数理論理学（数学基礎論） その13
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その12
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1509638068/ >>677
そう言う事か。
議論領域を集合全体まで広げれば一階述語だけで行ける？ >676>>678-679
準同型射の一般化。
だからせめて準同型写像と準同型定理、「局所化」「商」概念ぐらいは最低限理解してないで圏論齧るとアレなんだ。 >>681
ベクトル空間群論位相空間ぐらいは基礎知識やろ 基礎論厨ですらない連中って群環体って得意げに連呼する前に加群の一般論から見直せよ。 >>680
集合というのは(非メタ理論的に)ZFC公理系のモデルの元のことであり、
議論領域というのはその言語の項のうちいくつかを集めた(メタ理論的)集合
ペアノの公理の言語ではそもそもZFCのモデルと無縁だから、ペアノの公理を記述する言語の議論領域として集合を表す項を集めるということ自体がカテゴリーミステイク
ZFC公理系を記述する言語なら一階述語論理で有限論理式で表せるという意味なら、数学的帰納法を包含する超限帰納法が一階述語論理で書けるから可能 zfcはそもそも置換公理だったかを一階述語論理じゃ書けないんじゃなかった？ >>689
公理図式としては書ける。
有限個の公理系としては書けない。
>>676
あまりそういう人為的な分野分けに意味は無い >>656
>つまりAかAの否定のどちらかは証明できる様な公理系を使うべきだって感じ？
>完全性だっけ？
違うそれに無理
>ちなみにグッドスタインの定理はペアノでは証明も反証もできないって事でペアノが排中律に反する事の証明にもなってる。
違う
>>661
を噛みしめよう 公理図式ってのはメタ的に定めた公理って認識で合ってる？ 人間の5大欲求とはよく言うが、
実は知られていない6つめの欲求がある
それが「自動化」だ
人間の歴史は自動化の歴史と言い換える事が出来る
如何に楽をしてより多くの仕事量（ジュール当たりのパフォーマンス）を
増やすか人間は苦心してきた
その究極形となるのが汎用人工知能である
これは人間の働きを全て代替する 表現形式にメタ要素を入れなきゃならんかどうか、つまりある規則を言語内で論理式で表せるかどうかってどうでも良い事なの？ >>697
は？
何でどうでも良いなんて思ってると思った？ >>686
>群環体って得意げに連呼する
基礎知識を得意げにって思うのは>>684が図星突いてるってことだな 形式的体系の定義から始めて公理的集合論→強制法･無矛盾性証明へと一繋がりになってる良書ってありますか？ 新井 数学基礎論
で検索するとアマゾンで二つ出てくるけど、ペーパーバックかどうかで中身は同じ >>706
> AIの大家じゃなくて？
AIは嫁の紀子のほうだが彼女も別にAIの大家でも何でもない
というよりも彼女の場合、AIを正しく理解しているかすら怪しい
単なるハッタリだけでAIに関して理論的にも技術的にも何も中身がない
彼女の本職であるはずの数学というか数理論理学（数学基礎論）に関してもね テレビ出有名らしい医者が｢医学部入学志願者の採点を男女フェアにしたら8割女になる｣っていってたんだが信じられないよな
数学の世界でも将棋の世界でも、どっからどう考えても女は男よりロジカルな思考能力が下なのにな 大学受験レベルなら才能よりコツコツ努力を積み重ねることができるかどうかの方が効いてくる >>715
なんかうまくいかないってやめたんじゃないっけ ただマネジメントとかコメンテーターやってるだけならともかく、数理論理学者を名乗ってる割に本当に数理論理学を理解してるのかも疑わしいからな
不完全性定理について(中身があってるかはともかく)話していたが、そんなことは数理論理学者でなくても知ってるし 数理論理学の研究者としても二流以下
AIの研究者としてはほぼ素人
これでも教授になって気に入らないやつの科研費を落とせるくらいの力があるw この前新井の顔がメディアに出てたけど
