はー、なるほど。分かったような、分からないような。
探検
コラッツ予想がとけたらいいな その2
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
はー、なるほど。分かったような、分からないような。
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq
プログラムでの証明中に、postulate（無条件の仮定）を使っています。
なので、完全な形式化という訳ではないです。
postulateな命題については、紙の上で証明すれば良いと考えています。
こんな感じで紙の証明も作ってってます。
普通にすごいわ
内容的にただしいのか俺の実力じゃジャッジできないけど
ありがとうございます。
これを聴いて証明を頑張ろう。
良かったら見てみて下さい。
第2部 レベル0のallDivSeqは、全て有限項 （これが言えればコラッツ予想も真）
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq/wiki
多いのか、少ないのか……
googleが採用してくれるかも
完全に素人質問で悪いのですが、証明の全容をここに載せたら盗まれる可能性があるのではないでしょうか？
arXivに上げるなどして正式に発表したほうがいいのでは…と思ってしまいます。
ありがとうございます。
証明はほぼ完成しています。
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq
arXivに投稿するには、endorser裏書人が必要なので、難しいかなと思っています。
そのページは情報が欠けていて論理を追うことができません。
/ / / / l | | lヽヽ
/ / // ⌒ ⌒ヽ
| | |/ （●） （●）
（Ｓ|| | ⌒ ･ｨ ヽ 芸能人が吹き替えに挑戦というのは
| || | ﾄ-＝-ｧ ﾉ
| || | |-ｒ ､/ /|
| || | ＼＿｀ﾆ'_／ |
(( ( つ ヽつ、
. 〉 i ))
（__ノ^（＿）
／￣`Y ￣ヽ､
/ / / / l | | lヽヽ
/ / // ⌒ ⌒ヽ
| | |/ （●） （●）
（Ｓ|| | ⌒ ･ｨ ヽ 許せないという気持ちが分かる
| || | ﾄ-＝-ｧ ﾉ
| || | |-ｒ ､/ /|
| || | ＼＿｀ﾆ'_／ |
⊂/ ⊂ ）
i ヽ
(( （＿）^ヽ.__） )) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
しかし変換の定義から そのようなことが常に可能とは思えない というのが私の直感です。
まず確認ですが、star変換によって割数列に負の項が出てくることを許しているわけではない ですよね？
各chapterを一読しましたが、『計算上は合う』というコメントもあり判然としません。
プログラムを読めば分かるのかもしれませんが素人なのでお許しを。
［chapter3より引用］
> 変換後のコラッツ値が、負数や分数になるものを禁止すれば、
> この変換は、3の倍数から3の倍数に写ります。
> これで得られる割数列を 「拡張完全割数列」 と呼ぶ事にします。
割数列の定義から負の項は存在できません。
たとえ最終計算が合っていたとしても、2を掛ける操作はコラッツ列の生成ルールにはありませんから、
負の項が出現するような変換は許されません。『拡張列』としてそれを 考えるだけ なら構いませんが、
拡張列から元の整数を復元する操作を統一的に行うことは許されないはずです。
詳細なコメントありがとうございます。
すぐには答えられないので、じっくり考えてみます。
[Chapter7より]
> コラッツ値がcである無限項の割数列を仮定して、コラッツ値が小さくなるようなstar変換を施します。
ここで筆者は、0（mod9）である36t＋9なる整数に対しE[2，-4］（y＝x/12－3/4）を施すと変換後は3t＜36t＋9になると主張する。
t＝1とすれば、36t＋9の割数列は[3，2，3，4］であり、E[2，-4]をそのまま施すと[2，-1，2，3，4］となり負の項が現れる。
この第2項『-1』を『2を掛ける操作』と解釈すれば、[2，-1，2，3，4］が表す整数は確かに3tになる。
しかしコラッツのルールに『2を掛ける操作』は存在しないので、本問題でそのような解釈はできない（※）。
3tに対応する割数列はコラッツのルールで一意に決まる[1，4］であり[2，-1，2，3，4］ではない。
コラッツのルールに則れば、
『負の項を持つ割数列に対応する整数は存在しない』
としか言えない。
（※）
負の項を持ちうる拡張割数列を元の整数に対応づける解釈を行うことは
・2で割る、2を掛ける、3を掛けて1を足すという3つの操作を別のルールに則って行う。
・各操作後の値は整数とは限らない。
このような拡張されたコラッツ問題を考えることに相当する。
その拡張されたルールを前提とすれば、[1，4]と[2，-1，2，3，4］は共に3tに対応する。
言えるのはこれだけのように思える。
以下3つをおこなえば良いのではないかと考えています。
◆定義1 拡張コラッツ予想
6t+3（t≦0）を用意する。（ここからコラッツ操作すれば通常のコラッツ予想になる）
一度コラッツ操作を施したものをαとおく。
6t+3から1~3回star変換をおこなう。
そこから拡張コラッツ操作をおこなう。αに戻ったところで通常のコラッツ操作に切り替える。
これを拡張コラッツ予想と名付ける。
※拡張コラッツ操作
コラッツ値xに対し、(3x+1)/2^pを施す。pは割数列の初項（0や負も取りうる）。
◆定理1
あるコラッツ値（一度コラッツ操作したものをα）からstar変換したものを、
2回拡張コラッツ操作すると、αに戻る
◆定理2
拡張コラッツ予想が真 ⇒ コラッツ予想も真
あるコラッツ値（一度コラッツ操作したものをα）からstar変換したものを、
2回拡張コラッツ操作すると、αに戻る
・1つのパターン
x=9t+3 [3, *,...]
