背理法不要論ってどうなん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 20:43:44.69

東京理科大の先生頑張ってるけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 00:07:25.95

今日も背理法を使ったせいで頭が腐った

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 10:18:35.97

わざわざ背理法を使わなくてもいいのに使うやつはマゾ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 11:04:04.56

選択公理を使わなくても比較可能定理を使えばいいぢゃん

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 10:42:13.90

ゾーンの補題でイイジャン

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 10:46:21.86

>>240
>背理法で証明できる命題が背理法を使わなくても証明できることは正しい。
>このことは基礎論の研究者によって、かなり前から証明されているようだ。
ちょっとちがくて
背理法というか
排中律無くても二重否定命題は証明可能（埋め込み定理）
でも二重否定命題から命題を証明するのに排中律（背理法）が必要

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/24(月) 19:03:56.18

背理法＝対偶を証明する
だろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 18:53:27.53

丸大ハムの宣伝を聞くと、背理法を思い出してしまう。

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/04(金) 22:55:53.70

最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだがも背理法不要信者が書いたのか

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/09(日) 12:43:07.47

背理法不要論を振りかざす奴は、丸大ハンバーグを食べるの禁止。
（昭和のCMを知っていればわかってくれるはず。）

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/09(日) 17:30:12.58

>>271　これのこと。
https://www.youtube.com/watch?v=0yHlKd-Il-Y

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/09(日) 20:31:44.36

たしかに言いたいことはわかる
背理法使ってる証明はココロが掴めない

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/09(日) 21:13:13.89

むしろつかめることが多いけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/09(日) 23:25:43.32

背理法で体の拡大を考えるって意味わからん

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/10(月) 09:23:39.38

背理法が全てが悪いんじゃなくて無根拠な排中律・排重律・排他律の適用が悪いんだけどな｡
とは言え背理法で囲い込んで特定されるより推論過程でピタリと特定される方がしっくり感は有る｡
まぁしっくり感も人間が感じるもんだから怪しむべきっちゃ怪しむべきなんだが｡
人は巷に広められた情報よりも自分で入手した情報を信じ易い、ってな｡
背理法にせよ帰納法にせよ自然結論にせよ、各証明は吟味が必要って事だな｡

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/10(月) 10:51:12.83

>>276
無内容

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/10(月) 12:52:49.56

ブーメラン自爆ご苦労。その無内容、と言うか可も無く不可も無い事実に気付かず
背理法要否を唱える人間や背理法濫用に気付かない人間が、どれだけ多い事か

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/10(月) 17:58:11.91

>>278
恥の上塗り
内容のない長文を書いた自分を恥じよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/10(月) 19:17:16.54

>>259
背理法の根幹は排中律だからってことでしょ
Pか～Pかしかないってことを使っている

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/11(火) 00:30:02.11

そういう論理もあるってだけ

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/11(火) 01:56:07.84

直観主義は直観的なのか？爆発律って直観的か？

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/11(火) 08:14:17.56

アインシュタインは時間は幻想だと言っていた

でも　仮にそれが幻想だとしても　時計の針が逆向きに動くところなど

見たことが無い。。

でもそれは　「それが時計だから」だ

そもそも時計と言う物体はそういう風に作られている　逆になど動かない

前提の代物なのだよ。。　だがその事と　時間が逆行しない　という言説

とは科学的相関性は無い。。

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/11(火) 11:01:29.13

>>282
>爆発律って直観的か？
そりゃ直感的だよ
空集合はすべての集合に含まれるってのが爆発律

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/11(火) 15:59:00.02

爆発律って初耳だからググってみたら
「矛盾から全てが出る」の事じゃねーか

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/11(火) 21:04:13.73

>>284
THX
何となくわかった

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/12(水) 15:19:44.83

有と無を同列に扱ったが故の矛盾宿命…
だが有と無を隔てる理も無く…

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/12(水) 19:04:40.98

背理法の代わりに対偶法を使えってこと？
￢Q→￢Pだと仮定するのは￢Qだけだけど
P∧￢Q→⊥ならPと￢Qとを仮定できるのでずっと見通しが良くなる

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/12(水) 19:17:23.31

>>284
それは違うやろ

たぶん「命題x」と「xの証明全体から成る集合S(x)」、
「xならばy」と「写像S(x)→S(y)」を対応させる埋め込みを考えてるんだろうけど、
“矛盾を空集合に対応させていいのか”という問題がある

