一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/29(日) 09:41:30.65

面白い問題おしえて～な26問目よりつづきです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/29(日) 10:02:59.27

問題がわからんぞ。

５でないと？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/29(日) 13:15:16.62

前>>1
カブトガニのような境界線3.89……より小さな値にならないかと長い2つの縦線を内側に傾け、将棋の駒のような領域を作ってみた。依然、左右対称ですが。
2(√5-1)+1/√3+(√5-1)cos66°/√3+√{(5-√5)/2}
=3.04948622-0.71364418×0.406736643+√1.381966012
=3.93497149……
ぉしい!!
4は切った。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/29(日) 15:29:07.63

分岐の角を１２０℃にすれば良い。そんだけだな。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/29(日) 17:39:14.12

3つの境界線が120°で交わるように作図すると、五角形の内角の和は540°だから、3つの内角を120°にすると、
540°-120°×3=180°
左右対称ならやはり底辺と境界線のなす角は90°になる。カブトガニのような前スレの境界線になる。

左右対称じゃない境界線で、3.891156823を下回ることは可能なのか？　前>>3

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/29(日) 18:49:48.59

120度の点なんとか点だっけ
頂点5つもあったら一意的かい？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/29(日) 22:32:14.66

前>>5
正五角形の中に分岐点は3つとして、
長さ0.55のジグ7つのうち、5つの片方の端を正五角形の頂点につなぎ、他方を分岐点につなぐ。
あとジグ2つは分岐点と分岐点をつなぐ。
もしもすべてのジグがつなげられるなら、
最小値 0.55×7=3.85

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/31(火) 20:37:18.30

前>>7 正五角形の頂点と中心の距離をrとすると、
r+√{r^2-(1/2)^2}=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2]
=√{(5+2√5)/4}
r^2-1/4=(5+2√5)/4-r√(5+2√5)+r^2
r√(5+2√5)=(6+2√5)/4
=(3+√5)/2
r=(3+√5)/2√(5+2√5)
(=5.2360679/6.155367)
≒0.8506508
境界線を3つの分岐点を持つ7つの同じ長さxの線分のつらなりとして、境界線の長さf(x)=7xの値も一意に決まらないか。最小かどうかはともかく、x=3.89……より小さくならないか。ピタゴラスの定理で。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/01(水) 01:19:59.50

前>>8
底辺1を水平に置く。
分岐点の高さ(低い方2つ)をaとする。
正五角形の高さ=√[{(1+√5)/2}-(1/4)]
=√{(5+2√5)/4}
対角線の高さ=√{(5+2√5)/4}-√[1-{(1+√5)/4}^2]
=(1/4){√(20+8√5)-√(10-2√5)}
総面積=(1/4)√(25+10√5)=√{x^2-(1/4)}+台形a{1-√(x^2-a^2)}+盃型台形(1/2)[{(1+√5)/2}+1-2√(x^2-a^2)](1/4){√(20+8√5)-√(10-2√5)}/2+三角形(1/2){(1+√5)/2}√[1-{(1+√5)/4}^2]――①
対角線の長さ=(1+√5)/2=1-2√(x^2-a^2)+2√〔(x^2-[(1/4){√(20+8√5)-√(10-2√5)}-a]^2〕――②
未知数2つ(aとx)、式2つ(①と②)より、aは消去できないか。あるいはxの最小値、
x=3.8……
が出ないか。

【ぴょん吉】 · 2018/08/01(水) 12:55:45.75

左右対称じゃない、根拠とかヒントとかなにかないの？　前>>9

【だん吉】 · 2018/08/01(水) 20:55:32.36

http://book-sp.kodansha.co.jp/pdf/20180704_utsukushiikao.pdf前>>10

前スレ26の979によると、左右非対称で最小値をとるってことですね。だれも触れようとしないけど、左右非対称の意味がわかれば解けるわけですね。

【大吉】 · 2018/08/01(水) 21:07:53.81

http://www.kyodemo.net/demo/r/math/1518967270/979前>>11URLが違ったみたい。

左右非対称でも分岐点の角度は120°になりますか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/02(木) 20:16:17.91

>>2問題をスレのタイトルにしました。頂点5つを辺4つで結ぶと4なんで、最小値は4より小さい値です。前>>12それはわかったんですが、左右対称で3.89……よりも小さくなる左右非対称な曲線(折れ線だと思うけど)がわかりません。それが面白いんですが。
正七角形だとまわりを通って6でいいみたい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/02(木) 21:37:03.27

