いや、それはまずいでしょ？
そこまで、あくまでQ[m]のなかで2m+1とprについて議論してたんだから、ここから突然やっぱ整数と見なしても大丈夫なんて通用しないよ？
例えばm=1、pr=5のとき、2m+1はQ[m]のなかではprの倍数だけどZの中ではそうなってないでしょ？