あいつの前歯が細長くてちょっと気持ち悪かったの覚えてる 東ロボ君の大失敗はもっと追及されるべき。
やっぱり仲良しグループで研究費を回している。 中高生の頃の俺なら、余裕で読解力()で東ロボくんに負ける自信あるけど、今は新井紀子より数理論理学を理解してるしな
何か具体的な成果とかあるんか？ 思うんだけど、東大ロボって単なる工学・情報技術の"つぎはぎ"なだけでしょ？
機械アームで紙をめくって、
紙をスキャンして書いてる内容を文字として認識して、
認識された文字の意味解釈をして適切な出力をして、
その出力に基づき、機械アームで鉛筆でマークする
これは順に見て、ロボット工学→なんとか工学→AI→ロボット工学ってな感じの”つぎはぎ”でしょ？
こんな東大ロボが東大入学出来るレベルまで実力あったとか言われた所で何も凄さを感じない >>724
どこが成果だ？
>>726さんが指摘している通り、様々な工学（情報も含め）技術のツギハギに過ぎない
そして本来なら、この東大ロボ計画で新たに開発されるべきだったAI技術の部分は何も新たなものを出せていない
その挙句に、新井の言い訳は「日本語の理解が難しい」だった
日本語処理・理解が不可欠なのは「現実の入試問題を解く」という課題設定の時点で明らかだったのに
その大前提の部分が「難しくて出来ませんでした」とは納税者を舐めるにも程がある
この東ロボの本来の研究課題はその次の段階、つまり日本語で書かれた問題（の情報）を適切なフォーマルな内部形式に変換した次の段階にあったのだ
そのフォーマルな内部形式として表現された問題を様々な知識を連携させることで如何にして速やかに解くか、という段階だよ
日本語の処理が難しかったです、というのは問題をフォーマルに変換するという本来の課題に至る前段階そのものがちゃんとできなかったということだ
こんなのを「大きな成果」と呼んで良いなら、何をやっても何もできなくても、「科研費による研究は全て大きな成果を産み出している」と言えてしまうぞ 新井紀子についてはスレチ（数理論理学の学者とは認められない）
専用スレがあるのでそちらでどうぞ 質問があります
ZFCのあるモデルが存在するとしても、一階述語論理を適当にエンコードし集合論の言語L∈をシミュレートして、その中でフォンノイマン宇宙Vというクラス(は正式には存在しないのでそれを表すL∈の論理式)がZFCのモデルであることは不完全性定理から証明できないですよね
「ZFCのモデルV」とは何者なのでしょうか？ >>728
> 問題意識のない奴には成果が見えない
そういう否定的で非構成的な表現による反論は何の意味もない
「超能力を信じない奴には超能力は使えない」と言ってるようなもの
成果があると主張する以上、肯定的で構成的な説明…つまり成果の内容を具体的な説明…を与える義務がある
成果の内容を具体的に説明しないのならば、成果があるという主張は偽（つまり単なるホラ）と判断される、これが世の中の常識だ >>726
そういう文章の自動認識すらやってない。
以前、東ロボくんが数学の問題を
Tarski-Seidenbergの量化子除去を使って解いたのが
ちょっと話題になってたけど、あれも示すべき式を
研究者が実閉体の理論の論理式として
書くまでやってあげて、それを解かせただけなので
まあ割と残念なチートではある。
記述式の解答にしたのも、人間が出力を読み取って
文章として起草して整えてるはずで、あれを
「機械が大学入試問題を解いた」
と言って宣伝するのは誇大広告にも程がある。
というか、そういう誇大広告が得意なのが
新井紀子という人なので。
数学としての実質で勝負してる夫とはえらい違い >>730
不完全性定理から出来ない、と言っているところでは
実際には完全性定理も使ってると思うけど、
そこで言っている「モデル」という言葉の意味と
V（つまり{x|x=x}）がZFCの（クラスとしての）
モデルであるという時の「モデル」という言葉の意味は
メタ数学的にちょっと違う。
そこら辺私も以前引っかかった事があってこのスレに
似たような事をこのスレに書いた事がある >>735
ご回答ありがとうございます
疑問が晴れずもう少しお付きあいいただければと思います