前>>13カブトガニよりシオマネキのほうが小さいと思って計算しておっきなったんであきらめてましたが、計算しなおしました。

一辺(長さ1)だけ外周(蟹のハサミ)という考えです。
正五角形の対角線と正六角形を二分する線が一致するように正五角形内部に正六角形の半分を描くように分割線を書くと、分岐点と頂点を結ぶ線分の長さは(対角線の半分)か(1-対角線の半分)のどちらかになる。
分岐点と分岐点の距離は(対角線の半分)。
4つの頂点を結ぶ曲線(シオマネキ)
=1+(黄金比対角線の半分)×3+(1-黄金比対角線の半分)×2
=1+{(1+√5)/4}×3+{1-(1+√5)/4}×2
=1+(3/4)(1+√5)+(1/2)(3-√5)
=(13+√5)/4
=3.8090167……

シオマネキ、最小!!

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 02:06:24.19

[27問目.059]

分岐点と頂点を結ぶ線分の短い方の長さは（1－対角線の長さ）にはなりませんよ。
A = 分岐点と頂点を結ぶ線分の長い方
B = 分岐点と頂点を結ぶ線分の短い方
C = 正五角形の一辺
とすると
AとCの挟角が 12ﾟってことが分かる。（後略

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 02:08:30.33

[27問目.62-63]

正五角形を P1-P2-P3-P4-P5
正六角形の半分を P1-Q2-Q3-P4 とする。

分岐点の角ぜんぶが 120ﾟにはなっていない。

A は対角線 P1-P4 の半分で
　A = 1/{4sin(18ﾟ)} = (1+√5)/4 = 0.809016994374947424102293417182819
P2-Q2，P3-Q3 はは第二余弦定理から
　B = √{AA+CC-2AC･cos(12ﾟ)} = 0.2680157330941872201843362931855557
辺 P1-P2-P3-P4 は
　C = 1
∴　ネットワークの長さは
　3A + 2B + C = 3.96308244931321671267555283792 < 4

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 02:16:31.34

左右非対称とかいう説もあるが、未確認。暫定解は

[27問目.22]
3.891156823326853818078262556719905049852981445670139299627728956

詳細は↓

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 02:20:53.16

[27問目.064]

[前スレ.952] の暫定解（左右対称）

正五角形 P1-P2-P3-P4-P5 の一辺 P1-P5 に
1×A の長方形P1-Q2-Q4-P5 を貼る。
点Q3 を
　∠P1-Q2-Q3 = 120ﾟ
　∠Q2-Q3-Q4 = 120ﾟ
　∠Q3-Q4-P5 = 120ﾟ
となるようにとる。
分岐点の角ぜんぶが 120ﾟになるように A を決める。

P1-Q2、Q4-P5 は正弦定理より
　A = (2/√3)sin(42ﾟ)
　　= 0.772645471408608606145454411856338206414855596502316039236
P2-Q2、P4-Q4 は正弦定理より
　B2 = B4 = (2/√3)sin(18ﾟ) = (√5-1)/(2√3)
　　= 0.356822089773089931941969843046087873981686075246868366421
P3-Q3 は
　B3 = tan(72ﾟ)/2 -1/(2√3) - A
　　= (1/2)√(5+2√5) -1/(2√3) - A
　　= 0.477521162584205212885116485911137977764694599631516736273

∴　ネットワークの長さは
　2A + (2/√3) + B2 + B3 + B4 =
　　= 3.891156823326853818078262556719905049852981445670139299627728956 　>>17

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 10:15:15.40

正五角形のシュタイナー木

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/04(土) 11:11:13.11

シュタイナーツリーって概念があるのか。
前>>14イナ主体な。
左右非対称だというヒントに従ったまでだ。
出題者だと思うが、それでいいとかそこまでとかなんとか言ってほしい。
(13+√5)/4=0.8090167……
これが最小値なんだろ？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/04(土) 11:15:16.11