矛盾が証明できないという先見的な証拠はないし「真なる矛盾が存在する」という哲学的立場もある(真矛盾主義)

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/13(木) 20:30:13.67

tan1°は有理数か

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/13(木) 21:19:20.74

>>289
矛盾を何か神格化してるだけだなそれ

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/13(木) 21:30:50.32

まーた哲学者が暴れてるよ
真なる矛盾なんかあるわけないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/14(金) 23:31:53.59

背理法不要論はまあ背理法使うと公理を一つ余分に入れないといけない点から来てるんだろうと思うけど、
ZFなら正則性公理だってそれほど自然とは思えないんだけどな
ZFCなら排中律を証明できるんだっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/15(土) 00:43:31.70

>>293
>正則性公理だってそれほど自然とは思えないんだけどな
え？
何が元か最終的にハッキリしない集合の存在を当然と思うかどうかよ
もちろんそういう集合が合ってもいいという立場も有り得るだろうけど
そっちを自然と感じる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/15(土) 00:48:07.27

>>293
>ZFCなら排中律を証明できる
https://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/#AxiChoLog
ホントヶ？

粋蕎 ◆C2UdlLHDRI · 2020/02/15(土) 07:43:54.54

真矛盾って肯定的証明も否定的証明も出来ない矛盾の事と違うたんか？

所で嘘吐きのパラドクスは不合理では有るが実は矛盾ではない｡
――貴方は貴方ですか？」正直 Y.
嘘吐 N.
――貴方は正直ですか？
正直 Y.
嘘吐 Y.

？？=(￢正直)or(￢嘘吐き)

――貴方は正直ですか？Take2
正直 Y.
嘘吐 Y.
￢正直 N.
￢嘘吐 N.
――貴方は貴方ですか？Take2」
正直 Y.
嘘吐 N.
￢正直 N
￢嘘吐 Y

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/15(土) 10:14:53.65

>>295
この中で
∀X∀Y∀F(∀x(X(x)↔Y(x))→FX=FY)
を公理にしてるのがこの結論を導いてるようだけど
2階の関数ってこの性質を持つべきなのかな
定義は異なるが真偽が一致するX,Yに対して
FXとFYが必ずしも一致しないFを考えても良くない？

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/15(土) 10:36:08.61

この証明のキモは
選択公理によって
Aの真偽と一致不一致が同値になる関数Kの存在が示せるというところ
Aの真偽を01に対応させる関数が存在することを示しているとも言えそう

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/15(土) 13:44:17.65

ここにも基地外が出たか

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/25(火) 13:19:22.44

背理法は便利だよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/25(火) 23:10:19.81

背理法無しでtan1°が無理数であることを証明して

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/25(火) 23:15:41.09

対偶による証明も背理法の一種だからなぁ。

愚かとしか思えないんだけど。

2020/02/25(火) 23:35:43.84

>>302
＞対偶による証明も背理法の一種だからなぁ。

そういう視点もあるよね
つまり
命題 P→Q
対偶￢Q→￢P
背理￢Q∧P→矛盾（集合のベン図で￢Q∩P＝Φ（空集合））
（要するに、集合で考えると P⊂Q が成立つ ←→ ￢Q∩P＝Φ（空集合））
背理法の利点：￢Q∧P と2つの条件が使えること。つまり、対偶￢Q→￢P（１つの条件￢Q から￢Pを導く）よりも、証明の筋道が見えやすい場合が多いってことが、大きな利点です
なので、背理法は非常に有用です！！

（参考）
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0119.html
進研ゼミ
【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由

「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。

図１
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/images/A14M0119/pic02.gif

