作用素不等式、作用素平均

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/11(金) 22:50:13.89

恐らく数学の中でもマイナーな分野ではありますが、あまり関係するスレが無いので立てました
不等式の非可換化とかです
語りましょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 18:39:19.59

この分野って応用は何かあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 10:24:17.36

最近どうなってんの

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/24(水) 20:37:26.13

グリーン関数がどーのこーのっていつも同じメンツでやってる

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/23(日) 21:17:21.03

で、この先生き残れるの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/12(月) 03:35:06.44

〔Sobolev 空間〕
　u ： R^n → R
　u(x) と ∇u は Lebesgue の意味でp乗可積分な函数。(p≧1)
とする。
　|| u ||_{p*} = (∫_{R^n} |u(x)|^{p*} dx)^{1/p*},
　|| ∇u ||_p = (∫_{R^n} |∇u(x)|^p dx)^{1/p},

小川卓克：数理科学, ３３(8), p.40-46 (1995)

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/12(月) 03:42:54.95

〔Sobolevの不等式〕
　|| u ||_{p*} ≦ C_s ||∇u||_p
ここに
　p* = np/(n-p),
　C_s = (1/(n√π)) (n!･Γ(n/2)/[2Γ(n/p)Γ(n+1-n/p)])^{1/n}
　　　・(n(p-1)/(n-p))^{1-1/p},

S.L.Sobolev: Mat. Sb., ４ (46), p.471-497 (1938)
　　　　　English transl., ２, p.39-68 (1963)
　　"On a theorem of functional analysis"

G.Talenti: Ann. Mat. Pura Appl., １１０, p.353-372 (1976)
　　"Best constant in Sobolev inequality"

D.Gilberg & N.Trudinger:
　　"Elliptic partial differential equations of second order",
　　　2nd ed., Springer-Verlag (1983)

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/12(月) 04:27:16.39

・Gagliard と Nirenberg による拡張

　1≦p<n に対して、u(x)に依らない定数 C>0 が定まり、
　p≦q≦p* なる q に対して
　||u||_q ≦ C (||u||_p + ||∇u||_p),　　…(1)

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/12(月) 04:30:25.22

〔Trudingerの不等式〕
||u||_2 ≦ 1 なるu(x)に対して2つの正の定数 C。とαがあって
　∫_{R^n} (exp(αu^2) - 1) dx ≦ C｡(||u(x)||_2)^2,　…(4)

u が R^n の有界な領域Ωに台をもつ函数（境界∂Ω上で u=0) のときは
Poincare' の不等式
　||u||_p ≦ C |Ω|･||∇u||_p,
によって
　∫_Ω exp(αu^2) dx ≦ C_tm |Ω|　　　　　…(5)

N.S.Trudinger: J. Meth. Math., １７, p.473-483 (1967)
　　"On imbeddings into Orlitz spaces and some applications"

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/12(月) 04:46:20.87

〔Trudinger-Moserの不等式〕
||∇u||_2 ≦ 1 なるu(x)に対して正の定数 C。があって
　∫_{R^n} (exp(4πu^2) - 1) dx ≦ C｡(||u(x)||_2)^2,

u(x) が R^n の有界な領域Ωに台をもつ函数（境界∂Ω上で u=0) のときは
　∫_Ω exp(4πu^2) dx ≦ C_tm |Ω|,

J.Moser: Indiana Univ. Math. J., １１, p.1077-1092 (1971)
　　　　"A sharp form of an inequality by N. Trudinger"

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/12(月) 20:41:17.67

うむ、よし！続けたまえ！

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/23(金) 13:03:06.11

１つの項のみに依存する「写像、関数、変換、作用素、etc.」と、
２つの項に依存する「演算」とを区別する。

２つの作用を続けて新しい作用を作る（連結）ことは、作用に対する一種の演算である。
この演算は結合法則をみたす。

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/25(日) 01:08:12.00

二項演算（or 多項演算）に限定するわけか。
2変数関数（or 多変数関数）も演算かな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/01(月) 10:13:13.92

線殺