]。
以下Qの探索順をB[i]とする。
n=3では多分成立。
n<k で成立として n=k のとき。
P が Q に勝つのはA[1]とA[2]以外に宝が配置されるときでその確率は (n-2)/C[n,2]。
引き分けるのはA[1]、A[2]に配置されるときで確率1/C[n,2]。
よってQがPに勝つ確率は (C[n] - 1 - (n-2)/(C[n,2] - 1)。
容易にA[1]≠B[1]の場合はコレより確率は大きくならないとわかる。
A[1] = B[1]の場合を考えればよい。
このとき引き分けないという条件下では宝箱はA[1]以外の2つに配置される場合でその場合Qの勝つ条件付き確率の最大値は (C[n-1] - 1 - (n-3)/(C[n-1,2] - 1)。
多分 (C[n] - 1 - (n-2)/(C[n,2] - 1) ≧ (C[n-1] - 1 - (n-3)/(C[n-1,2] - 1)より成立。 >>112
おお、そういう風に片付くのか
帰納法で出来ないかとも考えたけど、自分の頭では無理だったのです
これで自分はスッキリしました! >>112
一列じゃなくて長方形型 n×n+1の配置じゃないの?
nの次は (n+1)(n+2)では >>98の結果をみると20までだが
縦nマス、横n+1マスのn(n+1)マスのとき
n=1でイーブン
n=2,3で長軸方向探索が有利
n=4以上で短軸方向探索が有利となっているので
数学的帰納法はn=3で適応できないと思う。 >>109
# ABCDEFGに対してなら
# BCDEFGAが一番勝率高い気がする
library(gtools)
n=7
k=2
perm=permutations(n,n)
Q=perm[1,]
np=nrow(perm)
p1st=numeric(np)
for(i in 1:np){
P=perm[i,]
tre=combn(n,k)
nt=ncol(tre)
re=numeric()
for(j in 1:nt){
re[j]=min(which(tre[1,j]==P),which(tre[2,j]==P))-
min(which(tre[1,j]==Q),which(tre[2,j]==Q))
}
p1st[i]=sum(re<0)
}
plot(p1st)
p1st[which.max(p1st)]
(p.max=which(p1st==15))
print(matrix(LETTERS[perm[p.max,]],ncol=7),quote=F)
# >>117
# ABCDEFGに対してなら
# BCDEFGAが一番勝率高い気がする
一番勝率高い探索順は4通りあった
> print(matrix(LETTERS[perm[p.max,]],ncol=7),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] B C D E F A G
[2,] B C D E F G A
[3,] B C D E G A F
[4,] B C D E G F A >>118
なるほどね
先回り側がEの次の部屋へ進むってことは当たりはFGだからどっちに進んでも同じか そうして、
先回り側の順序の最後の2つは決して実行されない
その4つの順序のどれでも最後から3番目のFかGまでで決着が付くから 宝を2個先にみつけた方が勝者とすると
ABCDEFGに対して一番勝率高い探索順は? これも4通り出てきた。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] A C D E F G B
[2,] B C D E F G A
[3,] C A D E F G B
[4,] C B D E F G A 要するに「相手に『自分が探索済のマス』を探させる」「自分は『相手が探索済のマス』を探さない」の2つを出来るだけ守っていればいい話だから相手の探索方法に対応する最適解の議論はあまり意義がないのではと思う しかし、n=4から先はずっと短軸探索が有利になるのか。長軸側が逆転することはなさそうだし、n≧4の場合について「短軸探索が有利である」は成り立ちそう。これを証明することは出来ないだろうか… >>124
俺もそっちに興味があるが、証明できる頭脳はない。 宝箱1個なら、なんとか証明できそうな感じだし、そこから拡張すれば宝箱2個でもいけるのかなぁ
整数苦手だからよくわかんない >>126
そうは問屋が卸さないみたいだよ。
縦4マス、横5マスで宝箱を1から7まで増やしてみると
宝が6個になると短軸有意から長軸有意に逆転した。
処理速度の制約であまり大きな数字で検証できないのだが。
> sapply(1:7,function(k) treasure(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 >>127
気長にやってみた。
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝:1個 同等
宝:2〜5個 短軸有利
宝:6〜13個 長軸有利
宝:14〜20個 同等
と推移した。 >>127
えー
なかなか簡単にはいかせてもらえないね
考えながら仕事片付けるとしよう あれーほんとだ
どこかで派手な勘違いをしたままでやってたぽい
そりゃあっちこっちぐるぐるうううになるわ… あかん、今考える余裕ないw
>>131の同じになるってのもとりあえず保留 >>124
宝2個でn=30まで計算させてみた。4以上で短軸有利は不変だった。
> t(sapply(1:30,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
[21,] 53615 52305 571
[22,] 64329 62810 626
[23,] 76571 74822 683
[24,] 90479 88478 743
[25,] 106198 103922 805
[26,] 123878 121303 870
[27,] 143676 140777 937
[28,] 165754 162505 1007
[29,] 190281 186655 1079
[30,] 217431 213400 1154 正の整数の組(x,y)であって,x!+y!=x^yを満たすようなものを全て求めよ
の解説をして頂けませんか?
答えは2,2 2,3だと思うのですが解答が無くて
よろしくお願いします >>134
xは偶数しかありえないのでx=2mとおけば >>136
y≦x-1のとき,
x!+y!=y!(x!/y!)+y!=y!((x!/y!)+1),
(3≦)(x!/y!)+1=x・(x-1)!/y!+1とxは互いに素だから, x!+y!≠x^y.
すなわちx≦y.
3≦xのとき,
x!+y!=x!(1+(y!/x!))は(x-1)(≧2)の倍数.
x-1とxは互いに素であり, x!+y!≠x^y.
すなわちx≦2.
1)x=1のとき, 与式を満足させるyはない.
2)x=2のとき, 2+y!=2^y.
y≧4とすれば,
2+y!=2+24・(y!/4!)>2+3・2^(k-1)>2^k.
すなわちy≦3.
よって求める組は(x,y)=(2,2), (2,3).
できました! 宝箱問題、
もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると
1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな
初見での印象よりも随分奥深いなこれ 数列の項を並べ替えてできる数列の収束性、極限値は如何?
もう少し正確にいうと、
全単射関数 n : N -> N で 数列 a[ i ] を n で並べ替えた数列b[ i ]を
b[ i ] = a[ n(i) ] で定義する。
b[ i ] の収束性、極限値はどうなるでしょう? プログラムで計算したので式はなんとも
部屋が
ABCD
EFGH
IJKL
として
宝物10個のときはABが空きなら縦の勝ち、
AEが空きなら横の勝ち
縦勝ちの宝物9個の配置
CDEFGHIJK
CDEFGHIJL
CDEFGHIKL
CDEFGHJKL
CDEFGIJKL
CDEFHIJKL
CDEGHIJKL
CEFGHIJKL
DEFGHIJKL
横勝ち
BCDFGHIJK
BCDFGHIJL
BCDFGHIKL
BCDFGHJKL
BCDFGIJKL
BCDFHIJKL
BCDGHIJKL
BCFGHIJKL
BDFGHIJKL
以下各個数での勝敗の数
treasures 1: p win 5 q win 5 even 2
treasures 2: p win 26 q win 27 even 13
treasures 3: p win 73 q win 76 even 71
treasures 4: p win 133 q win 140 even 222
treasures 5: p win 167 q win 176 even 449
treasures 6: p win 148 q win 153 even 623
treasures 7: p win 91 q win 92 even 609
treasures 8: p win 37 q win 37 even 421
treasures 9: p win 9 q win 9 even 202
treasures 10: p win 1 q win 1 even 64
treasures 11: p win 0 q win 0 even 12
treasures 12: p win 0 q win 0 even 1 >>139
Rでよければこんな感じ
# 宝の数を変化させる
treasure0 <- function(m=3,n=4,k=2){
y=1:(m*n)
(z=matrix(y,ncol=n,byrow=T))
(P=as.vector(z))
(Q=as.vector(t(z)))
PQ <- function(x){
p=q=numeric(k)
for(i in 1:k){
p[i]=which(P==x[i])
q[i]=which(Q==x[i])
}
min(p)-min(q)
}
tre=combn(m*n,k)
re=apply(tre,2,PQ)
return(c(短軸有利=sum(re<0),長軸有利=sum(re>0),同等=sum(re==0)))
}
sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1 >>138
>128に書いたけど
4x5だと宝箱を増やすと途中で短軸有利から長軸有利に変わっちゃうので自分でもびっくりした。
> 141
よろしければプログラムコードをアップしていただけませんか?Pythonでしょうか? >>143
ちょっと整理してました。
NB. n comb n returns all n length set from 0..m-1
comb =: dyad define
if. x=1 do.
(1,~y)$i.y
elseif. x=y do.
(1,y)$i.y
elseif. do.
((y-1) ,/"0 1 (x-1) comb y-1 ), x comb y-1
end.
)
NB. usage: 3 4 game 2
game =: dyad define
p =. ,/ |: x $ i. */x
q =. i. */x
g =. y comb */x
d =. (<./"1)@(g &((i."1 0)~))
r =.(d p)-(d q)
y, (+/ r<0), (+/ r>0), (+/ r=0)
)
NB. run 3 4 games n for n in 1..12
smoutput 'tre p q even'
smoutput 3 4 game "1 0 (1+i. 12) >>144のコードはマイナー言語J
ここで実際に動かしてみることができます
https://goo.gl/znRTwf 一般に,
U[j=1, n]A_j=ℝ となるn個の集合 A_j (*1) について,
j=1,2,...,n で a_j∈A_j となるような変数 a_j を取り,
lim[a_j→α] f(a_j) =k (*2) が全ての j について言えたならば,
lim[x→α] f(x) =k (*2) が言えますか。
例えば, p∈ℚ, q∈ℝ\ℚ とすると, p と q を合わせれば全実数を取ります。このとき,
lim[p→α] f(p) =lim[q→α] f(q) =k
かつ
lim[x→α] f(x) ≠k
となる f(x) は存在しますか。
(*1)αに十分近い要素も含む
(*2)離散的極限 >>145
お手数かけました。
残念ながら自分の知識ではアラビア文字のように理解不能でした。 >>60
一つ質問ですが
スタート地点Aに宝があるとゲームスタートと同時に
同着でゲーム終了になるけど、ポイントAに宝は設置されるのですか? σをn次の置換とする。
R^nからR^nへの写像で、(x_1,...,x_n)を(x_σ(1),...,x_σ(n))にうつすものは連続であることを示して下さい。 >>140
条件収束する級数を考えればa[i]とb[i]の収束性に関係がないことは明らか >>149
その場合は引き分けで終了。
宝の置き方はランダム。
12C2=66通りに等確率で配置。 >>145
数字を増やしたらサイトの時間制限を超えて結果がでなくて残念。
尚、>142のRはメモリ不足で停止しました。
NB. usage: 5 6 game 2
NB. run 5 6 games n for n in 1..30
smoutput 'tre p q even'
smoutput 5 6 game "1 0 (1+i. 30) >>155
分散分析でF分布の値の比に F-ratio というのが出てくるの知ってた? 可換環論ではAss、穴(Ann)、ホモロジー、(チェイン)ホモトピー、……汚い言葉がいっぱい出てくるよ!やったね! >>140
a[i] → c とする。
e>0 とする。
|a[i] - c| ≧ e である i は有限個。
∴ |b[i] - c| ≧ e である i は有限個。
∴ b[i] → c。 >>146
離散的極限って離散位相での極限?
だったら Aj が disjoint な集合なら
a[1]→α、a[1]∈A[1]、a[2]→α、a[2]∈A[2] 自体が起こりえないやろ?
誘導位相? >>154
12部屋から6部屋選ぶ組み合わせは924通りしかないのに
20部屋から10部屋だと184756通り、
30部屋から15部屋だと155117520通り、
という感じなのでどうしても時間やメモリを食いますよね >>60
場合分けなどが面倒くさくて疲れ果てたけど、計算結果は>>133と一致。
P1st(n)-Q1st(n) が(偶奇によらず) (n^2-2n-6)(n-1)/6 になったので、n=2,3でQが、n≧4でPが有利。
コードはSagemath。
from sage.calculus.calculus import symbolic_sum
,var m,l,k,a,n
P1 = (symbolic_sum((m-1)*(m)-2*l-1, l,1,m-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,2*k) + symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+3*k-2*l-1, l,2*k+1,m-2), k,1,a-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,m-2), k,a-1,m-2)
).substitute({a:m/2}).substitute({m:n+1})
P2 = (symbolic_sum((m-1)*(m)-2*l-1, l,1,m-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,2*k) + symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+3*k-2*l-1, l,2*k+1,m-2), k,1,a-1)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,m-2), k,a,m-2)
).substitute({a:(m-1)/2}).substitute({m:n+1})
def P1st(x):
return P1.substitute({n:x}) if mod(x,2) == 1 else P2.substitute({n:x})
Q1 = (symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,l-1), l,0,a)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,m-l-1) + symbolic_sum((m-k)^2+k-l,k,m-l,l-1), l,a+1,m-1)
+ symbolic_sum(k^2-2*m*k+m^2+k-m,k,0,m-2)
).substitute({a:(m-1)/2}).substitute({m:n})
Q2 = (symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,l-1), l,0,a-1)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,m-l-1) + symbolic_sum((m-k)^2+k-l,k,m-l,l-1), l,a,m-1)
+ symbolic_sum(k^2-2*m*k+m^2+k-m,k,0,m-2)
).substitute({a:m/2}).substitute({m:n})
def Q1st(x):
return Q1.substitute({n:x}) if mod(x,2) == 1 else Q2.substitute({n:x})
P1 == 1/24*(6*n^3 + 20*n^2 - n - 27)*(n - 1) # nが奇数のとき
P2 == 1/4*n^4 + 7/12*n^3 - 7/8*n^2 - 13/12*n + 1 # nが偶数のとき
Q1 == 1/24*(6*n^2 + 10*n - 3)*(n + 1)*(n - 1) # nが奇数のとき
Q2 == 1/24*(6*n^2 - 2*n - 5)*(n + 2)*n # nが偶数のとき >>161
>133です。労作ありがとうございます。
コードは全く読めないのですが、宝の数を増やしての計算はこのコードで可能なのでしょうか?
4×5の場合で宝を増やすと
宝:1個 同等
宝:2〜5個 短軸有利
宝:6〜13個 長軸有利
宝:14〜20個 同等
に変化したので差分はどんな関数なのだろうかとか、
5×6ではどうなるのか(メモリ不足で実行できませんでした)とか興味があります。 >>162
>>161は多項式にまでするために、部屋をn x (n+1)、宝を2個と特殊化したものです。
#nloc(m,n,k,l)は縦m、横nの部屋で横優先が部屋(k,l)で初めて宝を発見する場合で
#宝が置かれても縦優先に先を越されない部屋の数。
def nloc(m,n,k,l):
q,r = divmod(n*k+l,m)
return (n-q)*(m-k)+q-1-l + ((k-r) if r > k else 0)
#nwin(m,n,c)は部屋が縦m、横n、宝がc個で横優先が勝つ宝の配置の数
def nwin(m,n,c):
return sum(binomial(nloc(m,n,k,l),c-1) for k in range(m) for l in range(n) if k*(n-1)<l*(m-1))
縦優先は縦横を替える。 >>164
レスありがとうございます。
コードは読めないのですが、
部屋数から宝部屋の組合せを列挙してどちらが縦横どちらが先にみつけるかを探る手続きで必要な計算式をプログラムが絞りだしてくれるという理解でいいのでしょうか? >>165
いえ、計算式そのものです。数式で書けば
nwin(m,n,c) := Σ[(k,l)∈{0,…,m-1}×{0,…,n-1}, k*(n-1)<l*(m-1)] binomial((n-q)*(m-k)+q-1-l + (k-r)δ(r > k), c-1)、
ただし、n*k+lをmで割った商をq、余りをrとし、δ(P)をPが真なら1、偽なら0である関数とする。 >>159
例えば→√2を考えたい時、qの近づけ方は問題ないんでしょうが、pの近付き方を、p_n→√2になるような有理数列p_n上で考えることは出来ないんでしょうか。
→0なんかも、実際に関数に0を入れるわけではなくギリギリまで近付けるように、p自身が√2を取れないのは、定義できないほどの大問題でしょうか。 >>60
スタート地点のポイントAに宝があると
ゲーム開始とともに同着でゲーム終了になるので除外する
宝がいくつあったとしても、P君とQ君のどちらかが先に
一つでも宝を見つけるとそこでゲーム終了となる
縦方向の探査をn、横方向の探査をn+1として
宝の個数をkと置くと、調査する全範囲は
{n(n+1)−1}−(k−1)=n(n+1)−kと考えられる
Ω={n(n+1)−k)|n≧2,n(n+1)−1>k≧1}
■縦方向に探査をするP君の確率空間は
Ω={(i,j)|1≦i≦n,1≦j≦n(n+1)−k}から
#A=n{n(n+1)−k}−{n(n+1)−k−1}(n−1)
=n(n^2+n−k)−{n(n^2−1)−k(n−1)−(n−1)}
=n^3+n^2−kn−n^3+n+kn−k+n−1
=n^2+2n−k−1
#Aは事象Aに含まれる要素の個数
■横方向に探査をするQ君の確率空間は
Ω={(i,j)|1≦i≦n+1,1≦j≦n(n+1)−k}から
#B=(n+1){n(n+1)−k}−n{n(n+1)−k−1}
={n(n+1)^2−k(n+1)}−{n^2(n+1)−kn−n}
={n^3+2n^2+n−kn−k}−{n^3+n^2−kn−n}
=n^2+2n−k=n(n+2)−k
#Bは事象Bに含まれる要素の個数
■[n≧2,n(n+1)−1>k≧1]の条件下で以下の式が成立する
∴P(A)={n(n+2)−k−1}/{n^2(n+1)−kn}
∴P(B)={n(n+2)−k}/{n(n+1)^2−k(n+1)} >>168
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う
最初に探す方向を i
行または列が変わる時を j として
P君とQ君のうちどちらが先に宝を見つけるのかという
事象Aと事象Bを考える.
A={(i,j)| i または j が宝}
B={(i,j)| i または j が宝} >>168
すでに正解とPCでのカウントの照合が終わっているのに
読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。 >>166
とすると、部屋数が増えたり宝が増えても数式として算出可能なのでしょうか? >>172
なんだ、このスレでデタラメ書きつづけてたのかよw >>152 , >>158
ご返答ありがとうございます。 >>167
もちろんそういう近づけかたを考えてもいいけど、その近づけかたを離散位相といってはいけない。
流石にこの程度の基本的な単語は正確に意味を確認するようにしないといかん。 >>175
>>152は無視してな
完全に寝ぼけてたわ >>173
すみません。発言がよくわかりません。
「数式として算出」とは? >>166は数式ではない?
ここでいう数式とは多項式などのΣのない形のものでしょうか?
「部屋数が増えたり」も、もともと部屋をn×(n+1)などとしていて大きさを変えられますよ?
宝の数が2以外でも(3なら3と)固定されていて部屋の形がn×(n+1)または(n+1)×nなら>>161を少し変えれば
Σのないnについての多項式が得られる、とは言えます。
念のため書いておくと
式>>166は部屋の縦横、宝の数が任意だが、Σがある。
部屋の形がn×(n+1)または(n+1)×nとして適当に場合分けすることにより数式処理ソフトで
Σの計算できるようにした、そのコードが>>161。 宝箱問題。申し訳ないのですが、プログラミングに詳しくないものでさっぱりです…
高校生にもわかるようにどなたか解説していただけませんか?(入試数学の解答のような形式であればありがたいです) ()>>173
可能だけど立式するのは結構な手間
Σを用いた式として立式して sagemath というソフトで簡略化して n の多項式にしたのが>>161
どう考えても面倒なので161さん以外の誰もやっていなかった
宝箱の数をkとして立式することは可能だろうけれども、
更なる面倒さに付き合ってくれる人がいなければここには書かれない
こんなとこでどうでしょうか。 sagemath はスマートフォンなどでも使うことができて、
僕も今初めて使うので適当ですが例えば>>161の最初の
P1の式(Σを含むもの)の簡略化などはiPhoneアプリでも以下のようにして行えました
アプリ起動して「+」ボタンで新しい式を入力するモードにして
var l,a,n,k = var('l','a','n','k')
a=m/2
m=n+1
sum((m-1)*(m)-2*l-1, l,1,m-2)
+ sum(sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,2*k) + sum((m-1-k)*(m-k)+3*k-2*l-1, l,2*k+1,m-2), k,1,a-2)
+ sum(sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,m-2), k,a-1,m-2)
と入力して「evaluate」ボタンでこの式を評価(簡略化)
https://i.imgur.com/4bpYZLg.jpg 弥勒(僧)とシュリニヴァーサ・ラマヌジャンはどっちの方が賢いですか? c のプログラムが無かったようなので 宝二つ、m×(m+1)型(m=1〜69)を作ったので参考にあげておきます。
http://codepad.org/pbmWeZZ5
少し説明を加えておくと、マスに1から順に番号をあたえます。
配列P[c]には、c番目 のマスをPは何番目に調査するか
配列Q[c]には、c番目 のマスをQは何番目に調査するか を入れておきます。
i番目とj番目のマスに宝があるとき、P[i]とP[j]を比べて小さい方の値で、Pは宝を発見し、
Q[i]とQ[j]を比べて小さい方の値で、Qは宝を発見します。
この値を比べ、PとQどちらが早く発見したかを判定すると言うだけのものです。
縦、横のマスの数の変更や、宝の数の変更も難しくないと思うので、興味がある方はどうぞ。
(本当は、配列は一つで十分なんだけど、可読性や対称性を考えて書いておきました) xyz空間の球B:x^2+y^2+z^2=1の表面または内部に点Pをとる。
Pを通り方向ベクトル(1,2,0)に平行な直線lとBとの共有点を考えるとき、以下の問いに答えよ。
(1)lとBの共有点の個数を場合を分けて答えよ。
(2)共有点の個数が2個のときを考える。共有点の一方をS、他方をTとする。
P(x,y,z)とするとき、長さの積PS・PTをx,y,zで表せ。Pが表面上にあるときはP=Sとして考えよ。
(3)Bを平面x=u(-1≦u≦1)で切った切断面D_u上を点Pが動く。P(u,y,z)においてy^2+z^2の取りうる最大値Mをuで表せ。
さらにz=0のとき、積分 I_u = ∫[0→M] (PS・PT) dy をuで表せ。
(4)(3)で求めたI_uに対して定積分K = ∫[-1→1] I_u du を求め、さらに比の値K/(4π/3)を求めよ。 n≧3とする。
次の和を求めよ。
Σ[k=1,2,...,n-1] {(n,k)・(n+1,k-1)} サイコロを振り、出た目に応じて点Pを動かす。最初点Pは(0,0)にある。
点Pが(a,b)にあるとき、偶数の目が出たら(a+1,b+1)に移動させ、奇数の目が出たら(a+1,b-1)に移動させる。
このとき、以下の事象が起こる確率を求めよ。
(1)Pが半直線y=x(x≧1)の上に乗る。
(2)Pが直線y=2x+1の上に乗る。
(3)m,nを整数の定数とし、Pが半直線y=mx+n(x≧1)の上に乗る。必要があればm,nの値に応じて場合分けして答えよ。 >>178
レスありがとうございました。
多項式で与えられたので他のソフトでも>163のように
簡単にグラフ化できました。
そういう意味で数式と書いたつもりでした。 >>183
いつもcのコードありがとうございます。
このコードだと縦横マスを増やすのは容易でも、宝の数を増やすには for loopを
for(i=1,Pwin=Qwin=Draw=0;i<mn;i++)for(j=i+1;j<mn;j++) for(k=j+1;k<mn;k++) for(l=k+1;l<=mn;l++)
という具合に増やす必要がありますよね? そんな感じですね。細かいところですが、少し修正を施すと、
for(i=1,Pwin=Qwin=Draw=0;i<mn-2;i++)for(j=i+1;j<mn-1;j++) for(k=j+1;k<mn;k++) for(l=k+1;l<=mn;l++)
で、空回りを回避してます。
もし、このアルゴリズムで、宝の数を一般数化するなら、i,j,k,...の変数を配列にしてループにいれるか、
再帰関数化するか等の方がスマートですが、二つで固定なら、提示したような感じがシンプルですね。
しかし、宝の数可変を前提にプログラムを組むなら、別の方策を取ります。
Qは時刻 c に最初の宝を見つけるので、
・Pの宝の発見時刻が全てcより大きい → Qの勝ち
・Pの宝の発見時刻にcを含み、残りは全てcより大きい → 引き分け
・それ以外 → Pの勝ち
です。
Qは、時刻cに、マスcを調査するので、マスc+1、c+2、...の中に、P[x]>c を満たす
マスがいくつあるかをあらかじめカウントし、テーブル化すれば、あとは、
二項係数の積の和だけの、プログラムとなると思います。 >>185
m+1≧n≧1 のとき
Σ[k=1,n] C(n,k) C(m,k-1) = C(m+n,n-1)
∵ (1+x)^n (1+x)^m を展開したときの x^(n-1) の係数だから。
Σ[k=1,n-1] C(n,k) C(n+1,k-1) = C(2n-1,n-1) - C(n+1,2) >>182
蝉「おまえさ、人としじみのどっちが偉いか知ってるか?」
伊坂幸太郎「グラスホッパー」角川文庫 (2007) >>189
部屋の数=mn、宝の数trでmnCtr個の組み合わせを返すサブルーチンが必要になって、ここが処理のボトルネックになるんじゃないかと思うのですが。 数学とはなんでしょうか?
何が数学の本質なんでしょうか?
論理的な体系の構築? 定理の創出? >>161の若干の一般化とその導出を備忘録的に書いておきます。
>>60
まず、部屋を探る順番が一般の場合を考える。
部屋がNあり、その集合をRとする。A君、B君が探る順番を表わす全単射写像をそれぞれf,gとする:
f,g: R→{0,1,…,N-1} (順番は0から始まるとする。)
部屋自体の位置はなんら答えに影響しない。
σ=g・f^{-1} と置くと、σは{0,1,…,N-1}の置換。(・は写像の合成)
A君がi番目に探る部屋はB君がσ(i)番目に探る部屋ということ。
以下、「A君がi番目に探る部屋」のことを「部屋i」ということにする。
求めたいのは、「A君がB君よりも早く宝を見つける宝の配置の数」であるが、宝の数をcとすると、それは
Σ[σ(i)>i] binomial(#{j| j>i, σ(j)>i}, c-1) (0≦i,j≦N-1、binomialは二項係数)
である。
なぜか?
