現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） 次に、写像 f：R→R に対して、次の2つの条件を考える。
(i) 「R−B_fは第一類集合であり、fはどの開区間の上でもリプシッツ連続でない」
(ii)「fは有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能である」
(ii)を満たす関数は(i)を満たすので、(ii)は(i)の部分ケースである。同じことだが、
{ (ii)を満たす関数全体の集合 } ⊂ { (i)を満たす関数全体の集合 }
という包含関係が成り立つ。ここに異論はないな？
一方で、前述した>>471の(★)により、少なくとも(i)のケースは既に完全否定できている。
よって、その部分ケースである(ii)のケースも既に完全否定できている。
このことを俯瞰して眺めると、結局は定理1.7そのものしか使ってないのに(ii)が否定できたことになる。
言い換えれば、(ii)のケースを否定するのに定理1.7それ自身を使うことは正しい。
このように、一致の定理そのものを使うことを正当化するためのスレ主の論理は、
定理1.7そのものを使うことを正当化するのにも使えるのである。
わざわざ定理1.7を分解する必要はなく、定理1.7そのものを使うことで、
(ii)が存在しないことが導けているのである。 一応、直接的に返答しておく。
>>463
＞間違った定理の適用をしてしまうこと（補集合が稠密なのに、リプシッツ連続な開区間が存在？）とは
＞全く話が違うね（＾＾；
そこがスレ主の間違いである。>>461-462をよく比較せよと言ったはずだ。
>>462の証明で定理1.7を適用している部分を指さして
「補集合が稠密である(リプシッツ連続な開区間は取れない)のに、リプシッツ連続な開区間が存在するだと？
それじゃダメでしょう。定理1.7の適用の仕方を間違えてますよ。このケースでは定理1.7は適用できないよ」
と批判することは、>>461の証明で一致の定理を適用している部分を指さして
「C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}である(恒等的に0ではない)のに、fは恒等的に0だと？
それじゃダメでしょう。一致の定理の適用の仕方を間違えてますよ。このケースでは一致の定理は適用できないよ」
と批判することに完全に対応している。スレ主は間違っている。>>461-462をよく比較せよ。 >>463
＞定理1.7から系1.8を導くときに、
＞隠れ条件（稠密か否か）を見落として
そんな論法が通用するなら、一致の定理だって同じことが言える。C−C_fが第A類集合のとき、これはさらに
(a) C−C_fは第A類集合であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} ではない
(b) C−C_fは第A類集合であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} である
と分解できる。また、(b)のケースは
(b') C−C_fは第A類集合であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} である、という正則関数f(z)は存在しない
という定理に昇華できる。すると、スレ主に言わせれば、>>461の(☆)を導くときに
本当に使うべきなのは(b')であり、一致の定理そのものは(☆)に使ってはいけないことになる。
なぜなら、スレ主に言わせれば、一致の定理では C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} というケースについて
何も言及していないので、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} が成り立つか否かは一致の定理の
"隠れ条件" になっており、(☆)に対して一致の定理自身をそのまま使ってしまっては、
この "隠れ条件" とやらを見落としているので、それでは一致の定理が正しく
適用できていないことになるからだ。無理やり一致の定理自身をそのまま使ったら、
「C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}である(恒等的に0ではない)のに、fは恒等的に0だと？
それじゃダメでしょう。隠れ条件を見落としてますよ。一致の定理の適用の仕方を間違えてますよ。
このケースでは一致の定理そのものは適用できないよ。隠れ条件を考慮した(b')を使うのが正解だよ」
ということになる。…これがスレ主の言っていることだ。支離滅裂だろう？ >>469
私が言っていることは違うよ
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
これは、あくまで正則関数の範囲内であって、
正則関数以外の複素関数には適用できない
つまり
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理（間違い版）
f：C→Cは複素関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
と、書くようなことだ
つづく >>477
つづき
（>>471より）
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7
f：R→Rとする。
もしR−B_fが第一類集合ならば、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ここで、簡単のために、
（B_fはリプシッツ連続な集合であると解せられるから）＊）
・R−B_fをリプシッツ連続でない集合（リプシッツ連続な集合の補集合）
・第一類集合を、（イメージをクリアにするために）ベールの第一類集合
とすると
注＊）（>>456より）Bf ：={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } だった
これは、リプシッツ定数K（後述 ＊＊））で、K < +∞と解することができる（定理1.7の証明中でも同じ扱いだ）
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7（書き換え版）
f：R→Rとする。
もしリプシッツ連続でない集合がベールの第一類集合ならば、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ここで、ご存知の通り、ベールの第一類集合は、
・有理数QのようにR中で稠密な場合と、
・整数ZのようにR中で稠密でない場合
とに分けられる
R中で稠密な場合は、リプシッツ連続な開区間は取れない
だから、定理1.7は、R中で稠密でない場合に限定しなければならない
それは、あたかも一致の定理で、正則関数と記すべきところを、複素関数と記すがごとし
それは、間違った定理の書き方だろう
つづく >>478
つづき
注＊＊）（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」（あるいは一様連続度（英語版））と呼ぶ。
写像 f: X → Y がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 K ? 0 が存在して
d_Y(f(x_1),f(x_2)）<= K*d_X(x_1,x_2) ( for ∀ x_1,x_2 ∈ X)
を満たすときに言う。このような K, あるいはそのうち最小のものを、関数 f のリプシッツ定数と呼ぶ。
(引用終り)
(注：d_X(x_1,x_2) は、２点間の距離な。原文ご参照ください)
以上 >>478 補足
なお重ねて言っておくが
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理（間違い版）
f：C→Cは複素関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理（間違い版）を適用して、一般の複素関数で、矛盾を導いて、恒等的に0でない関数の存在を否定することは間違った論法だ
そもそも、定理の適用を間違っているということだ
例えば、床関数（下記ご参照）を考えてみよう
床関数は、f(x)=0 ( 0 =< x < 1) だ
簡単のために、z= x+iy(iは虚数単位)で、値はyには関係なくｘのみで決まるとして
