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【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
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そのルールで期待値が最小値を取ることもあっさりしめせたの？
裏ワザ的解釈なら、とんでもない解があるが。
9月号出題の解答を貼っとく。
■出題1
2020 = 2×2×5×101
M = 5×10^226 -20 -3×10^223 -5×10^224
= 49469･･･(221ｺ)･･･980, (227ｹﾀ)
* [前スレ.964] (228ｹﾀ) は間違い。
2019 (素数)
M = 6×10^224 -1 -10^19 -10^223
= 589･･･(203ｺ)･･･989･･･(19ｺ)･･･9, (225ｹﾀ)
2018 = 2×1009
M = 6×10^224 -2 -10^35 -10^204
= 59･･･(19ｺ)･･･989･･･(168ｺ)･･･989･･･(34ｺ)･･･98, (225ｹﾀ)
■出題2
ラッキーナンバーが 0,3,5,7 のとき確実作戦が存在する。
その他 (1,2,4,6,8-14) のときは存在しない。
そう。裏技を用いると、意外な解が得られる。
果たして、それが許されるのか
表、裏の有限列SでSの通りに出る確率をP(S)、l(S)をその長さとしてそのようなSからなる集合A.Bで条件
S、T∈A∪B、S≠TならP(S∩T)=0、
Σ[S∈A]P(S)= Σ[S∈B]P(S)=1/2
を満たすものの中で
Σ[S∈A∪B]P(S)l(S)
の最小値を求めよ。
最小値があるのか知らんけど。
でも、平均回数が解析的に計算できる気がぜんぜんいしないぞ。
2019は素数ではない。
2019=3×673
例えば表裏表で勝負が付いた場合は、それより長い表裏表裏なんかは必ず同じグループに入れるなりカウントしないなどの措置が必要になる。
この辺りが面倒なんだよこの問題。
一個目の条件でオウオとオウオウのような背反でない事象はとらないようにしてる。
まぁ難しい。
これかな？と思い当たるのはあるんだけど最小性の証明ができてないからなぁ。
まぁできても応募する気なんぞサラサラないからいいんだけど。
しかしおそらく出題者は最小性の証明持ってるだろうし出来ないのなんかムカつくので熟考中。
問題文の文面ではとりあえず答えだけ合ってればいいみたいな事は書いてたけど、おそらく何人かは最小性の証明付きで応募してくるだろうね。
最小値１回ってありうるのかな。無論、公平な賭けを前提に。
そうならないように問題文で巧みにブロックされてるように見えるが、俺の想像の範囲外なら分からん。
とりあえず応募
でもスピードは現役に敵わんかも。
http://examist.jp/legendexam/1998-tokyo/
やっぱ、天才だね！
誰か解いてください
石原裕次郎 （1934/12/28～1987/07/17） 俳優、声優、歌手。「嵐を呼ぶ男」
お歳がバレまするぞ
プログレ世代か
うん、古い
・もしpの値が分かっていれば → p=1/2の時は普通に表裏で勝負を付け、それ以外の時は問題文の方法でやる。期待値の最小値はp=1/2の時の1回。
・pに関する情報が一切無ければ → 表裏のどちらが出やすいかは2人とも知らないので、1度のコイン投げで決めても公平である。
というわけで、いずれにせよ期待値の最小値は1。
しかし問題文をよく読むと「手元にあるコインは、どう見ても歪んでいて」とあるので、
pの値は確定している分けでは無く、逆に情報が全くないわけでは無い（どちらが
出やすいか程度は分かっている）模様。なので、この手のメタ的な方向からの
アプローチは無効だと思われる。
今月は2問とも歯応えのある良問でした。
https://www.web-nippyo.jp/10317/
（すでに1月号の問題が出ている）
■出題１：レベル6以上（常連正解率75%以下）
上原隆平先生の良問。
表の出る確率pの歪んだコインを使って公平な勝負を行う。
問1は2回投げて表→裏、裏→表ならそれぞれAさん、Bさんの勝ち。
それ以外はやり直しとするルールのもと、期待値と期待値の最小値、それを与えるpを求める。
問2は問1より期待値が小さくなるルールを考える。
問1は簡単な計算問題。問2は難しい。
問1の勝敗条件をキープしつつ、ある回数を区切りとして
勝ち負けの条件を再帰的に定める方法がある。
この方法を採ると期待値は無限積となり最小値は問1の値を下回る。
>>151氏は早い段階で無限積に到達している。
以前お世話になった早解きさんでしょうか。