を1回コラッツ操作すると、(3(9t+3)+1)/8 = (27t+10)/8 になります。
xに A[6,-4] y=(4/3)x-7 でstar変換すると
12t-3 [6, -1, *,...] になります。
拡張コラッツ操作1回目で (3(12t-3)+1)/2^6 = (9t-2)/2^4
拡張コラッツ操作2回目で (3((9t-2)/2^4)+1)2
= (27t+10)/8 になって二つは一致します。
残りはGitHubでやります。
拡張コラッツ予想が真 ⇒ コラッツ予想も真
star変換したものから拡張コラッツ操作を繰り返すと、
定理1より、全ての6t+3から遷移するαと同じものが、
欠けることなく得られます。
よって、拡張コラッツ予想が真ならば、
後方を共有する、通常のコラッツ予想も真になります。
その方針でこの問題が簡単化されるとは思いませんが。
righ1113さんの腕の見せ所ですね。
がんばってください。
頑張ります！
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq
寂しいのう。
def collatz_array(x)
if(x==1)
then
return []
elsif(x%2==0)
return [0]+col(x/2)
else
return [1]+col((x*3+1)/2)
end
end
collaz_array(x)をビット列とみなして2進数の整数に直したものをcollatz_number(x)とする。
collatz_numberはrubyプログラムで次のように定義される。
def collatz_number(x)
res=0;
x.each_with_index{|v,i|res+=v*(2**i)}
return res
end
3の倍数でない、かつx==collatz_number(x)となるような自然数xは存在するか？
ようするにコラッツ展開に対する不動点みたいなものはあるか？という話をしたいのだが
まあ俺も人のこと言えないけどｗお疲れ様です。
まあまだぼんやりしたイメージがあるだけです。
3*2^tは該当するみたい。そりゃそうか。
あと、「先頭nビットが一致する」だと意味ないかな？
意味ないかどうかはまだわかりませんが、先頭nビットについては>>528のような割とはっきりした規則性があるようなので、
規則性の見えなくなる後ろのほうのビットのふるまいを何とかできないかという思いはあります。
ちょうど3が不動点になっていたのでこれが1,4,2のループを表しているのでは？
という思い付きというか期待から書き込んでしまいました。
整数は2-進整数に埋め込めるし、コラッツ展開は2-進整数に自然に拡張できる
以下、簡略表記として左を下位、繰り返しを()で括る、とすると
0=(0)…
-1=(1)…
はコラッツ展開が自身と一致する
1=1(0)… のコラッツ展開は (10)…
(10)…は×3で(11)… = -1 なので
(10)…のコラッツ展開は 1(0)… で元に戻る
意外とそうでもないのか
Mapleにありそうだけど
Mapleってフリーじゃないもんね
有限桁以降が繰り返しのものに限定すれば扱えるのかな
(10)…と-1/3、(100)…と-1/7、みたいに、
理論上は(分母の素因数に2を含まない)有理数に対応するはず
四則演算とかも含めて。
ルビーにもあったかな？
Haskellはデフォルトで遅延評価です。
Rubyも遅延評価がありそうですが、僕は詳しくないです。
でも2-進整数にしちゃうと不動点のアイディアをどう扱えばいいかわからなくなるかなぁ？
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0
「定義」の最後にあるp進整数環でpが2のものを考えてるんですが、付値やら完備化や、専門的過ぎてたぶんわけわからんと思います
計算だけなら「略式の解説」のこの辺
> 整数側に無限桁加えたもの、例えば …1246328.125 のようなものが p 進数であると解釈できる。
> p 進数の中でも、小数点以下がない …1246328 のようなものは p 進整数と呼ばれるものに対応する。
> p 進数同士の足し算、引き算、掛け算は、p 進表記の有理数における通常のアルゴリズムを自然に無限桁に拡張することで得られ、割り算は掛け算の逆演算として定義される。
def collatz_rational(x)
l=x.length
res=0r
x.reverse.each_with_index{|v,i|res+=v*(1/2r)**(i+1)}
res+=((1/2r)**l)*1/3r
return res
end
def collatz_rational_array(x,l)
res=[]
(0...l).each{|i|
if(x>=1/2r)
then
x-=1/2r
res<<1
else
res<<0
end
x*=2r
}
return res.reverse
end
(1..1000).each{|x|
a=collatz_array(x)
l=a.length
r=collatz_rational(a)
b=collatz_rational_array(r,l)
if(a!=b)
then
print "#{x} #{r} #{a} #{b}\n"
end
}
まあもともと不動点はそれほど目があるアイディアじゃないかもだけど
すまん、直す
うーん、こうかな？
休憩ｗ
うーん、どうしよう
x == collatz_number(collatz_array(y))
y == collatz_number(collatz_array(x))
のように、相互に参照しあっているものを考え中です。
ちゃんとしたものは後日upします。
https://i.imgur.com/7VUP2CA.jpg
桁が繰り返しである2-進整数に限ると、
繰り返しが1で埋まれば-1であることを利用して
以下のように有理数との対応がわかります
(1)…=-1/(2^1-1)
(10)…=-1/(2^2-1)
(100)…=-1/(2^3-1)
途中から繰り返す場合についても、例えば
1(100)…=1+2(-1/7)=5/7
のようになります
そして、このようなものに限ると有理数としての加減乗除でまったく問題なかったりします
循環小数=有理数、みたいなもんですね
コラッツ展開に対してさらにそのコラッツ展開を求めることに何の意味があるのかが不明瞭なのが現状痛いですね。
そこに何らかの意味が見いだせればもう少し面白くなるのですが
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/190421
気がついた事は、（不動点じゃないですが）
例えばxが17~31の奇数の区間で、コラッツ展開先頭5ビットが1~31の奇数を、
コラッツ3x+1と3x-1で分けあうことです。
書いてから思ったのですが、
>>528と関連があるのかどうか、というところですかね。
負数側の結果がスライドしてきている、と考えればよいのかなと
⇔xに対し「x→(3x+1)/2」または 「x→x/2」の変換をある順番でn回行ってxに等しくできる
⇔0≦∃k≦n, ∃y∈Z, ((3^k)x+y)/2^n=x.