f(z)=f(x)=0 (なお、床関数の他の[0,1)以外の整数区間も同様に、値はyには関係なくｘのみで決まるとする)
この関数は、区間[0,1)＊）で恒等的に0なので、この区間内に0になる集積点を持つ
が、一致の定理（間違い版）でその存在を否定することはできない。当然だろ？
（注：＊）正確には、「任意のｙでｘが区間[0,1)」の場合）
あるいは、別の例で、デルタ関数（下記）を考えてみよう
デルタ関数は、原点x=0以外では恒等的に0だ
しかし、原点x=0でこの関数の値を 0とすることはことはできない（それこそ恒等的に0の関数になってしまう）
では、デルタ関数は存在しないのか？
デルタ関数は、昔は関数として扱えなかったが、まずはシュワルツ超関数 δ として扱えるようになった
つまり、21世紀の現代数学では、デルタ関数は数学の対象として存在すると認められている
但し、通常の関数ではないということだ
なので、どの範囲の関数を考えているのかという大前提を間違って、適用範囲外の定理を適用すると、
当然矛盾が導かれ、その関数は存在しないという間違った結論になるということです
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0
床関数と天井関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ディラックのデルタ関数 なんで{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }がリプシッツになるのかわかんねｗ
それと、上極限て「y→x」みたいな使い方できたっけ？ >>478 追加
１）（一致の定理）
＜可＞
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
＜不可＞
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理（間違い版）
f：C→Cは複素関数とする。
もしC−C_fが第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――――――――――――――
２）上記（間違い版）は、これは証明の問題ではない
「証明読めば、（間違い版）でも、正則関数限定と分かるように書いてある」という釈明は、許されない
３）なぜならば、（間違い版）「f：C→Cは複素関数とする」では、結論の「fは恒等的に0 」は導けない
４）つまり、条件節は、数学的に結論を導けるようになっていなければ、いけない（あたりまえだが）
５）ベールの第一類集合は、a)R中稠密な場合と、b)そうでない場合に分けられ、
R中稠密な場合、その補集合の中には、開区間など取れないから
従って、R中稠密な条件の場合は、「fはある開区間の上でリプシッツ連続」となるとする定理の条件にはできない
（つまり、ベールの第一類集合だけでは、「fはある開区間の上でリプシッツ連続」は導けないということ
これあたかも、一致の定理において、正則関数以外の複素関数に広げては、定理が成り立たないがごとし）
６）で、もっと言えば、R中稠密な場合が隠れ条件になっているのが良くない
７）以前、”ぷふ”さんと名付けた人が、「背理法だから許されるのだ」みたいな発言をしていたが
（R中稠密が）”隠れ条件になっている”ってことが見えないから、議論がかみ合わなかったんだね（＾＾；
（”隠れ条件”が見えないから、一見それでいいように錯覚してしまうってことだね）
以上 >>483
>なんで{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }がリプシッツになるのかわかんねｗ
あなたには、レベルが低すぎるかもしれないが、下記 「高校生のための不動点定理」の
冒頭に、リプシッツ連続の定義と説明があるので、まずはそれを見てください
なお、私は、上記が「リプシッツになる」で良いと思っています
要は、上記定義は、リプシッツ定数ｋが有限だと主張しているのと同義だと思いますので
http://izumi-math.jp/F_Wada/F_Wada.html
和田文興
http://izumi-math.jp/F_Wada/fixpoint_theorem.pdf
高校生のための不動点定理
@Author Fumioki.Wada @Version 1.00;17.Mar.2014
(引用終わり)
>それと、上極限て「y→x」みたいな使い方できたっけ？
まあ、正確には知らないが、分かるので良いんじゃないかな
多少正規の用法からずれていても、記号の濫用の範囲だと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E6%BF%AB%E7%94%A8
(抜粋)
数学において、記号の濫用（きごうのらんよう、英: abuse of notation, 仏: abus de notation）とは、形式的には正しくないが表記を簡単にしたり正しい直観を示唆するような表記を（間違いのもととなったり混乱を引き起こすようなことがなさそうなときに）用いることである。 >>485
まあ、”高校生のため”だが
リプシッツ連続も
不動点定理も
大学の範囲ですけどね >>487-488
スレ主のいい加減な発言だけを真に受けて「ばっかじゃん」とは心外だな。
まあ、スレ主ような人間の相手をしている俺は愚かかもしれんが。 >>483
こんばんわ。あなたが疑問に思っていることは、過去ログで何度も解説してある。
B_f＝{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
という集合の各点xは、「その点xのまわりでリプシッツ連続である」を 意 味 し な い 。
B_fの各点xは、fについてのかなり限定的な性質しか記述していない。
もし(a,b)⊂B_fを満たす開区間(a,b)が存在するとしても、(a,b)のある部分区間の上で
fがリプシッツ連続と言えるかどうかは、少なくともこの定義だけからは自明に従うものではない。
実際には、(a,b)⊂B_fを満たす開区間(a,b)が存在するなら、(a,b)のある部分区間の上で
fはリプシッツ連続になるのだが、それは自明ではなく、ベールのカテゴリ定理が必要であり、
定理1.7の証明と全く同じことをしなければならない。 >>483
そして、定理1.7で言っていることは、
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
R−B_f＝{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝+∞ }
が第一類集合なら、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ということ。つまり、lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝＋∞
となる点xの集合がベールの意味で「小さい」なら、
fはある開区間の上でリプシッツ連続だということ。
つまり、定理1.7は全く自明でない主張をしている。
その自明でない主張を引き出すためのタネがベールのカテゴリ定理。
このこと自体も過去ログで何度も指摘してある。 >>483
＞それと、上極限て「y→x」みたいな使い方できたっけ？
できる。一般に、g：R→R と x∈R に対して
limsup[y→x]g(y)：＝ inf[δ＞0] sup[0＜｜y−x｜＜δ] g(y)
と厳密に定義される。これは俺が独自に定義したものではなくて、正式な定義である。
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
の Functions from metric spaces to metric spaces の項目にも同じ定義がある。
ただし、こちらはより一般に距離空間での定義となっている。これをRのケースで考えると
limsup[y→x]g(y)：＝ inf[δ＞0] sup[0＜｜y−x｜＜δ] g(y)
が得られる。なので、これは正式な定義である。定理1.7について議論するときも、
俺はいつだってこの定義のもとで議論している(スレ主はどうやら違うようだが)。 >>485
＞なお、私は、上記が「リプシッツになる」で良いと思っています
＞要は、上記定義は、リプシッツ定数ｋが有限だと主張しているのと同義だと思いますので