前>>20訂正。
(13+√5)/4=3.8090167……

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 12:53:01.76

出題者にそれでいいって求めるって何www
そこまでが数学やろ？www

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 13:13:01.39

シオマネキ型も計算してみたんだけどね・・・ちっとも最小にはならんかったんよ。

http://i.imgur.com/uBTnujq.png

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/04(土) 15:34:49.07

>>23胴体部分の3つの線分それぞれを正六角形の一辺にすることはできないのですか？　正六角形は内角が120°で辺の長さはすべて同じです。

正五角形の対角線の半分
=(1+√5)/4
=0.8090169……
前>>21

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 16:47:59.22

>>24
だからそうすると
短い方の辺と正六角形とのなす角が120°にならないって散々指摘されてんだろ

だいたい1-対角線の長さってどっから出てきた湧き出てきた計算なんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 17:11:09.26

＞短い方の辺と正六角形とのなす角が120°にならない
まあそういうことだね

http://imgur.com/b8mIUbM.png

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/04(土) 18:43:32.06

>>25
1-対角線の長さじゃないです。
1-(対角線の半分)です。

=1-{対角線(1+√5)/2}×(1/2)
引き算より掛け算を優先する、四則計算のルール。
=1-(1+√5)/4
=(3-√5)/4
>>26その図を描きました。手書きで、左右逆にしましたが、まさにこういう図です。長さはすべて分数のまま式を変形し、最後に電卓で確認しましたが、こんな値だと思います。
分岐点の角度は120°です。右上の頂点の内角108°のうち水平な五角形の対角線より上の角度が36°で、正六角形の半分が60°で、残りの鋭角が12°です。
右下の頂点の内角108°を48°と60°に分ける短い線が引けます。
前>>24矛盾ないと思いますが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 18:47:49.74

無駄な努力をするスレ

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 18:52:57.81

>>27
＞右下の頂点の内角108°を48°と60°に分ける短い線が引けます。
ここが誤りなのよ。

角度を計算するとおおよそ39°と69°
短い線と分岐点同士の距離との和は１より少し大きい。

結果、残念ながらこのシオマネキは最小にならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 18:53:56.97

左右の三角形の二辺の長さの和がもう一辺の長さに等しいなんてありえない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 19:12:35.90

幾何の問題をやるときに、手書きで書いた図から大雑把に見積もった角度を信じて計算を進めるのはやめたほうがいいな

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/04(土) 19:44:22.94

>>29
右側の三角形で、
右上の角度は、
108°-36°-60°=12°
右下の角度は、
180°-120°-12°=48°
正五角形下方の等脚台形の右下の角度は、
108°-48°=60°
等脚台形の中に、短い線を一辺とする正三角形が描けると思うんですが。
前>>27

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 19:57:42.72

>>32
その角が120°という根拠はない。
そこまで頑なに120°と言い張るなら、ぜひとも証明してみなさいな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 21:29:46.29

流れ追えてないんですけど、シオマネキが最小出ない根拠は何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 21:31:28.56

自ら隔離スレを立てるあたり、自覚症状はあるのかと思ったが、
スレをたてるほどの話はそこにはないことを理解できていないだけだった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 00:49:21.50

そもそも出題者の答えとおぼしき物が出てるけど？？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/64

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 02:22:38.78

>>36
それはどう見ても>>17 >>18と同一人物で、左右非対称とか口走ったのが出題者なら別人だろ。
そもそも、数学の問題で出題者がだれとか、どおっでもいいじゃん。
何が正解か出題者にしか判断できないなら、出題者が間違ったことを言ったらそれが正解になるのか？
この問題はどこからどうみても>>18が正解で、それで話は終わりだろ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/05(日) 05:11:34.67

3.89……なら、左右非対称のヒントが出る前に出てる値と同じだよ。前>>32

3.89……を下回る値を探してるんじゃないの？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/05(日) 07:36:33.70

分岐点2つの位置を水平拘らずうまくとって分岐120°を保ったまま正五角形の適当な近場の辺に分岐した先を入射させることができれば、あるいは3.89……を下回るかもしれないね。
前>>38