これは有理数の範囲で一つの解をもつ
今1～2^nのコラッツ展開の先頭nビットを並べてコラッツ展開のkビット目にどのようなパターンが表れるかというのを見ようかと思ってます。
でもパターンは凄い複雑。
(フェルマーの小定理より任意の素数q≠pに対してp^(q-1)≡0(mod q) なので、-1/qのp進展開がq-1桁の循環になる)
コラッツ問題の有理数への拡張は、Z_2への拡張と考えたほうが実は自然なのでは？
というところで2-進整数ネタも一休み
また週末かなー
https://github.com/righ1113/CollatzMod/blob/master/190421/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84%E5%B1%95%E9%96%8B_2-%E9%80%B2%E6%95%B4%E6%95%B0.xlsx
-1, 0, 1だけが特別で、（>>684）
これ以外の数は、コラッツ展開を施すごとに、どんどん複雑になっていくようです。
「3x-1」シートは、3x-1にして負値を計算したものです。
フーリエ変換に対する逆変換みたいなものが見つからないか、というのは今のところ夢想かなあ
の補題を自分の中で整理してたらこうなった。
写像f: Z→Zを次で定義する.
x∈Z に対し,
f(x)=x/2 (x∈0+2Z)
f(x)=(3x+1)/2 (x∈1+2Z)
このとき, 0≦n∈Z, x, y∈Z に対して次が成り立つ.
x-y∈(2^n)Z ⇒ 0≦∃m≦n, s.t.
(2^n)(f^n(x)-f^n(y))=(3^m)(x-y).
(超略証)nに関する帰納法.
定義から0と1の場合がOK.
1とkをあわせてk+1の場合が示される.
繰り返したら元に戻るとか、
小さくなる、とかだったら良かったですけどね。
前述(>715)のf, x∈Z, 0≦i∈Zに対し x_i=f^i(x)+2Z で定まる Z/2Zの列{x_i}(i≧0)を「xのコラッツ展開」と呼ぶことにする.
x,y∈Zとそのコラッツ展開{x_i},{y_i}について次が成り立つ.
x-y∈(2^n)Z⇔x_i=y_i (0≦∀i≦n).
系. コラッツ展開は単射.
入力サイズに対して、
コラッツ操作で何回2で割るかが分からないので、
難しいと思います。
特殊な場合だと、
2^n±1は、コラッツ展開のnビット目までを
多項式(定数?)時間で求められます。
・Z(有理整数環)→(Z/2Z)の列 で単射になる
・>521の性質から、Z_2(2-進整数環)上にwell-definedに拡張できる
(環Zと素イデアル2Zの話が環Z_2と素イデアル2Z_2の話になるだけで、まったく同じロジックが展開できる)
・Z_2上全射(よって全単射)になる
ということでZ_2上で考えたらなんか出てこないかなー、とは。
コラッツ展開がループ
→一次方程式の解
→Q∩Z_2
とか。
なお、p-進整数環については、射影極限を経由するルートの方がわかりやすいかもしれません。
2で割ることで折りたたまれたフラクタル構造といいますか……
>>684から書いている2-進整数とは少し違うものが英語版Wikipediaにあった。
https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
の"Iterating with odd denominators or 2-adic integers"
例えば、コラッツ展開(1011001)のループを考える。
このコラッツ展開の長さn=7で、"1"の個数m=4。
"1"のビット位置k_0,...k_(m-1)は、0, 2, 3, 6。
これらを元に、
(3^(m-1)*2^k_0 + ... + 3^0*2^k_(m-1))/(2^n - 3^m)
を計算すると、151/47になる。
この数を分数でコラッツ操作すると、
151/47 → 250/47 → 125/47 → 211/47 → 340/47 → 170/47 → 85/47 → 151/47 → ...
となって、確かにループしている。偶奇のコラッツ展開とも一致している。
(10)からは1が得られるし、(110)からは-5が得られる。
一つのループから一つの有理数が得られるようだ。
これも2-進整数って言うのかなあ。
151/47と書くより151・47^-1と書く方が実情を正しく表現しているかもしれません。
また、加法・乗法は有理整数環上のものが延長されているので、分母が奇数の有理数についてはそのまま有理数として計算しても問題が発生することはありません。
よく分かってないですが……
精進しますm(_ _)m
だったらどう？
2^23-1 = 8388607 = 47×178481
であることから、
47^-1 が繰り返しが23桁の2-進整数となることがわかります。
具体的には
23桁の (11…1) = -1
であることから、
23桁の (10…0) = -1 × 47^-1 × 178481^-1
両辺に -1, 178481 をかけるという手順で求まります。
素因数分解とかグラフの同型問題をコラッツに帰着できるか？
かな
ゲーデルの不完全性定理とかにもでてくる有用な概念らいしぞ。
collatz_bit(x,y)をxとyとcollatz_bit(z,z)で表すことが可能であれば、
本質的にコラッツの問題は対角線だけ着目すればいいという結論が出るかもわからない。
そうなったらちょっとすごい。
荒らされてる……?