スレ主よ、その解釈は間違っていると過去ログで何度も指摘しただろう？
B_fの各点xは「その点xの近傍でリプシッツ連続である」を意味しないし、
リプシッツ定数Kが有限であることも意味しない。全く同義ではない。
ある開区間(a,b)の上でfのリプシッツ定数がKであるとは、
任意のx,y∈(a,b)に対して｜f(y)−f(x)｜≦ K｜y−x｜ が成り立つときを言うのだ。
つまり、xとyの両方が自由に動いたときに常に一定のK以下で抑えられなければ
「リプシッツ定数」とは呼べないのだ。一方で、B_fの各点xは、xを固定してyだけを
動かしたときの "K" に相当する別の量を測っているに過ぎないので、
x∈B_fであっても、xの近傍でリプシッツ定数が有限値になるとは言えない。
実際に、x∈B_fが成り立つにも関わらず、xの近傍でリプシッツ定数が有限値にならない具体例を
過去ログで何度も提示してある。(x^{3/2}sin(1/x)が云々みたいな例だったはず) つまり、スレ主のこの間違え方は、今回が初めてではない。
というか、これと寸分違わず全く同じ間違え方を、スレ主は過去ログでやらかしている。
なぜ今さら、過去ログと同じ間違いを繰り返すんだ？
なぜ今さら、B_fの解釈を間違えるんだ？もう1年も経ってるんだぞ？
忘れたとは言わせないぞ？
これと寸分違わず全く同じ話題は、過去ログで指摘済みなんだぞ？
そして、B_fの解釈が間違っているということは、そもそも定理1.7が何を言っているのか、
スレ主は正確に理解してないということである。よって、スレ主は定理1.7周辺の話題について、
これは正しいとかあれは間違いとか、そういう発言すらできないことになる
(無理に発言したところで、"何も言ってないのと同じ" である)。
さすがにこれは、あいた口が塞がらない。これは本当に話にならない。「今さら」ですよ今さら。 だいたい、B_fの各点が「リプシッツ」を意味するのなら、B_fが空集合でない場合、
x∈B_fを1つ取った時点で話は終わっており、そのxの近傍でfは自明にリプシッツ連続だろ。つまり、
「B_fが空でないなら、fはある開区間の上でリプシッツ連続」
だろ。すると、R−B_fが第一類集合ならB_fは空ではないのだから、
定理1.7はわざわざ定理にする必要すらなく、自明な定理になってしまうだろ。
しかし、B_fはそのような意味を持っていない。
B_fの各点xは「その点xの近傍でリプシッツ連続である」を意味しないし、
リプシッツ定数Kが有限であることも意味しない。
定理1.7も全く自明ではないし、そもそも (a,b)⊂B_f となる開区間があったとしても、
(a,b)のある部分区間の上でfがリプシッツ連続になることは自明ではなく、
定理1.7と同じ証明(ベールのカテゴリ定理による証明)が必要になる。
このこと自体も過去ログで何度も指摘済みである。
しかし、スレ主はこの期に及んで未だに過去ログと寸分違わず全く同じ間違いを繰り返している。 前々からスレ主のレベルの低さには辟易していたが、過去ログで念入りに指摘していた間違いと
寸分違わず全く同じ間違いを未だに繰り返すというスレ主の今回の大失態には呆れ返るしかない。
しかも、間違えた箇所が「どうでもいいケアレスミス」なのではなく、
定理1.7を理解する上での根幹をなす、最も基本的な部分での間違い(B_fに関する間違い)
というのが非常にいただけない。
この部分は、今さら間違えてはいけないのだ。これでは話にならない。もう1年も経ってるんだぞ？
この体たらくでは、スレ主が何を発言しても、それは「何も言ってないのと同じ」だ。
もはや便所の落書きですらない。「落書きすらしていない」のと変わらん。 上の方で「心身機能の加齢性変化」という話があったが、
スレ主の現状は、もうそんなレベルではない。
俺は今まで一体「だれ」を相手にしていたのだ？
オブラートに包んで言えば、俺が今までやっていた行為は、
「毎日毎日、丁寧にたくさんの長文を、部屋の壁に向かって独りで呟いていた」
という行為と "全く変わらない" ということだ。悲しいね。俺には虚無感しか残らん。 あまりにバカバカしいのでもうやめるが、一応レスしておく。
レスはするが、もう返答しなくていいぞ。俺からも、もう返答はしない。
書きたいことを全て書いたら終わりにする。
>>477
＞これは、あくまで正則関数の範囲内であって、
＞正則関数以外の複素関数には適用できない
何を批判したつもりになっているのだ？
俺は正則関数以外の複素関数に一致の定理を使ったことはないし、
そう勘違いされる書き方もしていないはずだ。俺が一致の定理について言及しているときには、
俺は必ず「正則関数」と書いている。たとえば、>>436-437を読み返してみろ。
事あるごとに必ず「正則関数」と明記してあるじゃないか。
話にならん。 >>484
＞５）ベールの第一類集合は、a)R中稠密な場合と、b)そうでない場合に分けられ、
＞ R中稠密な場合、その補集合の中には、開区間など取れないから
＞ 従って、R中稠密な条件の場合は、「fはある開区間の上でリプシッツ連続」となるとする定理の条件にはできない
＞（つまり、ベールの第一類集合だけでは、「fはある開区間の上でリプシッツ連続」は導けないということ
的外れ。同じ屁理屈が一致の定理にも適用できてしまう。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：C→C は正則関数とする。C−C_f という集合について考える。このとき、
(5)C−C_fが第A類集合ならば、(a)C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}である場合と、(b)そうでない場合
の2つに分けられ、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} の場合、fは恒等的に0になりえないから、
従って、「fが正則関数でC−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}」の場合は、「fは恒等的にゼロ」となるとする定理の条件にはできない
(つまり、"fが正則関数かつC−C_fが第A類集合" という条件だけでは、「fは恒等的に0」は導けないということ)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― >>499で何が言いたいかというと、要するにスレ主は一致の定理を否定しているということだ。
また、よく見ると、>>499の論法は>>436-437で指摘したインチキ論法と全く同じである。
スレ主は、>>436-437のインチキ論法が間違っていることを既に認めている(>>446)のだが、
それにも関わらず、スレ主は今回、全く同じインチキ論法を持ち出して、
定理1.7に対して的外れな批判を繰り返しているのである。
これは明らかに、スレ主の思考の「クセ」である。
スレ主の頭の中には非論理的な思考回路が出来上がっていて、
スレ主の意思とは無関係に、反射的にその回路が優先してしまって、
既に論破された同じ間違いをついつい繰り返してしまうというわけだ。 これ以上連続で書き続けても、たぶん連投規制になっちゃうので、一旦打ち切る。
数時間経って21時か22時頃になったら、最後のレスを書く。
その間にスレ主からレスがあるかもしれないが、俺はそれらのレスは無視する。
こちらで書きたいことだけを書いて、それで終わりにする。あしからず。 最後のレス。…と言いたいところだが、書きたい話が2つになったので、まずは1つ。
スレ主は結局、定理1.7を正しいと認めたのか否かを明言していない。
もし定理1.7を正しいと認たのならそれでいいが、もしかしたら、
定理1.7それ自身はあくまでも正しくないと思っていて、しかし
(1) R−B_fが第一類集合であり、R−B_fがR中稠密でないなら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である
(2) R−B_fが第一類集合であり、R−B_fがR中稠密ならば、そのようなfは存在しない
と2つに分解すれば、この(1),(2)なら正しいと思っている可能性がある。そこで、
「(1),(2)が正しいなら定理1.7それ自身も正しい」
ということを、以下で説明する(過去ログでぷふさんが似たようなこと言ってた気もするが)。 f：R→R に対して、命題 A(f), S(f), B(f) を次のように定義する。
A(f)「R−B_fは第一類集合である」
S(f)「R−B_fはR中稠密である」
