とりあえず >>693 の指摘を再掲。
5chで読みやすいようにやや改変。

１　｜n が奇数、pが奇素数、y が p^n と (1+p+…+p^n)/2 の公倍数である奇数のとき
２　｜a = 2y/(1+p+…+p^n)、b = y/p^n、c = a/p^n
３　｜とおく。
４　｜このとき
５　｜2b = c(p + 1)(p^(n－1) + p^(n－3) + ⋯ + 1)
６　｜である。
７　｜よって p ≡ 1 (mod 4)…(＊)である。
８　｜一方で
９　｜(a － 2b)p^(n+1)+ 2bp^n － a = 0 … ⑤
１０｜であるから B = p^(n-5)+p^(n-7)+…+1 とおくと
１１｜Bp^2 － p^(n－3) － B + 1 = 0 … (B)
１２｜さらに B' = (B-1)/p^2 とおくと
１３｜B'p^2 － p^(n－5) － B' + 1 = 0 … (B’)
１４｜が成立する。
１５｜(B)から(B’)への変形と同じ作業を第2項がp^0になるまで繰り返して最後には
１６｜Dp^2 － D = 0 …(※)
１７｜が成立するDがとれる。
１８｜D≠0ならp = ±1 となり不適である。
１９｜∴D=0
２０｜しかしこのとき(※)は任意のpで成立するが、これは(＊)を満たさない p でも満たされるので矛盾である。
２１｜よって奇数 n と奇素数 p において p^n と (1+p+…+p^n)/2 の公倍数となる奇数は存在しない。

>>1の意見ではこの証明あってるの？
反例があるのに？