オイラーの定理は a^φ(n)≡1 (mod n) であることを示すものですが、a^x≡1 (mod n) ならば x=φ(n) でなければならない理由はどこにもありません。

なのに、
>p^(n+1)≡1 (mod pr^(qr-cr)) が成立するという条件
から、オイラーの定理を使って n+1=pr^(qr-cr-1) となる等と主張する理由がわからないと言っているのですよ。