B(f)「fはある開区間の上でリプシッツ連続である」
すると、>>502の(1)と(2)は次のように書ける。
(1) ∀f：R→R s.t. A(f)∧¬S(f) → B(f)
(2) ∀f：R→R s.t. ¬(A(f)∧S(f))
いちいち "(f)" があると読みにくいので、これを省略すれば、次のように書ける。
(1) ∀f：R→R s.t. A∧¬S → B
(2) ∀f：R→R s.t. ¬(A∧S)
この表現が実際に>>502の(1)と(2)を正しく表現できていることを、きちんと確認されたし。 では、(1)と(2)を変形していく。
命題の変形は "＝" ではなく "≡" という記号でやるべきだが、以下では "＝" を使う(まあいいでしょ)
まず、一般に (P→Q) ＝ ¬P∨Q と変形できるので、(1)の中身は次のように変形できる。
(A∧¬S → B) ＝ ¬(A∧¬S)∨B ＝ ¬A∨S∨B
よって、(1)は次のようになる。
(1) ∀f：R→R s.t. ¬A∨S∨B
今度は(2)を変形しよう。¬(A∧S) ＝ ¬A∨¬S なので、(2)は次のようになる。
(2) ∀f：R→R s.t. ¬A∨¬S よって、(1),(2)は次のようになる。
(1) ∀f：R→R s.t. ¬A∨S∨B
(2) ∀f：R→R s.t. ¬A∨¬S
一般に、
∀f：R→R s.t. P(f)
∀f：R→R s.t. Q(f)
という2つの命題が両方とも正しいなら、
∀f：R→R s.t. P(f)∧Q(f)
という命題も正しいので、(1),(2)が正しいなら
(3) ∀f：R→R s.t. (¬A∨S∨B) ∧ (¬A∨¬S)
は正しいということになる。 では、(3)の中身を変形していこう。つまり、
(¬A∨S∨B) ∧ (¬A∨¬S)
を変形していこう。一般に (P∨Q)∧(P∨R) ＝ P∨(Q∧R) (ただの分配法則)なので、
Pを¬Aと見立てて、QをS∨Bと見立てて、Rを¬Sと見立てれば、
(¬A∨S∨B) ∧ (¬A∨¬S) ＝ ¬A ∨ ( (S∨B)∧¬S )
と変形できる。(S∨B)∧¬S ＝ (S∧¬S)∨(B∧¬S) ＝ 偽∨(B∧¬S) ＝ (B∧¬S) なので、
¬A ∨ ( (S∨B)∧¬S ) ＝ ¬A ∨ (B∧¬S)
となる。さらに
¬A ∨ (B∧¬S) ＝ (¬A∨B)∧(¬A∨¬S)
と変形できる。よって、(3)は次のようになる。
(3) ∀f：R→R s.t. (¬A∨B)∧(¬A∨¬S) 一般に、
∀f：R→R s.t. P(f)∧Q(f)
が真なら
∀f：R→R s.t. P(f)
∀f：R→R s.t. Q(f)
は両方とも真である。これを
(3) ∀f：R→R s.t. (¬A∨B)∧(¬A∨¬S)
に適用すれば、
∀f：R→R s.t. ¬A∨B
∀f：R→R s.t. ¬A∨¬S
は両方とも真である。ここでは
∀f：R→R s.t. ¬A∨B
の方だけに興味がある。 >>507で得られた
∀f：R→R s.t. ¬A∨B
について。一般に (P→Q) ＝ ¬P∨Q であるから、
¬A∨B ＝ A→B
と変形できる。よって、
∀f：R→R s.t. A→B
が得られて、これは正しい命題ということになる。よく見ると、この命題は定理1.7それ自身である。
よって、(1),(2)が正しいなら、定理1.7それ自身も正しい。 補足しておくと、>>503で定義した具体的なA,B,Sに限らず、
・ ∀f：R→R s.t. A∧¬S → B
・ ∀f：R→R s.t. ¬(A∧S)
の2つが両方とも正しくなっているような任意の一般的なA,B,Sに対して、
機械的に>>504-508の変形を行うことで、
∀f：R→R s.t. A→B
が必ず導出できる。言い換えれば、このような一般的な枠組みの中で
統一的に従う事実のみを、>>504-508では使っていることになる。 つまり、一般的な枠組みの中で統一的に従う事実のみを用いて
「(1),(2)が正しいなら定理1.7も正しい」
という事実を引き出しているので、スレ主はこの事実には反論できない。
だから、仮に定理1.7を認めたくないなら、(1)と(2)のうち少なくとも片方は
「マチガッテイル」として放棄しなければならない。もし放棄するとしたら(2)だろうが、
(2)専用の証明が作れることは>>382,>>453で既に指摘してあるので、(2)は正しく、
スレ主は(2)を放棄できない。また、(1)はスレ主の目には自明に映っているようなので、
スレ主は(1)も放棄できない(実際には、(1)も自明でないことを過去ログで何度も指摘したが)。
つまり、スレ主は(1),(2)を両方とも放棄できないので、
スレ主は定理1.7それ自身もまた認めざるを得ない。
(まあ最初から定理1.7を認めているなら構わんが。) 次が本当に最後の話になるが、今書いても
たぶん連投規制になるので、また数時間後に書く。 人から指摘されて気付くのが普通のバカ
スレ主は救い様の無いバカ スレ主の>>436-437,>>499-500のインチキ論法は、
今後も炸裂すると思われるので、ここでもう一回まとめておく。
AAを使ったが、ずれないか心配である。 一致の定理
┌─────────┐ ┌─────────┐
│f：C→Cは正則関数 ├＆┤C−C_fは第A類集合│→ fは恒等的に0
└─────────┘ └─────────┘
スレ主のインチキ論法
┌─────────┐ ┌─────────┐
│f：C→Cは正則関数 ├＆┤C−C_fは第A類集合│
└─────────┘ └─┬─────┬─┘
or or
│ ┌───┴───┐
│ │それ以外の場合│→ fは恒等的に0と主張したいが…
│ └───────┘
┌────────────┴───┐
│C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}の場合 │→ fは恒等的に0ではない(★)
└────────────────┘
(★)がある時点で、「fは恒等的に0」という結論は導けない。
つまり、「f：C→Cは正則関数＆C−C_fは第A類集合」という条件だけでは、
「fは恒等的に0」は導けない。つまり、一致の定理は間違っている！ or の位置がずれちゃったね。もう一回だけやってみるか。 一致の定理
┌─────────┐ ┌─────────┐
│f：C→Cは正則関数 ├＆┤C−C_fは第A類集合│→ fは恒等的に0
└─────────┘ └─────────┘
スレ主のインチキ論法
┌─────────┐ ┌─────────┐
│f：C→Cは正則関数 ├＆┤C−C_fは第A類集合│
└─────────┘ └─┬─────┬─┘
or or
│ ┌───┴───┐
│ │それ以外の場合│→ fは恒等的に0と主張したいが…
│ └───────┘
┌────────────┴───┐
│C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N}の場合 │→ fは恒等的に0ではない(★)
└────────────────┘
(★)がある時点で、「fは恒等的に0」という結論は導けない。
つまり、「f：C→Cは正則関数＆C−C_fは第A類集合」という条件だけでは、
「fは恒等的に0」は導けない。つまり、一致の定理は間違っている！ 右側の or が左にずれちゃったけど、まあこんなもんかな。 では、最後のレスを書く。
定理1.7を分解しなくても系1.8が導ける理由を説明する。
>>469-472とほとんど同じ内容だが、悪しからず。 比較のために、まずは一致の定理から始める。
――――――――――――――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もし C−C_f が第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
―――――――――――――――――――――――――― ここでは、
「正則関数 f：C→C であって、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} を満たすものは存在しない」
という事実を、一致の定理を分解することなく、一致の定理そのものを使うことで証明したい。
スレ主のために「正則関数」という言葉を明示すれば、これは次の手順で証明できる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
正則関数 f：C→C に対する、次の2つの条件を考える。
