探検
素数が無限個あることの新証明見つけたから、評価してくれ。
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n≧0 に対して F_n = 2^(2^n）+ 1 とおく。
(1) F_{n+1｝- 2 = F_n (F_n - 2）を示せ。
(2) m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。
(3) 素数が無限個あることを示せ。
(注） F_n が素数とは限らない。
(2)
(1)を繰返して
F_n -2 = F_{n-1} (F_{n-1} -2)
= F_{n-1} F_{n-2} (F_{n-2} -2)
= ････
= (F_0 -2)Π[m=0, n-1] F_m
= Π[m=0, n-1] F_m,
∴ F_m と F_n の公約数は1か2に限る。
しかし F_m, F_n は奇数だから、互いに素。
(3) は (2)から出る。
数セミ増刊「数の世界」日本評論社, p.68-70 (1982)
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社, p.88-89 (1984)
(F_n の最大素因数) ≧ 2^(n+2)･(4n+9) + 1
(Grytczuk, Luca and Wojtowicz, 2001)。
a_1>1,
a_{n+1} = a_n(a_n+1)
と定める。
a_n は少なくともn種以上の素因数をもつ。(nについての帰納法で)
n→∞ のとき、a_n の素因数の種類も∞となる。
a_{n+1} = a_n(a_n -1) としても同様。
を調和級数というらしい。
H_n < Π[p≦n] (1 + 1/p + 1/p^2 + ････)
= Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)}
= 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)}
< 2Π[p<n] (1 + 1/p) (←素数番号を1ずらす)
< 2Π[p<n] exp(1/p)
= 2exp(Σ[p<n] 1/p),
∴ Σ[p<n] 1/p > log{(H_n)/2} ≒ log((γ+log(n))/2) (オイラー)
< Π[p≦n] (1 + 1/p + 1/p^2 + ････)
= Π[p≦n] {p/(p-1)}
< Π[k=2,p_m] {k/(k-1)}
= p_m (← p<n となる最大の素数)
< p_n,
＞素数は無限にある証明が間違いというのは間違いだと思います。
＞【証明】 素数が有限個しかないと仮定する
その有限個の素数全体を p[1], p[2], ⋯, p... #知恵袋_ https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10145941215?fr=ios_other
※質問している人ではなく、取り上げられていて回答もしていてBA率が76%の人。名誉のために言うと、俺の記憶の中で彼の普段の回答は変ではない
背理法について誤解がある、と言うと言い過ぎかもしれないが、少なからず背理法についての思い込みを捨てきれていないんだろうな
そしてこれを受けて定義により忠実な証明を書いてみる
定義:自然数とは、正整数のことである。
定義:素数とは、正の約数が丁度2個存在する自然数のことである。
補題:自然数n,mについて、n<mのときmはnの約数でない。
証明:n>mのとき、
mがnの約数であると仮定すると
n=mk (k:整数)が成り立つようなkが存在する。
n>0,m>n>0よりk>0であるから、次のような矛盾が導かれる。
k≥1より
n=mk≥m・1=m>n
よって仮定は棄却されるので、mはnの約数でない。
定理:素数は無限に存在する
証明:
2は1と2で割り切れる。また、3以上の整数では割り切れない(補題)。よって2の正の約数は1,2の2つであるから、2は素数である。即ち、素数が存在する。
ここで素数が高々有限個しか存在しないと仮定すれば、全ての素数の中で最大のものが存在する。
これをpₘₐₓとおけば、p=pₘₐₓ!+1で表される自然数pは、1とpで割り切れる。また、1<n<pを満たす整数nでは割り切れない。
なぜなら、pₘₐₓ!は階乗の定義からpₘₐₓ以下の整数を全て因数に持つので、pがnで割り切れると仮定するとp-pₘₐₓ!=1の左辺は第1項,第2項ともにn(≤p)を因数に持つ事になるので、共通因数nで括る事でnで割り切れる事が分かる。
よって1はn(>1)で割り切れる事になるが、これは補題に矛盾するので、pはnで割り切れない。また、補題よりpはp+1以上の整数で割り切れない。従ってpの正の約数は1,pの2つであるから、pは素数である。しかし、これは
p≥pₘₐₓ・1+1>pₘₐₓより、pₘₐₓが全素数の中で最大であるという仮定に反するので、元の仮定は棄却される。
即ち、素数は無限に存在する。
ユークリッドの元の証明のように「pが合成数だとしても素因数分解で新しい素数が得られる」は素因数分解の可能性を前提としている
