https://imgur.com/Ptdrg42.jpg
https://imgur.com/ft7hdT6.jpg

この証明ですが、「このとき、定理3.11(2)より、 … 全単射な連続関数である。」
の部分が分かりません。定理3.11はそもそも I が区間でないと適用できないはずです。

証明中に出てくる関数 f_N は以下の関数です。

f_N : R → S^1 - {(0, 1)}

f_N(t) = (2*t / (t^2 + 1), (t^2 - 1) / (t^2 + 1))