モデルとは一階述語論理で定義される領域と構造の対だと思っていたのですが、その例のどちらもこの定義ではないということなのでしょうか？
違いや、それが記述されてる本などでも構わないので教えていただけると有りがたいです >>736
クラスとしてのモデル M は、そもそも
∃M〜〜みたいな論理式を作る事も
（一階論理上のZFCでは）出来ないので。
メタ理論のレベルでの略記に過ぎないので。
Kunenのどっかには一応そこら辺のことは
書いてあります。2011年に出たKunenのSet Theoryなら
第一章の後ろの方か第二章の最初の方、
たぶんI.16 Models of Set Theoryのどこか。
和訳されてるKunenの本でもどこかに書いてあるとは
思いますが僕は読んでいません。
実は僕も2014年に数学基礎論サマースクールに向けて
勉強してた時に同じところで引っ掛かった記憶があって、
「数学基礎論・数理論理学スレ その14」の561辺りで
ほぼ同じ質問してるんですよね（笑） 集合論のモデルって
メタ的に考えて
普通の意味でのモデルみたいなモノと認識できるってだけでは？
たとえば順序数の全体Ordが順序数としての性質を持っているってメタ的には認識できるってのと同じような ZFCの上で普通に解釈すると、モデルというのは
ある集合mとその上の演算や述語の組になりますけど
Vはそういう意味でのモデルではないですよね
「VはZFCのモデルである」を一つの論理式で書く事自体
よく考えたら容易にはいかないですね
V自体は{x|x=x}という単なる記号列だとみなす立場も、
二階のZFCとかNBGとかMKみたいに或る実体だと
考える体系もありますが、いずれにしろ矛盾が
出てこないようにはなってるはずです。
ただ具体的にNBGとかMKとかでどうなってるかは、
ちょうどそれぞれの定式化が異なっている部分と
関係してくる上にあまりきちんとした文献に
アクセスするのも容易でないので
あまり真面目に考えた事ないです
Kunenの古い方の本の第一章の演習問題の
最後の方の問題がちょうどそこら辺に関する問題ですね >>737
それはそもそも一階述語論理では自由変数しか量化出来ないので、上の領域と構造の対としてのモデルでも同じではないでしょうか？
キューネンの集合論に関しては和訳版があるので後で読んでみます 自然数論の数項と自然数の違いがよく分からない
例えばωだと
1={φ}=suc(0)=｢1｣
ってなるよな？ 要するに1とかはメタ理論の自然数なんだけれども、ZFCのωとか古典二階PAでは区別がないが、
一階PAそのものを研究するメタ理論を限定しない立場では1とかと内部の数項を区別する必要があるんかな
ややこしいな numeralはただの記号列でしょ。
言葉によって名指されるものと、
ものを名指す言葉の関係。
命題と論理式の区別と同様かと。
閉項と定義可能元も適切に定数記号加えて
保存拡大すれば同様になる。 aとbの濃度が等しい事をa ⤄ bと表す事とすると、
ℝ ⤄ [0, 1) ⤄ 2進数列 ⤄ ℕ
推移律よりℝ ⤄ ℕ
実数と自然数の濃度が一緒になっちゃった。
どこがおかしい？ 2進数列 ⤄ 自然数列 ⤄ ℕ
これじゃダメかな？素因数分解列の一意性を使う。
以下自然数列とℕの対応付け
素数列をPとする
P(1)=2, P(2)=3, P(3)=5 ...
自然数nを素因数分解した列をF_nとする
F_600(1) = 3, F_10(2) = 1, F_10(3) = 2 ...
つまり、任意の自然数nに対し以下が成り立つ
n = Σ(m=0~∞)F_n(m)*P(m)
自然数nと素因数分解列F_nは1対1対応なので自然数列 ⤄ ℕ
なんか集合の濃度とかよく分からんくて頭おかしくなりそう
nからF_nの単射しか示せてへんなこれやと
考えたら一意なだけで一対一なんか全然示せんし
全射か逆の単射を示さへんと
でも数列が永遠に1とか続いってった時nが発散してまうわな
てかそりゃそうやろ当たり前やん
すまん自己解決や >>751
>自然数nを素因数分解した列をF_nとする
>F_600(1) = 3, F_10(2) = 1, F_10(3) = 2 ...