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/26(水) 19:31:06.19

うざい。死ね

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/26(水) 21:35:55.42

>条件pを満たすもの全体の集合をP
“もの”って何？ラッセルのパラドックスぶつけるぞオラ

2020/02/26(水) 22:51:41.51

で？どうしたの？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/27(木) 00:49:39.45

背理法って全然そうは見えないけど、実はワン・ツー狙いの
ロングクロスでサイドに張る隠れバックスって感じも

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/27(木) 02:27:46.70

>>305
``もの''つまり要素になれるものはすべて集合、集合の集まりは一般にはクラス

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/27(木) 03:21:20.18

背理背理笛背理法
背理背理笛方法
丸大ハンバーグ

**現代数学の系譜雑談** ◆e.a0E5TtKE · 2020/02/28(金) 11:56:47.48

>>307-308
同意

P→Qの証明を
迷路に例えると
１．正攻法：Pから出発して、愚直にQを目指す
２．対偶法：Qから出発して、逆にPを目指す
　（正確には、￢Pと￢Qの地図で、￢Q→￢P、つまり￢Qから出発して、逆から￢Pを目指す）
３．背理法：PとQから出発して、どこかの矛盾点（ゴール）を探す
　（正確には、Pと￢Qの地図で、どこかの矛盾点（ゴール）を探す）

問題毎に、正攻法、対偶法、背理法の３つで、最も適した（最も分かり易い）証明法があるだろう
勿論、背理法で証明された後なら、正攻法でPから出発して Qに至る道を見つけることは、容易なっているだろう

なので、背理法は有用と思うよ
Pと￢Qの二つの条件が明示されていることが、そのメリット（証明を考えるのに分かり易い場合がある）

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/28(金) 20:14:08.04

無内容の長文

2020/02/28(金) 21:04:56.59

>>310-311
>無内容の長文

同意
まあ、「背理法は有用です」とか
「Pと￢Qの二つの条件が明示されていることが、そのメリット（証明を考えるのに分かり易い場合がある）」とか
ほぼ自明だからなーｗ

例えば、中学数学の例で、「√2は、無理数である」の証明
１．そもそも、”無理数の定義：実数Rの中で、有理数Q以外” なわけで、”有理数Qの定義：有理数体Q”ってこと
　だから、圧倒的に、有理数Qを出発点にする方が、無理数を出発点にするより、有利だよね
２．そこで、有理数Qは「a/b という分数で表せる数のこと」と、「√2の性質：二乗して2になる」と、2つの性質を組合わせて、矛盾を導くという方針が立つ
３．これぞ、背理法であり、極めて自然な証明法である

上記は、いろんな人がいろんな所で書いていることで、知る人ぞ知る、自明と言えば極めて自明なことだよ
上記は、中学数学の簡単な例だが
同じようなことは、数学のいたるところにある

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。
有理数ではない実数は無理数と呼ばれる。
基本性質
既に述べたように、通常の四則演算のもと、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる体を成す。また、有理整数環 Z の商体である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/28(金) 22:41:05.53

>>310
解る気がします
悪乗りですけど
守備は教えられるけど（フォワード）攻撃は教えられない現代サッカーの
視点に立てば、選手の誰もが均一のパスの能力を持つと想定し

① パスがつながればゴールを奪える
② ゴールが奪えないならパスがつながっていない
③ パスがつながっているのにゴールが奪えない　/矛盾

今まではウインガーでもセカンドトップでもサイドハーフでもバックスでも、
つねにセンターやサイドに張らず流動的な戦術の中でめまぐるしくポジションを
変えながら相手の裏をかくようにパスをつないでいく傾向が。こういったスペイン流パス回しでも今はホントありきたり。
往々にしてほとんどの場面で正攻法はすぐばれる気が

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/28(金) 22:46:40.31

>>310
＞対偶法：Qから出発して、逆にPを目指す
＞（正確には、￢Pと￢Qの地図で、￢Q→￢P、
＞　つまり￢Qから出発して、逆から￢Pを目指す）

「Qから出発して、Pを目指す」のは
「￢Qから出発して、￢Pを目指す」のとは
全く違うけどね

対偶と逆を同じだと思ってる？
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0120.html

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/28(金) 22:49:16.80

>>310
＞背理法：PとQから出発して、どこかの矛盾点（ゴール）を探す
＞（正確には、Pと￢Qの地図で、どこかの矛盾点（ゴール）を探す）

「PとQが矛盾する」のは
「Pと￢Qが矛盾する」のとは
全く違うけどね

Qと￢Qが同値だと思ってる？

2020/02/29(土) 07:39:00.23

>>314-315
全部同意ですよ
話を分り易く書いているのです
細かいところを、省いてね
というのは、この数学板では、もともと細かい緻密な議論は無理なのです
図も書けないしね