この証明も同じで、素因数分解の可能性を前提とする必要があるわけだ
修正:p-pₘₐₓ!=1の左辺において、pがnで割り切れるときn>1よりnは素因数分解の可能性により有限の素数のうちいずれかの素数を素因数に持つ。それを共通因数で括る事によって1がいずれかの素数p_nで割り切れる事になるが、1は補題により正の約数は1のみであり、素数ではないから、p_n>1より補題より矛盾する。
よってpはnで割り切れない
こう考えるとp以下の数全ての素因数分解の可能性を仮定しているこの証明より、ユークリッドのようなp自身の素因数分解の可能性を前提としている証明の方がちょっとだけ優れてる気もしてきたな
同じだと思ってたしpを素数だと言う方が分かりやすくて好きだったが、前提は多かったと
２は素数である。
いま「１と異なる任意の自然数は必ず素数の倍数である」ことを証明して
認めるものとする。
そのとき素数が有限個しかないと仮定し、それら有限個の素数の積に
１を加えた自然数Ｎを考えよ。これは１とは異なることがわかるので、
必ずどれかの素数の倍数でなければならない。しかしＮの構成から明らかに
どの素数で割っても１余るので割り切れない。これは仮定に矛盾する。
矛盾したのは素数が有限個しかないと仮定したからである。よって素数は
無数にある。
どの素数で割っても１余るので割り切れないから、矛盾が生じる。
p1p2...pn +1なる自然数を存在させれば
p1p2...pn +1もきっと素数だと思うよん
なんちゃって、素数列p
p1=2 素数∵自明
p2=3 素数∵自明
p3=2*3+1=7 素数∵ほぼ自明
p4=2*3*7+1=43 素数∵5 でも割れん
p5=2*3*7*43+1= 13*139😅13で割れた
でもちょっとまてよ
🤔ホントの素数列なら・・・・
by 匿名希望
今もたまに考えてる
対比させると直感的に全ての整数を足した整数のほうが大きい
1/せいすう×2 1/素数×2
偶数/偶数の答えをググれは答えが出るかと思ったら無かった
素数２倍した素数を２で割ると素数になる
素数が無限にあるのは自明の理
1とそれ自身以外では割り切れない自然数を素数という。
nが素数でないならば、nは約数d (1<d<n) をもつ。
〔素因数分解の可能性〕
n(>1)が素因数をもたないならnは無数の約数dをもつ。
しかし、1<d<n なるdは有限個しかないので矛盾である。
∴ nは素因数pをもつ。
n/p = m も自然数(>1)だから素因数qをもつ。
これを繰返すとき、多くともn回以内に1に至る。 (終)
>>20
>>27
鈴木貫太郎
http://www.youtube.com/watch?v=xUi3PZ7TAFQ 03:39
かならず小さい素数から順に割っていって割れる限り割ることを続ければ良い。
そうすれば、かならず小さい素数から順番に素数の巾の積の形で書けることになる。
これはそうしたからそうなるのが当然なのであって、
二とおりの素因数分解が無いことを直接示すものではない。
（積の結合法則と可換性を使えば、本質的に1とおりに限られることがわかる）
ガウスの整数ｘが素数であるとは、ｘが単数（1,-1,+i,-i）を乗じる
不定性は除外して、1と自分以外の他のガウスの正数の倍数には
ならないこととする。
そのとき、ガウスの整数としての素数は無限にあることを示せ。（配点5点）。
この無限性はユークリッド式の
素数の無限性の証明と同様。
(もし有限個しかなかったとすれば全部掛け合わせて2倍して1を足す)
1/(1-p^{-1})
= (1 + p^{-1} + p^{-2} + p^{-3} + .... )
がなりたつ。
いま、もしも素数pが有限個しかないとすると
1/(1-p^{-1})
のすべての素数ｐにわたる積Aを作れば（有限個の値の積だから）
有限の値になるはずである。
ところが自然数が素数の冪乗の積で一意に表せるのならば、
A = \prod_{p:prime}(1 + p^{-1} + p^{-2} + p^{-3} + .... )
は自然数の逆数の総和である調和級数
S = \sum_{n:自然数｝1/n
に一致する。
そのことは、任意の自然数nを選んだときにその素因数分解に
対応する項がAの中に1つだけ含まれて居ることからわかる。
ならば、Sは有限の値にならなければならないが、
微積分学でよく知られているように、調和級数は発散する。
よって、素数が有限個しかないという仮定には無理がある。
（オイラーの証明法）
調和級数が発散することは
微分積分学以前の14世紀にニコル・オレームが書いて以来
広く知られている
無限積の対数を取ってテイラー展開するだけ
発散のパワーてかスピードがメチャクチャ鈍そう
loglog
メチャクチャ鈍いというほどではない
(x > 1) ∧ ¬(∃y < x)(∃z < x)[ y > 1 ∧ z > 1 ∧ x = yz ]
と有界な式で書ける (ここで > という正式でない記号を使ったがその処理の
仕方は明らかだろう) が, “x = y
z ” とか “x は完全数である” とかになると,
もうどう書いたらいいかわからない. (かといって, これらが本当に有界な式
で書けないか確かめるも簡単ではない.)
