分からない問題はここに書いてね447

[0001 １３２人目の素数さん 2018/09/16(日) 23:01:23.58 ID:tU22P37B]

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分からない問題はここに書いてね446
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[0026 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 08:38:44.63 ID:3cV882Ep]

>>8
[第１段]：x^3＋y^3＝x^2＋42xy＋y^2 …�@ の両辺はxとyの対称式だから、
(x,y) の存在性の考察や、もし (x,y) が存在するとしたときに (x,y) を求める考察では、x≧y≧1 としても一般性は失わない。
仮に、�@ を満たすような正の整数の組 (x,y) が存在するとする。
1)：x＝y＝1 とすると、�@ の等号は成り立たないから (1,1) は不適。
2)：(x,y)＝(2,1) とすると、同様に、�@ の等号は成り立たず (2,1) は不適。
3)：(x,y)＝(2,2) とすると、同様に、�@ の等号は成り立たず (2,2) は不適。
4)：x≧3、y＝1 のとき。このとき、�@ から x^3＝x^2＋42x だから、x≠0 から x^2−x＝42。従って、x(x−1)＝42 となる。
故に、x＝7。逆に (x,y)＝(7,1) は �@ を満たす。故に、(x,y)＝(7,1) は適する。
[第２段]、5)：x≧3、y≧2 のとき。m＝x＋y とおく。x^3＋y^3＝m(x^2−xy＋y^2) で、x^2−xy＋y^2＞0 だから、�@ から、
m＝(x^2＋42xy＋y^2)/(x^2−xy＋y^2)＝1＋43xy/(x^2−xy＋y^2) …�A
で x^2−xy＋y^2≧xy＞x,y、従って x^2−xy＋y^2 は2正整数 x,y のどちらをも割り切らない。
故に、x^2−xy＋y^2 は 素数43 か 43x か 43y か 43xy のどれかを割り切る。

[0027 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 08:43:48.37 ID:3cV882Ep]

>>8
(>>26の続き)
[第３段]：或る (x,y) が存在して x^2−xy＋y^2 は 素数43 か 43x か 43y のどれかを割り切るとする。
5-1)：x^2−xy＋y^2 が43を割り切るとき。x≧y≧2 としているから x^2−xy＋y^2＝43 …�B となる。
x≧3、y≧2 としているから、y^2 の値は4、9、16、25、36の何れかの値になる。従って、yの値は2、3、4、5、6の何れかになる。
5-1-1)：y＝2 のとき。このとき �B から x^2−2x＝x(x−2)＝39。
39は 39＝3・13 と素因数分解出来るから、xの値は存在しない。よって、矛盾。
5-1-2)：y＝3 のとき。このとき �B から x^2−3x＝x(x−3)＝34。
34は 34＝2・17 と素因数分解出来るから、同様に、xの値は存在しない。よって、矛盾。
5-1-3)：y＝4 のとき。このとき �B から x^2−4x＝27。しかし、x^2−4x−27＝0 の
2解 x＝2±√31 はどちらも正整数ではないから、正整数xについて矛盾が生じる。
5-1-4)：y＝5 のとき。このとき �B は x^2−5x＝18 となる。しかし、x^2−5x−18＝0 の2解
x＝(5±√97)/2 はどちらも正整数ではないから、正整数xについて矛盾が生じる。
5-1-5)：y＝6 のとき。このとき �B は x^2−6x＝7 となる。従って、x^2−6x−7＝(x−7)(x＋1)＝0 から、x＝7。
しかし、(x,y)＝(7,6) のときは �@ つまり x^3＋y^3＝x^2＋42xy＋y^2 について、
(左辺)−(右辺)＝7^3＋6^3−(7^2＋42・6・7＋6^2)＝7^2・(7−1)＋6^2・(6−1)−42・6・7
　　　　　　　　＝7^2・6＋6^2・5−42・6・7
　　　　　　　　＝49・6＋36・5−42^2＝294＋180−42^2＝474−42^2
　　　　　　　　≠0
となって、(x,y)＝(7,6) のときは �@ が成り立たない。よって、矛盾が生じる。
5-1-1)〜5-1-5) から、x^2−xy＋y^2 が43を割り切るとき、何れの場合も矛盾が生じる。