もう一度説明すると
１．証明を、迷路に例える
２．通常法はP→Q、つまりPを出発点として、ゴールQに辿り着ければ、証明が終わる
３．だが、Pを出発点として、Qの情報が見えない
４．対偶法は、￢Q→￢Pの迷路に直して、￢Qを出発点とした方が、ゴール￢Pへの道が分り易いとき有効
５．背理法は、￢QとPの2つの情報を使って、矛盾というゴールを探す証明手法

と、こういう説明なんだよ
通常法、対偶法、背理法の３つとも、正しい数学の証明法です
それぞれ、利害得失があるってこと

2020/02/29(土) 07:49:14.29

>>316 補足

背理法の話は、過去にガロアスレでも扱ったよ
下記目玉焼きさんのコメントを読んでみて

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む53
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/82-

URL アマゾン /dp/4903342220
背理法 (数学書房選書) 単行本 ? 2012/5
桂利行 (著, 編集), 栗原将人 (著, 編集), 堤誉志雄 (著, 編集), 深谷賢治 (著, 編集)
単行本: 128ページ
出版社: 数学書房 (2012/05)

目玉焼き
5つ星のうち5.0「構文」背理法を通して、排中律に重きを置く「こころ」を解説。
2012年10月21日
この本のタイトルである背理法という間接証明法はラディカルな批判者によって一時期不当な評価をされていましたが、現在は議論も一回りし決着が付いているようですのでレビューを書き直しました。

一つ、脱背理法論者の理論の決定的な間違いを指摘しておきましょう。
以下略

2020/02/29(土) 08:00:06.28

>>317 補足の補足

かつて、下記みたいな話があったので
このスレが、あるのでしょうね（>>1ご参照）

（参考）
http://abel.a.la9.jp/sub11.html
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人
背理法被害者の会 - 安部研究室
安部研究室HP
脱背理法教育(01) 2013/07/
(抜粋)
(通常背理法で証明される定理を背理法を用いず証明する)を東京理科大学数学科で実践しています。
略

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/29(土) 08:15:52.33

>>317
肝心なところを省略してどうする

2020/02/29(土) 08:47:56.06

>>318

もう少し書くと
下記安部研究室、”背理法無用：「√2 が無理数」の直接証明”と書いてあるけど
やっていることは、「P：x＝√2（x^2＝2）→Q：xは無理数」として
P→Qの証明下記で、「Pかつ￢Q→Φ（空集合）」ってこと（ここで￢Q：xは有理数）
つまり、>>303の「背理法￢Q∧P→矛盾（集合のベン図で￢Q∩P＝Φ（空集合））」そのもの
（くどいが、「x^2＝2 かつ xは有理数を満たすxは存在しない」を示しているだけなのです）
それを示すのに、因数分解の一意性という大定理を使っているだけのこと
そういう見方もできるよね

（参考）
http://abel.a.la9.jp/index.html
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人
背理法被害者の会 - 安部研究室
安部研究室HP
脱背理法教育(01)2013年02月23日
(抜粋)
　背理法無用：「√2 が無理数」の直接証明：
　「自然数　a,b につき、
　aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数
　で異なるから aa≠2bb、よって √2≠a/b。」
(不要かもしれませんが少し説明を加えます。
　a と b を素数の積で表したとき、その素数(素因数)の個数をそれぞれ s と t とすれば、aa と 2bb の素因数の個数は s+s=2s と 1+t+t=2t+1 です。
　また、2＝(a/b)^2 から √2≠a/b を導くのに背理法を使っていると疑う人がいるので、
　x,y>0 のとき、√x＝√y と x＝y は同値
ですから、　√x≠√y と x≠y も同値です。)
[背理法でもっと簡潔に証明できますか？]
　また、素因数分解の存在と一意性も勿論背理法を用いず証明できます。

2020/02/29(土) 08:50:12.65

>>319
いや、引用すると、かなり長くなるんだ

2020/02/29(土) 09:01:59.48

>>320

さらに書くと
フェルマー予想
”3 以上の自然数 n について
x^n + y^n = z^n
自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理”

証明される前は、予想だったから
当然、x^n + y^n = z^n の解があるとして、「あるとすれば、その解がどういう性質を持つか」という筋が自然に浮かぶだろう
それが、結果的に、背理法の証明に繋がった