■出題２：完答レベル8以上（常連正解率20%以下）
奥田隆幸先生のエレガントな難問。
n個の実数a_1,a_2,...,a_nがある。
s_kを(1)a_kを-1倍、(2)a_{k-1},a_{k+1}にa_kを加える操作と定義する。
この操作を繰り返しすべて非負となったらゴールというゲーム。
問1は初期値によらずゴールできること、
問2は手順によらずゴール状態が1通りであること、
問3は左右対称形からスタートするとゴールも左右対称であることを示す。
問1はマイナスを掃き出す手順を1つ見つければよいだけ。
問2は行列群を考える方法があるが、解き切るのは難しい。
問3は問2の結果であるゴールの一意性を前提とすればゴリ押しでもなんとかいける。
つまり左右対称形でゴールできる手順を1つ見つければよい。
それは比較的簡単に見つかるが厳密な論証は簡単ではない。
エレガントに解いた方のコメントもとむ。
Winkler, Peter. Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection (p.88). Taylor & Francis - A. Kindle 版.
こっちは円形に並んでるのでややむずい。
――
Flipping the Polygon
The vertices of a polygon are labeled with numbers, the sum of which is positive. At any time, you may change the sign of a negative label, but then the new value is subtracted from both neighbors’ values so as to maintain the same sum.
(なぜか間違ってる参考図。略)
Prove that, inevitably, no matter which labels are flipped, the process will terminate after finitely many flips, with all values non-negative.
――
その問題の来歴の解説
――
Flipping the polygon
This puzzle generalizes one that appeared at the International Mathematics Olympiad in 1986 (submitted by a composer from East Germany, I am told) and subsequently termed “the Pentagon Problem.”
――
本の解答
元の数列a[k]とその級数S[k]を考える。
ただしa[0] = 0を追加しておく。
a[k]が全て0以上⇔S[k]が広義単調増大。
操作s[k]を行うとSはS[k-1]とS[k]の交換になる。
S[k]を交換していけばS[k]を広義単調増大にすることは可能で結果は一意的。
よって(1),(2)終わり。
(2)から(3)も左右対称の操作をして結果が同じになることから出る。
―― 例 縦線の右がa[k]、中がS[k]、右がその列に行った操作 ――
0 -5 3 4 -3 1 │ 0 -5 -2 2 -1 0 │ s[1]
-5 5 -2 4 -3 1 │-5 0 -2 2 -1 0 │ s[2]
-5 3 2 2 -3 1 │-5 -2 0 2 -1 0 │ s[4]
-5 3 2 -1 3 -2 │-5 -2 0 -1 2 0 │ s[3]
-5 3 1 1 2 -2 │-5 -2 -1 0 2 0 │ s[5]
-5 3 1 1 0 2 │-5 -2 -1 0 0 2 │ S[k]は広義単調増大。
(一番左はa[0]なので気にしなくて良い。)
http://mattbaker.blog/2014/02/25/the-pentagon-problem/
（図あり）
国防総省もたいへんでござる…
こうかな？
https://www.wolframalpha.com/input/?i=product%5B1%2B2%5E(1-2%5Ei),%7Bi,0,%E2%88%9E%7D%5D
> 問2は行列群を考える方法があるが、解き切るのは難しい。
行列の方法は見通しが悪そうに見えたのですが、そんなことはなかったですね。
> ■出題２：完答レベル8以上（常連正解率20%以下）
Winkler本にある有名問題ということでレベル5～6（常連正解率75%以上）に訂正。
Π[i=0,∞] (1 ＋ (1/2)^{(2^i) -1}) = 3.4014709905728…
題意把握ミスかもしれないが、
第三者Ｃに公平に
