pが奇数でmが整数のとき、n=4m+1について、
p^(n-1)+p^(n-3)+…+1≡2m+1 (mod (p+1)/2) という関係式は、p^2≡1 (mod (p+1)/2) から簡単に示せる。
長々と何ページにもわたる証明は必要ないし、二項係数やその因数に関する説明を持ち出すまでもない。
わざわざ証明を不必要に長く書いた挙句、数学の無知を露呈した典型例が１だったというだけに過ぎない。