つまり、”自然数の組 (x, y, z) は存在しない”→自然数の組 (x, y, z) が存在する→x^n + y^n = z^nの解を調べる→矛盾→背理法の証明完成となる
それって、真っ当な数学の手法でしょ？
そういう（自然に背理法を使う）数学の対象が、あるってことです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理
(抜粋)
3 以上の自然数 n について
x^n + y^n = z^n
自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである[注釈 1]。
長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後360年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった[1]。
目次
1 概略
2 個別研究の時代
2.1 n = 4：フェルマー
2.2 n = 3：オイラー
2.3 n = 5：ジェルマン、ディリクレ、ルジャンドル
2.4 n = 14 ：ディリクレおよび 7 ：ラメ、ルベーグ
2.5 クンマーの理想数

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/29(土) 09:31:28.34

>>316
＞分り易く書いているのです
＞細かいところを、省いてね

￢の有無を「細かいところ」という人ははじめて見た

実に粗雑ですね

＞数学板では、もともと細かい緻密な議論は無理なのです
＞図も書けないしね

￢は図でなく文字ですけどね

出し方知らない？教えてあげますよ

”のっと”と打って変換すれば出ますよ

￢なんて全然細かくないし緻密でもないですけどね

2020/02/29(土) 12:58:47.00

>>323
フォローありがとう
まあ、おれからすれば、こんな話は、各人それぞれが納得すれば良いだけのことだが
「背理法被害者の会」も、きちんと否定（￢）しておきたいと思ったから書いただけのことよ

2020/02/29(土) 13:02:24.69

>>323
>＞図も書けないしね
>￢は図でなく文字ですけどね

いや、そういう意味じゃなく
ベン図とか、ポンチ絵とか、書けば分り易いと思うのだがね
それが、この板では書けない
（例えば、２～３行に渡る斜め矢印とかも書けないから、全てを１行で済ませるしかない。ＪＰＧとかを他にアップしてリンクするのもあるけど、かったるいしね）

そういうことを、言っているのだよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/29(土) 15:12:57.23

星座の絵だけ教えて星の配置を教えない説明。
わかってる人が分かりやすく説明しようとして、
かえって分かりにくくなるよくあるパターン

2020/02/29(土) 15:54:38.62

>>326
いや、仰る通りだよ
まあ、所詮この板では限界があるとは、思っていて、100人の100人に分からせるためには、本一冊いるかも
実際に、>>317の通り本があるし、それ嫁ってこともある

まあ、言いたいことは>>317の書評にもあるように
背理法が自然な数学の対象があるってこと（>>322）

逆に、背理法がまずい場合もあるよね
例えば、「ある式f(x)=0が、有理数解を持つことを示せ」という問題があったとして
背理法を使う人はいないだろう

背理法で、「ｘが有理数でないとして・・」と議論を進める人はいない
ｘが有理数として、x=a/b と置いて、f(a/b)=0 で式変形をするとかが、普通でしょ
かように、普通にP→Q、対偶￢Q→￢P、背理法￢Q∧P→Φ（空集合） or 矛盾

それぞれ、利害得失がある
それぞれの特徴を知って
うまく使い分ければ良いってこと。背理法を排除する必然性なしってこと

2020/03/01(日) 08:35:42.41

まあ、数学教員になる人もいるだろうから貼る
あんまり、良い資料とも思えないけど、何かの参考にはなるだろう

https://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/files/public/4/43403/20170629113159591483/AnnEducRes_45_281.pdf
広島大学学部・附属学校共同研究機構研究紀要
〈第45号 2017.3〉
間接証明カリキュラムの開発に関する研究
―背理法の学習過程に注目して―
早田透上ヶ谷友佑袴田綾斗岩知道秀樹
影山和也小山正孝寺垣内政一

2020/03/01(日) 09:40:07.25

>>327 補足
下記のPDFがヒットしたので、貼っておくが
下記にもいろいろ書いてあるけど

典型的な、「√2は無理数である」ことの証明
つまり
P：x=√2 → Q：xは無理数の証明
これは、「 ”x^2=2” ∧ ”xは有理数" → Φ（空集合）：x^2=2は有理数解を持たない」・・(1) を証明すれば良いという言い換えができる

