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[第１段]：x^3＋y^3＝x^2＋42xy＋y^2 …① の両辺はxとyの対称式だから、
(x,y) の存在性の考察や、もし (x,y) が存在するとしたときに (x,y) を求める考察では、x≧y≧1 としても一般性は失わない。
仮に、① を満たすような正の整数の組 (x,y) が存在するとする。
1)：x＝y＝1 とすると、① の等号は成り立たないから (1,1) は不適。
2)：(x,y)＝(2,1) とすると、同様に、① の等号は成り立たず (2,1) は不適。
3)：(x,y)＝(2,2) とすると、同様に、① の等号は成り立たず (2,2) は不適。
4)：x≧3、y＝1 のとき。このとき、① から x^3＝x^2＋42x だから、x≠0 から x^2－x＝42。従って、x(x－1)＝42 となる。
故に、x＝7。逆に (x,y)＝(7,1) は ① を満たす。故に、(x,y)＝(7,1) は適する。
[第２段]、5)：x≧3、y≧2 のとき。m＝x＋y とおく。x^3＋y^3＝m(x^2－xy＋y^2) で、x^2－xy＋y^2＞0 だから、① から、
m＝(x^2＋42xy＋y^2)/(x^2－xy＋y^2)＝1＋43xy/(x^2－xy＋y^2) …②
で x^2－xy＋y^2≧xy＞x,y、従って x^2－xy＋y^2 は2正整数 x,y のどちらをも割り切らない。
故に、x^2－xy＋y^2 は 素数43 か 43x か 43y か 43xy のどれかを割り切る。