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(>>26の続き)
[第３段]：或る (x,y) が存在して x^2－xy＋y^2 は 素数43 か 43x か 43y のどれかを割り切るとする。
5-1)：x^2－xy＋y^2 が43を割り切るとき。x≧y≧2 としているから x^2－xy＋y^2＝43 …③ となる。
x≧3、y≧2 としているから、y^2 の値は4、9、16、25、36の何れかの値になる。従って、yの値は2、3、4、5、6の何れかになる。
5-1-1)：y＝2 のとき。このとき ③ から x^2－2x＝x(x－2)＝39。
39は 39＝3・13 と素因数分解出来るから、xの値は存在しない。よって、矛盾。
5-1-2)：y＝3 のとき。このとき ③ から x^2－3x＝x(x－3)＝34。
34は 34＝2・17 と素因数分解出来るから、同様に、xの値は存在しない。よって、矛盾。
5-1-3)：y＝4 のとき。このとき ③ から x^2－4x＝27。しかし、x^2－4x－27＝0 の
2解 x＝2±√31 はどちらも正整数ではないから、正整数xについて矛盾が生じる。
5-1-4)：y＝5 のとき。このとき ③ は x^2－5x＝18 となる。しかし、x^2－5x－18＝0 の2解
x＝(5±√97)/2 はどちらも正整数ではないから、正整数xについて矛盾が生じる。
5-1-5)：y＝6 のとき。このとき ③ は x^2－6x＝7 となる。従って、x^2－6x－7＝(x－7)(x＋1)＝0 から、x＝7。
しかし、(x,y)＝(7,6) のときは ① つまり x^3＋y^3＝x^2＋42xy＋y^2 について、
(左辺)－(右辺)＝7^3＋6^3－(7^2＋42・6・7＋6^2)＝7^2・(7－1)＋6^2・(6－1)－42・6・7
　　　　　　　　＝7^2・6＋6^2・5－42・6・7
　　　　　　　　＝49・6＋36・5－42^2＝294＋180－42^2＝474－42^2
　　　　　　　　≠0
となって、(x,y)＝(7,6) のときは ① が成り立たない。よって、矛盾が生じる。
5-1-1)～5-1-5) から、x^2－xy＋y^2 が43を割り切るとき、何れの場合も矛盾が生じる。