では、どうすれば、この言い換えを思いつくかというと、背理法なら￢Q∧P→Φ（空集合）ですんなり出る
　>>320の安部先生がやっていることも
上記(1)の証明に、自然数の因数分解を使っているだけのことです。それで「脱背理法」とかは言えない

さらに、”Q：xは無理数”に注目すると、”￢Q：xは有理数”に書き直した方が、圧倒的に証明しやすいということ
そして、”P：x^2=2”も、同時に証明の最初から使っていきたいのです
そういう数学的構造が背景にあるから、背理法がうまくマッチするのです

つまり、背理法がうまくマッチする数学的対象あるってことです
（因みに、対偶法は相応しくない。例えば（対偶法） ”￢Q：xは有理数” → ”￢P：x=√2は解を持たない”ってことだけど、そんな証明は迂遠ですね）

だから、直接証明、対偶法、背理法、それぞれに利害得失があって、適した証明法を選ぶってこと
もちろん、背理法の証明を、直接証明に直すことは可能です
でも、証明を迷路に例えると、如何に見通しよくゴールに辿り着けるかってことで、いろんな手法があっていいのです。背理法を排除するのは、間違い！

（参考）
http://www.st.nanzan-u.ac.jp/info/ma-thesis/2013/KSASAKI/m12mm007.pdf
推論を適切に選択するための数理的手法 M2012MM007 堀場康行指導教員：佐々木克巳修士論文要旨情報分析科学分野 2013
http://www.st.nanzan-u.ac.jp/info/ma-thesis/2013/
南山大学大学院数理情報研究科 2013年度修士論文・OJL報告書要旨集

2020/03/01(日) 14:23:53.93

>>329 補足の補足
>つまり、背理法がうまくマッチする数学的対象あるってことです
>（因みに、対偶法は相応しくない。例えば（対偶法） ”￢Q：xは有理数” → ”￢P：x=√2は解を持たない”ってことだけど、そんな証明は迂遠ですね）

要するに、対偶法では、x=√2はゴールです
しかし、x=√2は証明のスタートから使いたいのです
その点、背理法では、x=√2（つまり P：x^2=2）は、スタートなのです
単純なようで、この点は、大きな違いなのです

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/01(日) 16:20:27.57

>>329
>（対偶法） ”￢Q：xは有理数” → ”￢P：x=√2は解を持たない”
>ってことだけど、そんな証明は迂遠ですね

xは有理数　⇒　(x^2<2∨x^2>2)　なら　意味あるね

2020/03/01(日) 17:26:57.91

>>331
同意
まあ、証明において、何事もそうだが
最初の証明のあとに
いくつもの、別証明が出てくることがあるよね
その1つとしての意味はあるだろうね

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/01(日) 18:45:52.93

背理法で使う「仮定」が一つに見えても、
実際は論理の連鎖の過程で別の「仮定」が知らずに紛れ込むことがあるから
背理法は極めて危険な論法と言わざるを得ない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/01(日) 20:01:00.30

>>333
それ
照明全般についての注意ってこと気が付いてないみたいな

2020/03/01(日) 20:48:31.24

>>333-334

ああ、そうだね
でも、そういう証明の失敗が、数学の進歩に繋がることも多いのも、また事実

下記、ラメとコーシーの証明の失敗から、”虚数レベルでの一意的な因数分解”が考察され、理想数の理論からイデアルの理論が生まれた如く
だから、背理法でも、ともかくも、証明を前に進めるということは大事だね

勿論、正しい証明で拍手喝采が理想だけれども、
数学の歴史を見ると、何度かの失敗の後に、証明が完成することも多い

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理

1847年、ラメは「フェルマー予想の一般的解法を発見した」と発表し、同じ解法を自分の方が先に発見していたと主張するオーギュスタン＝ルイ・コーシーとの間で論争にまでなった。しかしこの解法とは xn + yn = zn の左辺を複素数で素因子分解するというものであり、この分解は一意的なものでないためこの問題に関する解法たりえていないことが指摘される[15]。

クンマーの理想数
コーシーとラメが争っていたのと同じ頃、エルンスト・クンマーが自ら打ち立てた理想数の理論（後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する[16]。
これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）全ての場合については証明がなされた[17]。
虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在する[注釈 6]が、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した[19]。
その結果、100 までの全ての奇素数 n について（当然 100 以下の奇素数を約数に持つ全ての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/01(日) 20:56:09.57