「A君が初めて宝を見つける部屋(部屋iとする)」で場合分けしよう。
(つまり部屋0〜i-1には宝がなく、部屋iに宝がある場合)
部屋iはB君がσ(i)番目に探る部屋だからσ(i)>iでないと
少なくともB君はA君よりも前か同時に部屋iで宝を見つける
(B君はその前に別の部屋で宝を見つけることもある)ことになりA君は勝てない。
したがって、σ(i)>iが必要。
残りのc-1個の宝は部屋i+1〜N-1にあるが、宝がある部屋を部屋jとすると、
やはりσ(j)>iでないといけない。逆に全部の宝でそうであればA君が勝つ。
よって、残りのc-1個の宝が置かれてもいい部屋の数は#{j| j>i, σ(j)>i}だけあり、
全部そこに置かれる場合はbinomial(#{j| j>i, σ(j)>i}, c-1)通り。
したがって、上記のようになる。
続く >>194
続き
部屋が縦m、横nで、A君は横1行を探し終えたらすぐ下の1行に移り、
B君は縦1列を探し終えたらすぐ右の1列に移るという場合を考える。
つまり、m=4,n=3の場合、A君は
0123
4567
891011
B君は
0369
14710
25811
という順番で探す。
このとき、σ=0,3,6,9,1,4,7,10,2,5,8,11。
一般には、σ(nk+l)=ml+k (0≦k≦m-1, 0≦l≦n-1)。
ここまでをPythonで表すと:
#二項係数。SageMathでは定義ずみ
def binomial(n,r):
from math import factorial as f
return f(n)//f(r)//f(n-r) if r>=0 and n-r>=0 else 0
#置換p、宝c個で勝つ宝の配置の数
def nwinperm(p,c):
N = len(p)
return sum(binomial(len([j for j in range(i+1, N) if i<p[j]]),c-1)
for i in range(N) if i<p[i])
#部屋が縦m、横nのときの置換
def rectperm(m,n):
return [m*l+k for k in range(m) for l in range(n)]
#部屋が縦m、横n、宝がc個で横優先が勝つ宝の配置の数
def nwinrect0(m,n,c):
return nwinperm(rectperm(m,n),c)
続く >>195
続き
部屋が縦m、横nの場合を考えているが、もう少し計算を進める。
#{j| j>i, σ(j)>i} をこの場合に具体的に表そう。
i,j (0≦i,j≦mn-1)をそれぞれ nk+l, nk'+l' (0≦k,k'≦m-1, 0≦l,l'≦n-1) とする。
σ(i)>i ⇔ lm+k>nk+l ⇔ (m-1)l>(n-1)k、
j>i ⇔ nk+l>nk'+l' ⇔ 「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」、
σ(j)>i ⇔ l'm+k'>nk+l ⇔ l' + k'/m > (nk+l)/m [ここで nk+lをmで割った商をq、余りをrとすると]
⇔ l' + k'/m > q + r/m ⇔ 「q≦l'≦n-1 ただし l'=q, k'≦r を除く」
を使って
#{j| j>i, σ(j)>i} = #{(k',l')|『「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」』かつ l'm+k'>nk+l}
に出てくる『「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」』かつ l'm+k'>nk+lを満たす組(k',l')の数を求める。
k=k' かつ l<l'のとき σ(i)>iからlm+k>nk+lだからl'm+k'>nk+lは常に成り立つので、l<l'≦n-1でn-1-l個。
k<k' のとき l'm+k'>nk+l ⇔ 「q≦l'≦n-1, k<k'≦m-1 ただし l'=q, k<k'≦r を除く」だから
(n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k)個、ただしδ(P)はPが真なら1、偽なら0である関数。
よって、#{j| j>i, σ(j)>i} = (n-1-l) + (n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k)。
したがって、求める数は
Σ[0≦k≦m-1, 0≦l≦n-1, (m-1)l>(n-1)k] binomial((n-1-l) + (n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k), c-1)。
これを使ったPythonコード:
#nloc(m,n,k,l)は縦m、横nの部屋で横優先が部屋(k,l)で初めて宝を発見する場合で
#宝が置かれても縦優先に先を越されない部屋の数。
def nloc(m,n,k,l):
q,r = divmod(n*k+l,m)
return (n-1-l) + (n-q)*(m-1-k) - (r-k if r > k else 0)
#部屋が縦m、横n、宝がc個で横優先が勝つ宝の配置の数
def nwinrect1(m,n,c):
return sum(binomial(nloc(m,n,k,l),c-1) for k in range(m) for l in range(n) if (m-1)*l>(n-1)*k)
続く >>196
続き
部屋がm×(m+1) (n=m+1) のとき。
(m-1)l>(n-1)k ⇔ 0≦k≦m-2 かつ k+1≦l≦m。
(nk+l)/m = k + (k+l)/m より k+l<mのときq=k,r=k+l、k+l≧mのときq=k+1,r=k+l-m。
r>k (k+l<m)とr≦k (k+l≧m)とに分けるように場合分けをする:
@0≦k≦[(m-1)/2], k+1≦l≦m-k-2 のとき r>k、
A[(m+1)/2]≦l≦m-1, m-1-l≦k≦l-1 または Bl=m, 0≦k≦m-2 のとき r≦k。
m=6のとき
×@@@@AB
××@@AAB
×××AAAB
××××AAB
×××××AB
×××××××
m=7のとき
×@@@@@AB
××@@@AAB
×××@AAAB
××××AAAB
×××××AAB
××××××AB
××××××××
後はΣの計算。>>60に合わせるとQ君がA君の立場でmが>>60でのn。
#以下 SageMathコード
,var m,n,l,k,q,r,c
T2 = (n-1-l) + (n-q)*(m-1-k)
T1 = T2 - (r-k)
#mが奇数の場合:
Q1 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m+1,q:k,r:k+l}),c-1), l,k+1,m-k-2), k,0,(m-1)/2-1)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m+1,q:k+1,r:k+l-m}),c-1), k,m-1-l,l-1), l,(m+1)/2,m-1)
+ sum(binomial(T2.subs({n:m+1,l:m,q:k+1,r:k}),c-1), k,0,m-2)
).subs({m:n,c:2}).simplify_full().factor()
#mが偶数の場合:
Q2 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m+1,q:k,r:k+l}),c-1), l,k+1,m-k-2), k,0,m/2-2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m+1,q:k+1,r:k+l-m}),c-1), k,m-1-l,l-1), l,m/2,m-1)
+ sum(binomial(T2.subs({n:m+1,l:m,q:k+1,r:k}),c-1), k,0,m-2)
).subs({m:n,c:2}).simplify_full().factor()
def Q1st(x):
return (Q1 if mod(x,2) == 1 else Q2).subs({n:x})
続く >>197
続き
部屋がm×(m-1) (n=m-1) のとき。
(m-1)l>(n-1)k ⇔ 1≦l≦m-2 かつ 0≦k≦l。
(nk+l)/m = k + (l-k)/m より q=k,r=l-k。
r>k (l>2k)とr≦k (l≦2k)とに分けるように場合分けをする:
@0≦k≦[(m-3)/2], 2k+1≦l≦m-2 のとき r>k、
A1≦k≦[(m-3)/2], k≦l≦2k または B[(m-1)/2]≦k≦m-2, k≦l≦m-2 のとき r≦k。
m=7のとき
×@@@@@
×AA@@@
××AAA@
×××BBB
××××BB
×××××B
××××××
m=8のとき
×@@@@@@
×AA@@@@
××AAA@@
×××BBBB
××××BBB
×××××BB
××××××B
×××××××
後はΣの計算。>>60に合わせるとP君がA君の立場でmが>>60でのn+1。
#mが偶数の場合:
P1 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,2*k+1,m-2), k,0,m/2-2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,k,2*k), k,1,m/2-2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,k,m-2), k,m/2-1,m-2)
).subs({m:n+1,c:2}).simplify_full().factor()
#mが奇数の場合:
P2 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,2*k+1,m-2), k,0,(m-3)/2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,k,2*k), k,1,(m-3)/2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,k,m-2), k,(m-1)/2,m-2)
).subs({m:n+1,c:2}).simplify_full().factor()
def P1st(x):
return (P1 if mod(x,2) == 1 else P2).subs(n=x)
以上、整理して少し異なったけど>>161の導出でした。 >>198
P1 == 1/24*(6*n^3 + 20*n^2 - n - 27)*(n - 1) # nが奇数のとき
P2 == 1/4*n^4 + 7/12*n^3 - 7/8*n^2 - 13/12*n + 1 # nが偶数のとき
Q1 == 1/24*(6*n^2 + 10*n - 3)*(n + 1)*(n - 1) # nが奇数のとき
Q2 == 1/24*(6*n^2 - 2*n - 5)*(n + 2)*n # nが偶数のとき
それだけ前置きやってkを含めた式が作れないのですか? >>199
「kを含めた式」って何?
あと>>178見て
宝の数が任意のものならΣが取れないでしょう。 私は何人かの方のコンピュータによる解法はすごいと思いました
正直、Pythonはわからないし、sagemathは数学そのものなのでまだ理解できていないので
読めたのはCだけですが…
久しぶりにまともなスレになった気がします >>168
P(A)をP(B)で割ることによって
P君の勝つ数とQ君の勝つ数が導ける
P(A)/P(B)=(P君の勝つ数)/(Q君の勝つ数)
{n(n+2)−k−1}/{n^2(n+1)−kn}
P(A)/P(B)=――――――――――――――――――――
{n(n+2)−k}/{n(n+1)^2−k(n+1)}
=(n+1)(n^2+2n−1−k)/{n^2(n+2)−nk}
∵[n≧2,n(n+1)−1>k≧1]
∵の範囲でnとkをいろいろと変えて見ることにより
様々な勝率が導ける
計算知能にそのまま入力するだけで通分と約分を
自動計算してくれるので試してごろうじろう
■Wolfram入力例
(n+1)(n^2+2n−1−k)/{n^2(n+2)−nk},k=2,n=3 三角形ABCにおいて、
AからBCへ下した垂線をAD,
BCの中点をMとする。
BD > CDとすると
BD^2 - CD^2 = 2BC・MD を示せ。 BD-CD=2MD
⇔
BD-MD=CD+MD
こんな感じか >>206
BD^2 - CD^2 = (BD+CD) (BD-CD)
= BC ( (BM+MD) - (CM - MD) )
= 2BC・MD
(∵ BM=CM )
特に垂線である意味がないし「垂線の定理」って何かの間違いでは? >>213
AB^2 - AC^2 = (BD^2 + h^2) - (CD^2 + h^2) = BD^2 - CD^2 = ... = 2 BC・MD
なるほど 自然数a,b,cは以下の2つの等式を共に満たす。
a+b^2=c^3
a^2-b(b+c)=a+b+c
(1)このような(a,b,c)を一組求めよ。
(2)(1)で求めたもの以外に(a,b,c)の組が存在するなら、全て決定せよ。 >>216
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..100],b<-[1..100],c<-[1..100],a+b^2==c^3,a^2-b*(b+c)==a+b+c]
[(4,2,2)] Prelude> [(b,c)|b <-[1..1000],c<-[1..1000],(c^3-b^2)*(c^3-b^2-1)==(b+c)*(b+1)]
[(2,2)] 変な質問ですいません
最初にピタゴラスの定理を証明した人って、どういう発想で定理が正しいと考えたのでしょうか?直感でしょうか、経験的によく知られていたのでしょうか? ピタゴラスとエウクレイデスはどっちの方が賢いですか? >>216
a=-1,b=-3,c=2
a=0,b=-1,c=1
a=0,b=0,c=0
a=-1,b=1,c=0
a=4,b=2,c=2 >>219
証明はどうだかわからないがピタゴラスが多いついたのはタイルを見て予想したと言われているらしい
直角二等辺三角形を敷き詰めると直角二等辺三角形の場合にはピタゴラスの定理が成り立つことがすぐにわかる
ピタゴラスはそこから直角三角形なら常に成り立つのではないかと考えたということのようだ リーマン予想を証明したいのですが、まずは何から勉強をした方が良いのでしょうか? 証明した人に聞いてください
例えばAtiyahとかdeBrangeさんなど リーマン予想が証明されたとしたら、残りの他の全ての数学の未解決問題を自分一人で解決したい。
そのためにはやはり、数学の全分野だけでなく、物理学とか哲学とか計算機科学の全分野も究めないと無理なレベルでしょうか? とりあえず、二項定理くらいはわかるようになりましょうよ、ヒマラヤさん b^2=c^3-a
a=c^3-b^2
a^2-b(b+c)=a+b+c
a^2-b^2-bc=a+b+c
a^2-c^3+a-bc=a+b+c
a^2-c^3-bc-b-c=0
(c^3-b^2)^2-c^3-bc-b-c=0
の整数解を求める >>142
宝の数を変化させるコードをHaskellに移植してみた。
import Data.List
import Data.List.Split
m = 5 -- 縦マス(短軸)
n = 6 -- 横マス(長軸)
k = 5 -- 宝の数
q = [0..m*n-1]
matQ = chunksOf m q
matP = transpose matQ --行列を転置して
p = concat matP -- 配列に変換
combinations :: Int -> [a] -> [[a]]
combinations 0 _ = [ [] ]
combinations n xs = [ y:ys | y:xs' <- tails xs, ys <- combinations (n-1) xs']
treasure = combinations k q -- 宝の組み合わせ
ip y = minimum $ map(\x -> elemIndices x p!!0) y -- 宝の、配列pでのindex列を求めて最小値を返す
iq y = minimum $ map(\x -> elemIndices x q!!0) y
idxp = map ip treasure -- 宝の組み合せで実行して
idxq = map iq treasure
p_q = zipWith (-) idxp idxq -- 差をとって大小判別
p1st = length $ filter (<0) p_q -- 短軸方向探索pが先に宝をみつける
q1st = length $ filter (>0) p_q
draw = length $ filter (==0) p_q
main = do
putStrLn $ "p1st = " ++ show p1st ++ ", q1st = " ++ show q1st ++ ", draw = " ++ show draw
Prelude> :main
p1st = 54036, q1st = 55469, draw = 33001 無限ホテルのパラドックス読んでてわからないことがあって、新しい宿泊客のために既存の客が部屋を一つづつずらすってあるけど、あれは何でそうなるの?
ネットで調べたけどそれらしい答えが無くて困ってる
無限ホテルが集合論のお話で、ホテルは可算無限集合、無限に居る宿泊客全員も可算無限集合で、どっちも無限としての大きさが合うから部屋は過不足なく用意されるって話だってところまではネットで読んだ
で、Wikipediaには順序数? の計算ルールが書いてあって、1+ωとω+1は違うってあったからこれが部屋移動の理由かと最初は思った
でも無限ホテルって無限人の来客があってもokってあるから、これってω+ωでどこに客をぶちこんでも意味変わらないなと
だからこの予想は違うと今は思ってる
この疑問のしっくり来る(理解できる)解説が見つからなくてずっとモヤモヤしてるので、誰か教えてくれるとありがたいです -- バグ修正(行と列を間違えていた(._.)
import Data.List
import Data.List.Split
m = 5 -- 縦マス(短軸)
n = 6 -- 横マス(長軸)
k = 5 -- 宝の数
q = [0..m*n-1]
matQ = chunksOf n q
matP = transpose matQ --行列を転置して
p = concat matP -- 配列に変換
combinations :: Int -> [a] -> [[a]]
combinations 0 _ = [ [] ]
combinations n xs = [ y:ys | y:xs' <- tails xs, ys <- combinations (n-1) xs']
treasure = combinations k q -- 宝の組み合わせ
ip y = minimum $ map(\x -> elemIndices x p!!0) y -- 宝の、配列pでのindex列を求めて最小値を返す
iq y = minimum $ map(\x -> elemIndices x q!!0) y
idxp = map ip treasure -- 宝の組み合せで実行して
idxq = map iq treasure
p_q = zipWith (-) idxp idxq -- 差をとって大小判別
p1st = length $ filter (<0) p_q -- 短軸方向探索pが先に宝をみつける
q1st = length $ filter (>0) p_q
draw = length $ filter (==0) p_q
main = do
putStrLn $ "p1st = " ++ show p1st ++ ", q1st = " ++ show q1st ++ ", draw = " ++ show draw
>matrix.exe
p1st = 55469, q1st = 54036, draw = 33001 >>231
先頭を開けて1人追加するのは 1+ω = ω
倍の部屋番号へ移して ω 人追加するのは 2ω = ω リーマン予想とP≠NP予想はどっちの方が証明するのが難しいですか? ABC
EFG
n=2の6マスでP君Q君のそれぞれのファーストの
組の総数をお願いします<(_ _)> P勝ち:EG FG EF BF
Q勝ち:BG CG BC CE CF
引き分け:AB AC AD AE AF AG BE p win : CE, EF, EG, FG
q win : BC, BF, BG, CF, CG
even : AB, AC, AE, AF, AG, BE
かと思った ABC
DEF
P勝ち CD DE DF EF
Q勝ち BC BE BF CE CF
引分け AB AC AD AE AF BD 質問では DEF が EFG になってるのから俺はちゃんとその通りにやってるのにお前らときたら自由だな…
>>236に至ってはよく見るとABCDEFGの7種使ってるし >>233
ありがとうございます
連続の質問になって申し訳ないんで付けど、2ωとω+ωってこれは違うものなんですか? 自由ついでに分かりやすいように数字に置き換えてみた
1個目だけじゃなく、2個目の宝を先に見つけることも考えたら
結局、PQで差はないという直感どおりの結果になるな
123
456
12 ・Q
13 ・Q
14 ・P
15 ・P
16 ・・
23 QQ
24 ・P
25 QP
26 Q・
34 PQ
35 Q・
36 Q・
45 PP
46 P・
56 P・ 別スレでこんなの見つけたんですが、これどこで証明されてるかご存知の方います?
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537516085/256
>オイラー定数をγと置く。nの約数の総和をσ(n)と置く。RHは
>
>σ(n)<(e^γ)*n*log(log n) (∀n>5040)
>
>と同値であることが知られている。 自己レス
とりあえず元論文はコレらしい
[24] G. Robin, Grandes valeurs de la fonction somme de diviseurs et hypoth`ese de Riemann,
J. Math. Pures Appl. 63 (1984), 187–213.
英語で読めるのないかなぁ? 5×6マスで宝の数を10まで増やしていくと、
D:\bin>for %i in (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) do treasure 5 6 %i
D:\bin>treasure 5 6 1
p1st = 14, q1st = 14, draw = 2
D:\bin>treasure 5 6 2
p1st = 203, q1st = 197, draw = 35
D:\bin>treasure 5 6 3
p1st = 1801, q1st = 1727, draw = 532
D:\bin>treasure 5 6 4
p1st = 11418, q1st = 11008, draw = 4979
D:\bin>treasure 5 6 5
p1st = 55469, q1st = 54036, draw = 33001
D:\bin>treasure 5 6 6
p1st = 215265, q1st = 211894, draw = 166616
D:\bin>treasure 5 6 7
p1st = 685784, q1st = 680768, draw = 669248
D:\bin>treasure 5 6 8
p1st = 1827737, q1st = 1825076, draw = 2200112
D:\bin>treasure 5 6 9
p1st = 4130886, q1st = 4139080, draw = 6037184
D:\bin>treasure 5 6 10
p1st = 7995426, q1st = 8023257, draw = 14026332
1:同等
1〜8:短軸探索有利
9、10:長軸探索有利
という結果になった。
Haskellのコードはここ
--exe Fileにコンパイルしてコマンドラインから実行できるように改変(但し、エラー処理皆無)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1490734993/209 >>235
$Rscript main.r
P1st Q1st even
3 4 13
6マスで宝を3個にしてみた
$Rscript main.r
P1st Q1st even
3 4 13
P 1st
[,1] [,2] [,3]
[1,] C C D
[2,] D D E
[3,] E F F
Q 1st
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] B B B C
[2,] C C E E
[3,] E F F F
even
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
[1,] A A A A A A A A A A B B B
[2,] B B B B C C C D D E C D D
[3,] C D E F D E F E F F D E F
Rのスクリプトをここに置いたから数値を変更して実行可能
http://tpcg.io/X3bC0A >>241
自由ついでに5×6マスで宝が5個、先に全部の宝を見つけた方が勝者とすると
これくらい差が出る
D:\bin>treasure2 5 6 5
p1st = 54036, q1st = 55469, draw = 33001
確率にすると
> treasure2(5,6,5)
P1st Q1st even
54036 55469 33001
> 54036/(54036+55469+33001)
[1] 0.379184
> 55469/(54036+55469+33001)
[1] 0.3892398
なので差があると直観するかどうかは個々人の感性だな。 Haskel だの R だの。そういうのは他でやれよ...。 >>247
使える人間にとっては電卓みたいなもんだよ。
log2の計算にいちいちマクローリン展開して手書き計算しないだろ。 ここまでjuliaが出てこなかった
juliaが流行しているのは自分の周りだけなのかな
(NGに巻き込まれて見えてないだけだったらゴメン) >>249
どれかを移植して実力を示していただけたらうれしい。
5✕6マスで宝が15個の時の計算とかまだ誰も出してない。 >>241
先に2個の宝をみつけた方なら
123
456
12 Q
13 Q
14 P
15 P
16 =
23 Q
24 P
25 P
26 =
34 Q
35 =
36 =
45 P
46 =
56 =
にならない? >>241
2個を先にみつけるじゃなくて
これは1個めの発見はQの方が確率が高くて、2個めに発見はPの方が確率が高いというだけの話だったみたいね。 >>250
juliaが周りで流行ってるだけで自分自身はCの人(Cソース書いてくれた人とは別人)
5x6ますで宝15個とか、ID:TZqGbv4dにお願いしたらすぐやってくれるんじゃない?
完全に作り直してるし。 >>252
i 番目をどちらが先にみつけるかを計算してみた。
4×5マスに宝が5個あるとき
> treasures(4,5,5)
p1st q1st even
[1,] 1948 9680 3876
[2,] 5488 10016 0
[3,] 7752 7752 0
[4,] 10016 5488 0
[5,] 9680 1948 3876
1個め2個めは短軸方向探索のQが、4個め5個めは長軸方向探索のPが、先にみつける宝の配置の組み合わせが多い。3個めは同じ。
全体としてはイーブンだが、
勝者は1個めを先にみつけた方にするか、全部を先にみつけた方にするかで結果が変わる。
Rのコードはここに置いたので数値を変えて実行可能。
http://tpcg.io/Ph7TUQ n元集合からk個の元を取り出す順番を考慮して可能な場合を数え上げるとn*(n-1)*....*(n-k+1)通りあるというのはより原始的なものから導かれるものですか? >>248
「プログラムで、ごり押し計算」
「マクローリン展開して手書き計算」
俺は後者の方が美しく感じるけどな。
実は前者で計算したのに後者を装ってほしいくらい。 (※ 私見です) >>254
単なる確認なんだけれども、
「i番目をどちらが見つけるか」というのは
先にi個見つけた方を勝ちとするのではなくて
例えばi=2だと
Pが1つ発見、Qが1つ発見⇒2番目を見つけたQの勝ち、ということですか? >>257
>254の計算は各人にとってi番めの計算。
例えばi=2だと
Pが1つ発見、Qが1つ発見だと勝敗は未決で
どちらが発見者にとって2個めを発見したらそれが勝者として数えた。 んで、
ここまで答が出せた
254 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/10/30(火) 13:03:57.24 ID:TZqGbv4d
>>252
i 番目をどちらが先にみつけるかを計算してみた。
4×5マスに宝が5個あるとき
> treasures(4,5,5)
p1st q1st even
[1,] 1948 9680 3876
[2,] 5488 10016 0
[3,] 7752 7752 0
[4,] 10016 5488 0
[5,] 9680 1948 3876
1個め2個めは短軸方向探索のQが、4個め5個めは長軸方向探索のPが、先にみつける宝の配置の組み合わせが多い。3個めは同じ。
全体としてはイーブンだが、
勝者は1個めを先にみつけた方にするか、全部を先にみつけた方にするかで結果が変わる。
Rのコードはここに置いたので数値を変えて実行可能。
http://tpcg.io/Ph7TUQ >>260
全体を眺めると直感的通り互角。
局所でみると濃淡があるということと理解した。 ゲルト・ファルティングスとアラン・コンヌの知能指数はどれくらいですか? 「真理」というのは存在するのでしょうか?
「真理」の探究は意味があるのでしょうか? マイケル・アティヤとエドワード・ウィッテンはどっちの方が賢いですか? >>253
ここまでは算出できたが、宝を14にしたらエラー終了した。
D:\bin>treasure 5 6 11
p1st = 13346984, q1st = 13395944, draw = 27884372
D:\bin>treasure 5 6 12
p1st = 19312228, q1st = 19372871, draw = 47808126
D:\bin>treasure 5 6 13
p1st = 24301031, q1st = 24358063, draw = 71100756 >>92
■引き分けの組み合わせは勝敗と無関係なので除外
宝が2個以上の時、
スタート地点のAマスと対極にある最終マスのLには
P君もQ君もどちらも決してたどり着くことはできないので
このLマスと組みとなる宝の配置は重複情報で意味を持たない
ので除外する
Pが先に見つけるのは以下の21通り
CE,DE,DI,EF,EG,EH,EI,EJ,EK,FG,FH,FI,FJ,FK,GI,GJ,HI,HJ,IJ,IK,JK,
Qが先に見つけるのは以下の22通り
BC,BD,BF,BG,BH,BI,BJ,BK,CD,CF,CG,CH,CJ,CK,DF,DG,DH,DJ,DK,GH,GK,HK,
となる >>260
何マスだろうが、宝が何個であろうが
出発点と終点が同じであれば
PQの宝を得られる個数の期待値は同じということだな >>267
期待値は宝の数なわけで、元の問題は1個めをみつけるステップの数を比較しているんだと思う。 >>267
宝を先にみつけたら独り占め、同時にみつけたら折半 というルールなら手に入れる宝の数の期待値は同じになるだろうね。 >>268
BI, CIは引き分けで除外なのでは
>>265
メモリを食わないコードを書いてみた
今思ったけど再帰で書いた方が読みやすかったか
https://ideone.com/HaAqJO
>>270
n x n+1 の部屋を縦横に調べる2人の場合は先着する部屋数が等しくなるからそうなるね
p君 ABCDEFGHIJKL
q君 BCDEFGHIJKLA
とかなら殆どq君が独り占め >>238
ABC
DEF
P勝ち CD DE
Q勝ち BC BE CE
勝敗だけ知りたければデータ圧縮が可能 P君Q君問題から得られる知見
早い者勝ちなら先回りすることが勝つ秘訣 >>274
>244に数値を挙げたけど宝の数が増えると逆転しちゃう。
個人的にはどこが逆転する境なのか算出方法が知りたいところ。 >>233
質問してばっかりだったので反省して自分で調べてみたんですけど
ω+ω=ω×ω=ω2だってことでした
でも、これは「無限ホテルのω号室の次の部屋からω人の客を泊めた」って事ですよね?
