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【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
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え？辺の長さ１〜１２になってるけど？
順に、だよ。
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
は順になってない。
あ、ほんと。失礼しました。
問題文に不備はないけど、これを考慮せずに応募した解答者が何人かは居るような気がする。
年末楽しめるぞ。
IMOは格式高いみたいだな。
マチアゼビッチもメダリストなんか。
どっこいかも。
■出題２
x = a cosθ + b sinθ,
y = c cosθ + d sinθ,
ad-bc ≠ 0,
はxy-平面上の楕円である、を証明する問題
パラメータθを消去するのですが、
dx-by = (ad-bc)cosθ,
ay-cx = (ad-bc)sinθ,
からすぐに
(dx-by)/√(dd+bb) = u,
(ay-cx)/√(aa+cc) = v,
と置くのは良くない…
θをずらしてから消すのがミソ？
２次曲線は楕円、放物線、双曲線に限るという事を認めてしまえば一瞬だけどそれを証明しなさいというやつなんだよね。
容易”、”自明”で済まされることも高校の教科書レベルで許されるまで下げないといけない。
その前提で楕円、双曲線の定義も “うまく座標をとればAx^2 + By^2 = 1の形になる。”として
x^2+y^2 = 1の像をAx^2+By^2+Cxy=1として
2(Ax^2+By^2+Cxy) = r^2((A-B)cos2θ+ Csin2θ+(A+B))=r^2(Dcos(2θ+α)+E)=2と変形される。
回転させればr^2(cos(2θ)+F)=Gとなる。
変形してr^(2cos^2θ+F-1)=Gだから2x^2 +(F-1)(x^2+y^2)=lであり楕円、直線、又は双曲線となる。
コンパクトなので楕円。
とかでどう？たしか大数はこんな感じの解説だった。
■出題１：レベル４（常連正解率98％）
小谷先生の出題。辺の長さが順に1,2,...,NとなるN角形の存在を問う問題。
必要条件N＝8nを示すのは容易。
問題は十分条件だが、問題文に描かれている8角形の構成をそのまま一般のnに拡張すればよい。
辺が交差しないことを確認する方法は数通りある。
2点の座標を用いて交差条件を不等式で表すという愚直な方法を採れば、
高校数学でさんざんやったXY平面の領域問題に帰着する。
常連にとっては必要性も十分性も解答方針がすぐにピンと来る易問。
十分条件をエレガントに示す楽しみはあるかもしれない。
■出題２：レベル３（大学1年生の正解率95％以上）
岩I先生の出題。
本問は教科書から書き写してきたような一次変換の問題。
どうして本誌名物コーナーにこの問題を出そうと思ったか、理解に苦しむ。
マチアゼピッチ、ドリンフェルト、ラフォルク、ペレルマン、リチャードテイラー
ショア、皆、メダリストじゃあ。
最も格式高い、理論計算機、数論はメダリスト多し。
今回のフィールズ、ネバリンナはどうかの？
今日は、お伊勢参りしちょります。
週明けから、12月号と格闘。
英気を養うべし。
楽しみです
原点O(0,0) から P(x,y) までの距離の2乗は
x^2 + y^2 = (a cosθ + b sinθ)^2 + (c cosθ + d sinθ)^2
= (aa+bb+cc+dd)/2 + (aa+cc-bb-dd)/2 cos(2θ) + (ab+cd) sin(2θ)
= D'･cos(2θ+α) + E',
原点Oから最も近い点P_min と最も遠い点P_max は θ が 90°ずれている。
と同時に OPmin ⊥ OPmax も成り立つ。
番外問題 焦点はOPmax の方向にある。
>エレガント問題のネット公開→good idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続
正解者として名前が載った回の数セミは買って手元に置いておきたい、という読者心理を巧く掴んでいる気がしますね
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/971
それがこの問題の模範解答でしょうね。
個人的には座標変換を記述するのに行列を使うか三角関数を使うかは非常にどうでもよく、従って>>108のような素っ気無いコメントになってしまいました。
たまに大学範囲の簡単な問題に対して「中高生でも分かるような解答」を要求する出題者が居ますが、ああいうのは苦手です。
三角関数を捏ねくり回すよりも、一次変換の基礎を書き下して本質を抉った方がよっぽど中高生のためになるんじゃないかと思ってしまいます。
12月号が届くまでの間、束の間の雑談。
10月号の時弘先生の問題>>34が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。
「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。
福岡はまだですね。
北海道、東北は終了？
関東の平地は来月頭にかけてピークですかね。
標高高めのところは今がピークか、終わりかけているところでしょう。
今年は時弘先生が10月号にずれてくれたので旅行の計画に余裕が生まれましたw
いいですなあ
私は応募しませんでした。
数の幾何学絡みの哲学的問いかけも含んだ深遠な問題待ってます。
