はい、皆様。今日の「ココが変だよ高木時空」のお時間がやって参りました。
今日も偶数の完全数についてお送りします。お楽しみください。

偶数の完全数をyとし、そのうち一つの素因数をp、pの指数を整数n(n≧1),p以外の素因数をp1,…,pkとし、prの指数をqkとします。

a=Π[k=1..r](1+pk+pk^2+..+pk^qk)
b=Π[k=1..r]pk^qk

とすると、完全数の定義より a(1+p+p^2+..+p^n)=2y=2bp^n です。
辺々(p-1)を掛けて整理すると (a-2b)p^(n+1)+2bp^n-a=0…⑤ となりますので、(a-2b)=2b=-a=0 でなければなりません。理由は高校で習いましたよね？
これを解くと a=b=0 となりますが、このとき上記の条件を満たす pk が存在しないのは明らかです。

以上のことから、偶数の完全数は存在しません。

お楽しみいたたけたでしょうか？