>互いに素ではなくない？
xとyが互いに素でないとする。
xとyに共通する素因数を p_1, …, p_n とする。 各 i＝1,…,n に対して、p_i の指数を e_i とする。
xだけの素因数を q_1, …, q_m とする。各 i＝1,…,m に対して、q_i の指数を a_i とする。
yだけの素因数を r_1, …, r_k とする。各 i＝1,…,k に対して、r_i の指数を b_i とする。
xy を x^2−xy＋y^2 で割った商をaとする。すると、a(x^2−xy＋y^2)＝xy、
x＝(p_1)^{e_1}・…・(p_n)^{e_n}×(q_1)^{a_1}・…・(q_m)^{a_m}、 y＝(p_1)^{e_1}・…・(p_n)^{e_n}×(r_1)^{b_1}・…・(r_k)^{b_k} で、
x^2−xy＋y^2＝(p_1)^{2e_1}・…・(p_n)^{2e_n}×(q_1)^{2a_1}・…・(q_m)^{2a_k}、
−(p_1)^{2e_1}・…・(p_n)^{2e_n}×(q_1)^{a_1}・…・(q_m)^{a_m}×}×(r_1)^{b_1}・…・(r_k)^{b_k}
＋(p_1)^{2e_1}・…・(p_n)^{2e_n}×(r_1)^{2b_1}・…・(r_k)^{2b_k}、
xy＝(p_1)^{2e_1}・…・(p_n)^{2e_n}×(q_1)^{a_1}・…・(q_m)^{a_m}×}×(r_1)^{b_1}・…・(r_k)^{b_k} なので、a(x^2−xy＋y^2)＝xy は
a( (q_1)^{2a_1}・…・(q_m)^{2a_m}−(q_1)^{a_1}・…・(q_m)^{a_m}×}×(r_1)^{b_1}・…・(r_k)^{b_k}＋(r_1)^{2b_1}・…・(r_k)^{2b_k} )
＝(q_1)^{a_1}・…・(q_m)^{a_m}×}×(r_1)^{b_1}・…・(r_k)^{b_k}
となる。X＝(q_1)^{a_1}・…・(q_m)^{a_m}、Y＝(r_1)^{b_1}・…・(r_k)^{b_k} とおけば、a(x^2−xy＋y^2)＝xy は
a(X^2−XY＋Y^2)＝XY となる。よって、X^2−XY＋Y^2 は XY を割り切る。
仮に a＞1 とすると a≧2 で、相加・相乗平均の不等式から、a(X^2＋Y^2)≧2aXY＞(a＋1)XY
だから、a(X^2−XY＋Y^2)＞XY となって、矛盾が生じる。よって、a＝1 で、X^2−XY＋Y^2＝XY となる。
ここに、x^2−xy＋y^2 と X^2−XY＋Y^2、及び xy と XY は単項式としては同じ形。だから、上のような議論をすることは、実質的には
>5-4-1)：x^2−xy＋y^2 が xy を割り切るとき。すると、xy の最大の約数は xy なることに着目すると x^2−xy＋y^2＝xy としてよい。
と書くことと同じで、何も式の形としては変わっていない。