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 08:17:37.89

内点のなす角は必ず１２０°で内点の可能性は１，２，３しかないからそもそもそんなに可能性ないやん。

・内点一個Pならその一点とつながってる３点は外点でPはその３点のFermat Centerでその３点のなす三角形は鋭角三角形。その選び方は実質一意。
このときグラフの長さの合計は5.875016491602415。
またこの議論から内点のなすグラフの連結成分が一点のみのグラフを含めば他の内点は持てないとわかる。
・内点二個,PQとする。
前ケースの議論からPQはつながっておりPQとつながっている４点は外点。
その選び方は実質一意。
このときグラフの長さの合計は3.956295201467611。
・内点三個,PQRとする。
前々ケースの議論からPQRはつながっておりそのなすグラフはA_3。
P,Qは２外点とつながり、Rは１外点とつながっているとする。
P,Qとつながっている２外点は隣接せねばならず、よってその選び方は実質一意。
このときグラフの長さの合計は3.891156823326854。

これでいいんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 15:02:14.54

>>40
いや、与えられたいくつかの点を結ぶ最短ネットワークの局所最適解の頂点は、
全部120°の三叉路か、120°以上の折れ線（ただし、その頂点自体が通るべき点）しか
ありえないのだから、最初から３番目のケースに限定されるでしょ。
正五角形と正七角形で状況が違うのは、正七角形は内角が120°より大きいから
六辺をつないだ折れ線が局所最適解になりうるという点。
正五角形では、元々の辺は局所最適解には含まれない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 15:04:51.10

>>41
わかってる人はわかってると思うが、
＞全部120°の三叉路か、120°以上の折れ線（ただし、その頂点自体が通るべき点）しか
＞ありえない
ことの理由は、そうでないような頂点があれば、その周辺を少し変形することで
必ずそれよりも短い解が作れるから。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 15:55:53.22

そう。だから120°に限られるのは自由に動かせる内点のみで固定点である正五角形のとこでは成立しないから固定点の配置によってはそこで１２０°以外も現れうる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 17:10:57.81

最小解において、曲線が正五角形の(頂点以外の)周を通らないことは証明できる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/05(日) 17:46:30.20

自由店では三股になっていないといけない。
よって最小解の凸包の頂点は全て固定点。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/06(月) 14:31:47.00

何の話がなされているか理解できないスレ主が、元スレに戻ってやがる…。

クソコテの脳内
「なにをゆってるのかわからないけどぼくのまちがいをしてきしようとするひとわぼくをいぢめようとしているひとなのでむししてもいいよね」

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/07(火) 02:53:17.00

やっと平和になった。
そう言えば、きのうは広島で平和祈念式だったな。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/07(火) 22:03:39.61

昨日までの暑さがうそみたいに涼しいね。前>>39カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路の値を確認した。
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.8911568225

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/09(木) 03:02:30.33

>>47
　長崎はきょうです。。。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/09(木) 14:12:16.14

雨だね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/10(金) 03:17:49.07

アメダス　　（なぜか関西弁）
　http://www.jma.go.jp/jp/amedas/

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/10(金) 03:46:03.76

〔次の問題〕
周の長さが一定の四角形（長方形以外も含む）はどうしたら面積が最大になるの？
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1482158333/

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/10(金) 11:43:41.24

;;;;;;;;人;;;;;;;;;;;
;;;;;;;(＿);;;;;;;;;;
;;;;;;(＿)_)､;;;;;;;;
;;;;;(_)＿)_))､;;;;;;;
;;;;(_(＿)_)_)_);;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;>>52四辺が同じ長さのとき。前>>50 ５月５日はこどもの日だろ。６月４日は虫歯予防デー。わかるら。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 05:48:14.60

>イナ
こいつには証明という概念はないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/11(土) 18:59:45.87

>>52

それはわかってるんですよ。基本資料だから読んでないわけがない。そのページの２標準偏差（２SD）って具体的にどんな数値を入れて計算するのかを聴いているんです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 08:10:57.93

五角形の中心と各頂点を結ぶ放射状の線だと題意をみたさないのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 11:39:53.66

http://i.imgur.com/uBTnujq.png
のシオマネキのハサミを覗いた部分は左右対称と仮定。
５角形の底辺の中点を原点として右側の三差路の交差点の座標を(x,y)として
コンピューターに最小値を算出させてみた。
座標 (0.3799888 0.2080354)で最長値は3.956295と出てきた。

> optim(c(0.4,0.4),sio,method='Nelder-Mead')
$`par`
[1] 0.3799888 0.2080354

$value
[1] 3.956295

$counts
function gradient
45 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 11:54:36.60

https://i.imgur.com/VhC8cug.png

カブトガニでもやってみた

> optim(c(1,0.5),kab, method = 'Nelder-Mead')
$`par`
[1] 1.0614192 0.7726595

$value
[1] 3.891157

$counts
function gradient
57 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 11:57:20.54

