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Inter-universal geometry と ABC予想 28
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0224１３２人目の素数さん
2018/06/14(木) 13:29:20.03ID:Tkc3gSqt
>>216
Goのサーベイの356〜361ページ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc2018May28.pdf
The Θ×µ LGP-link 0,0HT Θ ×µ LGP −→ 1,0HT induces the full poly-isom
0,0F I×µ LGP full poly ∼→ 1,0F I×µ ∆ of F I×µ-prime-strips, which sends
Θ-pilot objects to a q-pilot objects. By the Kummer isomorphisms, the 0,0-labelled
Frobenius-like objects corresponding to the objects in the multiradial representaion
of Theorem 13.12 (1) are isomorphically related to the 0,◦ -labelled vertically coric
´etale-like objects (i.e., monoanalytic containers with actions by theta values,
and number fields) in the multiradial representaion of Theorem 13.12 (1).
After admitting the indeterminacies (Indet xy), (Indet →), and (Indet ↑),
these (0, ◦)-labelled vertically coric ´etale-like objects are isomorphic
(cf. Remark 11.1.1) to the (1, ◦)-labelled vertically coric ´etale-like objects.
Then Corollary follows by comparing the log-volumes (Note that log-volumes
are invariant under (Indet xy), (Indet →), and also compatible with log-Kummer
correspondence of Theorem 13.12 (2)) of (1, 0)-labelled q-pilot objects (by the
compatibility with Θ×µ LGP-link of Theorem 13.12 (3)) and (1, ◦)-labelled
Θ-pilot objects, since, in the mono-analytic containers (i.e., Q-spans of log-shells),
the holomorphic hull of the union of possible images of Θ-pilot objects subject to
indeterminacies (Indet xy), (Indet →), (Indet ↑) contains a region which is
isomorphic (not equal) to the region determined by the q-pilot objects (This
means that “very small region with indeterminacies” contains “almost unit region”).
0225１３２人目の素数さん
2018/06/14(木) 13:36:27.58ID:Tkc3gSqt
>>216
星のサーベイの36ページ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/intro_iut.pdf
さて, これまでその説明を行ってきた主定理から, 以下のような議論によって, 我々の目標
であった| deg L | の何らかの上からの評価 35 を得ることができます. (iii) で議論されている
図式 を出発点としましょう. ここで, 用語の導入ですが, qパラメータ qE によって定義される
数論的直線束 (つまり “L”)を q 標対象 と呼びます. また, テータ値(=(q j 2/2l E )j=1,...,(l−1)/2)
によって定義される数論的直線束 (つまり, これまでの我々の議論において, “L ⊗N ” の役割を
果たす数論 的直線束) (に対応する数論的直線束のなす適当な圏の対象) を Θ 標対象 と呼びます.
この用語を用いて, 上述の我々の目標を改めて述べれば, それは, | deg(q 標対象)| の何らかの
上からの評価 となります. まず最初に, Θ リンクによって, “† 側” の Θ 標対象は “‡ 側” の
q 標対象と対応することになります:†Θ標対象 ←→ ‡q 標対象. また, 主定理のアルゴリズム
によって, (Ind1), (Ind2), (Ind3) のもと, “†側”のΘ標対象は “‡側”のΘ標 対象と対応することに
なります: †Θ 標対象 (Ind1, 2, 3)↷←→‡Θ標対象. したがって, これら 2 つの対応を併せることで,
結論として, “‡側”のq標対象が同じく“‡ 側”のΘ標対象の “(Ind1), (Ind2),(Ind3) による軌道の和集合
(の, 正則包 (holomorphic hull)に含まれることになります: ‡q標対象⊆(∪(Ind1, 2, 3)‡Θ標対象)
の正則包. つまりq標対象の体積は, Θ標対象の “(Ind1), (Ind2), (Ind3) による軌道の和集合” (の,
厳密には, 正則包)の体積以下であるという結論が得られました:
| deg(q 標対象)| (=−deg(q標対象))≥−vol(Θ標対象の不定性による軌道の和集合の正則包).
これにより, 我々の目標であった “| deg L | ≥ | deg L ⊗N | − C” というタイプの不等式
— §4 の前半の議論 を参照 — を得ることができました.
0226１３２人目の素数さん
2018/06/14(木) 13:38:39.85ID:Tkc3gSqt
>>216
星のサーベイ(続編)の92ページ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/intro_iut_continued.pdf
上述の多輻的 Kummer 離脱を用いた q 標対象の次数の計算について, 簡単に説明しましょう.
(詳しくは, [9], Corollary 3.12, の証明を参照ください.) この §25 の冒頭の Θ×µ LGP リンク
が定める同型†0C⊩LGP ∼→ ‡0C⊩△ は,†0Θ標対象を‡0q 標対象に移します. (§24, (a),
を参照ください.) したがって, §14(e), (i), から所望の次数 deg(‡0q標対象) を,0Θ標対象
の — “†の側” の正則構造の観点からではなく — “‡の側”の正則構造の観点からの対数体積を
用いて計算することが可能です. 一方, 多輻的 Kummer 離脱によって, 不定性 (Ind1), (Ind2),
(Ind3) を認めれば, Θ×µ LGP リンクが誘導する同型†0F⊢×µ△ ∼→ ‡0F⊢×µ△ (§24, (b),
を参照) と両立する同型 †0RFrob ∼→ ‡0RFrobが得られます. vol(‡0Θ) ∈ R ∪ {∞}を,
不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) の作用による ‡ 0Θ 標対象の軌道の和集合の (“‡ の側”の
正則構造による) 正則包 (holomorphic hull — cf. [9], Remark 3.9.5) ([2], §12, の後半の
議論を参照) の行進正規化対数体積として定義しましょう. すると両立的同型†0RFrob ∼→
‡ 0RFrob の存在から, †0Θ 標対象の対数体積は, vol(‡0Θ) 以下とならざるを得ません.
したがって, 結論として, 不等式 vol(‡0Θ) ≥ deg(‡0q標対象) が得られます.
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