だから無限ホテルの話にあるように1号室→2号室、2号室→4号室、3号室→6号室とずらして、間に入れ込めば2ω=ωになって万事解決って事で合ってますか? >>276
ω×ωはちがうかった……
これじゃω^2になっちゃう q1..q2..q3..q4
q5..q6..q7..q8
q9q10q11q12
p1..p4..p7..p10
p2..p5..p8..p11
p3..p6..p9..p12
同じ座標なら数字の小さいほうが勝ち [q2とq10] & [p4とp6]に宝が配置された時は
互いに数字の小さいほうを選んで勝負
q2 vs p4 で q2の勝ちとなる
この後にq10とp6の探査をしても
情報としての価値はゼロ >>276
>だから無限ホテルの話にあるように1号室→2号室、2号室→4号室、3号室→6号室とずらして、間に入れ込めば2ω=ωになって万事解決って事で合ってますか?
そうそう まだ続いているようなので、>>189の後半で示したようなアイデアで、宝の数可変版の
プログラムを書いてみました。
多倍長を使える処理系を用いればいいのかもしれませんが、実数型で誤魔化しました。
故に大きな数字のところでは誤差があります。
http://codepad.org/VN03aiqT >>281
同じ方針のものがPythonで>>194-198にある てか>>194-199に書いてある事がちゃんと読めれば宝の数が何個になっても場合わけ+多項式で記述できるのはすぐわかる。
読めよ。数学板なんだから。 >>281
いつもありがとうございます。
いやぁ、この出力は圧巻ですね。
Haskell先生もびっくり。 >>280
ありがとうございます
おかげさまですごくしっくりきました >>282 >>283
失礼しました。
数列を無理矢理分数式化する人や、価値の無い長い文章を投下する人がいるので、
読み飛ばしていました。
宝箱が二つの場合は、多項式での表現が完成していたんですね。
あのようなσやδを含む式を整理する数式処理ツールがあったとは驚きです。
二個で可能だったのだから、もっと多くの場合でも、可能なんでしょうね。 P1 == 1/24*(6*n^3 + 20*n^2 - n - 27)*(n - 1) # nが奇数のとき
P2 == 1/4*n^4 + 7/12*n^3 - 7/8*n^2 - 13/12*n + 1 # nが偶数のとき
Q1 == 1/24*(6*n^2 + 10*n - 3)*(n + 1)*(n - 1) # nが奇数のとき
Q2 == 1/24*(6*n^2 - 2*n - 5)*(n + 2)*n # nが偶数のとき
多項式ってこれだけ?
kは変えられないし出力は意味不明だしナニコレ?
>>204の式ならk=554222,n=322300988とかでも
数秒で出力してくれるよ >>204の式ならkにどんな整数をいれても正解にならん。n=3でやってみろよ。
でn=3の場合66通り全部書きだして比較してみろよ。
実際書き出してみた正解とひとつも合わない式になんの意味がある? >>289
Prelude Data.Ratio> print [(n+1)*(n^2+2*n-1-k)%(n^2*(n+2)-n*k)|let n = 3,k<-([0..14]++[16..30])]
[56 % 45,26 % 21,16 % 13,11 % 9,40 % 33,6 % 5,32 % 27,7 % 6,8 % 7,10 % 9,16 % 15,1 % 1,8 % 9,2 % 3,0 % 1,8 % 3,2 % 1,16 % 9,5 % 3,8 % 5,14 % 9,32 % 21,3 % 2,40 % 27,22 % 15,16 % 11,13 % 9,56 % 39,10 % 7,64 % 45]
Prelude Data.Ratio>
kに0〜30何入れても正解なんぞ出てこんやろ? >>290
kに500〜80000だとどうですか? k=554299747212,n=3212301098855
でも出力できたよ
ためしてごろうじろう >>291
k>15だとすべて4/3より大きい値しかでないからアウト。何入れてもだめ。
>>292
n = 3〜100までいれて全滅の式にそんな値いれても糞の意味もない。 正確に一致しなくてもどちらが勝者になるかが
わかればいいと思う
k=5723457754299747212,n=3212301098855でも
出力できたぞ 3x4 の部屋で宝箱2個の場合は p, q の勝ちが 26,27だっけ
>>204
> =(n+1)(n^2+2n−1−k)/{n^2(n+2)−nk}
宝箱の数 k=1のとき p の勝ち数 = q の勝ち数になるけど、
上記の式は
= (n+1)(n^2+2n-2) / {n^2(n+2)-n}
= (n^3+3n^2-2) / (n^3+2n^2-n)
だから間違ってるね
というか式の導出過程がどの1ステップも論理的じゃないから検算する必要もないんだけど >>286
>あのようなσやδを含む式を整理する数式処理ツールがあったとは驚きです。
σを処理できないから>>195-196、δを処理できないから>>196-197を人手で行っている
SageMathにやらせているのはn乗の和の公式さえあれば高校生ができる計算
>二個で可能だったのだから、もっと多くの場合でも、可能なんでしょうね。
>>196-197のsubs({m:n+1,c:2})の2を3に変えれば宝が3個の場合の多項式が得られる >>295
k=17456619251,n=132123でちゃんと1が出力される
さすが >>294
あほか?n=3〜100で正しい数値出してない式になんの信憑性がある?
正しい答え出なきゃなんの意味もない。 >>284
>>195-196のPythonをHaskellにすればいい
Haskellにもリスト内包表記があるんだから >91で
読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。
と書いたが犠牲者が出ているようだな。 間違えること自体は悪いことじゃないから、間違えたことがわかれば間違えたと書いておくか
そのまま消えてしまうだけで別にかまわないのに。 なにが無駄ってこいつ
>>204
>計算知能にそのまま入力するだけで通分と約分を
>自動計算してくれるので試してごろうじろう
>
>■Wolfram入力例
>
>(n+1)(n^2+2n−1−k)/{n^2(n+2)−nk},k=2,n=3
ってわざわざ全角で書いてコピペで入力できなくできないようにしてくれてる所。
wolfram 日本語版だけは全角でも入力できるけどその他のツールは全滅。
いちいち半角に打ち直さんといかん。
脳みそ1ccしかないんちゃうかと。 >>302
俺は>205の助言の意味が分かったので>204のidを速攻でNGidに登録したよ。
日本製のエディタには全角半角変換できるのがあるよ。
例えば、http://mana.ikuto.com/ f(x)=-x²+ax+bがあり, y=f(x)は点(-2,1)を通る。
x∈[-3,3]で動くとき最大値Mと最小値mを, aについて次の2つ場合分けすることによって与えよ。
(1)a≧??のとき,
x=3でM=??a-??,
x=-3でm=-??a-??
(2)a≦??のとき,
x=-3でM=-??a-??,
x=3でm=??a-??
となっているのですが、これで場合分けは足りているのですか? いや、そもそも数学の掲示板で数式全角で書いてる時点でアホだよ。
あとで数式コピペしてソフトに貼り付けるなんて普通にするじゃん。
* はさすがに見苦しいから我慢するけど、全部大文字にするのは意味わからん。
しかも
>計算知能にそのまま入力するだけで通分と約分を
>自動計算してくれるので試してごろうじろう
といいながらだよ?
アホじゃね? >>299
御助言にしたがってHaskellに移植しました。
import System.Environment
choose (n,r) = product[1..n] `div` product[1..n-r] `div` product[1..r]
nloc m n k l = do
let q = div (n*k+l) m
r = mod (n*k+l) m
in (n-q)*(m-k) + q-1-l + if r>k then k-r else 0
nwin m n c = sum[choose ((nloc m n k l), c-1) | k<-[0..m-1], l<-[0..n-1], k*(n-1) < l*(m-1)]
mwin m n c = sum[choose ((nloc n m k l), c-1) | k<-[0..n-1], l<-[0..m-1], k*(m-1) < l*(n-1)]
draw m n c = choose(m*n,c) - nwin m n c - mwin n m c
main = do
argList <- getArgs -- m : 縦マス(短軸) n : 横マス(長軸) k : 宝の数
let m = read (argList !! 0)
n = read (argList !! 1)
k = read (argList !! 2)
putStrLn $ "p1st = " ++ show(mwin m n k) ++ ", q1st = " ++ show(nwin m n k) ++ ", draw = " ++ show(draw m n k)
おかげ様でこういうのも瞬時に計算してくれました。
10×20マスで宝が100個
>takara 10 20 100
p1st = 15057759425309840160151925452579572328997602171271937639470, q1st = 15057796557877993527038542474310161591275806044157319150135, draw = 60432921540347294111327092128863840691952977587098698541050 >>305
数学板は例外かもしれないが、マクロウイルスが貼られるのの予防か半角で投稿すると拒絶されることがあるな。
httpを貼ろうとするとはねられるときには全角にすることもあるな。まあ、数文字大文字に留めるけど。 >>304
誰も答えていないしみんな困ってるんだと思うが、すべての場合を調べているわけではない、と考えればいいだけの話。
というかそうとしか捉えられないw >>305
P(A)をP(B)で割ることによって
P君の勝つ数とQ君の勝つ数が導ける
P(A)/P(B)=(P君の勝つ数)/(Q君の勝つ数)
{n(n+2)−k−1}/{n^2(n+1)−kn}
P(A)/P(B)=――――――――――――――――――――
{n(n+2)−k}/{n(n+1)^2−k(n+1)}
=(n+1)(n^2+2n−1−k)/{n^2(n+2)−nk}
∵[n≧2,n(n+1)−1>k≧1]
∵の範囲でnとkの数値をいろいろと変えることにより
様々な勝率が導ける
計算知能にそのまま入力するだけで約分を
自動計算してくれるので試してごろうじろう
■Wolfram入力例
(n+1)(n^2+2n−1−k)/{n^2(n+2)−nk},k=2,n=3
(n+1)(n^2+2n-1-k)/{n^2(n+2)-nk},k=2,n=3
スタート地点のAマス以外のすべてのマスに
宝がある状態であるk=n(n+1)−1の時、
必ずP(A)/P(B)=1になる
k=n(n+1)−1の時にP(A)/P(B)≠1となるnを
見つけることができれば反例になる
見つけてごろうじろう a,b,cは自然数とする。
このとき、以下の不等式を満たす(a,b,c)が存在するような自然数Nの最大値を求めよ。
N≦a^2+b^2+c^2≦2018 >>306
タイプミスで draw が間違ってますよ >>312
ご指摘ありがとうございました。
× draw m n c = choose(m*n,c) - nwin m n c - mwin n m c
○ draw m n c = choose(m*n,c) - nwin m n c - mwin m n c >>306
ご指摘を受けたのでデバッグしたのを投稿します。
import System.Environment
choose (n,r) = product[1..n] `div` product[1..n-r] `div` product[1..r]
nloc m n k l = do
let q = div (n*k+l) m
r = mod (n*k+l) m
in (n-q)*(m-k) + q-1-l + if r>k then k-r else 0
nwin m n c = sum[choose ((nloc m n k l), c-1) | k<-[0..m-1], l<-[0..n-1], k*(n-1) < l*(m-1)]
mwin m n c = sum[choose ((nloc n m k l), c-1) | k<-[0..n-1], l<-[0..m-1], k*(m-1) < l*(n-1)]
draw m n c = choose(m*n,c) - nwin m n c - mwin m n c
main = do
argList <- getArgs -- m : 縦マス(短軸) n : 横マス(長軸) k : 宝の数
let m = read (argList !! 0)
n = read (argList !! 1)
k = read (argList !! 2)
putStrLn $ "p1st = " ++ show(mwin m n k) ++ ", q1st = " ++ show(nwin m n k) ++ ", draw = " ++ show(draw m n k) >>304
変な問題だけど、次の2つの場合、すなわち
・x=3のとき最大、x=-3のとき最小 (a≧6のときか?)
・その逆 (a≦-6のときか?)
に分けて??を埋めよという問題なのだろうから、
その2つのときだけ考えて答えれば良いのではないだろうか
「分けて」ってのが変だよね
次の2つの場合について、ならわかるんだけど。 俺の最大の夢は、「「無」になってもう二度と「有」にならない」ことだ。
どうすればこれを実現できるのでしょうか?
自殺をしても無駄なのでしょうか? 高専2年
行列の固有値と対角化
(4)が全然わかりません
よろしくお願いします
https://i.imgur.com/fxbCChT.jpg 先に1個めの宝を見つけるには短軸探索と長軸探索とどちらが有利かは宝の数によって変わるのでグラフにしてみた。
縦5横6のとき宝の数を1から30まで増やして長軸探索が先にみつける確率と短軸探索がさきにみつける確率の差を描いてみた。
http://i.imgur.com/7qGjOJX.png
縦5横6のときだと宝の数は9から21のときが長軸探索が有利となった。
短軸有利→長軸有利→同等となるようで、再逆転はないもよう。
縦m横m+1として長軸探索が有利になる宝の数の上限と下限を算出してみた。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
[1,] 0 2 2 6 9 13 17 23 29 36 43 52 61 71 82 93 105 118 132 147
[2,] 0 3 7 13 21 31 43 57 73 88 105 118 135 152 166 185 202 220 242 253
グラフにしてみた。
http://i.imgur.com/PiL9xyH.png >>311
直感の概算 (a,b,c)=(40,20,4) N=2016
微調整 (a,b,c)=(44,9,1) N=2018
なんか問題を勘違いしてるかな? >>311
a=44,b=9,c=1のとき2018-a^2-b^2-c^2=0
2018-a^2-b^2-c^2,a=44,b=9,c=1
∴N=2018 N=2018
(a,b,c)=(44,9,1)、(43,12,5) 2018-a^2-b^2-c^2,a=41,b=16,c=9
∴N=2018 (44,9,1)
(43,12,5)
(41,16,9)
(35,27,8)
(34,29,11)
(33,23,20) a=36,b=19,c=19
a=35,b=28,c=3
a=35,b=27,c=8
∴N=2018
>>324
(34,29,11)は違う 計算機実験は大事だと思うけどダンプリストみたいなの延々載せられてもなんかもにょる。 >>317
17.27 正則行列A = { [a,0,0] [0,b,c] [0,c,b] } について,次の問に答えよ。(九大*)
(1) 行列Aの逆行列A^(-1) の (2,3) 成分を求めよ。
(2) Aの固有値を求めよ。
(3) A^2 = { [4,0,0] [0,0,2i] [0,2i,0] } を満たす a,b,c の値を求めよ。iは虚数単位。
(4) nを自然数とし,A^n (i,j)は行列A^n の(i,j)成分を表わすものとする。
そのとき、A^n (2,2) + A^n (3,2) を n, b, c を用いて表わせ。 >>317,327
a[n] = a^n、b[n] = ((b+c)^n + (b-c)^n)/2、c[n] = ((b+c)^n - (b-c)^n)/2とおいて
A^n = [[a[n],0,0],[0,b[n],c[n]],[0,c[n],b[n]]]、
[1,0,0]A = a[1,0,0]A、[0,1,1]A = (b+c)[1,0,0]、[0,0,1]A = (b-c)[1,0,0]A。
(1) c[-1]。
(2) a,b+c,b-c。
(3) a^2=4 ⇔ a=±2、
(b+c)^2 = 2i、(b-c)^2 = -2i ⇔ (b,c) = (1, i)、(-1, -i)、(i, 1)、(-i, -1)。
(4) b[n] + c[n] = (b+c)^n。 >>317 >>327
(1)
det(A) = a(bb-cc),
A^(-1) = { [1/a,0,0] [0,b/(bb-cc),-c/(bb-cc)] [0,-c/(bb-cc),b/(bb-cc)] }
(2)
det(A-λE) = det{ [a-λ,0,0] [0,b-λ,c] [0,c,b-λ] }
= (a-λ)(b-c-λ)(b+c-λ)
∴ λ = a,b±c,
(3)
A^2 = { [a^2,0,0] [0,bb+cc,2bc] [0,2bc,bb+cc] }
∴ a = ±2,(b,c) = (0,±(1+i)) (±(1+i),0)
(4)
A^n = { [a^n,0,0] [0,f_n,g_n] [ 0,g_n,f_n] }
ただし、f_n = {(b+c)^n + (b-c)^n}/2, g_n = {(b+c)^n - (b-c)^n}/2,
(f_n)^2 - (g_n)^2 = (bb-cc)^n,
あとは自分で考えて >>311
Nの最大値は2018
顰蹙のプログラム解
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..45],b<-[a..45],c<-[b..45], a^2+b^2+c^2==2018]
[(1,9,44),(3,28,35),(5,12,43),(8,27,35),(9,16,41),(19,19,36),(20,23,33)] >>326
そこから規則性が見いだせれば理論はあとからついてきたりすることもあるからね。
コラッツの問題みたいに未決のままのもあるけど。 ここでコード書いてるやつは規則見出して解くなんて気持ちサラサラないやろ?
プログラム書いて遊んでるだけ。
数学的な解出てもガン無視してるし。 処理速度が不十分なインタープリタでのコードをコンパイラのコードに移植してくれるのはとても勉強になるので嬉しいね。
>312のような指摘もとてもありがたい。 遊ぶなら自分一人でやってればいいのにね。
こんなんできた〜ってひけらかしたいんだろ? PCでのシミュレーション解を越えた解析解が出たら
それを検証して解析解をPCでの計算に応用。
おかげで>142から>314に進化できた。
プログラミングのトレーニング課題を与えてくれた方に深謝。
引き分けのバグ指摘にも感謝。
数理展開が勉強になるようにコードの議論も俺には嬉しい。
このスレではじめてHaskellの存在を知った初心者なので>299のような適格なアドバイスは嬉しいね。 nを自然数、aを実数とするとき、
x^2-(4n-3)x+a/(n^2+n+1) ≦ 0
を満たす整数xが存在するためにn,aが満たすべき条件を述べよ。 aのb乗×cのd乗=abcd
abcdに当てはまる数字は?
※答は1通りしかないようです。 >>338
aとcで割れば?
細かい条件は自分でやって >>338
1を許すと沢山ある(1,1,1,1),(1,1,2,1),(1,1,2,2),(1,1,3,1),(1,1,4,1),(1,1,5,1),(1,1,6,1).....けど
(2,2,2,2)が答? Prelude Data.Ratio> [x | a<-[0..9],b<-[0..9],c<-[0..9],d<-[0..9],let x = 1000*a + 100*b+10*c + d, x == a^b*c^d]
[2592] >>343 訂正
× a^b+c^d=1000a+100b+10c+d
○ (a^b)*(c^d)=1000a+100b+10c+d >>344
これまた顰蹙のダンプリストw
Prelude> [(a,b,c,d)|a<-[1..10],b<-[1..10],c<-[1..10],d<-[1..10],a^b*c^d==1000*a+100*b+10*c+d]
[(2,5,9,2)] >>345
失礼しました
>342のコードが正しい >>327
>(4) nを自然数とし,A^n (i,j)は行列A^n の(i,j)成分を表わすものとする。
> そのとき、A^n (2,2) + A^n (3,2) を n, b, c を用いて表わせ。
元の質問者の方向きに解き方の解説
行列のn乗の計算は
A を A’ = P ^-1 A P (A’ は対角行列) と対角化して
A’^n = (P ^-1 A P)^n
⇔ A’^n = P ^-1 A^n P
⇔ P A’^n P^-1 = A^n
ここでA’ は対角行列なので
A’^n は各要素をn乗するだけという流れ
問い (1)〜(3) は対角化の仕方を調べているうちにわかると思うので略 (1/x)*ln(1+x)>1+ln(2/(x+2)),
x>0
のときの証明方法を教えて下さい >>295
4マス3行(3ターン)と3マス4列(4ターン)で一つの宝と出くわす
確率は同じにならない
■3マス4ターンで少なくとも一つの宝と出くわす確率は
#A=3^4−2^4=65なので
P(A)=65/81
■4マス3ターンで少なくとも一つの宝と出くわす確率は
#B=4^3−3^3=37なので
P(B)=37/64
∴P(A)>(B)
∵P(A)=65/81=0.802
∵P(B)=37/64=0.578 ジョーカー11枚とハートのエース1枚が入った12枚の
トランプカードをよくシャッフルする
この山札から1ターン3枚を4回ですべて引くのと
1ターン4枚を3回ですべて引く場合も同じ この人確率の問題好きなんだろうね。
しょっちゅう確率の問題に手を出してる。
しかし一度たりとも正解の数値と合ってる式出した事ない。
まぁ本人自分の出した答えが間違ってる事すら理解出来てないのである意味で幸せなのかもしれない。
苦労して立式して合うはずの答えが何故か合わないあの苦々しさに耐えないで済むんだから。 >>352
1ターン3枚を4−1回で引く時に
ハートのエース1枚が出る確率は
P(A)=1−(3/4)(2/3)(1/2)=3/4
1ターン4枚を3−1回で引く時に
ハートのエース1枚が出る確率は
P(B)=1−(2/3)(1/2)=2/3
∴P(A)>(B) 3x4の合計12マスに宝を一つだけ設置した時に
3列x4ターンと4行x3ターンの探査で同じ確立になるという
計算式をお願いします<(_ _)>
■■■■
■■□■
■■■■ >>337
だれかこれをお願いします。
nが自然数なので2次不等式を解いてもあまり上手くいきそうにありません >>356
x = 2n-1で成立
⇔ 4*n^4−2*n^3−4*n+2 ≧ a >>357
ありがとうございます
1つの例ではなくて必要十分な形で占めしていただけませんか それで必要十分条件だろ
x^2-(4n-3)x+a/(n^2+n+1) ≦ 0 ... (1)
左辺は x=2n-3/2 のとき最小、
整数の範囲では x=2n-1 または x=2n-2 で最小値
(a - 4n^4+2n^3+4n^2-2n) / (n^2+n+1) となる
この式の分母は正なので分子が0以下なら(1)を満たす >>143 >>194 〜 >>198 >>203 >>282 >>299
立山秀利「入門者のPython」講談社BlueBacks (2018/Sep)
398p.1404円
http://bookclub.kodansha.co.jp/product?item=0000275970
【執筆時に使用した環境】
・Microsoft Windows 8.1 および 10
・Python version 3.6
・Anaconda 5.2 for Windows
・Spyder 3.2.8
上記以外の環境でご利用の場合、本書の解説どおりに操作を行えない可能性があります。予めご了承ください。
本書に掲載されている情報は、2018年8月時点のものです。実際にご利用になる際には変更されている場合があります。
【サポートページ】
http://tatehide.com/bbpython.html 赤いビックリマーク以後の行がよくわかりません
4^k+1を4×4^kと見なすことで
成り立つと仮定された不等式を援用して新たな不等式を考えているらしいことはわかりますが
どう計算したら24k-5>0になるのかがわかりません
4^k-(8k+1)
https://i.imgur.com/JzIyFJd.jpg k≧3
24k≧72
24k-5≧72-5=67>0 ...やっとわかりました
0より大きい24k-5よりもさらに両辺の差は大きいのでもちろんそれは0より大きく、よって不等号の正しさが証明されていたのですね
二回両辺の差を考えようとしてどうしても24k-5が作り出せず混乱していました
ありがとうございました 解析的整数論専攻で有名な教授って誰がいますか?雪江明彦氏以外で知ってる方いたら教えてください 微分方程式が解けませんでした。どなたかお願いします。
y'+(x^2)y=1 3×4=12マス、宝1個のみ
□■■■ ■■■■
■■■■ ■■■■ PとQが同時に見つける
■■■■ ■■■□
■■■■ ■■■■ ■■■■ ■■■■ ■■■■
□■■■ ■■■■ ■□■■ ■■■■ ■■■■ Pが先に見つける
■■■■ □■■■ ■■■■ ■□■■ ■■□■
■□■■ ■■□■ ■■■□ ■■■■ ■■■■
■■■■ ■■■■ ■■■■ ■■□■ ■■■□ Qが先に見つける
■■■■ ■■■■ ■■■■ ■■■■ ■■■■ ABCD
EFGH
IJKL
のように命名すると
縦:m 横: 宝:k での配置を列挙するコードは既出。数値を変えて実行可。
http://tpcg.io/X3bC0A >>371
配置の列挙は確率ではありませんよ
宝が一つの時、縦探査のP君が決して取れない宝は2マス
□□□■
□□□■
□□□□
宝が一つの時、横探査のQ君が決して取れない宝は3マス
□□□□
□□□□
■■■□
決して宝を取れないマスが一マス多いQ君が
P君と同じ確立になるのはなぜ? P君とQ君が決して取れない宝がある列と行のマス数ね この状態で計算式を作ると
P(A)=1−(3/4)(2/3)(1/2)=3/4
P(B)=1−(2/3)(1/2)=2/3
∴P(A)>(B)
>>354と同じ >>371
P(短軸探索)が先、Q(長軸探索)、同時 の配置を表示するスクリプトを書いてみた。
数値を変えて実行できる。
m:短軸 n:長軸 k:宝の数
http://tpcg.io/1woIN1
P1st Q1st even
26 27 13
P (= long axis searcher) finds first.