>>57
最長値は3.956295と出てきた。→最小値は3.956295と出てきた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 12:18:27.42

>>57
Rのソースはこれ

https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/614

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 21:24:45.40

>>58
表示桁を増やしてみた。

> optim(c(1,0.5),kab, method = 'Nelder-Mead')
$`par`
[1] 1.0614192103443205 0.7726595158193953

$value
[1] 3.891156833029388

$counts
function gradient
57 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL

https://i.imgur.com/VhC8cug.png　

底辺の中点を原点において

真ん中の交差点の（０，ｙ１）、右側の交差点が（０．５、ｙ２）としたとき

y1=1.0614192103443205 y2=0.7726595158193953

で　最小値が 3.891156833029388

というのがコンピュータでの結論。

等高線をグラフ化してみた。

https://i.imgur.com/voDx7am.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 21:30:30.90

左右非対称解とは結局何だったのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 21:40:36.66

>>62
min(カブトカニ形)　＜　min(シオマネキ形)はいえるけど
カブトカニ形より小さい解がないと言えるんだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 23:27:10.16

言えてる。もう証明も上がってる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/15(水) 23:34:05.57

前>>53前々>>48カブトガニ最小=3.8911568225
分岐点2つの距離をxとおくと、
シオマネキ最小=1+{(1+√5)/2-x}×2+(1-x)×2+x
=4+√5-3x――①
斜辺1で三平方の定理。
√[1^2-{(1+√5)/2-1}^2･(1/2)^2]={(1+√5)/2-x}(√3)/2+(1-x)(√3)/2
これを解いて、
x={3√3+√15-√(10+2√5)}/4√3
②を①に代入。
シオマネキ最小=4+√5-{9+3√5-(√3)√(10+2√5)}/4
={7+√5+√(30+6√5)}/4
=3.9562341＞カブトガニ最小

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 23:37:22.56

この期に及んでまだわかってないんだな。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/15(水) 23:46:15.81

前>>65加筆。
>>48カブトガニ最小=3.8911568225と同様、シオマネキ最小についても作図により式を立て、パソコンなどに一任することなく、中学生がわかる程度の計算によって示したいと思う。
分岐点2つの距離をxとおくと、
シオマネキ最小=1+{(1+√5)/2-x}×2+(1-x)×2+x
=4+√5-3x――①
斜辺1で三平方の定理。
√[1^2-{(1+√5)/2-1}^2･(1/2)^2]={(1+√5)/2-x}(√3)/2+(1-x)(√3)/2
これを解いて、
x={3√3+√15-√(10+2√5)}/4√3――②
②を①に代入。
シオマネキ最小=4+√5-{9+3√5-(√3)√(10+2√5)}/4
={7+√5+√(30+6√5)}/4
=3.9562341＞カブトガニ最小

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 23:54:12.57

そこじゃないんだよなぁ。
それでいいん？君の数学はそのレベルで終わりでいいん？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/16(木) 12:10:17.67

>>68ビジュアル八面体みたいに120°じゃない極値があるってのかい？　前>>67

カブトガニ最小=3.8911568225

シオマネキ最小=3.9562341
0.555……×7=3.888……

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/16(木) 12:18:35.11

ホントにわかってないんだなぁ。
>>63が何を疑問に思ってるのかすら君一人だけわかってないんだなぁ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/16(木) 13:12:58.98

前>>69仮説。

シオマネキ最小＞カブトガニ最小＞分岐線の最小=35/9=3.888……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/16(木) 19:49:21.02

前>>71
小さい蠏。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/16(木) 19:49:59.26

>>71
最小解があると言うなら、その解を図示するか、または座標を示してみないかい？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/16(木) 20:40:46.57

>>71最小値に座標は関係ない。前後左右どうまわしても最小値になるときはなる。分岐線の長さxとおくと、最小値は7x。前>>72でももう疲れた。カブトガニが最小の蠏かもね。

分岐の角度を120°に保ちながらカブトガニより小さくならないかな。
もしなるならピタゴラス。xとyの二次式から四次式ぐらいで抑えないときついよ、ピタゴラス。寝冷えだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/16(木) 20:56:43.85

