Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right』を読んでいます。

この本の部分空間の定義ですが、 V の部分集合 U がそれ自身ベクトル空間であるとき、
U を V の部分空間というというものです。


U が V の部分空間

⇒

(1) 0 ∈ U
(2) For any u, v ∈ U, u + v ∈ U
(3) For any a ∈ F, u ∈ U, a*u ∈ U


の証明ですが、 U がそれ自身ベクトル空間であるから (1) - (3) が成り立つとだけ書いてあります。

これはOKなのでしょうか？

0_U ∈ U ですが、 0_V ∈ U は明らかに成り立つ (3) を使って証明しなければならないと思います。

U はそれ自身ベクトル空間であるから空集合ではない。（例えば、 0_U ∈ U である。）

u ∈ U とする。

(3) により、 0_v = 0*u ∈ U であるから、 (1) が成り立つ。