■ ■ □ ■
□ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■
■ ■ ■ □
□ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■
■ ■ ■ □
■ ■ ■ ■
□ ■ ■ ■
以下略、 >>376
5x6で宝が2個のとき
P1st Q1st even
203 197 35
引き分けになる配置は35通り、3例ほど挙げるとこんな感じ
とても手作業で列挙する気にはならん。
■ ■ ■ ■ □ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
□ ■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
■ ■ □ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
■ □ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ □ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■
■ □ ■ ■ ■ ■ >>367
y(x) = u(x)e^(-xxx/3)
を与式に入れると
du/dx = e^(xxx/3),
u(x) = u(0) + ∫[0,x] e^(ttt/3) dt,
y(x) = e^(-xxx/3) {y(0) + ∫[0,x] e^(ttt/3) dt },
かな y = ∫0→x xy dx
この方程式が解けません
教えて下さい 確率1/3のくじを1回ひくのと確率1/9のくじを3回ひくのでは、
当たりをひく確率は同じですか?
複数回ひく場合でも前にひいたくじがなくなる訳ではなく
毎回同じ確率で抽選されるという仮定の場合です 1/9^3で3回当たり
24/9^3で2回当たり
192/9^3で1回当たり
8^3/9^3で全て外れ
「一回でも当たる確率」は、(1+24+192)/9^3 = 217/9^3 = 1-(8/9)^3 < 243/9^3 = 1/3
なので、当選確率1/3のクジを一回引くのより小さい
しかし、「当たる回数の期待値」は
(3*1+2*24+1*192)/9^3=(3+48+192)/9^3=243/9^3=1/3
なので、当選確率1/3のクジを一回引くのと同じ >>372
離散量の確率は場合の数をいかに効率的にカウントするかによるね。
手作業だと漏れがでるからプログラムの利用は必須
>377参照。
投稿前に自分でシミュレーション検証して投稿すれば、
>302のように こいつ 呼ばわりされなくて済むんだけどね。
自分で算出した値が別の言語の算出結果と一致したと投稿されるとシミュレーションの正しさが確認できていいね。
俺が鈍足のRコードのをだすと高速のcが投稿されたり、解析解が投稿されて数理とプログラム論理の勉強になって嬉しいね。 >>383
顰蹙のシミュレーション検証
100万回シミュレーションして頻度をだしてみた
確率1/3のくじを1回ひく
> mean(replicate(k,sample(x,1))
[1] 0.333435
確率1/9のくじを3回ひくのでは、)
> mean(replicate(k,sum(sample(y,3))))
[1] 0.333176 1見学者からのお願いだけど、NGリスト入りしてそうなネタに関連する話と
普通の話は出来れば >>388続き
普通の話とは出来ればわけておいてほしいな、と思う ここの国では硬貨は7種類流通しています
この7種類の硬貨を使って1円〜70円の70通りの支払いができます
ただし一度に使用できる硬貨は3枚以下(同じ硬貨2度使いは可)です
7種類の硬貨はそれぞれ何円だったのでしょうか? とりあえず分かったこと
最低額は1円、最高額は24円以上 たぶん3度使いも可だと思う
不可だと無理なんじゃね? 知らんけど >>385
3x4の12マスで宝が一つだけの時、
P君とQ君は互いに最終列と最終行の宝は
取ることができない
□□□■
□□□■
□□□□
□□□□
□□□□
■■■□
つまり、P君の探査範囲は縦3マスx3列
Q君の探査範囲は横4マスx2行になる
それぞれの探査範囲内でP君とQ君が
少なくとも一つの宝を見つけるという
事象Aと事象Bを考える
P(A)/P(B)=(P君の勝つ数)/(Q君の勝つ数)
∴P(A)/P(B)={1−{n/(n+1)}^n}/{1−{(n−1)/n}^(n−1)}
n=3のとき、P(A)/P(B)=333/320
互いの最終列と最終行にある宝の取れないマスが一つ多い
Q君よりもP君のほうが僅かに確率が上がることが
如実に示される
■Wolfram入力例
{1−{n/(n+1)}^n}/{1−{(n−1)/n}^(n−1)},n=3
{1-{n/(n+1)}^n}/{1-{(n-1)/n}^(n-1)},n=3 たった66通りしかないのによくずっと正解を避け続けられるものだな… >>394
もちろんいいけど、解が2組以上もあるとは思えないというのが最初の直感
こちとらヒントを見ても、さっぱり分からん >>390
1, 4, 5, 15, 18, 27, 34 かな? >>398
素晴らしい❗
Prelude Data.List> filter (<=70) $ let x = [0,1,4,5,15,18,27,34] in nub$sort$[a+b+c | a<-x,b<-x,c<-x]
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70]
Prelude Data.List> length $ filter (<=70) $ let x = [0,1,4,5,15,18,27,34] in nub$sort$[a+b+c | a<-x,b<-x,c<-x]
71 やっと(頭の中での)検算が終わったw
(1,4,5)は全くの盲点だったわ >>395は数学的な意味の確率を理解したいわけでも、計算できるようになりたいわけでもないんだろう。
まぁ確率なんか計算できなくても社会生活困るわけでもないし。
なんとなく割り算して、それで楽しいならそれでいいのかなと思う。 トランプの山からA君とB君が交互に1枚ずつ引いて
先にジョーカーを引いたほうが勝ちとする
(引いたカードは山に戻さない)
@トランプ52枚 + ジョーカー1枚
Aトランプ52枚 + ジョーカー2枚
先攻勝率は@Aで同じ 27/53
後攻勝率は@Aで同じ 26/53
不思議だと思わない?(計算めんどい) >>350
これはクリプテックスの確率だった
>>374よりも精度を上げることができた pを素数とする。
-p(a+b)+p^2ab+1=0
pa+b=pb
を満たす整数の組(a,b)が存在するかどうか判定せよ。 y = ∫0→x ∫0→x y dx
y(0)=0
この方程式はどのように解けばいいですか?
答えもお願いします 間違えました
こうです
y = ∫0→x ∫0→x y dxdx
y(0)=0 y = ∫0→x ∫0→x y dxdx
y(0)=0
dy(0)/dx=0
初期条件抜けてました >>390 >>398
1枚だけで可能 … 1,4,5,15,18,27,34
2枚で可能 … 2,6,8〜10,16,19,20,22,23,28,30〜33,35,36,38,39,42,45,49,52,54,61,68
残り … 3,7,11〜14,17,21,24〜26,29,37,40,41,43,44,46〜48,50,51,53,55〜60,62〜67,69,70 >>407
与式 → y(0) = 0,
xで微分すると
y '(x) = ∫[0,x] y(t) dt → y '(0) = 0,
もう一度xで微分すると
y "(x) = y(x),
これより
y(x) = a・e^x + b・e^(-x)
y(0) = a+b = 0,
y '(0) = a-b = 0,
∴ a=b=0
y(x) = 0
>>408
初期条件を付記する必要はありません。(式から出ます。) >>367 >>378
|x| が小さいところでは、マクローリン展開より
y(x) = e^(-xxx/3){y(0) + ∫[0,x] e^(ttt/3) dt}
= e^(-xxx/3) y(0) + x + Σ[k=1,∞] (-1)^k /{4・7・・・・(3k+1)} x^(3k+1) >>398
これはどうやって出されたのですか?
組み合わせは1,198,774,720通りなので総当たりは断念しました。 >>399
表示可能な数字は
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,72,73,76,79,81,83,86,88,95,102]
で71は無理だな。 >>412
私は 398投稿者ではありませんが、次のプログラムで答が出せます。
単純に、C[70,7]通りとはせず、ある程度変数の範囲を押さえ込むことがこつかも。
void next(int depth,int *x){
if(depth<7){
int i,is=x[depth-1]+1,ib=x[depth-1]*3+1,ie=ib<70?ib:70;
for(i=is;i<=ie;i++){x[depth]=i;next(depth+1,x);}
}else{
int i,j,k,mem[211],flag;
for(i=1;i<211;i++)mem[i]=0;
for(i=0;i<7;i++){mem[x[i]]++;mem[2*x[i]]++;mem[3*x[i]]++;}
for(i=0;i<6;i++)for(j=i+1;j<7;j++){mem[x[i]+x[j]]++;mem[2*x[i]+x[j]]++;mem[x[i]+2*x[j]]++;}
for(i=0;i<5;i++)for(j=i+1;j<6;j++)for(k=j+1;k<7;k++){mem[x[i]+x[j]+x[k]]++;}
for(i=1,flag=1;i<71;i++)if(mem[i]==0)flag=0;
if(flag==1)printf("%d,%d,%d,%d,%d,%d,%d\n",x[0],x[1],x[2],x[3],x[4],x[5],x[6]);
}
}
int main(){int x[7];x[0]=1;next(1,x);return 0;}
http://codepad.org/ZhDv5l7X >>414
いつものcでの高速解をありがとうございます。
他の組合せがないことがわかって助かりました。 y "(x) = y(x)^(-2)
何度もすみません
これはどんなふうに解けばいいですか? y"-1/y^2=0 から 0=2y'(y"-1/y^2)=2y'y"-2y'/y^2=(y'^2+2/y)' として
エネルギー積分 y'^2+2/y=C を求め、変数分離形の公式通りに
∫ dy/√(C-2/y)=∫ dt=t とする 1 3 7 13 22 34
を一つの数式で表すとどうなりますか? α,β,γ,δはαδ-βγ=1, |α|≦|β|≦|γ|≦|δ|を満たす複素数である。
(1)この4つの複素数全てについて、その実部と虚部が共に整数となる例を1組挙げよ。
(2)(1)において、4つの複素数のいずれも0でないことはあるか。 >>421
(3)少なくとも1つが実数でなく、その絶対値が1でないようなa,b,c,dはあるか。 1+I,1+2i,1001(1-2i),2503(1+i) 5移行で一致しない
1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
を一つの数式で表すとどうなりますか? >>419 >>426
a_n = Σ(k=1,n+1) [kk/4]
生成関数は x/{(1+x)(1-x)^4}
1, 3, 7, 13, 22, 34, 50, 70, 95, 125, 161, 203, 252, 308, 372, 444, 525, 615, 715, …
http://oeis.org/A173196 数列に関してですが
Sn=1+3・2+5・2^2・・・+(2n-1)・2^n-1の問題で
Snを掛ける2してSn-2Snで引くまではわかったんですが、
Sn-2Snで引いた-S=1+2・2+2・2^2+・・・ 2・2^2n-1-(2n-1)・2^nから
2+2^2+2^3・・・+2^n-(2n-1)・2^-1←この一番最後にある「-1」がなぜ付いてるのかがわからないんですがなぜこうなってるんでしょうか?
お願いします >>428
おお、これは助かりまする
1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615
事前準備と見事に一致 >>419 >>426
2つの数式で書けば
a_{2m} = m(m+1)(4m+5)/6,
a_{2m+1} = (m+1)(m+2)(4m+3)/6
蛇足だけど。
http://oeis.org/A002623 >>419 >>426
1つの数式で書けば
a_n = Σ(k=1,n+1) [kk/4] = [ (n+1)(n+3)(2n+1)/24 ],
http://oeis.org/A002623 >>429
r≠1 とする。
S_n = Σ[k=1,n] (2k-1)・r^(k-1),
r・S_n = Σ[k=1,n] (2k-1)・r^k = 1 + Σ[k=1,n+1] (2k-3)・r^(k-1),
辺々引くと
S_n - r・S_n = -1 + 2Σ[k=1,n] r^(k-1) - (2n-1)・r^n
= -1 + 2(r^n - 1)/(r-1) - (2n-1)・r^n,
以下略 >>433
2+2^2+2^3・・・+2^n-(2n-1)・2^n-1←でしたすいません >>417なんですが
両辺を二乗して
(y "(x))^2 - 1 = 0とし
y "(x) = ±1
を特性方程式を作って後は解くだけでよいでしょうか? さすがに微分方程式の本で簡単なものを買った方がいいように思える 1たす1は2
101たす102は3
8たす1は1
では2たす2は? >>438
いろんなサイト見てるんですけど>>417のような問題が無くて解けないんです
よかったらヒント下さい 今紙ないから確認できないけど>>417は両辺y’かけて積分したらいけそうな気がする。 >>98
完全追尾型多項式が完成しました
宝の個数を2で固定します
P1st ={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48
Q1st ={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48
■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意
P1st/Q1st
={8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}}+1 >>442
>>161に正しい答えがあるよ
わかりにくいなら最後の辺りだけ見て
P1st は nが奇数の時P1偶数のときP2
Qも同様 >>414
C[70,7]通りのRのスクリプトを書いてみた。
正確にはC[70,8]*C[8,3]=528659651520通リwww
他の言語に移植する人いるかなぁ?
is.1_70 <- function(x){
total=NULL
for(i in x){
for(j in x){
for(k in x){
ijk=i+j+k
if(!(ijk %in% total)) total=append(total,ijk)
}
}
}
all(1:70 %in% total)
}
M=69
for(a in 0:M){
for(b in a:M){
for(c in b:M){
for(d in c:M){
for(e in d:M){
for(f in e:M){
for(g in f:M){
for(h in g:M){
y=c(a,b,c,d,e,f,g,h)
if(is.1_70(y)) print(y)
}
}
}
}
}
}
}
} >>445
Haskellに移植。
とりあえずコンパイルエラーは出なかった。
朝までに計算が終わるかどうかは不明。
import Data.List
m = 69
sub x = do
let ijk = filter (<=70).nub $ sort [i+j+k| i<-x,j<-x,k<-x]
all (\y -> elem y ijk ) [0..70]
main = do
print $ [(b,c,d,e,f,g,h)| b<-[0..m],c<-[b..m],d<-[c..m],e<-[d..m],f<-[e..m],g<-[f..m],h<-[g..m],sub [0,b,c,d,e,f,g]] やや速度改善。
import Data.List
firstUnavailable x = let y = 0:x in head $([1..71] ¥¥)$nub$sort$[a+b+c|a<-y,b<-y,c<-y]
next x = [n:x|n<-[head x+1..firstUnavailable x]]
xss = iterate (¥xs->concat [next x|x<-xs]) [[1]]
isGood x = let y = 0:x in (==70)$length $intersect [1..70]$nub$sort$[a+b+c|a<-y,b<-y,c<-y]
main = do
print [x|x<-(xss !! 6),isGood x] >>446
-- 最終行にhが抜けてたので修正。
import Data.List
m = 69
sub x = do
let ijk = filter (<=70).nub $ sort [i+j+k| i<-x,j<-x,k<-x]
all (\y -> elem y ijk ) [0..70]
main = do
print $ [(b,c,d,e,f,g,h)| b<-[0..m],c<-[b..m],d<-[c..m],e<-[d..m],f<-[e..m],g<-[f..m],h<-[g..m],sub [0,b,c,d,e,f,g,h] >>447
いつもありがとうございます。
お見事に算出されました。
*Main Data.List> :main
[[34,27,18,15,5,4,1]] これ以上かくと多分うざいのでラスト。やや速度改善。
import Data.List
firstUnavailable x = let y = 0:x in head $([1..] ¥¥)$nub$sort$[a+b+c|a<-y,b<-y,c<-y]
next x = [n:x|n<-[head x+1..firstUnavailable x]]
xss = iterate (¥xs->concat [next x|x<-xs]) [[1]]
isGood x = (>70) $ firstUnavailable x
main = print [x|x<-(xss !! 6),isGood x]
自宅のパソコンだとghc -O2 で22秒でおわったけどcodepadだとTimeoutした。 1000枚の1円玉の中に1枚だけ両面とも表の1円玉がある。
この中から1枚だけ選んで10回投げたところ、10回連続で表が出た。
このとき、この選ばれた1円玉が両面表である確率は
普通の1円玉である確率より高い?低い? >>449
ghciでやったんだ。流石にその勇気はなかったww 最大価値のコインの価値が1枚35円以上だと、残りの
6種のコイン2枚以下で34円まで表せないといけない
逆に6種を2枚以下で34円まで表せるなら1枚35円の
コインを追加した7種が3枚までで70円まで表せる。
よってまず6種2枚までで1〜34円が全て表せるかを調べて、
それが無理ならコインの価値は最大34円までと限定できる
この先も上から攻めていけば多少探索範囲を限定できると思うが定かではない >>453
>最大価値のコインの価値が1枚35円以上だと、残りの
>6種のコイン2枚以下で34円まで表せないといけない
この部分はアプリオリではないか
正しいような気はするが少なくとも数行では証明できなさそう >>451
P(本物|10連続表)
=P(本物&10連続表)/P(10連続表)
=999/1000・1/1024/P(10連続表)
=999/1024/P(10連続表)/1000
P(偽物|10連続表)
=P(偽物&10連続表)/P(10連続表)
=1/1000・1/1/P(10連続表)
=1/P(10連続表)/1000
∴ P(本物|10連続表)<P(偽物|10連続表) >>441
y"(x) = y(x)^(-2)
以下より(x)を省略
(y'^2)' = 2y'y"
(y^(-1))' = -y(x)^(-2) * y'
ここで
y" = y^(-2)の両辺にy'をかけて
y"y' = y(x)^(-2) * y' となり
1/2 * (y'^2)' = - (y^(-1))'
(y'^2)' = (-2y^(-1))'
故に y'^2 = -2y^(-1)
ここまではあってますか?
ここから先が解けるかどうかわかりませんがもう少し考えてみます >>455
なるほど、スッキリした
@ P(本物&10連続表)=(999/1000)*(1/1024)
A P(偽物&10連続表)=(1/1000)*(1)
@:A=999:1024
P(本物|10連続表)=@/(@+A)=999/2023
P(偽物|10連続表)=A/(@+A)=1024/2023 1024枚以下なら結論は変わらずで
1025枚以上から結論が逆になるんだな 1000人に1人の予言者を探すなら10回では足らず20回は当て物させて確かめないとだめってことだな >>417 >>456
故に (y ')^2 = c - 2/y,
ですね。cは積分定数です。
そこから先は xをyの関数と見て
x = ∫(1/y ') dy
= ∫√{y/(cy-2)} dy
= (1/c)√{y(cy-2)} + {2/c^(3/2)}・log[c√y + √{c(cy-2)} ] + c'
のような式になり、逆関数を求めるのは難しい。
・用途
クーロン散乱・ラザフォード散乱で正面衝突する場合(θ=0)とかに使えるかなぁ。 辺々 y' かけて wolfram alpha に
y'' * y' = 1/ y' とか y'' * y'^2 = 1
と入力したら答えでるね
それによると
y'(x) = v(x) とおけば
v' * v^2 = 1
積分して
v^3 / 3 = x + c
以下略 >>459
コインを1000回投げて10回以上連続して表がでる確率は? >>462
1000回投げて10回以上連続して表
[1] 0.3854498
1000回投げてちょうど10回連続して表
[1] 0.1700181
1000回投げて20回以上連続して表
[1] 0.000468149
1000回投げてちょうど20回連続して表
[1] 0.0002342865
http://tpcg.io/TXVPdJ
これを参考にプログラム
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1149349046 コインをN回投げてK回以上連続して表がでる確率を多項式で表現できるのかどうかは知らないので悪しからず。
確率誤答の達人が全角文字で組んでくれるかもwww >>462
A[n]:○と×併せてn個を一列に並べた文字列で、○の10連以上が無いものの数。
B[n]:○と×併せてn個を一列に並べた文字列で、○の10連以上を含むものの数。A[n]+B[n]=2^n
A[n;k]:A[n]の中で、最後に○がk個連続しているもの。A[n]=A[n;0]+...+A[n;9]
P[n]:A[n;k](k=0〜9)とB[n]を並べた、11成分の縦ベクトル
P[1]={1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}^t
X={{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},...,
{0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2}}
P[1000]=X^(999) P[1] の第11成分を2^1000で割ったものが、求める確率
41301272734778977984946818232089531229879543376756574850136155867680807079676964
05909423852137579237591446526939613263507523948827986893531646240157193872907615
64116695521478307244714549348159061083607249922721310512099499789154886902065157
8128373092635280064104398841562373328900104830268510093352961/2^1000
≒0.38544975241248163591... >>456 は c=0 の場合であり、
y = - (9/2)^(1/3)・|x-c '|^(2/3)
と解ける。 トランプのA〜10の10枚とジョーカー1枚の
合計11枚が机の上に裏向きに置いてある。
ランダムに1枚ずつ引いていった場合の、得られた数字の総和の期待値を求めよ。
ただし、ジョーカーを引いた時点で終了するものとし、
Aは数字扱いではなく、最終的に得られた数字の総和が2倍になるものとする。 外心をOとする△ABCの頂点の内部に点Kをとり、Oに関してKと対称な点をLとする。
△ABK=△BCLとなる点Kの位置を求めよ。 >>467
シミュレーションしたら45くらいになった。
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
41.80 44.29 45.01 45.03 45.81 48.46 アレ?
33になる?
2~10のうちジョーカーより左にくるものの期待値は44/2=22。
確率1/2で2倍になるから33。
シミュ合ってる? >>472-474
ジョーカーが早めに出る場合はAで2倍になる確率が低い Aがあったら全部2倍するんだろ?
Aが出るまでの値だけを2倍? 袋の中に大量の赤球と青球があり、どちらを取り出す確率も常に1/2である。
袋の中から球を1個取り出すことをn回繰り返すとき、同じ色がk回連続して取り出され、かつk+1回以上は連続して取り出されない確率をP(n,k)とおく。
以下の問に答えよ。
(1)P(n,k)/P(n+1,k+1)をnとkの式で表せ。
(2)lim[n→∞] Σ[k=1 to n] kP(n,k) を求めよ。 なぜこの曲線C'の0≦θ≦tでの長さがこうやって求められるのか可能な限り優しく教えてください。
自分は媒介変数表示のまま、√(x'^2 +y'^2)を積分して回答しました。
https://i.imgur.com/LU5BKnS.jpg >>472
f <- function(x){
i=1
y=numeric()
while(x[i]!=11){ #11:ジョーカーでなければ
y[i]=x[i] # yに保存
i=i+1
}
if(1 %in% y) return(2*(sum(y)-1)) # 1があれば総和から1引いて2倍
else return(sum(y))
}
# simulation ,sample関数で1から11をランダムに並べ替え変え
re=replicate(10^6,f(sample(11))) #100万回fを繰り返す
summary(re)
hist(re,col='lightblue',xlab='sum',main='') >>460>>466
詳しい解説ありがとうございます
微分方程式のサイトを調べてる感じだと後は何とかなりそうな気がします >>479
全部ってのがJoker引くまでの全部なのかAをひくまでの全部なのかを聞かれてるんだよ。
23A47J
の場合
(2+3)×2 + 4 + 7
なのか
(2+3+4+7)×2
なのかどっちにも取れるんだよ。
自分が書いてる文章でホントにちゃんと意味が伝わるのか考えながら書かないと。 >>482
もとの問題文に明確に書かれているし、
>>476の質問者も単に「全部」と「Aが出るまでの値だけ」の2択で質問しているから紛らわしさはない >>478
図形的な解釈はハイレベル理系数学などに出てるから本屋で見ろ
数式で示すなら
x = rcosθ
y = rsinθ
にパラメータ表示の公式を適用して整理すればいい( r はθの関数であることに注意) >>482
23A47Jの場合、A=1 J=11
>480のfで
> f(c(2,3,1,4,7,11))
[1] 32
でいいんだよね?
それでよければシミュレーションでいいと思うんだが。 >>483
言いたかったことを代弁してくれて、ありがとう >>484
ありがとうございます
媒介変数表示の時の図形的意味はなんとなく分かっているので
これで一応理解できたと思います
∫√(r^2+r'^2)から直接図形的意味を説明できませんでしょうか?
とても知りたいです 媒介変数表示の形に戻せば図形的意味は理解できますが、
そういう変形を使わず余弦定理とかを使って証明する方法があれば知りたいということです >>467
> トランプのA〜10の10枚とジョーカー1枚の
> 合計11枚が机の上に裏向きに置いてある。
> ランダムに1枚ずつ引いていった場合の、得られた数字の総和の期待値を求めよ。
> ただし、ジョーカーを引いた時点で終了するものとし、
> Aは数字扱いではなく、最終的に得られた数字の総和が2倍になるものとする。
この文章のどこにエースを引くまでの全部と読み取れる要素があるねん?
むしろ最終的に得られた数の二倍ってJ引くまでのトータルを二倍としか読めない気がするけど。
コレがエースを引くまでのみを二倍の意味ならどう考えても言葉の選択間違ってるやろ? >>485
11個の順列を列挙して>480のfを適用して平均値をだそうと思ったのだが、
11! = 39916800 なので PC処理が終わらないので断念。 >>442
なかなかやるじゃないですか(´・ω・`) f(x) = x^3に対して f'(x) = 3x^2 なのでf(x)は1階連続微分可能です。
fの逆関数をgとすると
g(x) = x^(1/3)
となって、導関数は
g'(x) = (1/3) x^(-2/3)
となります。するとx=0でg'(x)は無限大に発散して連続でないように思えます。
g(x)は1階連続微分可能ではないということでよいのでしょうか?
