探検
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ
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５でないと？
カブトガニのような境界線3.89……より小さな値にならないかと長い2つの縦線を内側に傾け、将棋の駒のような領域を作ってみた。依然、左右対称ですが。
2(√5-1)+1/√3+(√5-1)cos66°/√3+√{(5-√5)/2}
=3.04948622-0.71364418×0.406736643+√1.381966012
=3.93497149……
ぉしい!!
4は切った。
540°-120°×3=180°
左右対称ならやはり底辺と境界線のなす角は90°になる。カブトガニのような前スレの境界線になる。
左右対称じゃない境界線で、3.891156823を下回ることは可能なのか？ 前>>3
頂点5つもあったら一意的かい？
正五角形の中に分岐点は3つとして、
長さ0.55のジグ7つのうち、5つの片方の端を正五角形の頂点につなぎ、他方を分岐点につなぐ。
あとジグ2つは分岐点と分岐点をつなぐ。
もしもすべてのジグがつなげられるなら、
最小値 0.55×7=3.85
r+√{r^2-(1/2)^2}=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2]
=√{(5+2√5)/4}
r^2-1/4=(5+2√5)/4-r√(5+2√5)+r^2
r√(5+2√5)=(6+2√5)/4
=(3+√5)/2
r=(3+√5)/2√(5+2√5)
(=5.2360679/6.155367)
≒0.8506508
境界線を3つの分岐点を持つ7つの同じ長さxの線分のつらなりとして、境界線の長さf(x)=7xの値も一意に決まらないか。最小かどうかはともかく、x=3.89……より小さくならないか。ピタゴラスの定理で。
底辺1を水平に置く。
分岐点の高さ(低い方2つ)をaとする。
正五角形の高さ=√[{(1+√5)/2}-(1/4)]
=√{(5+2√5)/4}
対角線の高さ=√{(5+2√5)/4}-√[1-{(1+√5)/4}^2]
=(1/4){√(20+8√5)-√(10-2√5)}
総面積=(1/4)√(25+10√5)=√{x^2-(1/4)}+台形a{1-√(x^2-a^2)}+盃型台形(1/2)[{(1+√5)/2}+1-2√(x^2-a^2)](1/4){√(20+8√5)-√(10-2√5)}/2+三角形(1/2){(1+√5)/2}√[1-{(1+√5)/4}^2]――①
対角線の長さ=(1+√5)/2=1-2√(x^2-a^2)+2√〔(x^2-[(1/4){√(20+8√5)-√(10-2√5)}-a]^2〕――②
未知数2つ(aとx)、式2つ(①と②)より、aは消去できないか。あるいはxの最小値、
x=3.8……
が出ないか。
前スレ26の979によると、左右非対称で最小値をとるってことですね。だれも触れようとしないけど、左右非対称の意味がわかれば解けるわけですね。
左右非対称でも分岐点の角度は120°になりますか？
正七角形だとまわりを通って6でいいみたい。
一辺(長さ1)だけ外周(蟹のハサミ)という考えです。
正五角形の対角線と正六角形を二分する線が一致するように正五角形内部に正六角形の半分を描くように分割線を書くと、分岐点と頂点を結ぶ線分の長さは(対角線の半分)か(1-対角線の半分)のどちらかになる。
分岐点と分岐点の距離は(対角線の半分)。
4つの頂点を結ぶ曲線(シオマネキ)
=1+(黄金比対角線の半分)×3+(1-黄金比対角線の半分)×2
=1+{(1+√5)/4}×3+{1-(1+√5)/4}×2
=1+(3/4)(1+√5)+(1/2)(3-√5)
=(13+√5)/4
=3.8090167……
シオマネキ、最小!!
