>>594

つづき

３）上記２）においてm→∞ の極限として、トマエ関数を見ると
・トマエ関数の定義は下記引用の通りであるが
・上記２）において、mを大きくして、m→∞の極限として、Qm ＝Q（有理数）になったと考えることができる
・下記トマエ関数の性質、「有理数で不連続、無理数で連続」は既知とする
　（なので、Bf＝ R ＼ Q ＝ P（無理数））
・そうすると、この場合、上記２）で可能だった開区間は、潰れて取れないのだ
・これは、Q（有理数）がR中稠密という性質が表れているからと、考えられる

４）上記１）から３）まで、全て定理1.7’の条件「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」を満たす
　だが、３）のQ（有理数）がR中稠密では、「結論 B：f はある開区間の上で連続である」は不成立
　よって、Q（有理数）のようにR中稠密の場合は、定理1.7’の条件節 Aにおいて、これを除外しておかなければならない

（参考）
http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に 「コロちゃんぬ」 2017-10-24
(抜粋)
トマエ関数(Thomae's function,ドイツの数学者Carl Johannes Thomaeに因む)とは、
実数x ∈ R に対して
f(x)=1/q (x=p/q ∈ Q ,p,qは互いに素な整数,q>0 ), 0 (x ∈ R ＼ Q )
(Q は有理数全体の成す集合)

トマエ関数の性質
トマエ関数にとても惹かれる理由は何といっても次の性質です。
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
・有理数で不連続
・無理数で連続．
有理数で不連続なのはポツンと浮いているので明らかだと思います。しかし、無理数で連続なのは意外だったのではと思います。
(引用終り)

つづく