[0028 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 08:53:41.24 ID:3cV882Ep]

>>8
(>>27の続き)
5-2)：x^2−xy＋y^2 が43xを割り切るとき。このとき、或る正整数nが存在して、n(x^2−xy＋y^2)＝43x となる。
よって、nは素数43か正整数xのどちらかを割り切る。
5-2-1)：nが素数43を割り切るとき。43の正の約数は1と43の2つに限るから、n＝43 としてよい。
そこで、n＝43 とすると、x^2−xy＋y^2＝x、従って x(x−y−1)＋y^2＝0。x≧y≧2 としているから x＜y＋1、
故に x＝y から、x^2−x＝x(x−1)＝0。しかし、これを満たすxは存在せず矛盾する。
5-2-2)：nがxを割り切るとき。xの最大の約数はxなることに着目すると n＝x としてよい。そこで、n＝x とすると、x^2−xy＋y^2＝43、
ゆえに x^2−xy＋y^2 は43を割り切る。しかし、5-1)のときと同様に考えると、矛盾が生じることになる。
5-2-1)、5-2-2) から、nについて何れのときも矛盾が生じる。
故に、x^2−xy＋y^2 が43xを割り切るとき、正整数nは存在しないことになって、矛盾が生じる。
5-3)：x^2−xy＋y^2 が43yを割り切るとき。x≧y, x≧3, y≧2 としているから、5-2) と同様に考えると、矛盾が生じる。
5-1)、5-2)、5-3) から、何れのときも矛盾が生じるから、x^2−xy＋y^2 (x≧y≧2, x≧3) が
43、43x、43y のどれかを割り切るようなxとyの組 (x,y) (x≧y≧2, x≧3) は存在しない。

[0029 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 08:59:41.55 ID:3cV882Ep]

>>8
(>>28の続き)
[第４段]、5-4)：x≧3、y≧2 であって、x^2−xy＋y^2 が43xyを割り切るとき。
[第２段] までの議論に従い �@ を満たす組 (x,y) が存在するとする。すると、x^2−xy＋y^2＞x,y であって、
x^2−xy＋y^2 は x,y のどちらをも割り切らない。また、x^2−xy＋y^2 は43、43x、43y の何れをも割り切らない。
43xy の約数をすべて挙げると43、x、y、43x、43y、xy、43xy となるから、x^2−xy＋y^2 は xy か 43xy のどちらかを割り切る。
5-4-1)：x^2−xy＋y^2 が xy を割り切るとき。すると、xy の最大の約数は xy なることに着目すると x^2−xy＋y^2＝xy としてよい。
そこで、x^2−xy＋y^2＝xy とすると、(x−y)^2＝0 となって、x＝y を得る。従って、�A から、
m＝1＋43xy/(x^2−xy＋y^2)＝1＋43x^2/(x^2−x^2＋x^2)＝1＋43＝44。
m＝x＋y としていたから x＋y＝44 であり、x＝y＝22。逆に、(x,y)＝(22,22) は �@ を満たすから、(x,y)＝(22,22) は適する。
5-4-2)：x^2−xy＋y^2 が 43xy を割り切るとき。x^2−xy＋y^2 は43を割り切らないから、5-4-1)の議論に帰着される。
5-4-1)、5-4-2) から、�@ を満たす正整数 x,y の組は (x,y)＝(22,22)。
[第５段]：5-1)、5-2)、5-3)、5-4) から、x≧3、y≧2 (x≧y) のとき �@ を満たす正整数 x,y の組は (x,y)＝(22,22)　　　(　5：x≧3、y≧2 のとき終わり　)。
1)〜5) から、x≧y≧1 とした上での �@ を満たす正整数 x,y の組は (x,y)＝(7,1)、(22,22)。
[第６段]：�@ の左辺 x^3＋y^3 と �@ の右辺 x^2＋42xy＋y^2 がxとyの対称式なることに注意して x≧y≧1 としていたから、
はじめに y≧x≧1 として上と同様に考えれば、�@ を満たす正整数 x,y の組は (x,y)＝(7,1)、(1,7)、(22,22) の3つ。