>>335
>>142で既出

2020/03/01(日) 21:35:17.34

>>336
ご指摘ありがとう

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/02(月) 23:17:58.68

背理法不要論の人、教授だからな
お前らより完全に格上だからな

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 00:55:51.14

権威主義っぽい(格上であったとしてそれは正当性を保証しない。教授などのポストを持つ人が完全に誤ったペーパーを出したりすることは珍しくない)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 01:14:08.36

>>338
つーかその人なんで不要と言い始めたの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 01:42:39.31

>>340
背理法が正しいと都合が悪いから
科学なんて捨てていい奴なんてどうでもいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 01:49:49.73

素因数分解可能ということや素因数分解の一意性って
背理法でなくて証明したらエラい長くならない？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 01:53:11.41

PならばQを示す代わりにPかつ￢Qならば矛盾を示すのが良くない理由として結局正しくない￢Qを仮定するからと言っているけれどならば対偶法は￢Qならば￢Pを証明するんだから￢Qを仮定するのみならず結論としてそもそも正しくない￢Pを導くという欺瞞

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 02:05:56.15

人間は全称命題を知覚することは不能であるから
その否定の特称命題を証明する他ない
また全称量化子の元を全称のまま選ぶことはできるが
ある特定の元として選ぶことはできない
つまり全称命題は間接証明しかできないのであるから
その間接法である対偶法を用いることになるのである

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 07:41:48.80

>>344
2番目の文章はおかしいように思う
どういう意味で言ってるの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 11:00:00.39

>>343
まず背理法は正しいことが証明されている
否定したいなら正しくないと証明しないといけない

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 11:25:47.01

>>346
だから
背理法否定論者の主張が対偶法にも当てはまるのにそれは使っていいと言っているのが欺瞞だって言ったわけ

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 11:37:25.37

頭の中の数学モデルで考えるとき背理法の証明はどうイメージしてる？
私は背理法で証明するときは頭の中が文字と記号だけになる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 12:28:32.30

【政府が隠す３．１１】　地震波形が、核実験と同じ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/earth/1575170033/l50

**現代数学の系譜雑談** ◆e.a0E5TtKE · 2020/03/03(火) 14:13:29.59

>>338
数学では、格上も格下もないよ（＾＾；

**現代数学の系譜雑談** ◆e.a0E5TtKE · 2020/03/03(火) 14:18:43.93

>>343
>PならばQを示す代わりにPかつ￢Qならば矛盾を示すのが良くない理由として結局正しくない￢Qを仮定するからと言っているけれどな

「正しくない￢Qを仮定する」って、違うと思うよ
実数R中で、Q：「Xが有理数」で、￢Q：「Xが”有理数でない”＝無理数」ってことで、
（￢Qは実数R中の余事象ですよね）
「正しくない￢Qを仮定する」ではないよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 14:35:28.03

背理法の問題は、否定を仮定するとあら不思議と矛盾が出てくるけど、どこに無理が生じたのかが見えづらいこと

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 15:21:37.49

>>338
ヒルベルトより格上とはすごいねー

「数学から排中律を奪うのは,天文学者から望遠鏡を,ボクサーから拳を奪うようなものだ」

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 17:22:18.71

>>351
俺が言ってるんじゃなくって背理法不要論者がそう言ってるのよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 17:22:50.66

>>352
>否定を仮定すると
これが無理だったってことだわ

2020/03/03(火) 20:41:27.58

>>354
>俺が言ってるんじゃなくって背理法不要論者がそう言ってるのよ

　ID:kScGeWtOさんが、>>343や>>347で書いているけど
「正しくない￢Q」という主張が、おかしいわけですね（背理法不要論者たち）
それは、下記の高校数学で教える「対偶」についての集合の包含関係による説明を見れば、一目瞭然です

（参考）
https://www.hmathmaster.com/math1/%E5%AF%BE%E5%81%B6%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6/
高校数学マスター
対偶の証明について２０１９年３月２９日
(抜粋)
【目次】
１．集合の包含関係を用いた証明
１－１．命題の推論関係と集合の包含関係が一致
１－２．補集合と包含関係の逆転

(p⇒q)⇔P⊂Q・・・(2)
が成立します。
ベン図を書くと、以下のようになります。
https://www.hmathmaster.com/wp/wp-content/uploads/2019/06/ben1-1.gif