(i) 「f：C→C は正則関数であり、C−C_fは第A類集合であり、fは恒等的に0ではない」
(ii)「f：C→C は正則関数であり、C−C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} である」
(ii)を満たす正則関数は(i)を満たすことが分かるので、(ii)は(i)の部分ケースである。
同じことだが、{ (ii)を満たす正則関数全体 } ⊂ { (i)を満たす正則関数全体 }
が成り立つ。そして、
・ 一致の定理により、少なくとも(i)を満たす正則関数は存在しない(ここは明らか)。
・ (ii)は(i)の部分ケースなので、(ii)を満たす正則関数も存在しない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――― 言い換えれば、次のようになる。
・ 一致の定理により、少なくとも(i)を満たす正則関数は存在しない(ここは明らか)。
・ (ii)が(i)の部分ケースであることは、我 々 が 直 接 的 に 確 か め て あ る 。
・ よって、(ii)を満たす正則関数も存在しないという結論が得られる。
・ つまり、「一致の定理による(i)の否定」＆「我々が直接的に確かめた(ii)⊂(i)」
という二段階の論法によって、(ii)のケースが存在しないという結論が得られる。
つまり、一致の定理には(i)のケースのみを任せていて、(ii)と(i)の繋がりは我々が担保していて、
我々が自分達の力で「(ii)⊂(i)」を確かめていて、この組み合わせによって、
一致の定理を分解せずに、現状の一致の定理そのものだけで話が終わる、という構造である。 次は、定理1.7で同じことをする。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7
f：R→R は写像とする。
もし R−B_f が第一類集合なら、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――― ここでは、
「写像 f：R→R であって、有理数で不連続、無理数で微分可能であるものは存在しない」
という事実を、定理1.7を分解することなく、定理1.7そのものを使うことで証明したい。
>>520と同じ書き方でコピペすると、これは次の手順で証明できる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
写像 f：R→R に対する、次の2つの条件を考える。
(i) 「f：R→R は写像であり、R−R_fは第一類集合であり、fはどの開区間の上でもリプシッツ連続でない」
(ii)「f：R→R は写像であり、fは有理数で不連続、無理数で微分可能である」
(ii)を満たす写像は(i)を満たすことが分かるので、(ii)は(i)の部分ケースである。
同じことだが、{ (ii)を満たす写像全体 } ⊂ { (i)を満たす写像全体 }
が成り立つ。そして、
・ 定理1.7により、少なくとも(i)を満たす写像は存在しない(ここは明らか)。
・ (ii)は(i)の部分ケースなので、(ii)を満たす写像も存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 言い換えれば、次のようになる。
・ 定理1.7により、(i)を満たす写像は存在しない(ここは明らか)。
・ (ii)が(i)の部分ケースであることは、我 々 が 直 接 的 に 確 か め て あ る 。
・ よって、(ii)を満たす写像も存在しないという結論が得られる。
・ つまり、「定理1.7による(i)の否定」＆「我々が直接的に確かめた(ii)⊂(i)」
という二段階の論法によって、(ii)を満たす写像は存在しないという結論が得られる。 このように、定理1.7を分解することなく、定理1.7のままで(ii)が否定できている。
そのタネ明かしは、>>521でも触れたように、
「我々が直接的に確かめた(ii)⊂(i)」
という事実が原因である(スレ主はこの事実をずっと見落としている)。つまり、
・ 我々が自分達の力で手に入れた「(ii)⊂(i)」という事実と、
・「定理1.7による(i)の否定」を組み合わせることで、
・ 定理1.7を分解せずそのままにしながら(ii)が否定できる
のである。言われてみれば当たり前の話だろう？
そして、系1.8の現状の証明も、これと本質的に全く同じことをしているのである。
だから、系1.8の証明はこのままで正しいし、定理1.7を分解する必要もないのである。
つまり、スレ主の批判はどこまで行ってもずっと的外れなのである。 別の言い方をすれば、スレ主は本質的には次のような批判をしていたにすぎない。
・ 我々が(ii)⊂(i)の確認作業を放棄して、この確認作業すら定理1.7に押し付けるのであれば、
現状の定理1.7そのものでは(ii)を否定できない。
しかし、これが何の批判にもなってないことは明らかである。
なぜなら、系1.8の証明の中では、(ii)⊂(i)を "確認している" からだ。
そのような "確認している" 証明に対して、
「我々が(ii)⊂(i)の確認作業を放棄して、〜〜」
という批判の仕方をしてみても、最初から前提が噛み合ってないので批判にならない。 これで終わり。
以上の説明は、おそらくスレ主にはきちんと伝わらない。
スレ主は未だに思考の迷路に嵌っており、
>>436-437や>>499-500や>>516といったインチキ論法から
抜け出せていないはずである。
よって、相変わらず、このインチキ論法によって
的外れな反論を繰り返すことだろう。
しかし、もうどうでもいい。
>>493-496で書いたように、スレ主の現状は「心身機能の加齢性変化」というレベルを
遥かに凌駕している。今さら>>493-496のような有様では話にならない。
この体たらくでは、スレ主が何を発言しても、それは「何も言ってないのと同じ」である。
もはや便所の落書きですらない。「落書きすらしていない」のと変わらない。
言い換えれば、このスレに「スレ主」などという人物の書き込みは1つもなくて、
俺が一人で延々と呟いていたのと変わらない。バカバカしい。だからこれで終わり。 >>527
お疲れ様でした
このスレ主を相手にしてもどうにもならないということが分かったのは収穫 >>527
どもありがとう
>もはや便所の落書きですらない。「落書きすらしていない」のと変わらない。
いやそれは、”便所の落書き”および”落書き”の、”数学的”ｗ定義によるわな（＾＾
（”落書き”にも、正則な”落書き”と、正則でない”落書き”があるかもしれんと思う今日この頃（＾＾ ）
>俺が一人で延々と呟いていたのと変わらない。バカバカしい。だからこれで終わり。
はい
では、貴方が戻ってこないように！ 一言
「あなたは、必ず戻ってくる！」（＾＾
貴方、一杯書いてくれたね
反論書くからね
貴方は、たまらず戻ってくる方に、１ペソ！（＾＾ >>528>>530
どもありがとう
運営ご苦労さん（＾＾ >>490
１）
(引用開始)
"B_f＝{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
という集合の各点xは、「その点xのまわりでリプシッツ連続である」を 意 味 し な い 。
B_fの各点xは、fについてのかなり限定的な性質しか記述していない。”
(引用終り)
そこへ逃げ込んだか？（＾＾
思うのだが、じゃ、そのB_fって、あなたの独創なの？ それとも、どこかの文献からのパクリ？
どこかの文献からのパクリなら、出典を明らかにすべきだし
あなたの独創なら、そこを厚く書くのが、論文の作法でしょ？
そして、リプシッツ連続であるを意味しないということを、厚く説明すべきだと思う
２）
(引用開始)
”もし(a,b)⊂B_fを満たす開区間(a,b)が存在するとしても、(a,b)のある部分区間の上で
fがリプシッツ連続と言えるかどうかは、少なくともこの定義だけからは自明に従うものではない。
実際には、(a,b)⊂B_fを満たす開区間(a,b)が存在するなら、
(a,b)のある部分区間の上で
fはリプシッツ連続になるのだが、"
(引用終り)
自白していると思うが
”(a,b)のある部分区間の上で
fはリプシッツ連続になる”
が大問題でしょ？
R-B_fが、R中で稠密なら、”(a,b)のある部分区間”は存在しないでしょ？
細かいところは後でね
では（＾＾ >>535