もし1階連続微分可能でないとすると、f(x)とg(x)のグラフは回転・反転
させただけで滑らかさは全く変わらないことと不整合なように思えるのですが
どのように考えればよいのでしょうか? いつからgとg'の定義域が一致すると錯覚していた? >>487
∫√(r^2+(dr/dθ)^2) dθ で、dθが正になるように積分範囲を決定すると
= ∫√((rdθ)^2 + (dr)^2)
だから、三平方の定理で、直角を挟む辺の長さが(rdθ)、(dr)の直角三角形を
考えると斜辺の長さは √((rdθ)^2 + (dr)^2)
この斜辺の長さを足しあわせたものが曲線の長さになる。
非常に物理的な大雑把で直観的な説明。
ハイレベル理系数学持ってないけど、多分似たような説明だと思うので絵だけでも本屋で見てください。 袋の中に大量の赤球と青球があり、どちらを取り出す確率も常に1/2である。
袋の中から球を1個取り出すことをn回繰り返すとき、同じ色がk回連続して取り出され、かつk+1回以上は連続して取り出されない確率をP(n,k)とおく。
以下の問に答えよ。
(1)P(n,k)/P(n+1,k+1)をnとkの式で表せ。
(2)lim[n→∞] Σ[k=1 to n] kP(n,k) を求めよ。 >>472-474
×確率1/2で2倍になるから、54/2の3/2倍で40.5 (54の3/4倍で40.5)
○確率2/3で2倍になるから、54/2の5/3倍で45 (54の5/6倍で45)
任意の数字をNとすると、N,A,Jを引く順番と期待値は
N→A→J (1/6)*(2N)
N→J (1/6)*N
A→N→J (1/6)*(2N)
A→J (1/6)*0
J (2/6)*0
合計すると (5/6)*N
求める期待値は (5/6)*(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=(5/6)*54=45 >>496
(2)
Q(n,k) を少なくとも一回同じ色がk回連続引く確率とする。
m = [log √n]、l = [n/m] とおく。1〜n回のコイントスのなかから連続する m 回のコイントスを重複しないように l 回に分けることが出来る。
T[1]〜T[l] をそのような m 回のコイントスとしT[i]がすべて表になる事象をX[i]とするとき
P(X[i])=2^(-[log√n]) > 2^(-log√n) > 1/√n
である。
すべての i でX[i]が起こらない事象をYとするとき
P(Y) < (1-1/√n)^l < (1-1/√n)^(n/m) < exp (n/m) log(1-1/√n) < exp(-(√n/m))。
よって
P(n 回中 [log √n] 回連続表がでる)>(1-exp(-(√n/m)))。
∴Σ[k=1 to n] kP(n,k)
>Σ[k=[log √n] to n] [log √n]P(n,k)
>[log √n](1-exp(-(√n/m)))→∞。 数列{a_n}は
a_1 = 1
a_(3n+1) = a_(2n+1)
a_(3n-1) = a_(2n-1)
a_(3n) = -a_n,
を満たす。この時、 lim(n→∞) (1/n)Σ(k=1,n) a_k を求めよ。
(面白スレ28 より)
このスレも残り半分になりました。 R^2の部分集合で単連結であるが可縮でないものは存在しますか? >>502
Prelude> [(a4,a3,a2,a1,x2,x1)|a4<-[1..9],a3<-[0..9],a2<-[0..9],a1<-[0..9],x2<-[1..9],x1<-[0..9],
(a4*1000+a3*100+a2*10+a1)*(x2*10+x1)==119868,(a4*1000+a3*100)*(x2*10+x1)==117600]
[(1,4,2,7,8,4),(2,8,5,4,4,2),(4,2,8,1,2,8)]
a=4281 x=28 >>502
aの下二桁とxを掛けると2268
aの上二桁とxを掛けると1176
それぞれ素因数分解する
それらを見比べるとaの下二桁、上二桁にそれぞれ必ず含まれる因数がわかる
そこに残りの因数をどれだけ移せるかを考える
4281と28で合ってる? >>502
差を取って素因数分解すれば2*2*3*3*3*3*7になるので
あとは自分で考える >>460
x = ∫(1/y ') dy
= ∫√{y/(cy-2)} dy
= (1/c)√{y(cy-2)} + {2/c^(3/2)}・log[c√y + √{c(cy-2)} ] + c'
ここの2行目から3行目の変形わかりませんでした
出来るもんだと思い込んでただけで全くわかりません
どうやって導き出したんでしょうか? 半径3の円Pの外側に接している半径1の円QはPを一周するといくら回転しますか >>501
んなわけない。
開集合じゃなきゃどうすんの?
{x^2+y^2≦1} ∪ [1,2] ∪ {(x-4)^2 + y^2≦4}
とか。
いくらでも複雑な例作れるよ?
んな簡単なわけない。 次の性質(A)(B)をともに持つ2つの無理数a,bを求めよ。
(A)a^bは自然数
(B)任意の有理数pに対して、a^pは無理数 >>511
申し訳ありません
途中から開集合で考えていたので整合性がとれていませんでした
開集合でなくてもいいならトポロジストの正弦曲線からも作れたりしますよね なるほど、円の中心が動く距離を円周で割るわけね
2π*(3+1)/2π*(1)=4回転 エストラテネスの篩で限界桁ってどの辺ですか?4桁辺りですか? >>507
y = (2/c) cosh(t)^2,
cy - 2 = 2 sinh(t)^2,
dy = (4/c) sinh(t) cosh(t) dt,
とおいてみる。 .
∧__∧
( ´・ω・)∧∧l||l
/⌒ ,つ⌒ヽ ) <>>353
(___ ( __)
"''"" "'゙''` '゙ ゙゚' ''' '' ''' ゚` >>522
ありがとうございます
coshとか使うの初めて 半径が同じ円なら、外接円は2回転するのか
でも、固定円の円周をちょんぎって直線にしたら1回転になる?
不思議と言えば不思議だな n次元球面上でf(x1,x2,...,xn)=Σ[i=1,n]|xi|^pの極値ってどう求めればいいのでしょうか >>527
とりあえずxi≧0に限定してti = √xiとおいて
f(x) = Σti^(p/2)、Σti = 1
なので凸不等式使えばいいのでは? >>528
各成分の正負が一致してる場合はその方法やラグランジュなりで解けるのですが
一致しない場合、各成分で正負が違う場合の求め方が何とも… >>497
1/6+2/6=1/2の確率でNを引かずにおわるかなぁ? >>531
成分が負の場合を扱うなら 負^p を扱う事になるのでそこをどうするか決めないと答え出ない希ガス。
pが整数の時しか考えないとか。 >>352
そのNは9枚じゃなくて1枚ね。
最後に9枚分の期待値を単純合計してもいいという理屈は
自分でもあまり良く分かってない。(問題>>467) N,A,Jの合計3枚でも1/2で終わるのが疑問ということなのかな?
いきなり終了のJが1/3もあるから、そんなに直感に反しないと思うんだけど では>>467の出てる答えを清書。
i:2〜10に対し確率変数X[i]を
X[i] = 2i (i A J)
i (i J A)
2i (A i J)
0 (A J i)
0 (J i A)
0 (J A i)
とおく。
E(X[i]) = 5/6iである。
よって
E(得点) = Σ E(Xi) = Σ 5/6i = 5/6(2+3+…+10) = 5/6×54 = 45。 >>460>>522
x = ∫(1/y ') dy
= ∫√{y/(cy-2)} dy
y = (2/c) cosh(t)^2,
cy - 2 = 2 sinh(t)^2,
dy = (4/c) sinh(t) cosh(t) dt
とおくと
x = ∫{4/c^(3/2)}・cosh(t)^2 dt
= ∫{2/c^(3/2)}・(cosh(2t) + 1) dt
= {1/c^(3/2)}・sinh(2t) + {2/c^(3/2)}t + c'
ここで
y = (2/c) cosh(t)^2
= (2/c)・{(e^(2t) + e^(-2t) + 2)}/4
e^(2t) = s とすると
y = (2/c)・{(s + 1/s + 2)}/4
sでそろえると
s^2 - 2(cy-1)s + 1 = 0
{s - ((cy-1))}^2 = 0
s = cy-1
e^(2t) = cy-1
両辺にlogすると
t = (1/2)log(cy-1)
ゆえに
x = (1/c)√{y(cy-2)} + {1/c^(3/2)}・log(cy-1) + c'
となりましたが答えが合いませんでした
どこで間違えたのでしょうか? >>534-535
[,1] [,2] [,3]
[1,] A J N
[2,] A N J
[3,] J A N
[4,] J N A
[5,] N A J
[6,] N J A
この各行が同様に確からしく起こるってことでいいんだな。 >>537
s^2 - 2(cy-1)s + 1 = 0
まで正しいが、次から違っている。
{s - (cy-1)}^2 = cy(cy-2),
∴ s = (cy-1) ± √{cy(cy-2)},
e^t = √s = [ √(cy) ± √(cy-2) ] / √2,
t = log[ √(cy) ± √(cy-2)] - (1/2)log(2), 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12 初等幾何の問題です。
OM ≧ OS が成り立つのはなぜでしょうか?
https://imgur.com/OX9wyZE.jpg >>546
Mのx座標≧Sのx座標、Mのy座標≧Sのy座標だから。 次の性質を持つ数aを虚実数と呼ぶ。
・a^2≦0かつa^2>0
虚実数は、実数kと虚数単位iでは表せないことを示せ。 この自作問題連投ガイジ、中学生レベルの数学力すらないな 一辺の長さが2の正三角形△ABCが平面z=0の円x^2+y^2=4/3に内接しており、A(4/3,0,0)である。
動点Pについて、f(P)=PA^2+PB^2+PC^2とする。
(1)kをk≧√3である実数とする。動点Pが平面z=0上を動くとき、f(P)=kとなる点Pの軌跡で囲まれる面積を求めよ。
(2)動点Pが空間を動くとき、f(P)=kとなる点Pの軌跡で囲まれる面積を求めよ。f(P)=kとなる点Pの軌跡で囲まれる体積を求めよ。 >>553
(2)は鮮やかに解いてください
積分してもいいですが >>521
タイヤが道路と設置した長さだけ自動車は移動していると言われれば納得できるな。 >>553
|p-a|^2+ |p-b|^2+ |p-c|^2
=3|p-g|^2-2(|g-a|^2+ |g-b|^2+ |g-c|^2) >>559
差をとると2268、これはaの下二桁とxを掛けた値。
素因数分解すれば2*2*3*3*3*3*7になる。
aの下二桁をyとすると一方が22以下なら他方が2桁にならないから23以上。
2268の平方根は47.62352なのでx,yのいずれかは47以下である。
2 2 3 3 3 3 7の積がこの範囲にあるのは27 28 36 42の4つ
そのときの他方の数は84 81 63 54
あとは自分で考える。 >>561
組み合わせを考えるのが面倒だから
2268の約数で23以上、47以下はプログラムにやらせた。
> x=2268/(23:47)
> y=(23:47)[x-floor(x)==0]
> z=2268/y
> rbind(y,z)
[,1] [,2] [,3] [,4]
y 27 28 36 42
z 84 81 63 54 >>561
ついでだから続きも書いておく。
xの候補が27 28 36 42 84 81 63 54に絞られたので
119868を割り切るのは
28 42 84の3つ
そのときの商は 4281 2854 1427
でこれがaの候補。
最大は4281でそのときのxは28 Rだと
> x=2268/(23:47)
> y=(23:47)[x-floor(x)==0]
> z=2268/y
> b=c(y,z)
> c=119868/b
> d=b[c-floor(c)==0]
> (a=max(119868/d))
[1] 4281
> 119868/a
[1] 28
>
Haskellだと1行ですんだ。
Prelude> [(a,x)|a4<-[1..9],a3<-[0..9],a2<-[0..9],a1<-[0..9],x2<-[1..9],x1<-[0..9], let a=(a4*1000+a3*100+a2*10+a1),let x= x2*10+x1,a*x==119868,(a4*1000+a3*100)*(x2*10+x1)==117600]
[(1427,84),(2854,42),(4281,28)] こっちの方が可読性がいいかな。
Prelude> [(a,x)|b<-[10..99],c<-[0..99],x<-[10..99],let a=100*b+c, a*x==119868,100*b*x==117600]
[(1427,84),(2854,42),(4281,28)] >>542
ありがとうございます
式を変形して綺麗にしてあるのもようやく理解出来ました
わからないところは>>460の x = (1/c)√{y(cy-2)} + {2/c^(3/2)}・log[c√y + √{c(cy-2)} ] + c'
この式の log[c√y + √{c(cy-2)} ] の部分で+の部分が±ではない理由は何でしょうか? >>564
>>504にあるけど1176のほうも使った方が簡単じゃね? a^2+b^2=c^2を満たす3つの整数(a<b<c)
の組み合わせのうち(3,4,5)から数えて7番目は何になるかという問題がわかりません >>568
なるほどね
1176=2*2*2*3*7*7
2268=2*2*3*3*3*3*7
でxは公約数か >>571
Prelude> ps = [(a,b,c)|a<-[1..100],b<-[a..100],c<-[b..100],a^2+b^2==c^2]
Prelude> ps !! 7
(10,24,26)
顰蹙のダンプリスト
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..100],b<-[a..100],c<-[b..100],a^2+b^2==c^2]
[(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15),(9,40,41),(10,24,26),(11,60,61),(12,16,20),(12,35,37),(13,84,85),(14,48,50),(15,20,25),
(15,36,39),(16,30,34),(16,63,65),(18,24,30),(18,80,82),(20,21,29),(20,48,52),(21,28,35),(21,72,75),(24,32,40),(24,45,51),(24,70,74),(25,60,65),
(27,36,45),(28,45,53),(28,96,100),(30,40,50),(30,72,78),(32,60,68),(33,44,55),(33,56,65),(35,84,91),(36,48,60),(36,77,85),(39,52,65),(39,80,89),
(40,42,58),(40,75,85),(42,56,70),(45,60,75),(48,55,73),(48,64,80),(51,68,85),(54,72,90),(57,76,95),(60,63,87),(60,80,100),(65,72,97)] Haskellの配列は0からだったから、こっちが正解。
Prelude> ps !! (7-1)
(9,40,41) >>573
7番目だと変わらないみたいだけど
整数の候補の上限を変えたら答が変わるな。
pitNth n m = do
let ps = [(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..m],c<-[b..m],a^2+b^2==c^2]
map (\x -> ps !! x) [0..(n-1)]
2桁の99までだと20番目は,(20,21,29)
Prelude> pitNth 20 99
[(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15),(9,40,41),(10,24,26),(11,60,61),(12,16,20),(12,35,37),(13,84,85),(14,48,50),(15,20,25),(15,36,39)
,(16,30,34),(16,63,65),(18,24,30),(18,80,82),(20,21,29)]
3桁の999までだと20番目は,(18,24,30)
Prelude> pitNth 20 999
[(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15),(9,40,41),(10,24,26),(11,60,61),(12,16,20),(12,35,37),(13,84,85),(14,48,50),(15,20,25),(15,36,39)
,(15,112,113),(16,30,34),(16,63,65),(17,144,145),(18,24,30)] >>576
> 整数の候補の上限を変えたら答が変わるな。
二秒で分かりそうなもんだけどww >>577
すると7番目が(9,40,41)というのはどうやって確信できるんだろう? ABCDEの5人が一緒に直線道を同時にスタート
AはBに10秒で10mの差をつける
BはCに10秒で10mの差をつける
CはDに10秒で10mの差をつける
DはEに10秒で10mの差をつける
AがEに10mの差をつけるのは何秒後? >>579 訂正
ABCDEの5人が一緒に直線道を同時にスタート
10秒後にAはBに10mの差をつけた
20秒後にBはCに10mの差をつけた
30秒後にCはDに10mの差をつけた
40秒後にDはEに10mの差をつけた
AがEに10mの差をつけたのは何秒後? もっと綺麗な解答はないのかね
計算力とかプログラムの力ではなくてエレガントな解法を知りたい f:Rn→Rmを連続写像とし、A⊂Rnとする。とき一般にf([A])=[f(A)]は成立しない。そのそうな例を与えよ。
[A]と[f(A)]はそれぞれAとf(A)の閉包を表しています。 n=1、m=2、A=R、f(x) = ( (1-x^2)/(1+x^2) , 2x/(1+x^2) ) 順番と言われても、何が前で何が後ろなのか定義されてないジャン
NGに紛れ込んで見えてなかったらすまんとしか言いようないけど >>585
だって計算機つかえば一瞬で答え出るような問題頭使う気しない。 よく数オリ的な問題をカッコ良く説き伏せるのに使われる鳩ノ巣原理ってハッシュテーブルそのものだよね。 >>578
a^2 + b^2 = c^2 より
c=b+n とすれば a^2 = 2bn+n^2
nが自然数なら b の最大値は n=1 のとき (a^2-1)/2
a が√201 ≒ 14.17 を超えない限り2桁のbまで調べれば十分 >>571
既約ピタゴラス数にも通し番号付ければいいのにね。
ケッヒェル番号、ドイチュ番号、ホーボーケン番号、などなど。 >>575
xyz空間に、原点Oを中心とする半径1の球体Gがある。
また、放物線 y = 1-x^2, z=0 をz軸方向に平行移動して得られる曲面によってxyz空間を2つに分解したとき、原点Oを含まない方をTとする。
GとTの共通部分G∩Tの体積を求めよ。 大統一理論について
「GUT は善だ」(ドイツ人)
「GUT は腸だ」(英米人) >>575 >>581 >>594
y=b で切ったときの断面を考える。(0≦b≦1)
-√(1-bb) ≦ x ≦ -√(1-b) および √(1-b) ≦ x ≦ √(1-bb),
-√(1-bb-xx) ≦ z ≦ √(1-bb-xx),
∫ dz = 2√(1-bb-xx),
S(b) = 2∫[√(1-b), √(1-bb)] 2√(1-bb-xx) dx
= 2 [ x√(1-bb-xx) - (1-bb) arctan{√(1-bb-xx) /x} ]
= 2{ -(1-b)√b + (1-bb) arctan(√b) },
V = ∫[0,1] S(y) dy
= 2{-4/15 + (π/3 -32/45)}
= 2(π/3 -44/45), >>596
V = ∫[0,1] S(y) dy
= 2∫[0,1] { (1-yy)arctan(√y) - (1-y)√y } dy
= 2 [ (1/3)(2-y)(1+y)^2 arctan(√y) - (1/45)(30+35y-21yy)√y ](0,1)
= 2 (π/3 - 44/45)
= 0.13883954683764 >>597
ずっとZで切った断面積考えててわからなかったわ、わざわざすみません。 >>580
5人とも一定の速度で走るとすれば
v(A) - v(B) = 1 (m/s)
v(B) - v(C) = 1/2 (m/s)
v(C) - v(D) = 1/3 (m/s)
v(D) - v(E) = 1/4 (m/s)
辺々たすと
v(A) - v(E) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 25/12 (m/s),
よって
10 / (25/12) = 4.8 (s) >>599
放物線と円の共通してる面積がうまく表せないんや。教えてください。 >>591
全く同じとまでは言わないけど
かなり類似だろ。
鳩ノ巣原理が一対一の全単射関係の濃度なら
ハッシュテーブルは箱と中身で同値類と代表元なんだから。
ボロノイ図やゲージ固定も類似だね。 >>592
ありがとうございます。
お礼にaの上限を30にして算出してみました。
Prelude> m=30
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..floor(m^2/2-1/2)],c<-[b..2*b],a^2+b^2==c^2]
[(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15),(9,40,41),(10,24,26),(11,60,61),(12,16,20),(12,35,37),(13,84,85),(14,48,50),
(15,20,25),(15,36,39),(15,112,113),(16,30,34),(16,63,65),(17,144,145),(18,24,30),(18,80,82),(19,180,181),(20,21,29),(20,48,52),
(20,99,101),(21,28,35),(21,72,75),(21,220,221),(22,120,122),(23,264,265),(24,32,40),(24,45,51),(24,70,74),(24,143,145),(25,60,65)
,(25,312,313),(26,168,170),(27,36,45),(27,120,123),(27,364,365),(28,45,53),(28,96,100),(28,195,197),(29,420,421),(30,40,50),(30,72,78),(30,224,226)] m=50
[(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..floor(m^2/2-1/2)],c<-[b..2*b],a^2+b^2==c^2]
が遅いので速度を上げようとしたけど下記ではエラーが返ってきた。達人にデバックを期待(._.)
[(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..floor(a^2/2-1/2)],c<-[b..floor(sqrt(a^2+b^2))],a^2+b^2==c^2]
[(a,b,c)|a<-[1..m],b<-[a..floor(m^2/2-1/2)],let c = sqrt(a^2+b^2), fromIntegral(floor(c))==c] いつもの顰蹙解w
今回はダンプリストではなくてRのスクリプト(HaskellやPythonは独学中w)
a^2+b^2の平方根が整数の組み合わせを考えればいいんだから、簡単にプログラムが組めた。
A=100
pita=NULL
for(a in 1:A){
B=floor(a^2/2-1/2)
for(b in a:B){
c=a^2+b^2
if(floor(sqrt(c)) == sqrt(c) ){
pita=rbind(re,c(a,b,sqrt(c)))
}
}
}
> pita[7,]
[1] 9 40 41
> pita[77,]
[1] 42 56 70
> pita[100,]
[1] 50 120 130 777番目は
> pita[777,]
a b c
216 288 360 >>589
というか、計算機に答を出す命令を組むのが楽しいんだよね。
このあたりは価値観の問題だよね?
2の平方根の100桁めの数字を出すのは不毛に思えるけど
100個目のピタゴラス数を計算するのは不毛に思えない人がいるのがこのスレだと思っている。 ピタゴラス数の話題なら、専用に扱っているスレッドがあります。
原始ピタゴラス数を表示するプログラムと解説は、そのスレッドの119と120がお勧めです。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1478040803/ >>592
レスありがとうございます。
おかげて次のステップのプログラムができるようになりました。 https://i.imgur.com/wIoBait.png
これが分からないんですが
たとえば仮に軸をy=x、θを45°とした場合
このような薄い立体の体積がなぜ、側面積*凅で求まるのかが分かりません
側面積*凵2xとならないのはなぜですか? 図とか式は奇麗だけどあんま解説は上手くないよな、そのサイト Rの位相を{(r,∞):r∈R}∪{R,0}で定めるとき
M⊂RがコンパクトであることとMの最小値の存在が同値であることってどう示すんですか? とりあえず泥臭くていいなら
Mに最小値がないとする。
単調減少列x[i]∈Mをlim X[i] = -∞ or lim x[i] = inf M ととれる。
このとき M ⊂ ∪ (x[i],∞) であるが有限個ではM全体を被覆しない。
Mが最小限mをもつとする。
被覆 M ⊂ ∪U[i] に対し x∈U[i0] である i0 をとれば M ⊂ U[i0] である。 >>617
[命題: Mはコンパクトである ←→ Mに最小値が存在する]
(←) Mに最小値 α が存在する時
任意の無限開被覆 {(x_λ, +∞) ; λ ∈ Λ } に対して α ∈ (x_ξ, +∞) となる ξ ∈ Λ が存在する.
この時、 (x_ξ, +∞) ただ1つで 有限開被覆となる. よってコンパクトである.
(→) 対偶で示す. Mに最小値が存在しない時
M の下限 β をとる. β= -∞ なら、有限開被覆は常に不可能.
βが有限なら、Mの無限開被覆 {(β + 1/n, +∞) ; n=1,2, ... } から有限開被覆は取り出せない.
よってコンパクトではない. >>575 >>581 >>594 >>598
x=a で切ったときの断面を考える。(-1≦a≦1)
-√(1-aa-yy) ≦ z ≦ √(1-aa-yy), … 円の内部
y ≧ 1-aa,
なので弓型である。
S~(a) = ∬ dz dy
= ∫[1-aa, √(1-aa)] 2√(1-aa-yy) dy
= [ (1-aa)arcsin{y/√(1-aa)} + y√(1-aa-yy) ](y=1-aa,√(1-aa))
= (1-aa)arcsin(a) - a(1-aa)^(3/2),
あるいは
S~(a) = ∬ dy dz
= 2∫[0, a√(1-aa)] {sqrt(1-aa-zz) -(1-aa)} dz
= [ (1-aa)arcsin{z/√(1-aa)} + z√(1-aa-zz) -2(1-aa)z ](z=…)
= (1-aa)arcsin(a) - a(1-aa)^(3/2),
V = 2∫[0,1] S~(x)dx
= 2∫[0,1] { (1-xx)arcsin(x) - x(1-xx)^(3/2) }dx
= 2[ (1/3)x(3-xx)arcsin(x) + (1/45)(9x^4 -23xx +44)√(1-xx) ](x=0,1)
= 2(π/3 - 44/45),
>>599
それは解けぬ... >>619
M = (Jf)^{-1}|x=0 と置くと、
F[i] = M[i,k] { f[k] - .. } より
JF[i,j] = ∂F[i]/∂x[j] = M[i,k] ∂f[k]/∂x[j] = M[i,k] Jf[k,j] = (M. Jf)[i,j] = δ[i,j] (x=0)
F(0) = 0, C^∞ は明らか. >>618
>>620
分かりやすい解答ありがとうございます xyz空間の直円柱x^2+y^2=1(z≧0)を、y軸を含みxy平面とa°で交わる平面で切る。ただし角a°はx軸の正の方向からz軸の正の方向に向かう角度で、0<a<90
である。
(1)切り分けられた立体のうち、原点O(0,0,0)を含む方の体積Vをaで表せ。
(2)(1)の結果を用いて、次の定積分の値を求めよ。ここでg(x)はf(x)=sinxの逆関数であり、定義域は0<x<90°とする。
∫[0→sina°] g(x) dx >>624
梅沢富美男ぢゃないんだから…(ローソンのCM)
z=c で切ったときの断面を考える。(-1≦c≦1)
三日月形(?)になる。
{1-√(1-4cc)}/2 ≦ x^2 ≦ {1+√(1-4cc)}/2,
x1 = √{[1-√(1-4cc)]/2},
x2 = √{[1+√(1-4cc)]/2},
とおくと
Sz (c) = 2∫[x1, x2] {√(1-cc-xx) - (1-xx)} dx
= [ (1-cc)arcsin(x/√(1-cc)) + x√(1-cc-xx) - 2{x - (1/3)x^3} ](x=x1,x2)
V = ∫[-1/2, 1/2] Sz(z) dz = …
かなり面倒だ… https://i.imgur.com/MFjwhUQ.png
(2)がわかりません。ちなみに私立の推薦なので答えは不明です。どなたかよろしくお願いします。 x軸に垂直な平面による断面を考えれば正方形になって
V = (2/3) tan a° >>627
p = 1/2 のとき 0 でない値に収束。このとき a = √5 >>627
OR = t √( t^2 + a^2 t^{2p} ) / (√( t^2 + a^2 t^{2p} ) - a t^p )
p=1 の場合
OR = t √( 1 + a^2 ) / (√( 1 + a^2 ) - a ) → +0 ≠ 10 よって不可.
p>1 の場合
OR = t √( 1 + a^2 t^{2p-2} ) / ( √( 1 + a^2 t^{2p-2} ) - a t^{p-1} ) → +0 ≠ 10 不可.