証明はここにあります。
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq
割数列を使っています。
また、定理証明支援系Idrisを使用しています。
コラッツ展開については私も色々考えていますが、>>544で書いた通り 3x+1 に限らず任意の px+q (p,q は奇数) で同様のことができるので、
3x+1 の特殊性をどう出すかが悩みどころ。
>>738
プログラムのことは良くわかりませんが、定理7-2 では 0 の全ての拡張完全割数列が有限項であることを示しているのですか？
お久しぶりです。
最近プログラムに大きく手を入れたのですが、そこちょっと引っかかっていました。
示せてないです……
『レベル2の』0の全ての拡張完全割数列が有限項であること
は実際に計算できたので、それを証明としていました。
やはりそうですか…。
了解です。
ついでに添削
ch01
・コラッツ予想
＞コラッツ操作をおこなう数を 「コラッツ値」 と呼ぶことにする。
既に同じ意味で「初期値」という言葉が使われているので「初期値」で統一してはどうでしょうか。
「コラッツ値」を残すにしても、『初期値のことを「コラッツ値」とも呼ぶ』などと定義した方が意味がはっきりします。
・定義1-1
これも分かりにくいので、
自然数 n を初期値としてコラッツ操作を連続して行ったとき、各操作において 2 で割った回数を並べてできる数列を n の割数列と呼ぶ。
とか。
有限列になる場合、無限列になる場合もここではっきりさせておくべき。
また、「コラッツ列」が未定義なので付け加えるか表現を変えるか。
・定義1-2
＞初期値が3の倍数の…
上で提案した定義に則るなら「初期値が」は不要。
このままにしたければ定義1-1を「初期値が n の割数列」に変更。
・3の倍数だけ調べれば良い
「コラッツ逆操作」が未定義。
ch02
・定義2-1
＞A[6,-4] or B[1,-2]をつける
「つける」では通じないので、
有限または無限数列 [a_1, a_2, a_3, ...] を数列 [6, a_1-4, a_2, a_3, ...] に写す変換を A[6,-4] と書く。
とか。
また、この時点ではまだ完全割数列を完全割数列に写すことが示されていないので、
その旨を削るか、書くとすれば「すぐ後で示すが」などと書き加えた方がいいと思います。
(重要)
・全ての3の倍数の奇数は、完全割数列で表わされる
ある数が完全割数列で表わされる、という文言がそもそもおかしいですが、
なにより 3 の倍数の割数列が完全割数列であるというのは完全割数列の定義そのもので、ここで示されることではありません。。
タイトルを何かしら変えるべきでしょう。ここで示されているのは
「star変換は完全割数列を完全割数列に写す」
「任意の完全割数列は、ある完全割数列にstar変換を施したものとして得られる」
です。
添削ありがとうございます。
すごく有難いです。
ch03
コラッツ値が非負整数にならないものは禁止するのかしないのかはっきりさせて下さい。
禁止するならば、定義3-1は
n≧0 を 3 の倍数とする。整数列 [a_1, a_2, ...] が n の拡張完全割数列であるとは、
ある 3 の倍数 n'≧0 が存在して
・n' の割数列に、0 や負数が現れることも許してstar変換を有限回施すと数列[a_1, a_2, ...] が得られ、かつ
・n' に対応するコラッツ値の変換を施すと n が得られる
を満たすことを言う。
ってところですかね。
(重要)
ch04
「拡張コラッツ予想」とありますが、これは操作を定義しているだけで予想になっていません。
「拡張コラッツ操作」などと呼ぶべきでしょう。また、ここでも「1回の操作」をはっきり定義しておくといいでしょう。
拡張コラッツ予想とは
任意の拡張完全割数列は有限項である。
とかでしょうか。
あとはプログラムが分からないのでパスで
プログラムを変更して、
帰納法のbase caseは、『（拡張でない）完全割数列が有限項』を示せば良いようにしました。
0の完全割数列は[]と定義するので、有限項です。
証明の流れは以下です。
①まず、二つの述語を用意します。
FirstLimited x ： xの完全割数列は有限長である
AllLimited x ： xの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、x -> FirstLimited x です。 ---(a)
②次に、パースの法則の述語論理版を用意します。
"∀x::nat. ￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
-> (∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
-> P x"
これは定理証明支援系Isabelleで自動証明したので間違いないと思います。
③(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
のP, QにFirstLimited, AllLimitedを代入したものを証明します。
無限降下法はやめて、整礎帰納法を使います。
④ (x -> FirstLimited x -> AllLimited x) は、排中律により真か偽のどちらかです。
・真の場合
これと③を使って(a)が証明できます。
・偽の場合
これと③とパースの法則を使って(a)が証明できます。
> 示したい命題は、x -> FirstLimited x です。 ---(a)
？？？
x は単なる自然数でしょ？ なのに、x -> ・・・ と含意命題の仮定部に出て来るとは？？？
示したい命題って、AllLimited x -> FirstLimited x ですか？
プログラムで「x ->」と書いたら、全称量化を意味します。
参考記事です。
http://mandel59.hateblo.jp/entry/2013/09/14/115924
任意の自然数xに対して「FirstLimited x ならば AllLimited x」
ですか。
②は
命題 -> 命題 -> 命題
の形になってるけどどういう意味？
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
です。
は、
十分条件1 -> 十分条件2 -> 命題
と書いても良いと思います。
・「A ならば B」かつ「B ならば C」
・「A ならば B」ならば C
・A ならば 「B ならば C」
のどれかかと思ったけど
・「A かつ B」ならば C
ってこと？
・「A または B」ならば C
ですか？
・A ならば 「B ならば C」
です。
（右結合といいます）
あとは③の証明がちゃんとできてるかどうかですね。
はぁ～、依存型サポートしてる関数プログラミング言語のIdris独特の記法なのね、、、
見直します。
α：￢A
β：A -> B
の形をしていて、α が真なら β も常に真、したがって β があってもなくても変わらない
となってしまっているように見えますが、これも括弧の書き方のせいですかね。
>>754は間違いでした。
自分が不用意に括弧を付け足したせいです。
(Isabelleも>>754にはNGを返します)
正しくは以下です。
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
しかしこれだと、βに(∀z::nat. (P z -> Q z))を渡せないので、
コラッツ予想の証明には使えません。
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：(∀z::nat. ￢(P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
とすると、IsabelleもOKを返します。
これを使って上手いこと出来ないか考え中です。