ID:Js5uYoc0 さん（>>527）は、本当にレベル高かったし、実解析、複素解析の知識も豊富でね
いろんな例示が的確だったし
証明に使った”straddle lemma”ですか、これ検索しても和文の関連文書がほとんどヒットしないんだわ
凄いと思ったよ
だけど、安部直人先生いうところの背理法の被害者の典型になってしまったのかもね
”ぷふ”さんと名付けた、これまた寡黙だけど、レベルの高い人がいたけど、この人も背理法の被害者かもしれない（＾＾
参考（>>466）
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/index.html
東京理科大学理学部第一部数学科 教授 安部直人
2013年07月10日 一部改
脱背理法教育、脱背理法依存教育
(抜粋)
(2) 背理法で証明できても、論理的な能力(構文論的)を持つことは判断できるが、証明の内容を数学的に理解している(意味論的)かの評価が困難である。
(3) 背理法の矛盾には任意性(例えば、「Abe=Obama」は現実に矛盾)があるので、本質的に異なるとんでもない証明が無数に可能である。 >>539
過去の経緯が分からないと
話の流れが、分からないと思うので
（>>15より）
「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明を
スレ49において、PDFからコピーし、証明をアスキー化して、その全文を貼った（下記）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178-186
（以前は、PDFがアップロードされていたのだが、削除されてしまった。残念だが）
まあ、興味ある人はこれ（上記）でも見てください >>535 補足
１）私スレ主が、定理1.7及びその証明を理解していない（>>496）という指摘は、当たっているとしても
私が主張しているのは、”定理1.7及びその証明”よりも、もっと手前（理解以前）の数学の原理原則の話だよ
２）安部直人先生いうところの、背理法を適用するときの、錯誤の面白い例になっていると思うので以下説明する
３）で、えーと、こういう話しだった
（>>428より）
定理1.7 において
f：R → R とする
条件節 A：Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く。もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
（>>429より）
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
つづく >>541
つづき
４）ここで、定理1.7の結論で、f：R → Rで、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」とした瞬間に
定理1.7のｆは、「リプシッツ連続で無い点が、R中に稠密に（例 有理数Q）存在する関数では無い」といえる
（定理1.7の対偶を考えると、そのような関数は、定理1.7の条件節 Aを満たさない（満たすべきでない）から）
５）系1.8では、「有理数の点で不連続」としたので、
この仮定より、系1.8の関数ｆは、「リプシッツ連続で無い点が、R中に稠密に分散存在する関数であるから、
定理1.7の条件節 Aを満たさないので、定理1.7は適用できない
だから、上記の証明で「定理1.7 が使えて」の部分が誤りである
６）なので、定理1.7を、二つに場合分けるとする
（>>456より。但し、少し修正＊＊））
１）定理1.7-1； 条件A-1：リプシッツ連続で無い点がR中稠密でない場合で、結論 B-1：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
２）定理1.7-2； 条件A-2：リプシッツ連続で無い点がR中稠密な場合では、 結論 B-2：そのようなfは、存在しない＊）
（注＊）そのようなfは、”存在する”となるかもしれない。勿論、その場合、開区間の上でリプシッツ連続とはならない関数になる ）
（注＊＊）もとは、”R−BfがR中稠密”としていたが、Bfの定義は”「リプシッツ連続である」を 意 味 し な い”（>>490より）と主張するので、修正した）
つづく >>542
つづき
７）だから、”定理1.7-2”を立てて、それをきちんと証明すればいいじゃない？
そうしないと、定理1.7のままでは数学の定理としてもまずいし、
定理1.7から系1.8を導くのもまずいよというのが、私の主張だ
８）だが、思うに、「”定理1.7-2”を立てて、それをきちんと証明する」ができないことが、彼には分かったのでしょうね
９）なお、繰り返すが、これは上記１）（>>541）の、”定理1.7及びその証明”よりも、もっと手前（理解以前）の数学の原理原則の話です
以上 >>543 補足
>８）だが、思うに、「”定理1.7-2”を立てて、それをきちんと証明する」ができないことが、彼には分かったのでしょうね
（補足）
ここ、正確には、いまの定理1.7の証明のままでは、それはきちんと証明できていないということね
（彼くらい力があれば、時間を掛ければ、場合分けの定理1.7-2が、存在しないか、あるいは存在する（実例を構成する）か、きちんと証明できると思うのだがね） >>544 補足の補足
まあ、すでに書いた通り
個人的には、”定理1.7-2”で、そのような関数は存在するのではと思っている
その場合、系1.8を導くことはできないね
でも、それでもいいじゃないですか https://www.nikkei.com/article/DGXMZO36797790T21C18A0000000/
AIベンチャー4社が激論 効果の提示と人材確保が焦点 日経
2018/10/23 12:33
日経BP社が2018年10月19日まで東京ビッグサイトで開催した「日経 xTECH EXPO 2018」で、人工知能（AI）ベンチャー企業4社が現状と課題についてパネルディスカッションをした。
https://www.nikkei.com/content/pic/20181023/96958A9F889DE1E4E5EBE5E5EBE2E0E1E3E2E0E2E3EAE2E2E2E2E2E2-DSXZZO3679786023102018000000-PN1-1.jpg
題目は「未来は我々が創る！新鋭AIベンチャー4社が徹底討論」。
HEROZ代表取締役最高経営責任者（CEO）の林隆弘氏とLeapMind代表取締役CEOの松田総一氏、シナモンProduct&Marketing Managerの大目晃弘氏、テンクー代表取締役社長の西村邦裕氏がそれぞれ、各社のAI開発の方向性や実用化に向けた解決すべき課題について議論した。
モデレーターは、日経 xTECH編集シニアエディターの田中淳が務めた。 小話その１
学生「先生！ 一致の定理が、正則の条件なしでも、一気に証明できました」
教師「その証明は間違っている。証明をよく見直して見ろ」
小話その２
学生「先生！ リプシッツ連続の開区間が存在することが、リプシッツ連続でない集合がR中に稠密に存在するときでも、一気に証明できました」
教師「その証明は間違っている。証明をよく見直して見ろ」
ちゃんちゃかちゃんちゃん。「お後がよろしいようで」（＾＾ 自分のバカさ加減に悩むのが普通のバカ
度を越したバカは悩まない >>490より
(引用開始)
B_f＝{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
という集合の各点xは、「その点xのまわりでリプシッツ連続である」を 意 味 し な い 。
(引用終り)
言いたいことがいまいち分らんが
あなたは、定理1.7の証明中で、下記を書いた
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/182
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
(引用開始)
182 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2018/01/05(金)
f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す.
x, y ∈ (a, b) を任意に取る.
｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ が成り立つことを示す.