どんな定義よ ってか、N<2^N なんだから一々そんな回りくどい事しなくて良いだろ Xを任意の集合とするときYを「X∉X」を満たすXの集まり
Y＝{X|X∉X}
と定義する
つまりYは自分自身が自分自身に属さない集合全体の集まり
仮にYが集合だとしてY∈YとするとYは性質「Y∉Y」を満たさないといけないからY∉YとなりY∈Yであることに矛盾する
再びYが集合だとしてY∉YとするとYの定義から「Y∈Y」だからY∉Yと矛盾
いずれにしても矛盾が生じるからYは集合ではない
このような集合Yを考える背景には
「集合全体の集まり」
がある
Aを集合全体の集まりとすると
A∈A または A∉A
A∈Aとすると集まりYを排除する正則公理に反しA∉AとなるA全体の集まりYは集合にならない
A∈AであることはAが「物の集まりであること」に反する
A∉AとしてもこのようなAの集まりが集合にならない
集合全体の集まりは添え字付けられた集合族{S_λ|λ∈Λ}の共通部分
{x|∀λ∈Λ, x∈S_λ}
で添え字集合Λを空集合とした場合や圏を定義する際にも現れる
全ての集合の集まりAは
A∈A
を満たすがこれはAが物の集まりであることに反する
A∉Aとしてもこのような物Aの集まりが集合にならない
またAが集合になるとしたらAの部分集合全体の集まりPはP∈Aを満たさねばならぬがこれはA∈Pに反する
公理的集合論のZFC公理を学んでみるとおもしろいのでぜひ >>754
今まで何度も聴いてきたネタだな。
でもそれって毎回毎回自然言語で説明するからウザいよな
それって要するに
¬∃Y∀X(X∈Y⇔¬X∈X) は証明可能
ってだけに過ぎないのにな
こういう風に端的に言われたら、いざ証明しようとなったときに
∃Y∀X(X∈Y⇔¬X∈X)を仮定したとき
∀X(X∈Y⇔¬X∈X)だからXにYを代入して、
Y∈Y⇔¬Y∈Yであり
一方排中律により、Y∈Y∨¬Y∈Yであるから、
これら2式より矛盾が導かれる
よって¬∃Y∀X(X∈Y⇔¬X∈X)である
って感じに証明すればスッキリと分かり易いのにな >>755
> 一方排中律により、Y∈Y∨¬Y∈Yであるから、
無矛盾律に排中律いらんしょ？ 全ての集合の集合
という自然言語の概念を形式化するのは上手く行かないよねって話なんだから一階述語論理だけでは説明できないだろ
タルスキの真理的意味論における真理を説明するのに、Tスキーマだけ取り上げて形式化できないよねで終わらせるようなもの >>756
Y∈Y⇔¬Y∈Y
これだけからどうやって矛盾導くの？ >>757
＞＞全ての集合の集合という自然言語の概念を形式化する
ZFCではYを自由変数とする述語｢∀X(X∈Y)｣が対応してるんじゃ無いの？ 数学は部分集合しか扱えないということか
全体集合だと、全体の全体で形容矛盾になる 要素かどうか決められないと集合じゃないってだけだろ >>758
P P→¬P |- ¬P
P ¬P |- 人
P→¬P |- ¬P
¬P ¬P→P |- P
¬P P |- 人
以上より
P⇔¬P |- 人
だけど？ >>762
｢P→¬P |- ¬P｣が分からん
｢以上より｣が分からん >>764
ってか、｢P→¬P |- ¬P｣の主張そのものが排中律と同じやんけ
ってか>>762の演繹グダグダやろ？
どういう議論の流れになってんのか全く意味不明だわ >>764,765
まあよく考えてみたら？
じゃあもう少し間入れると
P P→¬P |- ¬P
P ¬P |- 人
P P→¬P |- 人
P→¬P |- ¬P
¬P ¬P→P |- P
¬P P |- 人