その先頭のもの2の倍数を取り除く。
残った列の先頭のもの2を別の列の先頭に置き、
残ったものの先頭3の倍数を取り除く、そうして残った3を別の列に移動させる、。。。
をくり返すと素数の列が得られる。
さて、素数の列Pを小さいものから順にならべて、
その先頭2と平方剰余の関係にある素数を取り除く、
2は別の列に移して、残った先頭の素数と平方剰余の関係にある素数を取り除く、
。。。。とやって別の列に移されて残る素数たちどのようなものであり、
どれだけの密度があるだろうか。
からなる集合Lを考える。するとLは整数上のベクトル空間になり、
無限次元のベクトル空間である。
Lの完全な基底としては、素数全体の（同じ底による）対数値がとれる。
どんな非零の有理数の対数値も、有限個の素数の対数値の整数係数による和として
一意にあらわされる．
直積と直和の違いがはっきりわかったのはそのとき
これは正の有理数の全体を考えて
の誤り。
Q^{x}は零を抜いた有理数の全体。Z_2＝｛0,1}, Zは整数全体。（＋）は直和。
ではQを有理数の代数拡大体Q(√2）とかQ(√5）とかとかに置き換えて、
さらに一般にはあるαという代数的数を添加して拡大したQ(α）にしたときには、
その乗法群はどうなるだろうか？ 専門家には既知のことだろうが。
素数定理は導けないのだろうか？
ガウス素数の個数、つまり素数定理はどうなるのだろうか？
たぶん、とっくの昔に知られているのだろうけれども。
「現代数学」12月号の大沢建夫先生の記事にNivenによる証明が載っていました。
https://doi.org/10.1080/00029890.1971.11992740
オイラーの無限積公式と
マクローリン展開を知っていれば
証明はもっと簡単
そういう道具を使わなくて済む証明ですね
2022年に日本の雑誌で紹介された。
古いようでもあり新しいようでもあり
Nivenの証明のこと
この証明のすぐ先に
Diricheletの算術級数定理がある。
メイナードよりもずっとフィールズ賞に値する
なぜならば双子素数が有限個しかないとすると、その逆数の和は有限にとどまるからだ。
しかし逆はもちろん成り立たない。仮に和が収束することがしめせたとしても、
双子素数が有限個しか存在しないことは導かれない。
それでは 1／（ｐ log p) の和は はたして収束するかそれとも発散するか？
非公開前の内容要約: ブルンの篩を利用した双子素数の逆数和が収束することの証明の解説。
暗黙に使われている。
たとえば、１００億以下の自然数の集合Aについても、その中で
Ａ-素数（Aの元で１と自分自身以外では整除できないもので１ではないもの）
という概念は成立するが、そのようなＡ-素数は有限個しかない。
（それは一種の素数の類似品）は無限に存在するが、考えている多項式の次数を
制限するとそのような多項式は有限個しかなく、既約な多項式も有限個しかない。
読んで損した
Aの中に留まっているかぎりではユークリッドの証明の方式を
そのままでは使えない。なぜならば
p1p2...pn +1
がAの大きさの制限を超えてAの範囲には無い可能性があるからだ。
Aの中では足し算やかけ算もAの中に留まらない可能性がある。
それでもAの中で1と自身以外に約数を持たず1ではないような
Aに含まれる数、という概念は成立する。
当たり前
Quadratic Reciprocity: Proofs and Applications
これに平方剰余の相互法則を使った素数の無限性の証明が色々載っていた
Sの素数を自分と1以外では割り切れない1と異なるSの要素であると定義する。
ただし、割り切れるとはSの数で割ったときの商もSの要素になることとする。
1は素数では無い。（定義による）
3は素数である。
4は素数である。
5は素数である。
6は素数である。
7は素数である。
8は素数である。
9は素数である。
10は素数である。
11は素数である。
12は素数では無い（12＝4ｘ3）
13は素数である。
14は素数である。
15は素数で無い。（15＝3ｘ5）
16は素数で無い。（16＝4ｘ4）
17は素数である。
18は素数で無い。（18＝3ｘ6）
などなど
問1：Sの要素について「素因数分解」の一意性は成り立つか？（配点5点）
9は素数で無い（9＝3ｘ3）
例として24＝6ｘ4と24＝3ｘ8はどちらも素因数だけの積で表された所謂素因数分解であるが、
両者は一致しないことは明らかであろう。
Sに対しては、Sには含まれない仮想の数ｐがあると考えて、それを追加したものをS'として
S’のなかでは、、
4＝ｐｘｐ、6＝ｐｘ3、8＝ｐｘｐｘｐ、10＝ｐｘ5、14＝ｐｘ7、、、、などと分解されるとすれば、
S' の中では 4，6，8、10、14，などはもはや素数ではなくなるが、
S' の中では 素因数分解の一意性が成立するようになる。
どちらもSにおける素数の積なのだからそれ以上の分解はできない。
それではSにおいては乗法による素因数分解の一意性が成り立たないのに、
S' = S∪｛2｝においては一意性が成り立つ理由はなんであろうか？
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