分岐点と頂点を結ぶ線分の短い方の長さは（1－対角線の長さ）にはなりませんよ。
A = 分岐点と頂点を結ぶ線分の長い方
B = 分岐点と頂点を結ぶ線分の短い方
C = 正五角形の一辺
とすると
AとCの挟角が 12ﾟってことが分かる。（後略
正五角形を P1-P2-P3-P4-P5
正六角形の半分を P1-Q2-Q3-P4 とする。
分岐点の角ぜんぶが 120ﾟ にはなっていない。
A は対角線 P1-P4 の半分で
A = 1/{4sin(18ﾟ)} = (1+√5)/4 = 0.809016994374947424102293417182819
P2-Q2，P3-Q3 は は第二余弦定理から
B = √{AA+CC-2AC･cos(12ﾟ)} = 0.2680157330941872201843362931855557
辺 P1-P2-P3-P4 は
C = 1
∴ ネットワークの長さは
3A + 2B + C = 3.96308244931321671267555283792 < 4
[27問目.22]
3.891156823326853818078262556719905049852981445670139299627728956
詳細は↓
[前スレ.952] の暫定解（左右対称）
正五角形 P1-P2-P3-P4-P5 の一辺 P1-P5 に
1×A の長方形P1-Q2-Q4-P5 を貼る。
点Q3 を
∠P1-Q2-Q3 = 120ﾟ
∠Q2-Q3-Q4 = 120ﾟ
∠Q3-Q4-P5 = 120ﾟ
となるようにとる。
分岐点の角ぜんぶが 120ﾟ になるように A を決める。
P1-Q2、Q4-P5 は 正弦定理より
A = (2/√3)sin(42ﾟ)
= 0.772645471408608606145454411856338206414855596502316039236
P2-Q2、P4-Q4 は 正弦定理より
B2 = B4 = (2/√3)sin(18ﾟ) = (√5-1)/(2√3)
= 0.356822089773089931941969843046087873981686075246868366421
P3-Q3 は
B3 = tan(72ﾟ)/2 -1/(2√3) - A
= (1/2)√(5+2√5) -1/(2√3) - A
= 0.477521162584205212885116485911137977764694599631516736273
∴ ネットワークの長さは
2A + (2/√3) + B2 + B3 + B4 =
= 3.891156823326853818078262556719905049852981445670139299627728956 >>17
前>>14イナ主体な。
左右非対称だというヒントに従ったまでだ。
出題者だと思うが、それでいいとかそこまでとかなんとか言ってほしい。
(13+√5)/4=0.8090167……
これが最小値なんだろ？
(13+√5)/4=3.8090167……
そこまでが数学やろ？www
http://i.imgur.com/uBTnujq.png
正五角形の対角線の半分
=(1+√5)/4
=0.8090169……
前>>21
だからそうすると
短い方の辺と正六角形とのなす角が120°にならないって散々指摘されてんだろ
だいたい1-対角線の長さってどっから出てきた湧き出てきた計算なんだよ
まあそういうことだね
http://imgur.com/b8mIUbM.png
1-対角線の長さじゃないです。
1-(対角線の半分)です。
=1-{対角線(1+√5)/2}×(1/2)
引き算より掛け算を優先する、四則計算のルール。
=1-(1+√5)/4
=(3-√5)/4
>>26その図を描きました。手書きで、左右逆にしましたが、まさにこういう図です。長さはすべて分数のまま式を変形し、最後に電卓で確認しましたが、こんな値だと思います。
分岐点の角度は120°です。右上の頂点の内角108°のうち水平な五角形の対角線より上の角度が36°で、正六角形の半分が60°で、残りの鋭角が12°です。
右下の頂点の内角108°を48°と60°に分ける短い線が引けます。
前>>24矛盾ないと思いますが。
＞右下の頂点の内角108°を48°と60°に分ける短い線が引けます。
ここが誤りなのよ。
角度を計算するとおおよそ39°と69°
短い線と分岐点同士の距離との和は１より少し大きい。
結果、残念ながらこのシオマネキは最小にならない。
右側の三角形で、
右上の角度は、
108°-36°-60°=12°
右下の角度は、
180°-120°-12°=48°
正五角形下方の等脚台形の右下の角度は、
108°-48°=60°
等脚台形の中に、短い線を一辺とする正三角形が描けると思うんですが。
前>>27
その角が120°という根拠はない。
そこまで頑なに120°と言い張るなら、ぜひとも証明してみなさいな。
スレをたてるほどの話はそこにはないことを理解できていないだけだった。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/64
それはどう見ても>>17 >>18と同一人物で、左右非対称とか口走ったのが出題者なら別人だろ。
そもそも、数学の問題で出題者がだれとか、どおっでもいいじゃん。
何が正解か出題者にしか判断できないなら、出題者が間違ったことを言ったらそれが正解になるのか？
この問題はどこからどうみても>>18が正解で、それで話は終わりだろ。
3.89……を下回る値を探してるんじゃないの？
前>>38
・内点一個Pならその一点とつながってる３点は外点でPはその３点のFermat Centerでその３点のなす三角形は鋭角三角形。その選び方は実質一意。
このときグラフの長さの合計は5.875016491602415。
またこの議論から内点のなすグラフの連結成分が一点のみのグラフを含めば他の内点は持てないとわかる。
・内点二個,PQとする。
前ケースの議論からPQはつながっておりPQとつながっている４点は外点。
その選び方は実質一意。
このときグラフの長さの合計は3.956295201467611。
・内点三個,PQRとする。
前々ケースの議論からPQRはつながっておりそのなすグラフはA_3。
P,Qは２外点とつながり、Rは１外点とつながっているとする。
P,Qとつながっている２外点は隣接せねばならず、よってその選び方は実質一意。
このときグラフの長さの合計は3.891156823326854。
これでいいんじゃないの？
いや、与えられたいくつかの点を結ぶ最短ネットワークの局所最適解の頂点は、
全部120°の三叉路か、120°以上の折れ線（ただし、その頂点自体が通るべき点）しか
ありえないのだから、最初から３番目のケースに限定されるでしょ。
正五角形と正七角形で状況が違うのは、正七角形は内角が120°より大きいから
六辺をつないだ折れ線が局所最適解になりうるという点。
正五角形では、元々の辺は局所最適解には含まれない。
わかってる人はわかってると思うが、
＞全部120°の三叉路か、120°以上の折れ線（ただし、その頂点自体が通るべき点）しか
＞ありえない
ことの理由は、そうでないような頂点があれば、その周辺を少し変形することで
必ずそれよりも短い解が作れるから。
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