0<p<1 の場合
OR = a t^{p} √( a^{-2} t^{2-2p} + 1 ) / { a t^{p-1} (√( a^{-2} t^{2-2p} + 1) - 1) )
= ( t + (1/2) a^{-2} t^{3-2p} +... ) / { (1/2) a^{-2} t^{2-2p} + ... }
OR → 10 が可能となるのは、2a^2 = 10, 2-2p = 1 の時
すなわち、 a=√5 , p = 1/2
モンティホール問題について質問
ABCの3つの箱から当たりのある箱を選ぶ
最初に選んだ箱をAとする
当たりが●、ハズレが○、?は●と○が不確定な状態
一つも開示されない状態の箱は
A○○? B○? C?
Cを開けると○
AとBの○が一個減るので
A○? B?
となるから、Bが当たりになる確率が上がるって話? >>631
君がモンティホール問題と呼んでいる問題の問題文を端折らずに書いてみてくれないか >>631
モンティホール問題は
「司会者は答えを知っていて、自分が開けるようなヘマはしない」
という構造の問題にすぎないので、何か深淵な数理的秘密があるのだろうと
思っていると訳が分らなくなります。 普通にモンティホール問題だな
> A○○? B○? C?
> A○? B?
の意味がわからない
変えた方が確率が高いのは、変えると箱を二つ選ぶのと同じことになるからだよ
二つ選んだ上でその中に当たりがあったら教えてもらえるというのと同じことだから 竹内啓レベルの子供が居ても竹内理三クラスの父親が居るとは限らないことはベイジアンならわかって当然。 最初に選んだものが当たっていた場合、変えることでハズレを選択することになるから
確率が上がるという説明がどうにも納得できない >>637
最初に選んだ方が当たりであることっていうのが1/3しかないから
2/3に乗り換えられるなら乗り換えた方が確率は高くなる
上で書いたけど要するに
最初A選んだときに「ではAならその1個だけですけどそれをやめてBとCの2個選んでもいいですけどどうしますか?」って言われてるのと同じ 初めと変えるならば、
初め当たりを引いていた場合 (1/3)*0
初めハズレを引いていた場合 (2/3)*(1/2)
加えると 1/3
初めから変えなければもちろん 1/3
同じではないのか。 >初めハズレを引いていた場合 (2/3)*(1/2)
初めハズレを引いていた場合 (2/3)* 1
の間違い。理解した。 最初にABCDの4択で
Aを選んでハズレのDが開けられて、ABCの3択にされて
Bに変えた後にハズレのCを開けられて、ABの2択にされた。
ABの当たり確率は? (司会者は当たりを知っている) 5/8と3/8?
もちろん1つだけ当たりの場合だけど それが違うんだな
ヒントは条件付確率
(ハズレのCが開けられる確率は?) (1) 箱を必ず変更しない方針の場合:
(a) 当たりになる場合=最初に選んだ箱が当たりである場合。
その確率は、
1/3
(b) はずれになる場合=最初に選んだ箱がはずれである場合:
その確率は、
2/3
(2) 箱を必ず変更する方針の場合
(a) 当たりになる場合=最初に選んだ箱がはずれである場合。
その確率は、
2/3
(b) はずれになる場合=最初に選んだ箱が当たりである場合:
その確率は、
1/3 その書かれたこと全体が前提条件、ルール、
つまりCDがハズレでプレイヤーがCDを選ばないことが予め決まっているなら
ABを選んだ場合の当たる確率はそれぞれ当初ABに当たりが入れられた確率
等確率ならどちらも1/2
そうではなくABCDに当たりが入れられた確率は等確率で、
司会者はプレイヤーの選択に応じて開けられるハズレを
選んで開けているだけ(今回たまたまDとC)なら
A 1/4 B 3/4 かな >>646
最初に選んだ箱がハズレなら変えれば必ず当たるんじゃない? >>629
>>630
遅くなりましたがありがとうございます! >>647
モンティが確定情報をもとにハズレのドアを開けるから
プレイヤーが最初に選択したドアの確率は最後まで1/4のまま >>633
こんなんネットで引いたら丁寧に解説してるサイト死ぬほど出てくるやん。
https://mathtrain.jp/monty
とか。 >>650
Aが当たりの確率は1/4です
BCDが当たりの確率はどれもそれぞれ1/4ですが、CDはハズレです
ABのどちらを選びますか? 世界教師マYトレーヤが現れる前兆である星のようにみえるUFOの目撃が世界規模で急増しつつあります @ 当(A,B,C,D,E)=(1/5、1/5、1/5、1/5、1/5)
↓ (選A、開E)
A 当(A,B,C,D)=(1/5、4/15、4/15、4/15)
↓ (選B、開D)
B 当(A,B,C)=(9/29、8/29、12/29) >>645
当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)
(選B、開C)
@ P(当A ∧ 開C)=(1/4)*(1)
A P(当B ∧ 開C)=(3/8)*(1/2)
@:A=4:3
P(当A|開C)=@/(@+A)=4/7
P(当B|開C)=A/(@+A)=3/7 この問題をこの方針で解く方法を教えて下さい。
ω=1/z=x+yiと置くとxyの一次式になってこういうゴリ押しでも解けたので、
zのままゴリ押しても行けるのではないかと思ったのですがどうしても分かりません。助けて下さい。
https://i.imgur.com/zDMY5iK.jpg
k=±1の場合は成立しないので除外しても構いません。 z=r(cosθ+isinθ)に置いたら?
数3範囲外だったっけ・・・? >>657
1/z=wとおいて|w|≧1/2が成立する範囲。
wの軌跡は
|w-(-i)| = |w-k|
だから(-i)とkの垂直2等分線。
条件満たすのは|k|≧1/√3のとき。 >>659
ありがとうございます。
1/zを置く方法では一応解けたので、zのままで虚部実部を分割して代数的に解く方法をお願いします。 >>657
z は原点を通る円になるので、直径≦2 になればよい どうしても計算が合わないのですが、これ合ってますか?
1枚目は最後の行でlog4-log2の直前に掛かる2はどこから来たのですか?
2枚目はマルで囲んだ引かれる積分の部分に(1+x)が掛かってないのはなぜですか?
https://i.imgur.com/J8uNVmX.jpg
https://i.imgur.com/MR5r7Uf.jpg log(3-cos(pi))-log(3+cos(pi))
-{log(3-cos0)-log(3+cos0)}
= (log4-log2)
-(log2-log4) すいません……アホすぎました
cos0を0にしてました……
2枚目もどうしてもわからないのでお願いします…… >>665
途中できれてると言いますと?
1+xは全体にかかるのでは?と思ったのですが >>666
(1+x)がどこかにいっちゃってるなあ
その先もなかったことで話が進んでるの? >>668
やっぱどっかいっちゃってますかね。ありがとうございます。
すぐ下で件の項のn→無限での極限を求めてますがそのままです。
旺文社の大学入試全レベル問題集というやつでした。
1+xを掛けたままの状態で極限がゼロなことはどうやったらシンプルに証明できますか? x^2n-1 * (x+x^2) / (1+x^2)に変形するだけで良かったですね。
皆様のおかげで解決しました。ありがとうございます。 扉が10枚あります。
それぞれの扉が当たりの確率は10%です。
これを3グループ、5枚,3枚,2枚に分けます。
それぞれのグループをA,B,Cグループとします。
グループごとの当たりがある確率は50%,30%,20%です。
ここで、プレイヤーはAグループを選びます。
すると、モンティが残った2グループのうちの
Cグループの扉を開けてハズレだと教えました。
このとき、Aグループに当たりがある確率と
Bグループに当たりがある確率は同じでしょうか? Nを2桁の自然数とする。
自然数nに対して有理数n/Nの循環節の長さをf(n)とおくとき、以下の各Nに対してf(n)を最大にするnを1つ求めよ。
(1)N=7
(2)N=17
(3)N=37 全部10^nと互いに素な素数なんだから自明すぎて問題になってねーよ
こいついい加減死なないかな 「Nを2桁の自然数とする」
「(1)N=7」
痴呆症かな? 基数kを変えていいなら一般にM/Nのk進表示の長さはkのmod Nの乗法群での位数だからNが素数ならkを乗法群の生成元に取れば常にN-1になってしまう。 >>310
精度が大幅にアップグレード
P(A)/P(B)=(P君の勝つ数)/(Q君の勝つ数)
{{n/(n+1)}^n-1}{k(n-1)-n^3+n((n-1)/n)^n+n}
P(A)/P(B)=――――――――――――――――――――――
{{{{(n-1)/n}^n-1}n+1}{k-n^2+(n/(n+1))^n-n}}
∵[n≧2,n(n+1)-1>k≧1] 自然数Nとnは唯一つの共通因数dを持ち、N^d-n^d=16が成り立つ。
Nとnを求めよ。 実数aに対して、f(x)=a^xを考える。
f(x)=f'(x)となるようなa(すなわちe)が存在することを中間値の定理を用いて示せ。 半径1の円に内接する正13角形の頂点を、1つの点をA1とし反時計回りにA2,A3,...,A13とおく。
これら13個の点から相異なる2点を無作為に選んで結ぶとき、その線分の長さの期待値Eと1/2の大小を比較せよ。 定義域はちゃんと書け
aは負でもいいのか、そのときxの範囲として1/(奇数)とかを含めるかどうか
流石に実数値関数だろうからR全体ではないだろう
あとa=0のときの0^0はどうするのか、xの定義域に0を含めなければa=0でf(x)=f'(x)となるが 出題ガイジはまじで「数学が好きだけど数学が得意じゃない」可哀相な人なんだと思う
俺レベルでもひと目で自明とわかる問題をバンバン出してるし
中学生とかならいいけど、大学生以上でこれやってたら悲惨だなー
多分後者っぽい気がすんだよね
淡々と問題貼り続けるキチっぽさが >>683
ご指導ありがとうございます
aは正の実数です
lim[t to 0] t^t = 1 と定義させていただきます 21m+11 と 17m+n が全ての自然数mに対して互いに素となるような自然数nを1つ求めよ。 定義域以前にどこまで教科書の公式使っていいのか判定のしようがない。
流石に(e^x)’=e^xを使うと自明になってしまうからダメだろなとまでは思うけど、じゃ(a^x)’=a^x log aはいいのかという話になる。
でも高校の教科書の定義は底がeの時の対数関数だからやっぱりダメっぽい。
するとそもそも論としてa^xの微分可能性は使っていいのかもかなり怪しくなる。
この問題何は仮定してよくて何は証明しないといけないのかがそもそもサッパリ。 いや、これも共通因数というのが1入れるのかという話になる。
わざわざ素因数という言葉があるくらいだから高校数学の用語としては1は因数ということになると思う。
すると条件は
Nとnは互いに素、N-n=16と言ってるのと同じでこんなもん死ぬほど解ある。 数列{a[n]}はn=1,2,...に対して以下の全ての条件を満たす。
・a[1] = c (1/3 < c ≦ 2/3)
・0 < a[3n] ≦ 1/3、1/3 < a[3n+1] ≦ 2/3、2/3 ≦ a[3n+2] < 1
・lim[n→∞] a[n] は収束する。
このとき、L = lim[n→∞] a[n] の取りうる値、もしくはその範囲を求めよ。 >>691
傑作だと思う。
カオス理論から帰着した >>693
失礼。
lim[n→∞] a[3n]
だわ >>691
失礼。
lim[n→∞] a[3n]
だわ >>682
ln(x) < x/e より
(3/2)ln(2) = ln(2√2) < (2√2)/e,
ln(2) < (4√2)/(3e) < 1/√2 = 0.7071… (← e > 8/3)
7^6 = 117649 > 10^5,
7 > 10^(5/6),
log(7) > 5/6 = 0.8333…
∴ ln(2) < 1/√2 < 5/6 < log(7), >>681
正n角形のとき
線分(辺または対角線)の長さは
2sin(kπ/n) (k=1,2,…,n-1)
確率はいずれも等しく 1/(n-1),
E_n = {1/(n-1)}Σ[k=1,n-1] 2sin(kπ/n)
= {2/(n-1)}cot(π/2n)
〜4n/{(n-1)π}
→ 4/π (n→∞)
√3 (n=3) からnとともに減少する。 >>697 補足
積和公式
2sin(kθ) = {cos((k-1/2)θ) - cos((k+1/2)θ)}/sin(θ/2),
から
Σ[k=1,n-1] 2sin(kθ) = {cos(θ/2) - cos(nθ -θ/2)}/sin(θ/2),
ここで θ=π/n とおけば、nθ=π より
= 2cot(θ/2) >>680
実数a>0 と xに対して
f(x) = a^x
が定義されているとする。
f'(x) = lim(h→0) {f(x+h) - f(x)}/h
= lim(h→0) {a^(x+h) - a^x}/h
= (a^x) lim(h→0) (a^h - 1)/h
= (a^x) g(a),
とおく。
g(a) は連続函数で
g(1) = 0
a>1 のとき
g(a^m) = lim(h→0) {a^(mh) - 1}/h = m・lim(H→0) (a^H -1)/H = m g(a),
a がm乗になると、g(a) はm倍になる。
アルキメデスの原理により、これはいくらでも大きくなる。
中間値の定理より
g(e) = 1
を満足する e>1 が存在する。 >>679
N/d = x, n/d = y とおくと
x^d - y^d = 16/(d^d),
∴ d^d は 16 を割り切る。
∴ d=1,2
d=1 のときは >>690
d=2 のとき
x^2 - y^2 = 4,
(x,y) = (±2,0)
(N,n) = (±4,0) となる。(不適) 相違3整数解を持ち、その導関数が相違2整数解を持つ3次関数は存在するか? y = log(x) + x^2
この関数の逆関数を求めるにはどうすればいいですか? >>704
y = log(x) + x^2 = log(x) + log(e^{x^2}) = log(x *e^{x^2} )
e^y = x * e^{x^2}
2e^{2y} = 2x^2 *e^{2x^2}
W( 2e^{2y} ) = 2 x^2
∴ x = √( W( 2e^{2y} )/2 )
※ W(x)は ランベルトのW関数. f(x) = x e^x の逆関数として定義される. y=f(x)=xe^x+x^2のグラフのt≦x≦t+1の部分の長さをL(t)とする。
lim[t→∞] L(t)/{f(t+1)-f(t)} を求めよ。 半径1の円に内接する三角形の周の長さの極値を偏微分を用いて求めよ >>701
f(x) = x^3 -3AAx -B,
とおくと
f '(-A) = f '(A) = 0
さらに
A = 1 +3t +3tt,
B = ±(-2A+1)(A+3t+1)(A-3t-2)
とおけば
f(-2A+1) = f(A+3t+1) = f(A-3t-2) = 0, or
f(2A-1) = f(-A-3t-1) = f(-A+3t+2) = 0, >>708
正弦定理より a + b + c = 2 (sinA + sinB + sinC)
拘束条件は A + B + C = π
ラグランジュ未定乗数を μ として
F(A,B,C) = 2 (sinA + sinB + sinC) - μ*( A + B + C )
∂F/∂A = 2cosA - μ = 0, ... , ...
A = B = C = arccos(μ/2) = π/3 以下略 完全マッチングは最大マッチングであることはどう証明しますか? G = (V, E) を完全パッチングをもつグラフとする。
Mp を G = (V, E) の完全マッチングとする。
明らかに、
|Mp| = |V| / 2
が成り立つ。
よって、すべての完全マッチングの辺の数は等しく、その数は、 |V| / 2 である。
Mmax を G = (V, E) の最大マッチングとし、 |Mmax| > |Mp| と仮定して矛盾を導く。
明らかに、
2 * |Mmax| ≦ |V|
が成り立つ。
∴ |Mmax| ≦ |V| / 2 = |Mp|
これは矛盾である。
よって、完全マッチングは最大マッチングである。 >>714
訂正します:
G = (V, E) を完全マッチングをもつグラフとする。
Mp を G = (V, E) の完全マッチングとする。
明らかに、
|Mp| = |V| / 2
が成り立つ。
よって、すべての完全マッチングの辺の数は等しく、その数は、 |V| / 2 である。
Mmax を G = (V, E) の最大マッチングとし、 |Mmax| > |Mp| と仮定して矛盾を導く。
明らかに、
2 * |Mmax| ≦ |V|
が成り立つ。
∴ |Mmax| ≦ |V| / 2 = |Mp|
これは矛盾である。
よって、完全マッチングは最大マッチングである。 大学入試で関数の最小を求める問題で
指定の値域で導関数がゼロになるものが一つしかない場合
論述でこれ書いたら雑な方法認定されて減点されますかね?
導関数が値域のどこかで正か負の無限大にならない場合、
+0+、-0-、+0-、-0+ の4パターンしかないですから端点と0の点だけ調べればいけますよね?
やっぱ増減表書かないとまずいでしょうか?
https://i.imgur.com/2tESt3F.jpg 問題 15%の食塩水600gから100gを使い、その後、水を250g入れると[ ]%の食塩水になる。
答えは10%なんですが、過程式がわからないです…
よろしくお願いします https://i.imgur.com/MKH94wj.jpg
誰も解けないかんじですか?難問ですが解ける人いたらお願いします。 ゴミみたいな問題だからスルーしてるだけですよ。
e^{2πia/b} 以下略 Aを可換環、Bを部分環、a∈Aとする。
このとき、B[a]がA加群として有限生成なら、生成系はあるnが存在し{1,a,......,a^n}と取れることの証明を教えて下さい。 >>722
これはおかしいですね
AをB代数、b∈Bとして、A[b]がA加群として有限生成なら、生成系として{1,b,....b^n}がとれるでお願いします >>725
(1) 整数 k, k’ が exp(i2π k/b) = exp(i2π k’ /b) となる必要十分条件は
2π k/b = 2π k’ /b + 2π n (nは適当な整数) の関係にある事である.
すなわち k ≡ k’ (mod b) であり、k=0, 1, ..., b-1 が相異なる exp(...) を与える. よって #P = b.
(2) a k ≡ 1 (mod b) を与える k が存在する. (∵ a, b は互いに素). (1)よりそれが求めたかった k である.
(3) 明らかに Q ⊂ P である. また(2)よりQは P の生成元を含む、よって P ⊂ Q.
(4) (3)より a1 = a2 = 1 としても同じ事である.
適当な k,k’ を選べば k/b1 + k’/b2 = k(b2 k + b1 k’)/(b1 b2) = 1/(b1 b2) とできる. (∵例えばユークリッド互除法)
よって (1)〜(3)より #(Q1Q2) = b1 b2 >>724
A, Ab, Ab+Ab^2, ...... はそれぞれ有限生成でA[b]も有限生成だから、あるnが存在してA+Ab+...Ab^n = A[b]となる
よって1,b, ...... , b^nがとれる
とネーター加群の真似をしてみたのですが、これは正しいでしょうか? 15%食塩水600gからとった食塩水100gの中に食塩は何gある?
15gだ。
残り500gの中に食塩は何gある?
75gだ。
250g足したら食塩水は何gになった?
750gだ。
750gの食塩水の中に75gの食塩がある。何%だ?
10%だ。
式か?
100×0.15=15
600-100=500
15×(500/100)=75
500+250=750
(75/750)×100=10
この五式で満点だろう。 >>722-723
一般にMが有限生成、(m[i])がMの元の集合でM = Σ[i∈I]m[i]AとするとIの有限部分集合FがとれてM = Σm[i∈F]A。
(∵) M = Σ[j=1〜n]n[j]Aとする。
各 j に対し有限集合 F[j] と a[i,j]∈Aで
n[j] = Σ[i∈F[j]]m[i]a[ij]
となるものがとれる。
F = ∪ F[j] とすれば n[j] ∈ Σ[i∈F] m[i]Aであるから
M ⊂ Σ[j=1〜n]n[j]A ⊂ Σ[i∈F] m[i]A である。 >>728
問題 15%の食塩水600mLから100mLを使い、その後、水を250g入れると[ ]%の食塩水になる。
と改変すると比重を考える必要が出てきて難問化するね。 >>729
有限生成であることの同値な言いかえとしてそのようなことが成り立つのは知りませんでした
ありがとうございます m^p-n^q=2を満たす2以上の自然数m,n,p,qは存在しないか、有限組しか存在しないことを示せ。
必要であれば以下の事実を用いて良い。
「a^b-c^d=1を満たす2以上の自然数a,b,c,dはただ一組しか存在しない」 >>728 ありがとうございます。助かりました。
問題@
ある仕事を仕上げるのにAは10日、Bは15日、Cは20日かかる。この仕事を3人で協力して行ったが、途中Aが休んだので、仕上げるのに6日かかった。Aは何日仕事を休んだか?
答え 3日ですが、 過去問に過程式がないので理解できないです。
問題A
2人が自転車に乗って走っている。その速さの比は11:8である。この2人が周囲480mの円形の池の同じ地点から同時に同方向にスタートしてまわるとき、速い人は遅い人を4分ごとに追い越す。2人の毎分の速さを求めよ
答え 440m. 320m. 同じく過程式が知りたいです。
よろしくお願いします >>735
問題@
ある仕事を仕上げるのにAは10日、Bは15日、Cは20日かかる。この仕事を3人で協力して行ったが、途中Aが休んだので、仕上げるのに6日かかった。Aは何日仕事を休んだか?
答え 3日ですが、 過去問に過程式がないので理解できないです。
計算しやすいように仕事量を60u(unitの略)とすると
A,B,C が1日にこなす仕事量は6u,4u,3uとなる。
休んだ日数をxとすると。
6u*(6-x)+4u*6+3u*6=60u 問題A
2人が自転車に乗って走っている。その速さの比は11:8である。この2人が周囲480mの円形の池の同じ地点から同時に同方向にスタートしてまわるとき、速い人は遅い人を4分ごとに追い越す。2人の毎分の速さを求めよ
答え 440m. 320m. 同じく過程式が知りたいです。
よろしくお願いします
a=11u m/min
b=8u m/min
とおいて
480/4=(11-8)u
u=40 >735のような問題を特殊訓練や数式なしで解ける小学生は凄いといつも思う。 >>736
Aが一日で片づける仕事を30とすると10日で300
Bが一日で片づける仕事は20
Cが一日で片づける仕事は15となる
三人がフルで6日間働くと
(30+20+15)x6=65x6=390の仕事量
『この仕事』の仕事量はAの10日分で300
本来390できたはずの仕事が300しかできなかったので
差分は90
Aが休んだ日数は
90/30=3で三日間となる 3次関数f(x)はf(-1),f(1),f(2018)のいずれも整数値をとる。
任意の整数nに対してf(n)は整数か。 >>736-739
素早い回答ありがとうございます。すごく助かります! (1)半径1の円周上に長さ√2と長さ√3の弦を取ったとき、その弦に対する中心角をそれぞれ求めよ。答えのみでよい。
(2)√2+√3とπの大小を比較せよ。 (x+1)(x-1)(x-2018)/100000 ax^2 + b^x + c = 0 ・・・@
Ax^2 + B^x + C = 0 ・・・A
R = (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)
@、Aが実数係数の2次方程式でいずれも2実数解をもつとする。@の2解はα、β;Aの2解はγ、δ。
このとき、
R = a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C) = A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)
を示せ。 再度訂正
ax^2 + bx + c = 0 ・・・@
Ax^2 + Bx + C = 0 ・・・A
R = (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)
@、Aが実数係数の2次方程式でいずれも異なる2実数解をもつとする。@の2解はα、β。Aの2解はγ、δ。
このとき、
R = a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C) = A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)
を示せ。 a,b,c,A,B,C の単位が [U] のとき
α〜δは無次元、
(aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)は[U^2]、
a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C)、A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)は[U^4]。 >>742
(1) 90゚,120゚
(2) √2 + √3 > π,
あ、こっちは答だけぢゃねぇのか。
θ = 15゚ = 60゚ - 45゚ = 45゚ - 30゚,
から加法公式により
sin(15゚) = (√6 - √2)/4,
tan(15゚) = 2 - √3,
が求まる。これらを Snellius-Huygens の式
2sinθ + tanθ > 3θ,
に入れると
(√6 - √2)/2 + (2 - √3) > π/4,
よって
√2 + √3 > 2(√6 - √2) + 4(2 - √3) > π,
(*) (√2 + √3) - 2(√6 - √2) - 4(2 - √3)
= (1/4)(√2 - 1)^2・(√3 - 1)^4・(√3 - √2)
> 0,
不等式スレ9 - 761 (3), 762 >>746
くだらない問題
計算がちょっと長いだけだった ABC
ACB
BAC
BCA
+CAB
--------
3123
A,B,Cは? G をグラフとする。
M^* を G の最大マッチングとする。
M を G のマッチングとする。
このとき、 G には、 M に関する、点を共有しない |M^*| - |M| 個の単純な増加パスが存在することを示せ この積分が解けません…途中計算を教えてもらえないでしょうか?
ざっとググった感じarcsinがでてくるらしいのですができればarcsin使う方向でお願いしたいです
https://i.imgur.com/PRH9wUj.jpg すみません!解決しました!
ご協力ありがとうございます! ∫ sqrt( (1 - x) / (1 + x) ) dx = ∫ (1 - x) * sqrt( 1 / (1 - x^2) ) dx
= ∫ (1 - x) * (arcsin(x))' dx
=
(1 - x) * arcsin(x) + ∫ arcsinx dx
=
(1 - x) * arcsin(x) + x * arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)
= arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) >>750
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..9],b<-[1..9],c<-[1..9], (a+a+b+b+c)*100+(b+c+a+c+a)*10+(c+b+c+a+b)==3123]
[(3,7,8)] >>750
(A,B,C)=(3,7,8)
A,B,Cが1桁の整数とは一言も書いてないけどな >>757
俺には配列の演算が配列の要素通しの演算になるRが使い勝手がいいな。
()で目がチカチカするがw
for(A in 1:9){
for(B in 1:9){
for(C in 1:9){
if (sum((c(A,B,C)+c(A,C,B)+c(B,A,C)+c(B,C,A)+c(C,A,B))*c(100,10,1)) == 3123)
print(c(A,B,C))
}
}
}
[1] 3 7 8 aを実数の定数とする。連立方程式 x+ay=1,(2a+2)x-y=2a+6を満たす整数x,yが存在するとき、aの値を求めよ。
わかる方詳しい解説お願いします😭✨ G をグラフとする。
M^* を G の最大マッチングとする。
M を G のマッチングとする。
このとき、 G には、 M に関する、点を共有しない |M^*| - |M| 個の単純な増加パスが存在することを示せ。 >>760
x=1-ay
(2a+2)(1-ay)-y=2a+6
(-2a^2-2a-1)y=4
-2(a-1/2)^2-1/2<0
(-2a^2-2a-1, y)=(-1,-4),(-2,-2),(-4,1)
(a,x,y)=(-1,5,4),(0,1,4) >>762
それだと(a,x,y)=(-1/2,-3,-8)のようなaが分数の場合が考慮されてないです。 下記の問題を素早く簡単に解く方法を教えてください。
問題@
2、7、15、26、40、( )
問題A
1、2、5、10、( )、26
答えは@57 A17 です。よろしくおねがいします。 >>705
x = √( W( 2e^{2y} )/2 )
これはyに後は数値を代入して計算ソフトなどで計算するだけでしょうか?