まったくです。
岩沢先生も行楽シーズンは駄目です
問題が魅力的かつ難しいので。
時枝先生は問題出さないのかなー
とここを見ているかも知れない編集部の方に向けて呟いてみる
今月はupが遅れとります。
解を見つけるだけなら簡単。ただ、最適解を、ということならどうだろう。
2は、ちょっと面白そう。
いや、雑誌買ったw
宿題ですか。なつかしいですね。
問題教えてくれれば解いてみたいですけど。
https://www.web-nippyo.jp/elegant/
p がなんであっても大体この回数では決着がつく＝期待値の最大値で評価したくなるけどな。
この書き方はもしかして出題者側は持ってる答えの最小性の証明が出来てないのかな？
懸賞問題だから “最小性の証明はなくていい。投稿された答えの中で最小なのが勝ち” なのかな？
Aさんのルールより期待値の最小値が小さいやつはすぐ作れるけど、それが最小である自信は全くないや。
あかん、ネタバレになるから言えんwww
p=0またはその極限だと永久に決まらないから、なかなか難しいかと。
平均値ってするとpの分布与えないとダメだし。
やむを得ないのか。
まぁ十分ムズイし。
もっとも不公平でいいなら1回で終わるけど。
pがいかなる値であっても両者の勝つ確率は常に1/2
は暗黙の了解なんだろね。
受験で問題文にこの事明示してなかったら大問題だけど。
幾分エスパーしないといけない要素あるね。
最小性の証明が全くできる気がしない。orz
出題２→問２、３に悪戦苦闘中。
そのルールで期待値が最小値を取ることもあっさりしめせたの？
裏ワザ的解釈なら、とんでもない解があるが。
9月号出題の解答を貼っとく。
■出題1
2020 = 2×2×5×101
M = 5×10^226 -20 -3×10^223 -5×10^224
= 49469･･･(221ｺ)･･･980, (227ｹﾀ)
* [前スレ.964] (228ｹﾀ) は間違い。
2019 (素数)
M = 6×10^224 -1 -10^19 -10^223
= 589･･･(203ｺ)･･･989･･･(19ｺ)･･･9, (225ｹﾀ)
2018 = 2×1009
M = 6×10^224 -2 -10^35 -10^204
= 59･･･(19ｺ)･･･989･･･(168ｺ)･･･989･･･(34ｺ)･･･98, (225ｹﾀ)
■出題2
ラッキーナンバーが 0,3,5,7 のとき確実作戦が存在する。
その他 (1,2,4,6,8-14) のときは存在しない。
そう。裏技を用いると、意外な解が得られる。
果たして、それが許されるのか
表、裏の有限列SでSの通りに出る確率をP(S)、l(S)をその長さとしてそのようなSからなる集合A.Bで条件
S、T∈A∪B、S≠TならP(S∩T)=0、
Σ[S∈A]P(S)= Σ[S∈B]P(S)=1/2
を満たすものの中で
Σ[S∈A∪B]P(S)l(S)
の最小値を求めよ。
最小値があるのか知らんけど。
でも、平均回数が解析的に計算できる気がぜんぜんいしないぞ。
2019は素数ではない。
2019=3×673
例えば表裏表で勝負が付いた場合は、それより長い表裏表裏なんかは必ず同じグループに入れるなりカウントしないなどの措置が必要になる。
この辺りが面倒なんだよこの問題。
一個目の条件でオウオとオウオウのような背反でない事象はとらないようにしてる。
まぁ難しい。
これかな？と思い当たるのはあるんだけど最小性の証明ができてないからなぁ。
まぁできても応募する気なんぞサラサラないからいいんだけど。
しかしおそらく出題者は最小性の証明持ってるだろうし出来ないのなんかムカつくので熟考中。
問題文の文面ではとりあえず答えだけ合ってればいいみたいな事は書いてたけど、おそらく何人かは最小性の証明付きで応募してくるだろうね。
最小値１回ってありうるのかな。無論、公平な賭けを前提に。
そうならないように問題文で巧みにブロックされてるように見えるが、俺の想像の範囲外なら分からん。
とりあえず応募
でもスピードは現役に敵わんかも。
http://examist.jp/legendexam/1998-tokyo/
やっぱ、天才だね！
誰か解いてください
石原裕次郎 （1934/12/28〜1987/07/17） 俳優、声優、歌手。「嵐を呼ぶ男」
お歳がバレまするぞ
プログレ世代か
うん、古い
・もしpの値が分かっていれば → p=1/2の時は普通に表裏で勝負を付け、それ以外の時は問題文の方法でやる。期待値の最小値はp=1/2の時の1回。
・pに関する情報が一切無ければ → 表裏のどちらが出やすいかは2人とも知らないので、1度のコイン投げで決めても公平である。
というわけで、いずれにせよ期待値の最小値は1。
しかし問題文をよく読むと「手元にあるコインは、どう見ても歪んでいて」とあるので、
pの値は確定している分けでは無く、逆に情報が全くないわけでは無い（どちらが
出やすいか程度は分かっている）模様。なので、この手のメタ的な方向からの
アプローチは無効だと思われる。
今月は2問とも歯応えのある良問でした。
https://www.web-nippyo.jp/10317/
（すでに1月号の問題が出ている）
■出題１：レベル6以上（常連正解率75%以下）
上原隆平先生の良問。
表の出る確率pの歪んだコインを使って公平な勝負を行う。
問1は2回投げて表→裏、裏→表ならそれぞれAさん、Bさんの勝ち。
それ以外はやり直しとするルールのもと、期待値と期待値の最小値、それを与えるpを求める。
問2は問1より期待値が小さくなるルールを考える。
問1は簡単な計算問題。問2は難しい。