目処が立ちました。
パースの法則は使わずに済みそうです。
Isabelleも使わずに済みそうです。
Idrisプログラムを書き上げる事とWikiを手直しする事が必要ですが、
3か月くらいかけてじっくり取り組もうと思います。
コラッツ予想に進展があったみたいですね。
詳しく
分らんということが分かった
この結果は Korec の結果を一般化(厳密にはちょっと違う)したもの。
・Korec の結果
自然数 N を初期値としてコラッツ操作を施して得られる数の最小値を Col_min(N) と書く。(コラッツ予想が正しければ常に Col_min(N)=1)
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < N^θ (ここで θ=(log3)/(log4)) が成り立つ。
「ほとんどすべての」というのは数学用語で、密度というものを使って定義される概念。
密度には種類があり、異なる密度に対しては「ほとんどすべての」の意味が異なる。
Korec が用いたのは natural density (自然密度？) というもの。
・Terence Tao の結果
上の N^θ の部分を一般化したもの。
f を自然数に対して実数を対応させる関数で、lim_[N→∞]f(N)=∞ を満たすものとする。
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < f(N) が成り立つ。
ただし、Korec とは異なり logarithmic density (対数的密度？) という密度を用いている。
Col_minの上限が言えても無限大に発散しないことは言えなくない？
論文では n-Syracuse valuation と名付けられています。
その後「n-Syracuse valuation と n-Syracuse offset map について理解する必要がある。前者のために…」というくだりがあって次の話に続いているようです。
これ割数列がなかなか活躍してるのでは。
そのとおり。無限大に発散しないことは言えない。
個人的には、この手法を応用して
・ an＋b問題(ただしa≧5)ではほとんどの初期値で発散する
という予想が証明できることを期待したい。
・・・と思ったが、ブログのコメント欄を見てみると、
Tao氏本人が「今回の手法ではムリ」と書いていた。
どんだけ闇が深いんだこの問題ｗ
https://i.imgur.com/k3Mk0LT.jpg
Excelで書いてみました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/blob/master/190918/collatzRes777.xlsx
（Downloadボタンを押してください）
ここから先はよく分からないのですが、
3の倍数の×印で全て覆える、という事でしょうか？
ありがとうございます。
論文を見てそう考えました。
スラッシュしてあるのは前項により固定になっている所です。
それで固定になっていない所の位置変化に注目してます。
2^nになれば収束するので2^nの位置変化と3n+1の箇所が2^nを内包するn^2のシートを使われているかもと考えました。
3n+1がどのような代謝をするか考えると3n+1は初期のn/2は代謝させないで
後半のn/2をすべて代謝させるだけで初期のn/2で深度？がわかるようなそうじゃないような…
https://i.imgur.com/S4Fmyod.jpg
Excel更新しました。......が、あまりうまくいかないです。
3*奇数+1
はn^2正方形の辺上に並ぶかと思いましたが、違うようです。
>>781
OE : (3/2)n+1
が何故3n+1になるか分からないです。
16がうまくいってるだけで正方マスはうまくいかないのかもしれないです。結局変化おこるのが斜めにずれて噛み合ってになるので2^nマスでしか起こらないのかもしれないです。
もうひとつの方なにやら壮大な計算ミスが起こっているようですごめんなさい。
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
コラッツ予想ってどうなれば解けると言えるんだ？
どう思う？
https://i.imgur.com/5W9UczU.jpg
https://i.imgur.com/6l1EMQX.jpg
https://i.imgur.com/6VNKoiw.jpg
初めの数字はy座標から始めてyxyxと交互に座標を辿るとコラッツ数になる。
x/2だけは逆数でもたどれるからy=2xを介しても良い(逆数を介さなくてもそのまま行ける)
だから座標上の数列3式で全て対応可能だと思うよね。
というか対応可能じゃないと代入しただけだから困るが。
矢印の線は一例
スプレッドシートで描いてみました。
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1um71zmHr1ZBSsfYAbYPPSINeaL4EznCeEFsuv18iqPo/edit?usp=sharing
こういう形の図はコラッツ予想ではよく見るのですが、
＞ yxyxと交互に座標を辿るとコラッツ数になる。
という所は新しいかも、と思いました。
斜めのx/2介さない方が一貫性あるかなと思うんだが、この法則で1に収束すると言えないかな
う～ん、1に収束するかどうかは何とも言えないですねぇ。
もう少し、1に収束する根拠というか、詳細を書いてもらえないでしょうか。
なんかこういう感じの式で見たらメルセンヌの素数判定式と同じ類いの証明が出来そうな気がする。
それはコラッツ問題においてはn/2は0が原点となるし、3n+1は(1.0)もしくは(0.1)を取り問題帰着するし、
何処の座標でも合同の距離ベクトルであると言えるから代謝構成も同じと言えないか？
息抜きでかじった程度なので分からんが。
すぐにはコメントできないですねぇ。
じっくり考えてみます。
xyは座標目盛り
40x、20y、10x、5y、16x、8y(真横)、4x
、2y(真横)、1x(END)
は並べかえると、
x:40、10、16、8、4、1
y:20、5、8、2、
ベクトル距離は、
x:-30、6、-12、-2、2
y:-15、3、-6、2、-3
(x.y)=(-19.-36)で初め(40.20)からでENDの読みがXだからyからxを足すと1が出てくるな
10, 5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13, ...
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1um71zmHr1ZBSsfYAbYPPSINeaL4EznCeEFsuv18iqPo/edit?usp=sharing
シート2です。（見づらくてすみません）
3x+1でもこのような可能性があるので、難しいと思いました。
でも5x+1の時は特殊性あって16で限定でx/2に対応する式だと思う。
そういう計算をしてるブログあるしトリガーを16で持たせたと言って過言じゃないと思う
xy対応グラフはn/2と3n+1限定の対応グラフだからトリガーがy=n/2とy=2xとy=x/3-1/3しか対応してない。
それは(-2.-1)の共有点もって無いと対応しない。y=2xの共有点はx/2
逆数なので、x=y
分岐するところはどうなるの？
2n+2→n+1
どちらも和は4n+3で同じ
奇数と奇数+1の2つの数を変換しても和は保存された
x=16の直線上に5、8、32は同じ直線上に居るようにxだけ読めればyの値を読むのでちゃんと結ぶよ
ちょっと今日分かったとこワードで纏めるわ
https://dotup.org/uploda/dotup.org1963182.pdf.html
なるほど、4本の直線の間をぐるぐるしながら遷移するのですね。
4-2-1ループは例えば、
(2,1)→(4,1)→(4,2)→(1,2)→(1,4)→(2,4)→(2,1)→...