>>74
ふうん。そう。
おやすみ。おだいじに。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/16(木) 21:06:24.90

なんの意味もないスレ

2018/08/16(木) 21:15:48.20

高添沼田（葛飾区青戸6－２３－２１ハイツニュー青戸103号室）の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!!　関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 09:27:54.93

http://i.imgur.com/JLHemTx.png
のように左右対称を前提とせず、カブトガニ形の繋がりのネットワークを対象として
コンピュータで長さが最小となる座標を出して描出させてみた。
つまり変数６個で計算。
> kabu3(opt$par)
[1] 3.891156823335537
> (par=opt$par)
[1] 0.000002699127792359672 0.772642997991326407892 0.500000462950937363260
[4] 1.061317339518144553523 0.999998560151592941203 0.772643514290974220415
Rのコードはここ
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/621
この座標で描画すると
http://i.imgur.com/OtyByNy.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 09:58:33.93

>>78
この試行はやってみたことある
まずランダムに３点をとって、その３点でできる三角形の短い方から２辺と、元の正五角形の各頂点から、３点のうち最も近い点とを結んでそれら７本の長さを合計する
それから３点を少しずつ動かして極小解を探していく

結果はカブトガニ型に収束するか、４より大きな解になるか、または収束しない
シミュレーションだから最適化できているかは不明だが、カブトガニ解より小さな解はこれまで見つかっていない

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 10:15:00.75

>>79
レスありがとう。
>78は座標の取りうる値に制限をつけてないので
ネットワークが重なるようなのも対象にして算出している。
http://i.imgur.com/Y9ookqK.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 11:06:28.65

>78の最小値の最適解算出の初期値は
０～１の一様分布でランダムに設定したけれど
http://i.imgur.com/2b7wvCp.png
のような五角形外から始めても左右対称のカブトガニに収束した。

> optim(runif(6,-1,2),kabu3,method='CG')
$`par`
[1] -0.0000006244007777030901 0.7726459096103870383132 0.5000003027472189609526
[4] 1.0613226509328328450721 1.0000013550880015866795 0.7726459944754771047570

$value
[1] 3.891156823329757

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 13:17:28.10

お墓参りに来ますた。南無阿弥陀仏。
（まだ生きていたとは…）

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 13:34:20.78

>79

>まずランダムに３点をとって
５角形の頂点をp1～p5として分岐点をq1～q5の５点に増やして
p1-q1,p2-q2,p3-q3,p4-q4,p5-q5とq1-q2,q2-q3,q3-q4,q4-q5の長さの合計を
最小値とする座標を計算させてみた。
明らかに最小でない、こういうの候補と
http://i.imgur.com/Ns1e52F.png
http://i.imgur.com/ufJuOjS.png
最小とするパラメータ
> (opt=optim(runif(10),penta,method = 'CG'))
$`par`
[1] 1.0000004341739945346035 1.0000008344836242013542 0.4999996331498277601924
[4] 0.0000003625715489940964 0.0000001533897055299300 0.4058822346805296410466
[7] 0.7726451907010785102869 1.0613213678038868614806 0.7726454972413701050016
[10] 0.3769465135213049822305

$value
[1] 3.89115682332915

これで描画すると
http://i.imgur.com/m370rFb.png
p1,q1,q2が一直線、p5,q5,q4も一直線で
分岐３点のカブトガニに収束した。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 13:39:00.61

>>83
R の　コードはここに置いた
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1533510399/451-452

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 14:27:36.94

>>83
×こういうの候補と
〇こういうの候補を含めて

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/17(金) 15:20:06.10

>>85
→こういう候補を含めて

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/18(土) 08:51:54.24

>>83
分岐点５点設定でも３分岐点に収束するのだから
３分岐点は２分岐に収束しないのでカブトガニ最小が濃厚だな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 09:55:54.41