補集合と包含関係の逆転
見方を変えて、集合Pと集合Qのそれぞれの補集合に注目すると、以下のように包含関係が逆転していることが分かります。
https://www.hmathmaster.com/wp/wp-content/uploads/2019/06/ben2.gif

つまり、
￢Q⊂￢Pであることが分かり、ここから、
￢Q⊂￢P⇔P⊂Q・・・(3)
が成り立ちます。
(2)と同様に、
(￢q⇒￢p)⇔￢Q⊂￢P・・・(4)
であることも分かり

2020/03/03(火) 20:57:08.40

>>316 補足

　>>316に書いた程度のことは、英文版の背理法wikipediaに書いてあるよ
なお、
”Proof by contradiction”：背理法
”Proof by contrapositive”：対偶法
です

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction
Proof by contradiction
(抜粋)
Relationship with other proof techniques

In the case where the statement to be proven is an implication A → B, then the differences between direct proof, proof by contrapositive, and proof by contradiction can be outlined as follows:

・Direct proof: assume A and show B.
・Proof by contrapositive: assume ￢ B and show ￢ A.
　This corresponds to the equivalence A → B ≡ ￢ B → ￢ A.
・Proof by contradiction: assume A and ￢ B and derive a contradiction.
　This corresponds to the equivalences A → B ≡ ￢￢ (A → B) ≡ ￢ (A → B) → ⊥ ≡ (A ∧ ￢ B) → ⊥ .

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/03(火) 22:18:03.81

>>312
> 有理数Qは「a/b という分数で表せる数のこと」

有理数の非循環節の長さは決定番号に成り得るわけでスレ主の数学では
成り立たないのだからスレ主にとっては間違いでしょ

2020/03/04(水) 00:06:21.07

>>358
意味が分からない
皆さんに分かるように、詳しく書いてみなさい

2020/03/04(水) 00:15:50.34

>>358
>>312
> 有理数Qは「a/b という分数で表せる数のこと」
>有理数の非循環節の長さは決定番号に成り得るわけでスレ主の数学では
>成り立たないのだからスレ主にとっては間違いでしょ

私、ガロアスレのスレ主は、下記の定義
「有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう」
は否定してはいない
「成り立たない」と言っているのは、時枝記事の数当て論法だよ
時枝記事の数当て不成立は、下記を「現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 357」以降を見て下さい

（参考）
現代数学の系譜　カントル　超限集合論2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/357-

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数

有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。

有理数を十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある）。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。

2020/03/04(水) 00:27:28.03

>>358
混ぜっ返しで、あなたには、下記筑波大山崎隆雄先生『ｐ-進世界へようこそ』を、プレゼントします
どぞｗ（＾＾；

（参考）
https://nc.math.tsukuba.ac.jp/index.php?action=pages_view_main&;block_id=206&active_action=multidatabase_view_main_detail&content_id=21&multidatabase_id=3&block_id=206#_206
筑波大過去の体験学習
年度平成１７年度
日付平成１７年８月４日(木)
概要
『ｐ-進世界へようこそ』
山崎隆雄先生
https://nc.math.tsukuba.ac.jp/index.php?action=cabinet_action_main_download&;block_id=282&room_id=80&cabinet_id=1&file_id=6&upload_id=202
p-進世界へようこそ
山崎隆雄
筑波大学数学系

2 2-進世界を覗いてみる
それでは始めに p = 2 の場合、つまり 2-進世界がどのような世界なのか、少しだ
け覗いてみましょう。一つの極めて特徴的・刺激的な事実は、2-進世界では次の式
が成り立つことです：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ・・・ + 2^n + ・・・ = ?1 (1)
私はこれを、比喩的に成り立つとか心情的に成り立つと言っているのではありま
せん。2-進数の世界では、この式が１００％精密な意味で成り立つのです。これは
かなり奇妙に感じられることでしょう。全くでたらめな世界だと感じられるかも
しれません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/04(水) 00:46:44.18

>>360
>時枝記事の数当て不成立は、下記を「現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 357」以降を見て下さい
おまえのレス、すべて否定されてて、それに対しおまえ反論できてないじゃん
不都合なレスを黙殺して勝手に勝利宣言するサイコパス（＾＾；