集合論に関する問題です

R = 実数の集合
A =有限の文字列で表せる実数の集合
α ∈R - A
とします

α を定義する文字列は有限長なので、α は A に含まれます
しかし α は R-Aの要素なので、 α は A に含まれません。(矛盾)
これは何が問題なのでしょうか？