ランベルトのW関数についていろいろ調べたのですが数値を出す例がほとんどでした
W( 2e^{2y} )をランベルトのW関数使わずにyの関数で表す方法はないのでしょうか?
例えばW( ye^y ) = y のように ランベルトのW関数f(x)について、定積分
∫[0→a] f(x) dx
を求めよ。aは正の実数である。 nを3以上の整数、kを1≦k≦n-1を満たす整数とする。
赤玉がn個と青玉がn-k個あり、これらをでたらめに左から右に横一列に並べる。
このとき
「ある連続する4つの玉からなる部分で、左から『赤赤赤青』となっている部分が存在する」
ような確率をn,kで表せ。 代数学初学者です
Zは整数全体
50∈Z が単位元となるZ上の群構造はあるか調べよ >>769
∫[0→a] f(x) dx = a W(a) - ∫[0, W(a)] x e^x dx
= aW - [ x e^x - e^x ]{0,W}
= a W - W e^W + e^W - 1
= a( W(a) + 1/W(a) - 1) - 1
袋の中に赤玉a個、青玉b個、白玉c個が入っている。ただしa,bは自然数である。
袋から玉を無作為に取り出す操作を繰り返す。取り出した玉は袋に戻さない。
袋の中の玉で、一番はじめに赤玉がなくなった場合「勝利」とし、同様に青玉がなくなった場合「敗北」とする。
また袋の中に赤玉も青玉も残っている状態で白玉を取り出した場合、操作を終了し「引き分け」とする。
(1)c=0のとき、勝利する確率を求めよ。
(2)c=1のとき、勝利する確率を求めよ。また(1)で求めた確率との大小を比較せよ。 P(赤勝利) = 1-a/(a+b)-a/(a+c)+a/(a+b+c) >>766
次項から自項を引く
@ 5、8、11、14、(17) だから3づつ増えている
A 1、3、5、(7)、9 だから奇数の列が隠れている x=(2a^2+6a+1)/(2a^2+2a+1)=1+4a/(2a^2+2a+1),
y=-4/(2a^2+2a+1)
よりaが有理数であることに注意してx,yが共に整数となるようなaを探せばいい >>776
それ以上、条件が絞れないんですか?
その場合どういうふうに探せばいいんですか?
aが分数もありえるので プログラムが一概に悪いとは限らないが、
すぐ総当たり法に頼って「解けたぞ!」は、さすがに違うだろ...と思う。 定価の2割引で売っても、原価の1割2分の利益があるように定価をつけたい。定価をつけるときの利益率は何%にすればよいか?
答え40%です。ちと問題の意味がわかりません。過程式をよろしくお願いします 0.8x = 1.12
x = (5/4) * 1.12 高校の問題で恥ずかしい
〔問題文〕
AB=AC=ADである四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をEとし、点Aから底面BCDに垂線AHを引く。
このとき、点Hは△BCDの外心であることを「三垂線の定理」を用いて証明せよ。 〔以上〕
だそうです。よろしくお願いします。 >>783
△ABH ≡ △ACH ≡ △ADH。 >>784
三垂線の定理の使いどころがわからない
どこで使うのこれ >>786
全くわからんね
>>787
多分三垂線の定理を適応させるために用意したものかな??
https://i.imgur.com/LGcBsow.jpg
手書きですまんが 情報理論の問題です。(1)は解けるのですが、(2)でつまずいています...
<問題>
50人の生徒からなるクラスがある。
そのうち30人は男子、20人は女子であり、男子のうち18人、女子のうち2人は眼鏡をかけている仮定とする。
(1)男女の別、眼鏡の有無のそれぞれが持つ平均自己相互量を求めよ。
(2)男女の性別が判っているという条件のもとで、眼鏡の有無が持つ条件付き自己情報量を求めよ。
答えは、
(1)H(X) = 0.97ビット, H(Y) = 0.97ビット
(2)H(Y|X) = 0.77ビット
となっております。
得意な方がいましたら、(2)の答えを出すまでの計算過程を教えていただきたいです。
よろしくお願い致します。 >>789
単純に -(18/30)log2(18/30)-(2/20)log2-(2/20) ちゃう? >>783
題意より AB = AC
∴ ΔABCは2等辺Δ
∴ Aから底辺BCに下した水栓は中点Eで交わる。
散水栓の定理より、Hから辺BCに下した水栓も中点Eで交わる。
∴ ΔHBCも2等辺Δ
∴ HB = HC
同様にして
HB = HC = HD
3点B,C,Dは点Hを中心とする円周上にある。
点Hは△BCDの外心である。 断熱変化におけるポアソンの式の導出 | 高校数学の美しい物語
https://mathtrain.jp/hinetsuhi
高校生なのですが、これで分からないところがあるのですが(純粋に数学的操作なのでここで質問させていただきます)
https://i.imgur.com/yWbiiCK.png
これの「両辺で積分」とありますが、何を変数として積分しているのでしょうか?
P,V,Tの微小変化量を儕、儼、儺とする、というところからのみ話を勧めてて謎なのですが
まさか何で積分してもよいということはないですよね?時間とかですか? >>792
凾カゃなくて、dで考えると
dP/P + γdV/V = 0
両辺に積分記号をくっつけて(積分して)
∫1/P dP + γ∫1/V dV = 0
以下略
気になるなら右辺はCでも。
簡単な微分方程式の本(昔の高校教科書レベル)を読むとわかりやすいかも。 >>792
気持ちが悪ければΔVで割り算して、Vに関して積分すれば
ええんでない? >>794
あ、それぞれ別の変数で積分してよいのですか。
難しい……
>>795
これは試してみて納得しました。難しいですね……
ありがとうございました。 >>796
なんでもいいんだけど例えば V=V(T) と置いて置換積分
∫ 1/V(T) dt
= ∫ 1/V(T) V'(T) dT
= ∫ 1/V (dV/dT) dT
= ∫ 1/V dV
Pも同様 >>796
変数の間に関係が成り立つから、実は別の変数ではないんだよなあ
でもどんなパラメータで媒介変数表示しても、結局置換積分でパラメータは見えなくなるから
別々の変数で積分したような見た目になる >>796
変数で積分してるんじゃないよ
細かい議論はすっ飛ばして言えば
辺々を順番に足し合わせていくことで
Σ(儕/P + γ/V) = Σ0
で、凵ィd になるように極限をとれば、(細かい議論を吹っ飛ばして)
∫記号に変わるってこと。
∫f(x)dxはf(x)をxで積分してるんじゃなくて、f(x)dx を範囲の分だけ足し合わせてる感覚。 A:n次行列
A^5 -5A+E=0となるときAは対角化可能であることを示せ >>789
初めて聞く言葉なので興味が湧いて
https://logics-of-blue.com/information-theory-basic/
を読んでみた。
# https://logics-of-blue.com/information-theory-basic/
"予想がつかない→不確実性(情報エントロピー)が大きい→平均情報量も大きい"
ent <- function(x){ # 情報エントロピー(平均情報量)
x=x/sum(x)
entropy=0
for(i in x) entropy=entropy+i*(-log2(i))
return(entropy)
}
ent(c(30/50,20/50)) # gender
ent(c((18+2)/50,(50-18-2)/50)) # glass
"各々の確率分布の情報量の差分の期待値をとります
確率分布が異なっていれば、情報量があるとみなすのが、
カルバック・ライブラーの情報量です。"
rel_ent <- function(P,Q){ # 相対エントロピー
n=length(P)
if(n!=length(Q)) return(NULL)
P=P/sum(P)
Q=Q/sum(Q)
re=numeric(n)
for(i in 1:n) re[i] = Q[i]*(-log2(P[i])-(-log2(Q[i])))
return(sum(re))
}
#
"相互情報量は不確実性(情報エントロピー)の減少量とみなすことができます"
"
<問題>
50人の生徒からなるクラスがある。
そのうち30人は男子、 20人は女子であり、
男子のうち18人、女子のうち2人は眼鏡をかけている仮定とする。
"
30/50*ent(c(18/30,12/30)) + 20/50*ent(c(2/20,18/20))
> 30/50*ent(c(18/30,12/30)) + 20/50*ent(c(2/20,18/20))
[1] 0.7701686 >>803
Rなしで計算式を書くと
30/50 * ( 18/30*(-log2(18/30))+ 12/30*(-log2(12/30))) + 20/50 * ( 2/20*(-log2( 2/20))+ 18/20*(-log2(18/20)))
括弧を見やすくすると
30/50 * [ 18/30*{-log2(18/30)}+ 12/30*{-log2(12/30)} ] + 20/50 * [ 2/20*{-log2( 2/20)}+ 18/20*{-log2(18/20)} ] >>442
■P1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
(n(n+1)/2)-1 ……@
その中での宝二個の組み合わせ数
((n(n+1)/2)-1)(((n(n+1)/2)-1)-1)/2 ……A
最終マスと@との組み合わせ数
(n(n+1)/2)-1 ……B
自陣の当たりと相手の当たりで自分が勝つ
組み合わせはAと差分の和
差分は1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……
それを表す関数
(4n^3+6n^2-4n-3+3(-1)^n)/48
nが一つずれているのでn-1に補正
{4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)}/48 ……C
計算知能でAx2+B+Cを入力すると
P1st ={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 ……D
全n(n+1)マスで宝二個の組合わせ数
n(n+1){n(n+1)-1}/2 ……E
引き分け数は、n(n+1)-1と同着数の和
同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……
これを表す関数は {2n^2-1+(-1)^(n)}/8 ……F
n(n+1)-1 ……G
計算知能でF+Gを入力すると
even =(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8 ……H
計算知能でE-D-Hを入力すると
Q1st ={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 >>804
Prelude> let entropy x = sum $ map (\i -> -i*(logBase 2 i)) ( map(/sum(x)) x )
Prelude> 30/50 * entropy [18, 12] + 20/50 * entropy [2, 18]
0.7701685941085136 長さがそれぞれ等しい鋭角36°と鋭角72°の菱形がある。これらを頂点をずらさず隙間なく敷き詰め、正五角形をつくることは可能か。
バカすぎてぜんぜんわからんのでお願いします。 >>808
固有値が-1の5次のJordan cellをJとすると標数5では
J^5=-E=5J-E。 https://i.imgur.com/2HWFTjk.jpg
答えは5πであっていますか?
違っていたら解説お願いします。 念のためプロット
>>810
x = 2 e^{t i} + e^{-2t i} (周長比 1:3 から 2項の向きが揃うタイミングが分かる)
r^2 = |x|^2 = 5 + 2e^{3*t i} + 2e^{-3*t i} = 5 + 4 cos(3t)
tanθ := Im{x}/Re{x} = (2s-s2)/(2c+c2)
(dθ/dt) /cosθ^2 = { 2(c-c2)(2c+c2) + 2(s+s2)(2s-s2) }/(2c+c2)^2
(dθ/dt) r^2 = 2 - 2 cos(3t)
( >>410 は θ ≠ t である事を見落としたと思われる)
S = (1/2) ∫ [0→2π]dθ r^2 =(1/2) ∫ [0→2π]dt (dθ/dt) r^2
= (1/2) ∫ [0→2π]dt (2 - 2cos(3t)) = 2π
念のためプロットしてみた
https://i.imgur.com/uCqzGmh.png
まーこんなもんじゃないでしょうか。小円の半径は√2 (面積 2π) >>801
固有多項式が重根を持たないので最小多項式も重根を持たない。 >>801
すまん。一般のn 次だった。
x^5 - 5x +1 は最小多項式で割り切れる。
最小多項式が重根を持たないのは明らかなので対角化可能。 >>813
最小多項式で割り切れるのはわかりますが重解を持たないのは言い切れますかね? >>816
最小多項式が重根を持てば
f(x) = x^5 - 5x +1 も重根を持つ
⇔ f(x) = 0 , f’(x) = 0 が共通解を持つ 失礼しました。最小多項式ね。固有多項式でなく。
なら大丈夫ですね。 a,b,c,dは実数とする
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1のとき、
(a^2-b)(c^2-d)<0を示せ >>811
ありがとうございます。まだまだ勉強が足りてませんでした。 a,bを非負整数とする。
xの多項式{(1+x)^a}{(1-x)^b}を展開したとき、係数の絶対値が最大となる項の次数をa,bで表せ。 >>811
高校数学の内容だけで解く場合はどうなりますか? >>822
ベクトルで解くとr^2=4cos2θ+5となってしまいます。ご教示ください >>823
(x,y) = 2* (cos(t), sin(t)) + 1* (cos(-2t), sin(-2t))
第1項を公転成分、第2項を自転成分と思ってください.
そして t は "公転角" と同時に "接触点の偏角" であり, "点 P の偏角 θ" ではない事に注意.
【自転角速度が -2 の理由】
周長比 1:3 なので 小円は計3回大円の周をナメるわけです.
つまり 1ナメ目の 公転角 t=2π/3 でPは大円と2度目の接触をします(t=0 が1度目), このとき自転角は -2*2π/3 の逆回りでと公転角の "方向" と一致するわけです.
【θとt の関係】
tanθ = y/x = (2s - s2)/(2c + c2). この両辺を t で微分 (s,s2 等の略記は省スペースのため)
[左]=(dθ/dt) ( 1 + (tanθ)^2 ) =(dθ/dt)( x^2 + y^2 )/x^2 = (dθ/dt) r^2 / x^2
[右]={ 2(c - c2)(2c + c2) +2(s + s2)(2s - s2) }/x^2 = ( 2 - cos(3t) )/ x^2
∴ (dθ/dt) r^2 = 2 - cos(3t)
【面積S】
微小三角形(面積: (1/2)*r*rΔθ) の極限和を求めればよいので,
S = (1/2) ∫ [θ:0→2π] dθ r^2 = (1/2) ∫ [t:0→2π] dt (dθ/dt) r^2 = (1/2) ∫ [t:0→2π] dt ( 2 - cos(3t) ) = 2π
面積だけ求めたいのなら (x, y) や r^2 を偏角 θ で表す必要は無いのです. (簡単な形にはならない気がする)
(積分の変数変換の辺りが高校数学範囲内なのかは知らない) 2 - cos(3t) のとこは 2 - 2cos(3t) です. >>819
面白スレの解答は…
f(x) = (x^2 +2ax+b)(x^2 +2cx+d) = x^4 -(8/3)x^3 -2x^2 +8x+1,
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 -(20/27)^2/(7/6 +f/2)
= (1/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
= -0.2376189664261441
< 0,
面白スレ28-319,321 Q, A・B・C 三枚のカードが入った箱がある。そこから1枚引き、箱に戻すを6回繰り返す。Aを引いた時は300点、Bは100点、Cは0点もらえる。6回繰り返した時の点数の期待値はいくらか。
A・B・Cそれぞれ1/3の確率で引けるとする。
これをできるだけ少ない計算で楽に解く方法ないですか? >>828
6回やればA2回B2回が期待できる。
300×2+100×2=800(点) >>829-830
ありがとうございました。
1回だけ引いた場合の期待値×繰り返す回数って計算でいいんですか?
これってカードが4枚や5枚になったり、点数が変わっても同じですか? >>827
なるほどそのf(x)の係数になっているのか
だとするとf(x)=0の4つの解が異なる2実解と互いに共役な複素数解であることを使えば
もっと簡単に導けるな >>831
毎回同じ条件(箱から1枚引いては戻す)場合はそう。「反復試行」と呼び、「二項分布」に従う。高校数Bでやるはず。教科書にものってんじゃないかな 期待値は高校の指導要領から外れた。
ので高校数学の範囲では期待値求める問題でないし、期待値に関する公式も原則使えない。
どうでもいいですが〜♬ >>834
平均値って期待値じゃないの?
統計でどう教えるんだろ? A・B・C 三枚のカードが入った各々3枚ずつ計9枚入った箱がある。そこから1枚引き、カードは戻さないを6回繰り返す。Aを引いた時は300点、Bは100点、Cは0点もらえる。6回繰り返した時の点数の期待値はいくらか。
A・B・Cそれぞれ1/3の確率で引けるとする。
この方が面白いね。 △ABCで、BC=a、CA=b、∠A=α、∠B=βである。
a<bのとき、以下の不等式が成り立つことを示せ。
(b/a)^2 < (1-cosβ)/(1-cosα) < (β/α)^2
これを平面図形で示せといわれたのですが分かりません。 https://i.imgur.com/jChlpB1.jpg
テスト勉強しているのですが2.(3)が分からないのでどなたかご教示下さい >>839
原点で不連続である。
ε ∈ (0, 1) とする。
δ を任意の正の実数とする。
P = ((δ/2) * cos(δ/2), (δ/2) * sin(δ/2))
とすると、
原点と点 P の距離は、 δ/2 であり、 δ よりも小さい。
|f(P) - f(0)| = |1 - 0| = 1 > ε どのような内積からも導きかれないノルムの例教えてください。証明もお願いします。 >>841
James R. Munkres 著『Analysis on Manifolds』のp.9 Exercise 3に例があります。 >>819 >>827
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
= - (1/3) [(13+2√11)^{1/3} - (13-2√11)^{1/3}]^2
= - 0.2376189664261441
< 0, 空ではないHの部分集合Aに対してconv(A)=AならばAは凸集合である。の証明が分かりません。 conv(A) は Aを含む最小の凸集合である。
conv(A) = A なら A 自体がその凸集合である。
どこに悩む要素があるのか... 電車の広告で見た中学入試問題かなにか。
「11から20までの整数のうち、連続する自然数の和では表せない
ものをすべてあげなさい。」
うまい解き方あるのかな?奇数が連続する2つの自然数の和に
なることはほとんど自明だから、偶数だけチェックすればいいけど。
自作問題:素数が3つ以上の連続する自然数の和では表せないことを示せ。 >>846
有名どこでは
nがa〜bの和なら2n=(b+a)(b-a+1)より2nは2べきでなくnも2べきでない。
逆にnが2べきでないなら2nも2べきでなく2n=xy、x>y、x、yの奇遇がことなるを満たすものがとれてnはa=(x-y+1)/2〜
b=(x+y-1)/2の和になるってのがあるね。 1+2+3+4+5+6=21を眺めて
20,18,14も候補から外れるな >>849
2+3+4+5=14
3+4+5=12 2×20=5×8
(8+5-1)/2=6
(8-5+1)/2=2
20=2+3+4+5+6 リストアップなら10まで考えないとダメだね。
1〜:3 6 10 15 21 28 35 45 55
2〜: 5 9 14 20 27 34 44 54
3〜: 7 12 18 25 32 42 52
4〜: 9 15 22 29 39 49
5〜: 11 18 25 35 45
6〜: 13 20 30 40
7〜: 14 24 34
8〜: 17 27
9〜: 19
出てこないのは1,2,4,8,16。 2個以上の連続した自然数の和Sは、
その個数が奇数の場合、個数をa、真ん中の数をbとしてS=abと表され、
個数が偶数の場合、個数を2b、真ん中の2つの数の和をaとしてS=abと表される。
いずれの場合もaは3以上の奇数。よって、Sは必ず3以上の奇数を約数として持つ。
(すなわち、2以外の素因数を持つ)
逆に、Sが3以上の奇数の約数aを持っていれば、S=abと分解した上で、
そのa,bを用いて上記2通りのアプローチで少なくとも連続した2個以上の
「整数」の和で表すことができる。
そして、それが2個以上の「自然数」の和となる条件を調べると、
2つのアプローチの片方が必ず実現可能であることがわかる。
よって、Sが2個以上の連続した自然数の和で表されるための必要十分条件は
Sが2以外の素因数を持つこと。 ホモロジー群が同型だがホモトピー型が異なる幾何学的実現をもつ単体的複体の例を教えて下さい (X,O)を位相空間
opをこの空間の開核作用素
clをこの空間の閉包作用素
とし、op,clをP(X)からP(X)への写像とみなす。(P(X)はXの巾集合)
この写像の合成についてなりたつ式って何でしたっけ?
op・cl・op = op だったっけ?
op・cl・op・cl = op・cl だったっけ? >>857
上はダメ
反例R\{0}わ。
下は言える。
閉集合 F に対し ici F= i F が言えれば良い。
ci F ⊂ F ゆえ ici F ⊂ i F。
i F ⊂ ci F ゆえ i F ⊂ ici F。 サンクス
じゃあ同様の議論で
cl・op・cl・op = cl・op も言えそうだな F(x)=∫(x→x+1)te^(-|t|)dtについて、xがすべての実数を動くとき、F(x)が最大および最小となるxの値をそれぞれ求めよ。
詳しい解答解説お願いします。 >>860
絶対値外して部分積分
そんなこともできないのかゴミ野郎w >>860
x≦-1 のとき
F(x) = exp(x){(e-1)x +1} < 0,
x≧0 のとき
F(x) = exp(-x-1){(e-1)x +(e-2)} > 0,
-1≦x≦0 のとき
F(x) = ∫[x,0] t・exp(t) dt + ∫[0,x+1] t・exp(-t) dt
= {(1-x)exp(x) - 1} + {1 - (2+x)exp(-x-1)}
= (1-x)exp(x) - (2+x)exp(-x-1),
F(-1/2) = 0,
点(-1/2,0) について対称
F '(x) = (x+1)exp(-|x+1|) - x・exp(-|x|) = 0,
より
x = -e/(e-1) で最小 { F(x) = -(e-1)exp(-e/(e-1)) }
x = 1/(e-1) で最大 { F(x) = (e-1)exp(-e/(e-1)) } 距離空間(X, d)について質問です。
A, B⊂Xについて
δ(A∪B)≦d(A, B)+δ(A)+δ(B)
であることの証明が考えつきません。
どなたかお教えいただければ幸いです。
なお、A, B⊂Xに対して
δ(A)=sup{d(x, y)|x, y∈A}
d(A, B)=inf{d(x, y)|x∈A, y∈B} 距離空間(X, d)について質問です。
A, B⊂Xについて
δ(A∪B)≦d(A, B)+δ(A)+δ(B)
であることの証明が考えつきません。
どなたかお教えいただければ幸いです。
なお、A, B⊂Xに対して
δ(A)=sup{d(x, y)|x, y∈A}
d(A, B)=inf{d(x, y)|x∈A, y∈B} >>847
ひぇー、即答ですね。確かにその通りですね。恐れ入りました。 >>867
a_1∈A, b_1∈B s.t. δ(A∪B) = d(a_1, b_1)
a_0∈A, b_0∈B s.t. d(A, B) = d(a_0, b_0)
となっているとする。
三角不等式より
d(A∪B) = d(a_1, b_1) ≦ d(a_1, a_0) + d(a0, b_1)
≦ d(a_1, a_0) + d(a_0, b_0) + d(b_0, b1)
≦ δ(A) + d(A, B) + δ(B)
(最後の不等号はδの定義より) >>854
これまたお見事ですね。
初等的に導かれて面白い問題ですが、知る人ぞ知る問題なのかな。 >>867
a_1∈A, b_1∈B s.t. δ(A∪B) = d(a_1, b_1)
a_0∈A, b_0∈B s.t. d(A, B) = d(a_0, b_0)
となっているとする。
三角不等式より
d(A∪B) = d(a_1, b_1) ≦ d(a_1, a_0) + d(a_0, b_1)
≦ d(a_1, a_0) + d(a_0, b_0) + d(b_0, b_1)
≦ δ(A) + d(A, B) + δ(B)
(最後の不等号はδの定義より) >>867
A, Bが開集合ならa_i∈A, b_j∈Bとするとまずい。
sup, infなので。 >>872
δ(A∪B)=d(a_1, b_1)
d(A, B)=d(a_0, b_0)
となるa_0, a_1∈A, b_0, b_1∈Bの存在があやふやですよね。
これでは証明になっていないと思います。 >>873
存在があやふやだと?どこまで自分の頭で考えたんだ?