と遷移すれば良いかなと思いました。
そかそか、見落としとった
1は3n+1か！
y=x,3x+1,x/2の3本の間を
3x+1→x
↑奇数
x
↓偶数
x/2→x
とx軸/y軸方向に行ったり来たりすることで表現できる
これを適宜y=xで反転して
・y=xで曲がらない
・折り返すところを省略
とやってる感じですかねー
そのような感じだと思います。
逆数の式の線上の座標が経由されてるのがよくわかりませんが、値が保存されるので収束するのがよくわかります。
y=2x, y=x/2 を偶数ラインと呼ぶことにすると
奇数ラインからは偶数ラインにのみ移る。
この際、近い方の偶数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインからは奇数ライン、偶数ライン両方に移り得る。
奇数ラインに移るときは上と同様、近い方の奇数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインに移るときは原点に近づく方向に進む。
という動き方になっていますね。
外側で増加、内側で減少を繰り返していることになります。
あと個人的には、奇数に対して「3倍して1を加えて2で割る」までをひとつの操作とした場合どうなるか、というのも気になります。
さらに色々またワードに纏めるわ
今度はかなり遅れます。
次はこのスレの住人なら自分の頭の中を全部吐き出せば何か他の法則が見つかるのかなって感じ。まだ頭の中整理出来てないから1週間位掛かるかも
偶数ラインの外側で増加、内側で減少しているのですね。
それとはちょっと違うかもですが、コラッツ操作で1に辿り着く時は、
『始点=3の倍数の奇数』
『最大点』
『終点=1』
の三つのポイントがあって、
『始点』→『最大点』を<上り>のフロー
『最大点』→『終点』を<下り>のフロー
として遷移するのかなあと思いました。
5n+1ではy=2xとなる点は無いの？
>>803にならえば、
例えば5n+1で1→6→3→16→8→4→2→1→...は、
(2,1)→(6,1)→(6,3)→(16,3)→(16,8)→*(4,8)→(4,2)→
→*(1,2)→(1,6)→*(3,6)→(3,16)→*(8,16)→(8,4)→*(2,4)→(2,1)...
となって、印をつけた点がy=2x上にあります。
なるほど。ありがとうございます。
それなら3n+1も同一処理になりますね
うまくいきません。
「3か月で完成させる」は撤回します。
現状
----------
(ロ)二つの述語を用意します。
P(d, n) : FirstLimited(d, n) : nの完全割数列は有限長である
Q(d, n) : AllLimited(d, n) : nの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、∀d.∀n.FirstLimited(d, n) です。 ---(a)
(ハ)補題を二つ証明します。
makeFtoA : ∀d.∀n.(∀z.P(d, z) -> (P(d, n) -> Q(d, n)))
makeLimitedDivSeq : ∀d.∀n.(∀z.(P(d, z) -> Q(d, z)) -> P(d, n))
※これは達成できました。
(ニ)
補題を使って、(a)を、相互再帰で証明します。
※ここがうまくいきません。
----------
ループするときの数式処理が難しくて結局0ベクトルになるから厳しかった。まだ諦めないけど
かなりオリジナリティ溢れる展開ですね。
う～ん、パッとはひらめかないですねー。
確定だと思われる所まで貼るよ
結局ループ場合AnとDnはx=yで同じにならんといけないので固定
BnとCnの係数比になるから交点からの面積求めて差分の面積を係数比較したかったけどそこの所は無理っぽさがあった
https://i.imgur.com/Ano9U4v.jpg
https://i.imgur.com/L8fl6Dz.jpg
https://i.imgur.com/20xBG2f.jpg
https://i.imgur.com/JITWi02.jpg
雰囲気はつかめます。
それとベクトルの向きと操作は前のは間違ってる。すまん
これが正しい
https://i.imgur.com/JKvfzqw.jpg
https://dotup.org/uploda/dotup.org1979998.pdf.html
ベクトルのところは、以下のように計算するのかな、と思いました。
（何も言えないですけど）
B→C：(0, -3)
C→D：(2, 0)
D→C：(0, 1)
C→B：(-3, 0)
B→A：(0, 2)
A→B：(1, 0)
--------------
総和：(0, 0)
ベクトルじゃなくて座標系スキームやな
あとなんで複素平面の所y/2xなん？
>∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0
>arctan(y/2x)+π if x<0 and y>=0
>arctan(y/2x)-π if x<0 and y<0
ここはx/2で見てる訳じゃないので
∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0
arctan(y/x)+π if x<0 and y>=0
arctan(y/x)-π if x<0 and y<0
Π/2 if x =0 and y>0
-Π/2 if x =0 and y<0
になると思うで
そうですね！書いてるのベクトルじゃないじゃんってことですよね。ごめんなさい。ただの座標で書いてるのにベクトルって書いてますね。
(2.4)→(2.1)の４→１の時と同じような未知数で増減ループの場合以下となると思ったのでこれにしました。
B→C：(0 , y/3 - 1/3)
C→D：(2x , 0)
D→C：(0 , 2y)
C→B：(y/3 - 1/3 , 0)
B→A：(0 , 2y)
A→B：(2x , 0)
arctan(y/x)+πだと第一象限？全体を示すような気がして...
ｙ＝ｘ/2～ｙ＝2ｘまでを差したい場合はどうしたら...うーむ
自分はこことGitHubに上げてるのですが、
GitHubのソースコードにはライセンスを付けているし、
全ての更新記録と日時が残っているので、
なんとかなるんじゃね?、って感じです。
自分は数学板に10月頭からまだ心臓部のアイデアを載せていません。
人のアイデアを盗むのと自分のアイデアで書き上げてジャーナルに出すのどっちのほうが正確で早いでしょうか？
ちなみに自分のアイデアは自分の中の解決済みの穴については触れていません。小予想うｐろだから消え得ちゃったし誰も気づかんやろって感じです。
righ1113さんすなば珈琲でお茶会しましょ////
ちょっと遠いです...(*_*)
メビウスの輪の二回巻きも普通のメビウスの輪とは違うように8の字型で2重のとかループありそうだけどその辺どうなんだろ
1つの項は最大2つの前項を持つけど次項は常に1つしかないから8の字にはならない
常に一つ？
x/2と3x+1の値が同じ所は分岐するけど2回続いたら4つ取れるよ？
そしたら1つコラッツ数被るんじゃない？
こういう事だと思いますが、
→・→...→・→
↑ ↑
流入矢印3つ、流出矢印1つなので、
（準）8の字も作れないと思います。
皆さんの言うとおりコラッツ座標はコラッツ数を1つずつ受けついていくので二重にはなりません
あと継承の構造上2xよりも大きい数枝分かれが起こりません
継承が2重で行われる場合単独のループとなりますから、ループ因子を持ってる事になりますし、4214のループに継承される以外の関数が合同変換される事になります
割数列を使った証明もうまくいかないので、
自分はコラッツ予想をギブしようと思います。ありがとうございました。
次スレもいらないかな。
残念です。
お疲れさまでした。
righ1113様に代わりましてBLACKXがお送りします。
次スレは1さんの意向により無しの方向で。
現在次元拡張での証明で書き切り、校正業者に投げてあります。
いつでも戻ってきていいんやで
BLACKX氏、あららもう出しちゃったかい？
もう遅いかもしれんが偏角はどうなった？
座標の移動先についての範囲を決めるならA→B間、B→C間、C→D間の3つ必要になるんじゃないかな。でもそれが1に帰着するか因数が変動するから言えないんじゃない？
どっか間違いあるんじゃないの？
とりあえず乙
関数 z'=f(z)を見つけて（作って）、その関数の挙動を調べる方法はなし？
f(z)=((3z+1)/2)*(1-cos(πz))+(z/4)*(1+cos(πz))
実際にどこかの文献で使われてたと思う
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/publish/booklet/01/collatz_problem.pdf
y→xの場合のみZ'(x)で立てることが出来ますのでx→yの場合をフーリエ変換して複素的にどうぞ。
私のは(clatzX,clatzX')を使ってやってるのでp←qを満たせなくて校正添削の時点でNGだったので諦めましたので是非どうぞ。
近似はするからやってみると良いと思う
俺の頭が空っぽなだけかもしれないけど収束性は言えない気がする。
wolfram alpha 先生 に教えてもらった。
1/4 (2 + 7 z - (2 + 5 z) cos(π z)) = 1/4 (2 + 7 z - (2 + 5 z) sum_(k=0)^∞ ((-1)^k π^(2 k) z^(2 k))/((2 k)!))