¬P ¬P→P |- 人
P⇔¬P |- 人
これでどう >>759
ZFCではそうなだけで公理系にはNBGとかもあるし、一階述語論理に限定する理由もない
それでもある程度困難が生じることはZFCだけでは語れないから自然言語で説明されてもしょうがない >>766
やっとどういう証明になってるか分かったけど、完全にお前の頭の中だけのことをメモ帳に書き殴って｢ハイ証明｣って他人に押しつけるタイプだな
カット規則使うにしても断りもないし、どのシーケントからどのシーケントに繋がってるかの説明もないし最悪のタイプ
何でお前みたいなクソ証明を読まされなきゃならんのだってイライラしてくるわ
で結局回り道みたいな議論した所で｢P→¬P |- ¬P｣の主張そのものが排中律と同じ。
>>766の証明は始式から推論規則を厳格に一々やってるわけでもないし、"何の意味も無い" 分けないと分からんかも？
P P→¬P |- ¬P
P ¬P |- 人
P P→¬P |- 人
P→¬P |- ¬P
¬P ¬P→P |- P
¬P P |- 人
¬P ¬P→P |- 人
P⇔¬P |- 人 >>769
>で結局回り道みたいな議論した所で｢P→¬P |- ¬P｣の主張そのものが排中律と同じ。
P P→¬P |- ¬P
P ¬P |- 人
P P→¬P |- 人
P→¬P |- ¬P
どこに排中律使ってる？ 排中律はP∨¬Pが真つまり前提なしに使って良いという主張で
>>771のどこにそれが使われてるの？
二重否定の除去¬¬P|-Pも使ってないのに >>769
>で結局回り道みたいな議論した所で｢P→¬P |- ¬P｣の主張そのものが排中律と同じ。
面白いから
P→¬P |- ¬P
から
|- P∨¬P
導いてごらんよ >>ID:YSRNi+IZ
で、結局｢無矛盾律に排中律いらんしょ？｣っていお前のレスに戻ってくるけど、
これはお前が無矛盾律からシーケントをスタートさせてるだけの話やろ
>>755で言ってるZFCでの議論において一々形式的体系をシーケントで考えて無矛盾律を使う所からスタートするかどうかはどうでもいいこと
あぁ〜他人の何の説明も無いクソな計算メモを見せられて一々どういう思考過程なのかなんでこっちが補ってあげなきゃいけないんだよ
死ねよ
マジでイライラする >>770
はぁ〜〜〜お前通じてないな
んじゃ、始式から始めて各行に使った推論規則書いてみ 同じと言うならできるんでしょ？
ちなみに
|- P∨¬P
から
P→¬P |- ¬P
は
|- P∨¬P
P P→¬P |- ¬P
¬P P→¬P |- ¬P
P→¬P |- ¬P
かな >>774
>これはお前が無矛盾律からシーケントをスタートさせてるだけの話やろ
はぁ
無矛盾律は認めないという立場なの？
これは最小論理の
P ¬P |- 人
なんだけど
使わないのはキビシイなぁw お前クソアスペ脳だからシンプルに応えてやるわ
Y∈Y⇔¬Y∈Yであり
一方排中律により、Y∈Y∨¬Y∈Yであるから、
これら2式より矛盾が導かれる
って議論にお前のアスペ脳が反応してるけど、どういう議論かというと
Y∈Y⇔¬Y∈Yであり (1)
一方排中律により、Y∈Y∨¬Y∈Yである。 (2)
Y∈Yならば(1)の→より¬Y∈Yで矛盾する
¬Y∈Yならば(1)の←よりY∈Yで矛盾する
従って(2)よりいづれの場合でも矛盾する
と言えばお前みたいなクソ証明をウダウダ言わなくても一瞬で終わるって事を>>755は言ってんだよ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