確率２分の１→表を｢Ｈ｣、裏を｢Ｔ｣
確率２分の１→表を｢Ｔ｣、裏を｢Ｈ｣
と定めてもらう。（無論Ａ、ＢさんはＣの定め方を知らない。）
この決め方なら、コイントス常に
１回かつ公平（どちらも勝率が等しい）な勝負になると考えた。
なるほど。で、次にその確率１／２をどうやってこのコインで作り出すかを考えないと
→最初に戻る
確かに。
｢第三者に公平に｣決めてもらうためのコインが必要になりますね。
堂々巡りになってしまうのか。
>>34
> ■出題１：レベル6～7（常連正解率60～80％）
> ※スツルムの定理不使用の場合レベル10（正解者0～2名）
>>121
> 10月号の時弘先生の問題>>34が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。
>
> 「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
> 一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。
時弘先生の解答編を流し読み。
スツルムの定理を知っていることが前提の問題でしたw
10名が全問正解というのだから素晴らしい
来年も楽しみです
こういうタイプは好きではない
私の方法は、
http://blog.world-mysteries.com/wp-content/uploads/2011/11/Pascal_Sierpinski.png
のようなパスカルの三角形の一番上からスタートして、表なら左下、裏なら右下に
一つずつ移動し、偶数に当たったら終了するというもの。勝ち負けは、最後の表裏で決める。
最小性の証明は書けなかったけど、こんな感じかな。
パスカルの三角形は、そこに至るまでの経路数を意味するから、コインを停止
するまでの表裏の出方の総数に等しい。（ただし、それ以前に勝負が付いた時も
その回数までコインを空投げするとする。）
各コイン投げ停止位置では、この総数のうち半数がAの勝ち、半数がBの勝ち
でないと上手く行かない（要証明）。そのため、コイン投げが停止するのは
偶数の位置である必要があり、その中では、上に書いた方法では偶数に当たった時点で
停止しているため最小の手段を実現している。
問題は（要証明）のところで、ちゃんと示すのは色々と難しそう。
おお、すばらしい。なんかこの方針で示せそう！
答え聞くまではこれ最小性の証明つけられたやついないかもと思ってたけど、これ聞いた後だといっぱいいても不思議ないように思えてくるねww
自分の知識を使ってよいか迷う問題は十中八九悪問です。
ってまだ締め切り前でしたね、すまそ
《超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪首謀者の実名と住所／死ねっ!! 悪魔井口・千明っ!!》
【要注意!! 盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪工作員】
◎井口・千明（東京都葛飾区青戸６－２３－１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
【超悪質！盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者の実名と住所／井口・千明の子分たち】
①宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸２０２）
※宇野壽倫は過去に生活保護を不正に受給していた犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
②色川高志（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志は現在まさに、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４－８５５５
東京都葛飾区立石５－１３－１
℡０３－３６９５－１１１１
③清水（東京都葛飾区青戸６－２３－１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆 ☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
④高添・沼田（東京都葛飾区青戸６－２６－６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
⑤高橋（東京都葛飾区青戸６－２３－２３）
⑥長木義明（東京都葛飾区青戸６－２３－２０）
⑦若林豆腐店店主（東京都葛飾区青戸２－９－１４）
⑧肉の津南青戸店店主（東京都葛飾区青戸６－３５ー２
9日でござる。今夜もよく冷えるでござる....