A, Bが開のときは、それらは、 Xに対するA, Bの補集合の元。 問題というか質問なんですが
統計学でt検定ってデータでいうと1変数じゃないですか?
n変数(次元)のデータに対して各クラスに有意差があるないってどういうふうに検定したらいいですか? >>874
つまりA, Bの元でないこともあるってことですよね笑 >>867
d(A,B)の定義より
∀(ε>0) ∃(x'∈A, y'∈B) d(x', y') < d(A,B) + ε
(1)∀(x∈A, y∈B) d(x,y)≦ d(x,x')+d(x',y')+d(y',y) < δ(A)+δ(B)+d(A, B) + ε
δ(A),δ(B)の定義より
(2)∀(x,y ∈A) d(x,y)≦ δ(A) ≦ δ(A)+δ(B)+d(A, B)
(3)∀(x,y ∈B) d(x,y)≦ δ(B) ≦ δ(A)+δ(B)+d(A, B)
(1)-(3)より
(4)∀(x,y ∈A∪B) d(x,y) < δ(A)+δ(B)+d(A, B) + ε
δ(A∪B) の定義より
(5) ∀(ε'>0) ∃(x'',y'' ∈A∪B) δ(A∪B) - ε' < d(x'',y'')
(4),(5)より
∀(ε, ε'>0) δ(A∪B) - ε' < δ(A)+δ(B)+d(A, B) + ε
∴ δ(A∪B) ≦ δ(A)+δ(B)+d(A, B) >>838
(左)
AB = c とおく。
第二余弦定理より
1-cosα = {aa-(b-c)^2} /2bc = (a-b+c)(a+b-c)/2bc,
1-cosβ = {bb-(c-a)^2} /2ac = (b+c-a)(a+b-c)/2ac,
より
aa(1-cosβ) - bb(1-cosα)
= aa{1 - (cc+aa-bb)/2ac} - bb{1 - (bb+cc-aa)/2bc}
= {a(b+c-a) - b(a-b+c)}(a+b-c) /2c
= (b-a)(a+b-c)^2 /2c
> 0, (← b-a>0)
また、
1-cosβ > 1-cosα,
cosβ < cosα,
β > α,
(右)
sin(x) は 0<x<π で上に凸だから
sin(α/2) > (1-α/β)sin(0) + (α/β)sin(β/2) = (α/β)sin(β/2),
(1-cosβ)/(1-cosα) = {sin(β/2)/sin(α/2)}^2 < (β/α)^2, >>877
昨日この質問をした者です。
納得できました。
本当にありがとうございます。 >>838 >>878
0 < (b-a)/2R (← 題意)
= sinβ - sinα (← 正弦定理)
= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2) (← 和積公式)
ここで 0 < (α+β)/2 < π/2 だから
sin((β-α)/2) > 0,
β > α, >>881
非自明な結び目(e.g. trefoil knot)の管状近傍を用意してS^3からくり抜いたものをMとおく。
∂M上のループlでそのMでのホモロジー類が0であるものをとる。
lとちょうど一個共有点を持つループをmとおく。
整数i(i≠0)を選びホモロジー類がm+|iであるループxを選ぶ。
xの帯状近傍に沿ってD^2×Iの側面∂D^2×Iを貼り付けたものをNとおく。
∂NはS^2なのでここにS^3を貼り付けたものをXとおく。
Xはホモロジー3球面になる。
証明はXの基本群をVan Kampen's theoremで計算する。 a^2+b^2=n
a^3+b^3=m
の時aとbを求めなさい この問題簡単そうでかなり計算が手こずり、ab
の 4次方程式と三次方程式の連立方程式になり、最終的に二次方程式として解けるようなのですが、うまくいきませんどなたかご教授お願いします a=b=n=m
そもそも実数だか整数だかの条件が無い 自然数を添え字とする開集合列(A_{n,m})に対して、
∪_n ∩_m A_(n,m) は開集合となるか?
よろしくお願いします。
(個人的には上手な足し合わせによって開集合になりそうな気がするんだけどな) 何のヒントにもなってない。4数とも実部虚部ともにゼロではない、とかの意味か? clを閉包作用素、
(Un),(Vm)は自然数n,mを添え字とする開集合の列
とする時、
∪_n Un \ ∪_m cl(Vm)
∪_m Vm \ ∪_n cl(Un)
は適切な和の取り方によって同時に開集合と出来ますか? すいませんa,b,をm,nの式で表せだったら大丈夫でしょうか >>885
(1) a^2+b^2= (a+b)^2 - 2ab = n
(2) a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3(a+b)ab = m
より ab を消去
(a+b)^3 - 3(a+b)((a+b)^2 - n)/2 = m
∴ (a+b)^3 - 3n(a+b) + 2m = 0
これを (a+b)についての3次方程式として解き, (1) から ab の値を得る.
後は 2次方程式 x^2 - (a+b)x + ab = 0 を解けば (a, b) が求まる. >>885
常套的な方法で、対称式 x=a+b、y=ab とおいてx、y の連立方程式を導き、それから2次方程式を解く、かな?
具体的には
a^2+b^2=n から x^2-2y=n
a^3+b^3=m から x(n-y)=m
この2式から y を消せば x の3次方程式 x^3-3nx+2m=0 が得られるので、それを解けばよい。 ヤンミルズ方程式と質量ギャップ問題ってどうやって解けば良いの? Wolframに入れたかが答が理解できなかった
Solve[{a^2+b^2==n,a^3+b^3==m},{a,b}] >>894 >>895
(a+b)^3 -3n(a+b) +2m = 0,
の根は
a+b = 2(√n)cosθ,
ここに cos(3θ) = -m/{n^(3/2)}
(*) 本問では n^3 - mm = (3aa-2ab+3bb)(ab)^2 > 0, > a+b = 2(√n)cosθ,
> ここに cos(3θ) = -m/{n^(3/2)}
>
a bは複素数らしいけどね。
まぁだからcosθの値域についてますます気にする必要ないんだけど。 >>898
https://i.imgur.com/VUu8EPe.jpg
答えに出てくる
Root[f, i] は方程式fのi次の根、f(x)=0のi番めの解を意味している。
で、& は無名の関数を作る記号で #1 ってのは関数の1番めの引数
(この文中の「#」は#じゃないけど#みたいな記号の意)
つまり Root[2#1^6-3#1^4n-2#1^3m+3#1^2n^2+m^2-n^3 &,1] は
方程式 2x^6 -3x^4n-2x^3m+3x^2n^2+m^2-n^3=0 の1番めの解 >>894 >>895
mm-n^3≧0 のときは
x^3 -3nx +2m = 0,
の根は
a+b = - [m +√(mm-n^3)]^{1/3} - [m - √(mm-n^3)]^{1/3}, すみません。厳密には数学の問題なのか分からないんですが、教えていただけると幸いです。
ある物理量Pに関してp1,p2,p3,・・・が与えられた時、p1でp2,p3,・・・を無次元化することを考える。
単純にp1で除せばいいのかと思いましたが、p1とp2,p3,・・・ではp1だけ符号が異なっているとします。
この場合、無次元化して正の数で表したい場合はどうすればよいのでしょうか?
説明が下手で申し訳ないです。数学なのかも怪しいですが、どなたか教えていただける方がおりましたらどうかよろしくお願いします。 何故それが数学だと思うのか不思議でならんが、単純に絶対値とったらあかんの? 塾で一度だけ担当してくれた先生が
連続ってどういうこと?ときいてきたのでつながっている事と答えたら
それはれん○○??の事だと言っていたのですが
何と言っていたか思い出せないのですが何かそういう言葉はありますか?
連続は近づいていけることだと言っていました 点Oを中心とする半径1の円上に、定点A,Bがある。ABはこの円の直径である。
この円周上を相異なる2つの点P,Qが、PQ=1となるように動く。
(1)PQ⊥ABのとき、PAの長さを求めなさい。ただしPA≦PBとします。
(2)A,P,B,Qをこの順に結んで出来る図形が凸四角形であるとき、その面積の最大値を求めなさい。凸四角形とは、へこんでいない四角形を指します。 ∫sinx cosx dx を部分積分で求めようとしてわけわからなくなってしまいました
どこがおかしいですか?
https://i.imgur.com/r0tQ20D.jpg (1) |PA| = 2 sin(π/12) = 2 √{ (1 - cos(π/6))/2 } = √{ ( 4 - 2√3 )/2 } = (√3 - 1) / √2
(2) Aは円孤AQ上にある. ∠ABP = ∠AOP / 2 , ∠ABQ = ∠AOQ / 2 , ∠AOP + ∠AOQ = π/3
面積[APBQ] = (1/2)*2cos(∠ABP)*2sin(∠ABP) + (1/2)*2cos(∠ABQ)*2sin(∠ABQ)
= sin(∠AOP) + sin(π/3 - ∠AOP) = 2 sin(π/6) cos( ∠AOP - π/6 ) = cos( ∠AOP - π/6 )
(1)と同じ配置 ∠AOP=π/6 にて 最大値 1 となる
x Aは円孤AQ上にある
o Aは円孤PQ上にある >911
不定積分だとしたら定数(例えば C) を追加したほうがいいでしょう。
∫ sin(x)cos(x) dx = -cos(x)^2 /2 + C
∫ sin(x)cos(x) dx = sin(x)^2 /2 + C’
どちらでもよいのです。sin(x)^2 = - cos(x)^2 + 1 ですので、定数の差が 1 だけズレているだけですね。
定積分ならその差は結果に影響しません。 >>914
あーーなるほど!ありがとうございました ∫fdx=Sとおいてしまいたいけど、Sには積分定数分の不定性が残っていて
Sが一意に定まらないからこういう置き方はしちゃダメってことなのね。
これで 0=1 の証明をされたら間違い箇所を訂正するのに苦労しそう。 logを含む関数でCによって式の形が全然違って見えるので前痛い目にあったんですが
完全に忘れてましたwポンコツですね…… logの時とは全然違うかと。
∫sinxcosx dx = S(x) とおくと
S(x) = -cosx cosx - ∫(-cosx)(-sinx)dx
= -(cosx)^2 - S(x)
よって
2S(x) = -(cosx)^2 …(1)
また
S(x) = sinx sinx - ∫(sinx)(cosx)dx
= (sin x)^2 - S(x)
よって
2S(x) = (sinx)^2 …(2)
(2)-(1)より
0 = (sinx)^2 + (cosx)^2 = 1
よって
0=1 が証明された。
さて、どこが間違っているのでしょうか。 >>918
logも関数の形によっては原始関数の表現を結構いじれますよね。同じ話だと思います。 やっぱり本格的に数学を勉強したいなら、プリンストン大学かケンブリッジ大学のトリニティ・カレッジに入るべきなんですかね・・・? 部分空間の次元が無限である線形空間の次元が無限になることの証明と,可換群の定義のうち結合則のみを満たさないような例(の存在)が分かりません。 >部分空間の次元が無限である線形空間の次元が無限になることの証明
無限次元部分空間 S ⊂ X で, 線形空間 X は有限次元 (n次元) と仮定します.
Xの基底を {e_1, e_2, ..., e_n} と置きます.
Sの基底集合から n + 1 個選択して { g_1, ...., g_[n+1] }
それぞれをX基底で展開します. g_j = Σ[i=1,n] a[i , j ] e_i
g_j [k=1...n+1] が一次独立なので、「係数行列 a[i , j] の列は一次独立」です.
しかし a[i,j] は (n,n+1)型の行列なので、それは不可能です。(∵ 例えば左基本変形による掃き出し法)
矛盾が示せたので、Xの次元は無限です. >>909
ありがとうございます
連結で調べてみたのですが集合で使う言葉なのか難しそうですね
高校の微分とか積分で連結って重要ですか? >>925
連結じゃないと中間値の定理が使えないけど高校数学では(多分)区間上の関数しか考えてないから知らなくても問題ないと思います どうして a/b ∻ c/d = ad/bc なの 教えて〜 比で考えましょう
a/b:c/d=ad/bc:1ですね
a/b ÷ c/dは1あたりいくつですから、比のc/dを1にした時のもう片方が答えですね 【新しい価値論 ( The Theory of Value )】
商品の価値は、その商品を生産する為に消費される energy ( 単位は erg )
即ち、熱量 ( 単位は cal.) によって決定される。
人:A が、自分が所有する商品aよりも、人:B が所有する商品bの方が
価値が高いと感じ、一方、人:B は自分が所有する商品bよりも、人:A が
所有する商品aのほうが価値が高いと感じる時、交換が起きる。
aとbとが等価値であると A,B の双方が感じたならば、交換など起きない。
故に、Karl H. Marx ( 1818 – 1883, 65 ↟ ) が完成したと言われている、
労働価値説は完全なる誤謬なり。■ >>929
もっとわかりやすい理由はありませんか? 半径1の円Cの面積Sを、以下の手順(a)(b)により3等分する。このとき、下記の線分PQの長さを小数点以下第2位を四捨五入して求めよ。
(a)Cの弦ABをとり、弦ABと劣弧ABで囲まれる部分の面積がS/3となるようにする。
(b)ABを1:2に内分する点Pをとる。優弧AB上に点Qをとり、弦ABと優弧ABで囲まれる部分の面積をPQで2等分する。 >>933
割算と掛算が互いに他方の逆演算になっていると考えてみたらどうかな。
0は、ひとまず考えに入れないで。 そもそも割り算がどういうものか考えてから質問してください
まずx=1/bとは「bを掛けると1になる数」のことです
つまりbx=1となる数xのことですね
当然0に何を掛けても1にはならないのでこの場合は普通考えません(だからこの段階で0を入れて考えるとどうなるか、というのはナンセンスです)
で、a/bは「a掛ける1/b」です
さて、(a/b)/(c/d)は「a/b掛ける1/(c/d)」です
c/dに何を掛けたら1になるか?もちろんd/cですよね
つまり1/(c/d)=d/cです
これにa/bを掛ければ(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)となります ふと疑問に思った質問です。
5のべき乗って下の方の位って同じ数字の並びがよく出るよなぁと思って見てたら
5^(2^n)≡5^(2^(n-1)) (mod 10^n)
が成り立ちそうな気がしてきたんですが、成り立ちますか?証明できなくてモヤモヤしてます! >>940
5^(2^n) - 5^(2^(n-1)) = ( 5^(2^(n-1) )*( 5^(2^(n-1) - 1 )
右辺第1乗数には 5の因子が n 個以上含まれる. (∵ 2^(n-1) ≧ n 等号は n=1,2 の時のみ)
右辺第2乗数には...
5^(2^(n-1) - 1 = (5^(2^(n-2) - 1) ( 5^(2^(n-2) + 1 )
= (5^(2^(n-3) - 1) (5^(2^(n-3) + 1)( 5^(2^(n-2) + 1 ) = ...
= (5^(2^0) - 1)(5^(2^0) + 1) (5^(2^1) + 1)....( 5^(2^(n-2) + 1 )
= 4 (5^(2^0) + 1) (5^(2^1) + 1)....( 5^(2^(n-2) + 1 )
2の因子が n+1 個含まれる. (∵ 各項のmod 4 )
よって
5^(2^n) - 5^(2^(n-1)) ≡ 0 (mod 10^n) (n=1,2,3, ... )
5^(2^n) - 5^(2^(n-1)) ≡ 0 (mod 10^(n+1)) (n=3,4,5,...) >>941
早い!ありがとうございます!
2の因子の括り出し方に感動しました! >>934
どなたかこの問題をお願いします
積分しようにもできませんでした X : 滑らかな多様体
A : X上の滑らかな関数全体のなす環
M : X上のベクトル場
T_x : x∈Xでの接空間
R : 実数全体のなす加法群でa∈R, f∈Aに対しfa=f(x)aとしA加群とみる
とするとき、
A加群としてT_xとMテンソルRが同型になることのイメージを教えて下さい >>936
小学校以来の商を求める筆算の手続きが割算だと思っているぽい >>944
https://i.imgur.com/XAszsNu.png
オレンジ領域の面積が等しくなるようにすればよい.
α - sinα*cosα = π/3
PQ*cosγ = cosα + cosβ
PQ*sinγ = (1/3)*sinα + sinβ
RO = cosβ - sinβ*cotγ = cosβ - sinβ *(cosα + cosβ) / ((1/3)*sinα + sinβ)
β - RO*sinβ = (RO + cosα) * sinα *(1/3)
綺麗な形にはならないのでプログラム組んだり, 適当なsolver使えって問題な気がする.
PQ = 1.36907... を得た. >>944
∫0〜x √(1-(ξ-1)^2) dξ = π/3
積分することは困難ではないが、そうやってできた
x-1=cos(π/3+(x-1)√(1-(x-1)^2))
のような方程式を手で解くのはちょっとやりたくない >>950
ページがまたがったため編集したら見にくくなってしまいました…ごめんなさい そういえば高校数学で固有値、固有ベクトルはやったはずだけど行列式は出てきてないよね
高校のときはどう計算してたっけ…… >>952
A-rEが逆行列を持たないからってやってたはずで
行列式の言葉は習わなくても、逆行列を持たない条件として|ad-bc|=0は習ってるはずだし
当時の入試でも条件を求める問題は出題されてたみたいよ
自分自身は、予備校というか塾で tr とか det とか習って行列式の性質も少し習った記憶がある。 fは単調増加でf(x)→∞であり、f(x)<xとする
このとき、任意のyについてf(x-y)/f(x)→1となるだろうか(x→∞) >>933
W.ハイゼンベルグ「部分と全体」〜私の生涯の偉大な出会いと対話〜
424p.4860円 山崎和夫:訳 みすず書房(1999/Nov)
http://www.msz.co.jp/book/detail/04971.html
・カスタマーレヴュー
この出版社の価格では、若い人に読んでもらえるだろうか。
たとえば、文庫本として、近づきやすい価格で発行されることを希望する。 (2006/07/04) 川に沿って18kmはなれたA、B2つの町がある。B町を出発してA町まで上がるのに1時間半かかった。船が下るときには、水流の速さが上がるときの2倍になったので、45分で下ることができた。この船の静水での速さを求めなさい。
答え時速16kmですが、なんでそうなるかわからないです。よろしくお願いします 上りと下りの速度をそれぞれ求めてその差を求める
その差は上ったときの水流の速さと下ったときの水流の速さを足したもの
水流の速さは下ったときは上ったときの2倍ということなので(以下略 >>958
すいません、理解できまへん。
答えが間違ってるのかな?過程式よろしくおねがいします >>957
x:船の速度
r:川の流れ
(x-r)*1.5=18
(x+2r)*45/60=18 >>961
方程式を解くのが面倒くさいのでWolframに計算してもらいました。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(x-y)*1.5%3D18,+(x%2B2*y)*45%2F60%3D18+for+x,y
船の速度16km/h
川の流れ4km/h >>961-962
ありがとうございます。助かりました a,b,c,d,e,fは一桁の整数で、以下の関係式を満たす。
c=2a,d=2b,10e+f=2(10c+d)+1
循環小数pで、p=0.abcdefabcdef...と表せるものを全て求めよ。 >>963
これ方程式なしで解くなら
上りの速度18/1.5=12
下りの速度18/(45/60)=24
これは上りで川の流速分減速、下りで川の流速の2倍の加速だから
流速の3倍差がついている。
故に川の流速は(24-12)/(1+2)=4
船の静水速度は12+4もしくは24-4*2で16と出せる。 >>955 反例を挙げる
単調増加数列 a[n] (n=1,2,...) を次の漸化式で定義する.
a[1] := 1
a[2k] := a[2k-1] exp(10) - 10
a[2k+1] := a[2k] + 10 (k = 1,2,3,...)
a[n] を用いて 単調増加関数 f を以下のように定義する.
f(x∈(-∞,a[2])) := min(1, x)
f(x∈[a[2k], a[2k+1])) :=a[2k-1]* exp(x - a[2k])
f(x∈[a[2k+1], a[2k+2])) := a[2k+1] (k=1,2,...)
長いチャージ区間と 長さ10のexpダッシュ区間が交互に現れるように作った(連続)関数です.
f(x) ≦ x なのは明らか. ( f(x) < x にしたければ 0.9 f(x) で再定義)
例えば
a[2k-1]+1 < x ≦ a[2k] の時, f(x-1) / f(x) = 1 である.
a[2k]+1 < x ≦ a[2k]+10 の時, f(x-1) / f(x) = exp(-1). である.
x はいくらでも大きく取れるので f(x- 1) / f(x) は 収束しない. >>967
(1)固有値と固有ベクトル
わざわざ固有方程式解いてもいいんだけど、基底ベクトルが線形写像でどう動くか見ればすぐわかる
λ1 = +1, λ2 = 0, λ3 = -1
v1 = +cos(θ/2) e_x + sin(θ/2) e_z
v2 = e_y
v3 = -sin(θ/2)e_x + cos(θ/2) e_z
(2) v^t S v を新たな直交基底 v1 , v2, v3 を用いて書き直す
v = x e_x + y e_y + z e_z = X v1 + Y v2 + Z v3 と置くと
v^t S v = v^t ( 1* X v1 + 0* Y v2 + (-1)*Z v3 ) = X^2 - Z^2 = c
元の基底からの回転を考慮すると, これは双曲面(x^2 - z^2 = c) を角度 θ/2 だけ回転させた図形である
>>966
サンガツ、もう少し条件ないとダメそうですね >>964
Prelude> [(a,b,c,d,e,f)|a<-[0..9],b<-[0..9],c<-[0..9],d<-[0..9],e<-[0..9],f<-[0..9],c==2*a,d==2*b,10*e+f==2*(10*c+d)+1]
[(0,0,0,0,0,1),(0,1,0,2,0,5),(0,2,0,4,0,9),(0,3,0,6,1,3),(0,4,0,8,1,7),(1,0,2,0,4,1),(1,1,2,2,4,5),(1,2,2,4,4,9),(1,3,2,6,5,3),(1,4,2,8,5,7),(2,0,4,0,8,1),(2,1,4,2,8,5),(2,2,4,4,8,9),(2,3,4,6,9,3),(2,4,4,8,9,7)] >>805
■@^2+CでもP1stは求められる
((n(n+1)/2)-1)^2+{4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)}/48
計算知能で@^2+Cを入力すると
P1st ={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 Zornの補題の証明です
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20111210
L^≠φとするとL∪{f(L^)}がf鎖になり
の証明が分かりません
よろしくお願いします 9999不可説不可説転と∞はどちらが大きいですか? >>950 >>967
(2)
(左辺) = cosθ・(xx-zz) + 2sinθ・xz
= sin(2φ)(xx-zz) + 2cos(2φ)・xz (2φ = π/2-θ)
= 2sinφ・cosφ(xx-zz) + 2{(cosφ)^2 - (sinφ)^2}xz
= 2(cosφ・x - sinφ・z)(cosφ・z + sinφ・x)
= 2 X・Z,
∴ 直角双曲線柱 (?) >>940 >>941
pを奇素数とすると
p^{2^n} - p^{2^{n-1}} = p^{2^{n-1}} * (p^{2^{n-1}} -1),
p^{2^{n-1}} -1 = (p-1)(p+1)(p^2 +1)(p^4 +1)……(p^{2^{n-2}} +1),
ところで、p^2 ≡ 1 (mod 8) ゆえ
p^2 +1, p^4 +1, ……, p^{2^{n-2}} +1 には 2の因子が1個づつ含まれる。
(p-1)(p+1)に2の因子がm個含まれるとすると、 m≧3 ゆえ
全体では (n-2)+m 個となる。 複素平面の点0と点1を直径の両端とする円をCとする。
C上を2点A(α)、B(β)が独立に動く。C上の定点P(γ)の接線をlとするとき、2αβ/(α+β)がl上にあるための条件をα、β、γで表せ。 >>980
γ= 1/2 + 1/2 * e^{iθ} とすると
L(t) = γ + t e^{iθ+ iπ/2} = γ + it (2γ - 1) (t は実数パラメータ)
2αβ/(α+β) = L(t) = γ + it (2γ - 1)
(2αβ/(α+β) - γ)/(2γ - 1) = i t
∴ Re{ (2αβ/(α+β) - γ)/(2γ - 1) } = 0
( 2αβ/(α+β) を提示された意図がわからない...もっとスッキリした形になるのだろうか) >>981
>γ= 1/2 + 1/2 * e^{iθ} とすると
これ結局使われてないね
いちどα,β,γぜんぶこの形式に変換してみてはどうか >>982
「e^{iθ} に直交する e^{iθ+ iπ/2} が接線の方向ベクトルを与える」
という事を明示したかった。
いきなり L(t) = γ + it (2γ - 1) とか書いても、は?ってなりそうだし。 条件を α, β, γ で表すと
Re{ (2αβ/(α+β) - γ)/(2γ - 1) } = 0
|2α - 1| = |2β - 1| = |2γ - 1| = 2
二番目の式を忘れるとこだった。 これで必要十分条件となる.
これ以上シンプルになるのか知らんけど. >>983
理解しました
円の中心をμとして、接点γにおける接線を {γ+iτ(γ-μ)|τ:実数} とするのはむしろ公式かと思っていましたが、その理由を掘り下げていたのですね >>984
2αβ/(α+β) は、(α+β=0 の場合を除き)つねに元の円の上にある
よってシンプルに書けば 2αβ/(α+β) = γ A、B間に30mの距離をおいて一列に電柱がたっている。Aから数えて72番目の電柱はBから数えて85番目になる。このとき、Bから数えて70番目の電柱はAから何mのところにあるか?
答え2580mなんですが、問題の意味が理解できません。過程式よろしくおねがいします。 >>986
> 2αβ/(α+β) は、(α+β=0 の場合を除き)つねに元の円の上にある
これどうやって示すのか迷ったがやっと分かった.
円反転の性質を知っていれば瞬殺だ.
q := 2αβ/(α+β) の逆数( 単位円に関する反転 & 複素共役写像 ) をとると、1/q = 1/2* (1/α + 1/β) .
この点は 直線: Re(z)=1 上にある. そして直線: Re(z)=1 上の点の逆数をとれば元の円周上に移る.
つまり q (= 1/(1/q) ) は元の円周上にある.
割と今回はうまく行きました
複素数で図形を表す問題だけれど、計算のみで解くのが困難か、難しい問題の作り方教えてください。 >>987
過程式もなにも図示できたら自ずから答えてでる。
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...,71,72,73,..,86,87,88,...,155,156
156 155 154 153 152 151 150 149 148 ...,86,85,84,..,71,70,69,..., 2, 1 B
電柱の数:72+85-1=156
(87-1)*30=2580 >>990
敢えて式を書けば (72+85-70-1)*30
空白がずれで見づらいから画像にしてみた。
http://i.imgur.com/2kMUaUs.png >>875
分散分析
郡内分散と群間分散の比をF分布で検定する。
この比をF-ratioと呼ぶといやらしいw ぐらふぃ@grafi_tt
胡散臭いけどやばい論文です https://ieeexplore.ieee.org/document/8350369 …
Learning From Pseudo-Randomness With an Artificial Neural Network?Does God Play Pseudo-Dice?
- IEEE Journals & Magazine ニューラルネットに π や eといった数学定数とか Mersenne Twister の次の桁を予測させると統計的に優位に当たってる
3:08 - 2018年11月25日 サイコロを振って、テストしてほしかったですね。
各サイコロの個性を反映して、当たる確率が 1/6 より高くなるかどうかです。
もっと性能の良いハードウェア乱数発生器でもテストして欲しかったですね。 ■経路依存性(Path dependence)
「あらゆる状況において、人や組織がとる決断は、
(過去の状況と現在の状況は現段階では全く無関係であったとしても)
過去のにその人や組織が選択した決断によって制約を受ける」
という理論です このスレッドは1000を超えました。
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