７角形でこういうモデルのとき　http://i.imgur.com/tLSoZ6i.png
の最適解をコンピューターで算出してみた。

Rのコードはこれ

rm(list=ls())
n=7
ngon <- function(n,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){ # draw n-polygon
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}
invisible(p)} # return vertex complex
seg <- function(a,b,...){# draw segment of complex a to complex b
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)}
pt <- function(x,y=NULL,...){ # draw text y at complex x
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)}
poly_demo <- function(x=runif(n),y=runif(n)){ # draw segments
graphics.off()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
pt(Q[i],paste('q',i))
seg(p[i],Q[i])
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])
}
for(i in 1:(n-1)){
seg(Q[i],Q[i+1])
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])
}
return(sum(re1)+sum(re2))}
poly_demo()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly <- function(par){
x=par[1:n]
y=par[(n+1):(2*n)]
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])}
for(i in 1:(n-1)){
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])}
return(sum(re1)+sum(re2))}

(opt=optim(runif(2*n),poly,method = 'CG'))
par=opt$par
ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly_demo(par[1:n],par[(n+1):(2*n)])

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 13:26:45.02

#　各頂点から最も近い分岐点を選んで結ぶモデル
rm(list=ls()) ; graphics.off()
# draw n-polygon
ngon <- function(n,print=TRUE,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
if(print){
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}}
invisible(p) # return vertex complex
}
# draw segment of complex a to complex b
seg <- function(a,b,...){
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)
}
# draw text y at complex x
pt <- function(x,y=NULL,...){
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)
}

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 14:30:05.10

各頂点からｍ個の分岐点のうち最も近い分岐点を選んで結ぶというモデルにアルゴリズムを変更してみた。
初期値は多角形に外接する正方形の座標を一様分布で選んで、分岐線の長さが最小になる値を
コンピュータに探索させた。
ｍ＝１は警視庁 https://i.imgur.com/TzxfTOB.png
ｍ＝２はカメムシ https://i.imgur.com/lmbrobf.png
ｍ＝３はカブトガニ https://i.imgur.com/eFCXJIS.png
ｍ以上はカブトガニが最小になったが、初期値によっては時々、カメムシが出てきた。
ｍ＝４ https://i.imgur.com/ZgeMrKk.png
ｍ＝５https://i.imgur.com/Ma5ywKu.png
ｍ＝６https://i.imgur.com/1lXykpv.png
ｍ＝７https://i.imgur.com/vVBLEdE.png
ｍ＝８https://i.imgur.com/DMzcEI3.png

ちなみに６角形以上では多角形の辺を結ぶ分岐線が最小になって味気ない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 14:45:15.44

ｍ以上、→　３以上、

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 19:21:56.63

３角形から８角形までコンピュータに探索させてみた。

https://i.imgur.com/x6P31j1.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/31(金) 11:02:18.25

>>89
ソース全文はココ
http://egg.2ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/635-638

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/15(土) 14:07:09.33

【新定理】辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除き)1組だけ [485983549]
http://leia.5ch.net/test/read.cgi/poverty/1536987574/

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/21(金) 20:25:39.78

シャボン液を使ったら膜が動いて極小を示せるか？
最小の証明にはならんが

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/25(水) 12:59:02.23

>>94
直角⊿　　(a,b,c) = (135,352,377) と
二等辺Δ　(x,y,y) = (132,366,366)　
は条件をみたす。（L=864, S=23760)

Denis Boris (2003/Oct/22) が a<400000 には他の例がないことを示す。
http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html
これを IBM research の Ponder this に出題

Dan Dima (2004/Feb/12　07:07:05)　が解の uniquity を示す。
Michael Stoll (2004/Feb/27　16:25:23)　　〃

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537412180/

慶應義塾は数論幾何学における「p進 Abel積分論」と「有理点の降下法」を応用したらしいけど
そんなの使う必要あんの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 03:41:37.24

定規とコンパスにより正五角形を作図する方法

ARを直径とする円Xを描く。
これに内接する正五角形 ABCDEA を作図しよう。
　A (-1, 0)
　C (cos(36), sin(36))
　D (cos(36), -sin(36))
　R (1, 0)
　T (1/2, 0)
とする。
第二余弦定理より
　CT^2 = 1 + 1/4 - cos(36) = 5/4 - φ/2 = 5/4 - 29/36 = 4/9,
　CT = DT = 2/3,

直径ARの4等分点Tを中心とし、ARの1/3を半径とする円Yを描く。
円X と円Y の交点を C および D とする。
ACの垂直2等分線と円Xの交点を B とする。
ADの垂直2等分線と円Xの交点を E とする。
　弦AB = BC = CD = DE = EA,　(終)

http://suseum.jp/gq/question/3233