ここから何か言えるかどうかは全くアイディアなしｗ
ワロタｗあとは任せたって感じだな笑
区間を意識しないといけないのでは？ロルの定理だっけな
1～2^n-1(2^n個の数)全体を変換して合計がどうなるか
ループ長がどうなるか計算してみようかな。
セットグループのメッシュが切れるか分からんけど
nを実数に拡張するのは可能？
col(x,a+b)=col(col(x,a),b)
が成り立ってほしいが多分難しいんだろな。。。
もしそうなら>>856とあわせて何か言えるかも？
g(x,n)=f^n(x)としたとき
g(x,n)=2^nx
f(x)=3x+1
g(x,n)=f^n(x)としたとき
g(x,n)=3^nx+Σi=0_(n-1)3^i
=3^nx+(3^n-1)/2
かな
g(3^ax+(3^a-1)/2,b)=
3^b(3^ax+(3^a-1)/2)+(3^b-1)/2=
3^(a+b)x+(3^(a+b)-3^b+3^b-1)/2=
3^(a+b)+(3^(a+b)-1)/2=
g(x,a+b)
うまく行ってるっぽい？
4/22でも6/33でも結果は全て2/11という認識になってる。
2回目のコラッツ変換でコラッツ木関係でうまくいかないから
3^2^(3^nx+((lim[2→n]3^n-1))/2
これがコラッツ木関係なく起こるf(n)じゃないかい？
間違ってたらごめんだけど
あとlim[2→n]がよくわからん。変数は何？
ほら、間違えとったlim(m:2→0)3m+1
俺のレスで明らかにする必要ある？
いや、無い。
いきなりの謎展開だな
すまん誤記
lim(m:2→0)3m+1 ×
lim(m:2→0)3m-1 ○
(コラッツ予想が偽でなかったとしたら)
どんな継承の閉路構成があるか言えるからその閉路構成が正しいかどうか導ける。
色々言いたいことあると思うが今月いっぱいまで待ってくれ
出来ないこと出来るって言っちゃいかんでしょ
もしかして分岐で数列でも作れない限り無理っしょ
戻るけどlimの中身の話、Tao氏と同様であればCol_min(N) < N^θ (∴θ=(log3)/(log4))
の N^θ の部分を一般化したものを解いて
f を自然数に対して実数を対応させる関数で、lim_[N→∞]f(N)=∞ を満たすとしてるのに対して
BLACKX氏は3^2^(3^nx+((lim[m:2→0]3m-1))/2なんだがさっぱり理解出来ん
なぜ、次元拡張したのか？を考えて。
これに尽きると思います。
TAOさんはコラッツ数が終わるまでの長さで、俺はある数nがどちらに向かうかの確率と方向で分岐まで見ないとその世代と言うか代謝がわからないから012だけなんです。
実際自明のしか使ってないからその式自体要らないけど。
（2.4）
（2.1）
（4.1）
（4.2）
（1.2）
（1.4）※ループ
0：コラッツ数 →4214
1：コラッツ2ｎ番目飛ばし→4124
2：逆コラッツ数 →4124
3(=0)：逆コラッツ２ｎ番目飛ばし→4214
次元拡張すれば全て相似の関係であり、4関数のみで２ｎ番目でコラッツ数の事が拡張せず言える。
z が半整数のとき、ガンマ関数 Γ(z) の値は √π の有理数倍になる。
from wiki
コラッツ問題で数を1/2にすると半整数の問題になる
しかしガンマ関数とかわからないのでお手上げ
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
投稿規定満たして無いとの指摘なので第二段出す予定してます。
Journal of Recreational Mathematicsとかに投稿すれば少なくとも受け取って査読はしてくれるんじゃないの？
JAMSで査読してくれたし、ABCの査読とかもしてる人推奨したよ
一様参考にいれとくよー
ある初期値で発散するのならその数列の中の偶数と奇数は
1対1で現れるのかな？
https://dotup.org/uploda/dotup.org2067664.docx.html
現れないと思う
分岐があるのとな無いのがあるので
どこかでつながってない？
みたいなのは示せないのかな。
てかこうなったらこれと言う方針取れば良いと思う。そうしたら間違いだったら間違いに気付けるし
ほう？そうなの？
じゃあ楽しみに待っとくか。
待っててね
去年の11月辺りから真面目に書いててそろそろQ&A終わると思うからLATEXするよ
ワードでいいやろ。
ジャーナル指定
そりゃすまんかった。
俺は英語苦手だから日本語版も出してくれると嬉しい。
日本語リリースは無理か相当先になると思う。希望は薄い。
ジャーナルリリースできたとして、そのペーパーの期限が切れないとnoteだのなんだかんだ書けないし、JMSとか日本語対応の所は重投稿になるから規約違反だしで。
その他のつぶやきが多すぎるが。
なるべく5chに書き込んでほしいかなぁ
Euler積分 を拡張した Gaussの公式 ＆ Weierstrass の無限乗積表示
→ 関数等式
Γ(x)Γ(1-x) = π/sin(πx)
・E. Artin: "Entfuhrung in die Theorie der Gammafunktion" (Hamburg,1931)
･高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第5章 §68. ガンマ函数
・E.アルチン「ガンマ関数入門」(はじめよう数学6), 日本評論社 (2002)
p.126 2200円 上野健爾 [訳･解説]
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1985.html
任意の非負整数i0で成立
Cやfortranならinteger16が必要
i0=0
a0=6*(4*(205891132094649*i0 + 171575943412207)+3)-2
a9=2*(3*(1152921504606846976*i0 + 960767920505705813)+2)-1
print(a0,a9)
for i in range(29):
b0=(a0-1)//3 # 6n-2 -> 2n-1