(引用終り)
（注：ここは証明のPDFからの引用部分です）
つづく >>552
つづき
これは、区間(a, b) でのリプシッツ連続の定義だ
ここで、点xを固定して、yだけを動かせば、点xにおけるリプシッツ連続の定義になる
（ここら、分らない人は http://izumi-math.jp/F_Wada/fixpoint_theorem.pdf 高校生のための不動点定理 辺りを見て下さい）
さて
１）｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜
↓
２）B_f＝{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
が成り立つ
（証明はしないが、同意はするだろう）
そこで
”｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ ”が成り立つ点x（リプシッツ連続な点）を集めた、R中リプシッツ連続な点の集合を、B_fLとする
つづく >>553
つづき
なので、上記１）→２）より、
B_fL ⊂ B_fが成り立つ
補集合を取ると
R - B_fL ⊂ R - B_fが成り立つ
ここで、リプシッツ連続でない点の集合 R - B_fL が、有理数Qだったとしょう
Q ⊂ R - B_f となる
なので、R - B_fは、リプシッツ連続でない点の集合でR中で稠密な集合を含む場合が、生じる
そのような場合は、「f は(a, b) 上でリプシッツ連続であること」は出来ないから、それを含まないような定理の条件節設定が必要である
１）もし、そのような条件設定が出来ていれば、系1.8（>>541）は、適用外になる
２）もし、そのような条件設定が出来ていなければ、定理1.7（>>541）は、矛盾を含む
ということに、なるのだった
なので、系1.8に定理1.7をそのまま適用するのは、不適切だ
以上 >>554
>なので、R - B_fは、リプシッツ連続でない点の集合でR中で稠密な集合を含む場合が、生じる
>そのような場合は、「f は(a, b) 上でリプシッツ連続であること」は出来ないから、それを含まないような定理の条件節設定が必要である
まあ、これが出来ていないと思うよ
（>>549 "小話その２"） >>552
あなたは証明が読めませんね
何を言ってもトンデモにしかなりませんよ >>556
その声は、”ぷふ”さんかな？
>あなたは証明が読めませんね
まず、>>552の定理1.7の証明中の引用（スレ49から）は
>>553に記したように、単に”区間(a, b) でのリプシッツ連続の定義”を抜き出しただけです
続いて、これを使って、点xを固定して、点xにおけるリプシッツ連続の定義を示すためにね
（一から自分で筆を起こすよりも、楽だし、なにより出典が明確になるし正確（タイポが少ない）だし）
ところで、
>何を言ってもトンデモにしかなりませんよ
ここ、定理の証明を読む前に、定理の意味を考えるのが私の主義でね
定理の意味も分からず証明を読む？
まあ、定評ある教科書なら、定理の意味が分からないから、証明を読むのもありだろう
が、どこのだれとも知れない人が、「定理です、証明です」と。それは、正しい保証なしでね
まあ、定理と証明を平行して同時に読むのもありだろうが
しかし、定理の定式化の段階でおかしければ、証明を読む必要もない >>557
追加１
定理1.7（>>541より）
f：R → R とする
条件節 A：Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く。
もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
(引用終わり)
１）R−Bf が、Q ⊂＝ R - B_f （Qは有理数の集合で、リプシッツ連続でない点）とできたとする
（>>553-554ご参照）
そのようなR - B_fは、ベールの第一類内で可能なことは認めることとする
２）場合分けとして、
a)リプシッツ連続でない点が、R中稠密でない場合
b)リプシッツ連続でない点が、R中稠密な場合( 上記１）の場合)
に２分できる
３）a)の場合は、リプシッツ連続な開区間が取れる、
b)の場合は、リプシッツ連続な開区間は取れない
つづく >>558
つづき
追加２
１）思うに、「ある部分でリプシッツ連続、ある部分でリプシッツ連続でない」という関数は、
自由度（任意度）が大きすぎるので、
定理1.7の「結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である」というような設定が、適切でないように思う
（関数の自由度（任意度）が大きければ、リプシッツ連続な開区間など、いくらでも設定できるから）
２）正則な関数ならば、ある区間の性質が大域におよぶという綺麗な性質を持っている
しかし、上記１）の（リプシッツ連続・不連続で規定された）関数では、そうではない。
３）この話は、証明には依存しない。定理の証明は、別証明もありうるし、定理の証明以前の問題と思う
以上 https://gigazine.net/news/20181025-suzumiya-haruhi-superpermutation/
2018年10月25日 11時50分 サイエンス GIGAZINE
「涼宮ハルヒの憂鬱」のおかげで25年解けなかった数学の難問が解決されるかもしれない
(抜粋)
海外の掲示板「4chan」での議論が、数学者を25年以上悩ませてきた「The Minimal Superpermutation Problem(最小超置換問題)」という難問を解決するかもしれないと、世界中の数学者から大きな関心を集めています。解決の糸口となったのは、テレビアニメ「涼宮ハルヒの憂鬱」のエピソードの視聴順についてでした。
/sci/ - The Haruhi problem (lower bound) - Science ＆ Math - 4chan
http://boards.4chan.org/sci/thread/10089701/the-haruhi-problem-lower-bound
An anonymous 4chan post could help solve a 25-year-old math mystery - The Verge
https://www.theverge.com/2018/10/24/18019464/4chan-anon-anime-haruhi-math-mystery
4chanのアニメファンコミュニティの間では「涼宮ハルヒの憂鬱」をどのエピソード順に見るのがよいかという話題がしばしば取り扱われていました。その中で「可能な限りの順序で全てのエピソードを見たい場合、最も少ない組み合わせは何通りになるか」という問題が提起され、
このテーマはやがて「Haruhi Problem(ハルヒ問題)」という問題に昇華し、数学コミュニティで議論されるようになりました。このハルヒ問題は、数学の世界では「最小超置換問題」と呼ばれる難問にあたります。
この問題が論文
https://zbmath.org/?format=complete&;q=an:0801.05004
で提起されたのは1993年のことでしたが、25年以上かけてこの問題が解決されることはありませんでした。しかし、4chanの数学フォーラムで、nを14とするハルヒ問題の解法をきっかけに証明が投稿され、論文という形式ではないものの、最小超置換問題の解決の糸口となるのではと世界中の数学者から注目を集めてました。
https://i.gzn.jp/img/2018/10/25/suzumiya-haruhi-superpermutation/snap0733_m.png
つづく >>561
つづき
マケット大学の数学者であるジェイ・パントーン氏は、当初この投稿の内容に懐疑的でしたが、この投稿を元にした論文(PDFファイル)
https://docs.google.com/viewer?a=v&;pid=forums&srcid=MTUwMTUxMjExNDk4NTk5NjY5OTkBMDMxNDgwMTA5ODA5OTYyNzcyNDQBdlNFMnM3eTVCUUFKATAuMQEBdjI&authuser=0
を発表しています。
パントーン氏によると、「涼宮ハルヒの憂鬱」のエピソードを全組合せで視聴するには少なくとも939億2423万411話のエピソードを見る必要があるとのこと。
また、コンピュータ科学者のロビン・ヒューストン氏は以前から最小超置換問題に取り組んでいた数学者で、ハルヒ問題を皮切りに数学の難問が解き明かされようとしていることについて「興味深い状況だ」と興奮しています。
(引用終わり)
以上 >>560
ありがとう
リプシッツは、えらい人（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Rudolf_Lipschitz
(抜粋)
Rudolf Lipschitz
Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (14 May 1832 ? 7 October 1903) was a German mathematician who made contributions to mathematical analysis (where he gave his name to the Lipschitz continuity condition) and differential geometry, as well as number theory, algebras with involution and classical mechanics.