今月号の2 ベクトル公式を使った解答の例
球面上に3点L,M,Nを
BOC面に垂直な向きにOL
COA面に垂直な向きにOM
AOB面に垂直な向きにON
となるようにとる。
MON面に垂直な向き ････ OA
NOL面に垂直な向き ････ OB
LOM面に垂直な向き ････ OC
となる。（相反系）
上の定義から次が成り立つ。
OB×OC = sin(a) OL,
OC×OA = sin(b) OM,
OA×OB = sin(c) ON,
OM×ON = sinα OA,
ON×OL = sinβ OB
OL×OM = sinγ OC,
4面体O-ABCの体積をV
4面体O-LMNの体積をv
とおくと、
V = (1/6)OA・(OB×OC) = (1/6)sin(a) OA・OL,
v = (1/6)(OM×ON)・OL = (1/6)sinα OA・OL,
V/v = sin(a)/sinα,
b,β および c,γ についても同様。
それで「幾何学的な考察から導い」たと言えるかねぇ････
今月の１
便宜のため、周期的に延長する。
x_{n+i} = x_i
s_{n+i} = s_i + s_n
(i=0,1,････,n-1。もっと先まで伸ばしてもよい。)
f(ｘ^(j)) = max{ min{s_(j+1)-s_j, s_(j+2)-s_j, ････, s_(j+n)-s_j}, 0}
= max{ min{s_(j+1), s_(j+2), ････, s_(j+n)}, s_j} - s_j
= min{s_(j+1), s_(j+2), ････, s_(j+n)}, s_j} - min{s_j, s_(j+1), s_(j+2), ････, s_(j+n)} (*)
n個先のsの方が大きいから、いくら追加しても min は変わらない。
∴ f(ｘ^(j)) = σ_(j+1) - σ_j
ここに σ_k = min{s_k, s_(k+1), ････, s_(2n-1), ････} とおいた。
∴ (与式) = σ_n - σ_0 = s_n,
*) max{t, s_j} - s_j = t - min{s_j, t} を使った。
そんなとこですかねえ。私は外積の三重積を開く公式を使っちゃいましたが。
sinが出てきて余弦定理がダメとなると、どうしても外積が出ちゃいますね。
幾何学的にできなくも無いでしょうが、外積の公式を証明するような流れになりそう。
もっと幾何学的な考察から導くなら
V(4面体の体積) = (1/3)S(底面積)h(高さ)
S(底面積) = (1/2)sin(?)
とか行きたいところでござる。
... が、俺でも思いつくような解法はエレガントじゃないんだろうなあ
Σ[i+k=n] Σ[j+L=m] f_1(i, j) f_2(k, L)
の形だから、級数（= 生成関数）の積を使ってゴリゴリやったら解けそうだ
... が、俺でも思いつくような解法はちっともエレガントぢゃねえんだよなぁ
こうやったら解けたの解けそうだだのあかんやろ。
それでも気を使って答えアップしなかったけど。
そういう問題じゃないやろ？
ここで雑誌の企画の妨害になる事してどうすんねん？
数学がどうこういう以前にそもそも人間として守らなあかん一線はあるやろ？
アホか？
■出題１：レベル4～5（常連正解率95％以上）
徳重先生の良問風(?)な問題。
列x＝(x_1, x_2,...,x_n)の先頭i個の部分和をs_iとする。
s_n＞0のとき、xをj個ずらした列をx^(j)として、
f:x^(j)→max{min{s_{j+1},s_{j+2},...,s_j},0}
の和Σ_{j＝0 to n-1} fがs_nに等しいことを示す問題。
>>215のようなエレガントなmin-max演算が出来ないと解けない、ということはない。
和を保存しつつ列を縮小する手術を考え、任意のxが非負列に変換されることを示す方針もある。
■出題２：レベル4（常連正解率～100％）
長い問題文だがようするに球面正弦定理を示す問題。
よく知られた証明じゃつまらないので 幾何学的な考察から導け と制限が付けられている。
正弦定理だけに。（←これが言いたかっただけ）
皆さんは証明などする際に、
論文のようにアイデアのクリティカルな部分は丁寧に書いて、ごく簡単と思われる部分は省略していますか？
それとも大学入試のように全ての場合についてしっかり議論してますか？
問題の難易度によりけりですね。
込み入った論理展開が必要なときは相対的に自明と思われる補題は証明を省くことがあります。
一方で簡単な問題では、論文レベルでは証明を省くような自明な帰結であっても、それを書かないと解答が「自明」で終わってしまうので丁寧に書き下すことがあります。（これがめんどくさいんだよ）
余談ですが、難しいことで有名な時弘先生の出題で、先生の論文の証明の行間を埋める問題が出されたことがあります。
その問題のエレ解正解者はたったの2名。
プロのレベルは凄いもんだなぁと思いました
非常に参考になりました
ありがとうございます
なんだよ素数大富豪って？ 説明したまえ！
こういうことじゃないかな
https://dic.nicovideo.jp/a/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%A4%A7%E5%AF%8C%E8%B1%AA
素数大富豪は、トランプゲーム「大富豪」をヒントに開発されたゲーム。
考案者は数学者の「せきゅーん」氏。
大数･宿題 は 数セミ･エレ解 に勝つ >>235
数セミ･エレ解 は 数オリ に勝つ >>237
数オリ は 大数･宿題 に勝つ
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