問1の勝敗条件をキープしつつ、ある回数を区切りとして
勝ち負けの条件を再帰的に定める方法がある。
この方法を採ると期待値は無限積となり最小値は問1の値を下回る。
>>151氏は早い段階で無限積に到達している。
以前お世話になった早解きさんでしょうか。
■出題２：完答レベル8以上（常連正解率20%以下）
奥田隆幸先生のエレガントな難問。
n個の実数a_1,a_2,...,a_nがある。
s_kを(1)a_kを-1倍、(2)a_{k-1},a_{k+1}にa_kを加える操作と定義する。
この操作を繰り返しすべて非負となったらゴールというゲーム。
問1は初期値によらずゴールできること、
問2は手順によらずゴール状態が1通りであること、
問3は左右対称形からスタートするとゴールも左右対称であることを示す。
問1はマイナスを掃き出す手順を1つ見つければよいだけ。
問2は行列群を考える方法があるが、解き切るのは難しい。
問3は問2の結果であるゴールの一意性を前提とすればゴリ押しでもなんとかいける。
つまり左右対称形でゴールできる手順を1つ見つければよい。
それは比較的簡単に見つかるが厳密な論証は簡単ではない。
エレガントに解いた方のコメントもとむ。
Winkler, Peter. Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection (p.88). Taylor & Francis - A. Kindle 版.
こっちは円形に並んでるのでややむずい。
――
Flipping the Polygon
The vertices of a polygon are labeled with numbers, the sum of which is positive. At any time, you may change the sign of a negative label, but then the new value is subtracted from both neighbors’ values so as to maintain the same sum.
(なぜか間違ってる参考図。略)
Prove that, inevitably, no matter which labels are flipped, the process will terminate after finitely many flips, with all values non-negative.
――
その問題の来歴の解説
――
Flipping the polygon
This puzzle generalizes one that appeared at the International Mathematics Olympiad in 1986 (submitted by a composer from East Germany, I am told) and subsequently termed “the Pentagon Problem.”
――
本の解答
元の数列a[k]とその級数S[k]を考える。
ただしa[0] = 0を追加しておく。
a[k]が全て0以上⇔S[k]が広義単調増大。
操作s[k]を行うとSはS[k-1]とS[k]の交換になる。
S[k]を交換していけばS[k]を広義単調増大にすることは可能で結果は一意的。
よって(1),(2)終わり。
(2)から(3)も左右対称の操作をして結果が同じになることから出る。
―― 例 縦線の右がa[k]、中がS[k]、右がその列に行った操作 ――
0 -5 3 4 -3 1 │ 0 -5 -2 2 -1 0 │ s[1]
-5 5 -2 4 -3 1 │-5 0 -2 2 -1 0 │ s[2]
-5 3 2 2 -3 1 │-5 -2 0 2 -1 0 │ s[4]
-5 3 2 -1 3 -2 │-5 -2 0 -1 2 0 │ s[3]
-5 3 1 1 2 -2 │-5 -2 -1 0 2 0 │ s[5]
-5 3 1 1 0 2 │-5 -2 -1 0 0 2 │ S[k]は広義単調増大。
(一番左はa[0]なので気にしなくて良い。)
http://mattbaker.blog/2014/02/25/the-pentagon-problem/
（図あり）
国防総省もたいへんでござる…
こうかな？
https://www.wolframalpha.com/input/?i=product%5B1%2B2%5E(1-2%5Ei),%7Bi,0,%E2%88%9E%7D%5D
> 問2は行列群を考える方法があるが、解き切るのは難しい。
行列の方法は見通しが悪そうに見えたのですが、そんなことはなかったですね。
> ■出題２：完答レベル8以上（常連正解率20%以下）
Winkler本にある有名問題ということでレベル5〜6（常連正解率75%以上）に訂正。
Π[i=0,∞] (1 ＋ (1/2)^{(2^i) -1}) = 3.4014709905728…
題意把握ミスかもしれないが、
第三者Ｃに公平に
確率２分の１→表を｢Ｈ｣、裏を｢Ｔ｣
確率２分の１→表を｢Ｔ｣、裏を｢Ｈ｣
と定めてもらう。（無論Ａ、ＢさんはＣの定め方を知らない。）
この決め方なら、コイントス常に
１回かつ公平（どちらも勝率が等しい）な勝負になると考えた。
なるほど。で、次にその確率１／２をどうやってこのコインで作り出すかを考えないと
→最初に戻る
確かに。
｢第三者に公平に｣決めてもらうためのコインが必要になりますね。
堂々巡りになってしまうのか。
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