Contents
1 Biography
2 Rediscovery of Clifford algebra
3 Selected publications
4 See also
5 References
6 External links >>531
AAまで書いて教えてくれたのに、恩知らずなやつだね
お前を分からせるためにどんだけ手間暇かけたと思ってる？
お前、ワザとやってるのミエミエだからなw >>557 補足
>>あなたは証明が読めませんね
ところで
全く正直な話、証明は読めてないと思うが（＾＾、
自分なりに読んだ。
で、証明が間違っていると思ったよ（＾＾
但し、証明の細部に入る前に、
入り口の定理の定式化が間違っているので、そこで勝負すべきと思ったんだ
つまり、「入り口の定理の定式化」で、今までこれだけぐちゃぐちゃと、延々、と議論している
だったら、証明に立ち入ると、収拾がつかないだろうからね
で、”定理の主”さんが居なくなったのを幸いに、欠席裁判で、証明に触れることにする
（”定理の主”が乱入してこないことを祈りつつ
”定理の主”が来たら、また入り口に戻るよ（＾＾ ）
１．で、まず、証明に入るとは言いつつも、定理の定式化に触れないわけにはいかないので少しだけ
>>559に書いたけど、「ある部分でリプシッツ連続、ある部分でリプシッツ連続でない（不連続を含む）」という関数は、自由度（任意度）が大きすぎる（そこは正則関数と全く違う）
２．だから、「結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という結論の定式化が完全にまずい
自由度（任意度）が大きすぎるからだ
例えば、私が「ある区間（a,b）で、リプシッツ連続である」と設定したとしよう。
（一般性を失わずに、例えばこの区間で恒等的にｆ＝0とする）
他の区間、（−∞、a] と[b, ＋∞)での関数の性質は、ほとんど区間（a,b）でリプシッツ連続であるｆ＝0に影響を与えることはできない
（例外的に、x=aまたはx=bで、∞に発散するような場合は除くとする。
いま問題にしているようなトマエ型関数では、ｆ（ｘ） ＜＝1なので、このようなことはない。
必要なら、R中で有界な関数な関数に限定しても良いだろう）
３．だから、「B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という結論を導くためとして、
区間（a,b）以外のところで、何か関数の条件を規定しても、
自由度（任意度）が大きすぎる場合は、リプシッツ連続な開区間には全く関係ないわけだ
（よって、上記の結論の定式化では、条件節において、意味ある条件設定が困難だろ（任意性がありすぎるから））
つづく >>565
つづき
１．で、もっと言えば、例外は、「リプシッツ連続でない部分がR中で稠密な場合」だ
この場合は、リプシッツ連続でない部分がR中で稠密な場合は、これがリプシッツ連続な部分のあり方を厳しく規定することになる（自由度が無くなる）
２．例えば、リプシッツ連続でない部分がR中で稠密な場合で、具体的に有理数Qを取ったら、無理数の集合をPとして、P全部でリプシッツ連続とできるかどうか？
残念ながら、私の能力では、この答えを、検索も含めて（自力では当然無理だが）見つけることができなかった
３．リプシッツ連続でない部分を”不連続”とすると、無理数P全部でリプシッツ連続とはできないことは、既存の論文（後述1950年代）で知られている
４．なので、数学の定理としては、「結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である」は、数学の定理としては、全く面白くない
開区間が取れない「リプシッツ連続でない部分がR中で稠密な場合」こそが、数学の興味の対象になりうると思う
つづく >>566
つづき
１．で、次ぎに定理1.7（>>558）の証明の話だが、証明の方針が間違っていると思う
ここは本人の「定理1.7 の証明のポイント」解説が下記のスレ49のNo.185にあるけど
この証明方針が間違っている・・、
というか、
これ（BN,Mのこと）「リプシッツ連続でない部分がR中で稠密な場合」には、
全く使えないテクニックだと思う
つまり、「リプシッツ連続でない部分がR中で稠密な場合」には、
ある区間（a,b）中に至るところ「リプシッツ連続でない点」（具体的には有理数点p/q）
が存在するのだから、勝手にBN,M を作っても（BN,Mが閉区間になるとしても）、
元の関数ｆ(ｘ）において、リプシッツ連続な区間が取れるか否かとは、なんの関係もないわけだ
つまりは、証明の方針が間違っていると思う
(引用開始)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/185
185 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2018/01/05(金)
(抜粋)
補足定理1.7 の証明のポイントはもちろん, BN,M の作り方にある.
BN,M := {x ∈ R ｜ ∀y ∈ R [｜y − x｜ < 1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜] }
BN,M が閉であることの証明に失敗する. ではどうするかというと,
f(xi) が出現しないようにすればよい. そのためには, そもそもf(x) が出現しないようにすればよ
い. そのためには,
x − 1/M < y < x < z < x +1/M
が成り立つようなy, z ∈ R に対して
｜f(z) − f(y)｜ <= ｜f(z) − f(x)｜ + ｜f(x) − f(y)｜ <= N｜z − x｜ + N｜x − y｜ = N(z − y) (＊)
という計算を行えばよい. これはつまり, 補題1.5 そのものである. これでf(x) が出現しなくなる
(引用終り)
つづく >>567
つづき
２．それで、「リプシッツ連続でない部分がR中で稠密な場合」、具体的には有理数Qの場合、
その場合は、上記>>16に先行文献を紹介してあるが
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf とか
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf とかね
ここらに書いてある証明と、上記の定理1.7とを対比して読むと
上記PDFでの証明は、きちんと
無理数（殆どの点でリプシッツ連続になる）と
有理数（上記PDFでは、Qで不連続。不連続だからリプシッツ不連続になる）で
関数の定義を分けて、
無理数における関数の定義と扱いと、有理数における関数の定義と扱いと、分けて定理を証明しているんだ
３．なので、考えられる正しい一つの証明の方針は、同じように無理数と有理数とで分けて、扱うってことだと思う
（自分には、それを実行する力がないのが残念だがね）
４．なお、もっと抽象的なやり方もあるようだが（下記 H. M. Sengupta）、
その証明を読みたいと思ったのだが、ネット時代以前（1950年代）で古すぎてネット検索ではヒットせず
つづく >>568
つづき
それは、下記だがね
（>>370より）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function
The Math Forum
Dave L. Renfro Registered: 12/3/04
(抜粋)
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
[13] Gerald Arthur Heuer
REMARK BY RENFRO: The last theorem follows from the following
stronger and more general result. Let f:R --> R be such that
the sets of points at which f is continuous and discontinuous
are each dense in R. Let E be the set of points at which f
is continuous and where at least one of the four Dini derivates
of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement
of a first category set). This was proved in H. M. Sengupta
and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957),
189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in
item [15] below.
(引用終り)
つづく >>569
つづき
このBulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957)を、読めないながらも、ちょっと眺めてみたいと思って
いろいろ検索したが、残念ながら、うまく見つからなかった
見つかれば、定理1.7の証明と対比できると思ってね
えーと、過去ログに、ここの”the four Dini derivates”とか、”H. M. Sengupta”とかで検索した結果もアップした
めんどくさいので探さないが、興味あるひとは探してみて
”現代数学の系譜 ガロア理論 Dini ”などでぐぐれば、ヒットすると思う。Diniの部分を、Senguptaとか他のキーワードに変えても良いだろう
以上が、定理1.7の証明を読んだ感想だ
細かいところに突っ込むと泥沼と思うので、これ以上は深入りしないけどね
なので、まとめると
・証明の方針が間違っている
・BN,M をつくったけど、それリプシッツ連続でない点が有理数Qのような場合には使えない
（明らかに、有理数Qのような稠密な場合は、リプシッツ連続の開集合とれない。だから証明道具のBN,Mの使い方の間違い ）
・リプシッツ連続でない点が有理数QのようなR中稠密な場合は、有理数Qと無理数Pと、関数をきちんと定義し直して別に扱うのが正攻法と思う
（そういう意味で、上記のH. M. Sengupta(1957)の論文の抽象的な扱いでどうしているのか、非常に興味があったのだが ）
所感は、以上です
まあ、
突っ込みどころ満載で
理解不足も、満載だが
鬼の居ぬ間の洗濯です
（これへの、突っ込みなしね（＾＾； ）
つづく >>570
つづき
それで、”定理の主”さんは、数学の知識はレベル高いし、よく勉強していると思う
が、残念ながら独学と見た。かつ、周囲にレベルの高い相談できる人がいないと思う
定理1.7なども、おれみたいな低レベルを相手にせずに、大学数学科のプロや院生を相手に相談したらいいでしょ？（＾＾
大学へ聴講に行くこともできるだろうし、関数解析でも聴講して、教官に質問すりゃ良いじゃない？
そうしたら、おれが指摘したようなことは、秒殺で教えてくれるだろう（＾＾
あるいは、レベルの高い友達ができるかもしれない
数学科の高学年か院生でも、30分か１時間程度で、正しい答えを教えてくれると思うよ
どうぞ、そちらがお薦めだね
そして、大学へ行って質問してきたが、
「お前の言っていることは、やはり間違いだ」というなら、改めて書いてくれ
言いたいことは、以上です バカは許す
不勉強も許す
しかし悪意は許さない
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