a1=4*b0 # 2n-1 -> 6n'-2
# print(i,a0,b0,a1)
a0=a1
print((a0-1)//3 -a9)
非不整数で定義するとそれは指数関数だからコラッツ長が変わるやん
指摘内容は以下3点
1)指数型ディオファントス方程式の変形が一般化されてない
2)ヒルベルトの材料不足+指数関数との差別化不足
3)一般の方程式の変形方法に疑問
詳しい内容は書けませんが一応報告致します。
まだ2月から1年の公正サポートあるのでまだやりますよ。
悔しい。悲しい。
ディオファントス方程式の解読性について指摘ありました。
コラッツ問題においてディオファントス方程式の次元の係数変則はそもそもの係数が変わってしまうとの指摘がありました。
本当にそうなのでしょうか？良くわかりません。どなたかわかりませんか？
>>2
>自然数aに対し、集合T(a)を
>T(a)={b∈N|aとbはコラッツ操作によって同じ数に到達する}
四種類の集合がどのように推移するのか、誰かプログラミングで示してくれないか？
コラッツ問題の二次元化
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.117～119
Scientific American 誌 (1984/Mar)
http://pcbarina.fit.vutbr.cz/
･姉妹スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602763980/l50
奇数を膨らませて偶数化する際、
3n +1 ってやってるけどさ。
これって3倍して1足す…じゃないとダメなの？
3以外の素因数
例えば 5倍+1 とか7倍+1 など
調べれば、3と同様に
コラッツ操作として使える素数が存在するのだろうか？
(ちなみに、5倍+1 や7倍+1 でやると、発散しちゃいます)
righ1113:整数論、割数列、定理自動証明
5A:mod理論、
BLACKX:グラフ理論、ディオファントス方程式、自由ループ
どれも結構読めるし考えること出来るんじゃない？
チンポ「を」シコシコするのではなくて、チンポ「が」シコシコする。この場合、「チンポ」は主語となる。
オブジェクト指向で言う「集約」は２種類あって、全体（俺）と部分（チンポ）が繋がっている場合と、
全体（俺）と部分（チンポ）が別々になっている場合とが考えられる。けれども「チンポ」はそれ自体
が独立した生き物であり、所有者の意思とは無関係に、自ら勃起して「シコシコする」。
例えば寝てる時にエロい夢みて朝起きてみたらチンコが勃起して射精してたとか。
違うか？
「胸がドキドキする」は良いが、「チンポがシコシコする」はダメな理由を、５０字以内で述べろ！
マイケルアティヤもその一人
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
https://science.srad.jp/story/21/07/11/1816239/
いきなりなニュース
そろそろ環境構築できた
数学に偶然はない
コラッツ予想の定義で出てくる操作を「コラッツ操作」とすると、
コラッツ操作が有限回で終了するとき、ループは124以外では成り立たないと言える。
まあ、当たり前だけど
https://www.technologyreview.jp/s/249616/
数学をコンピューター処理に変換する
整数範囲/離散変換から複素数/連続関数への拡張は正直わからなかったのですが、
A図B図あたりを見て、やっぱカオス(小さい初期値の変化に対して大局的挙動が大きく変化する)だなと。
もう一つは lim で無限大に持っていく方法だけど、自分の計算能力が辛くて、
数式を立てることができてない。コンピュータプログラムなら書けそうだけど、
ある数値までみて、傾向がどうこうって話でしかなくなるので、これも厳しい。
もうちょっと見通しが立ったら書き込むかも
もう一つは lim で無限大に持っていく方法だけど、自分の計算能力が辛くて、
数式を立てることができてない。コンピュータプログラムなら書けそうだけど、
ある数値までみて、傾向がどうこうって話でしかなくなるので、これも厳しい。
もうちょっと見通しが立ったら書き込むかも
雑談はここに書け！【５７】
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617246978/592
さすがに手強い
https://arxiv.org/abs/1909.03562
32n+0→16n+0 OK
32n+1→96n+4→48n+2→24n+1 OK
32n+2→16n+1 OK
32n+3→96n+10→48n+5→144n+16→72n+8→36n+4→18n+2 OK
32n+4→16n+2 OK
32n+5→96n+16→48n+8→24n+4 OK
32n+6→16n+3 OK
32n+7→96n+22→48n+11→144n+34→72n+17→216n+52→108n+26→54n+13→162n+40→81n+20 NG
32n+8→16n+4 OK
32n+9→96n+28→48n+14→24n+7 OK
32n+10→16n+5 OK
32n+11→96n+34→48n+17→144n+52→72n+26→36n+13→108n+40→54n+20→27n+10 OK
32n+12→16n+6 OK
32n+13→96n+40→48n+20→24n+10 OK
32n+14→16n+7 OK
32n+15→96n+46→48n+23→144n+70→72n+35→216n+106→108n+53→324n+160→162n+80→81n+40 NG
32n+16→16n+8 OK
32n+17→96n+52→48n+26→24n+13 OK
32n+18→16n+9 OK
32n+19→96n+58→48n+29→144n+88→72n+44→36n+22→18n+11 OK
32n+20→16n+10 OK
32n+21→96n+64→48n+32→24n+16 OK
32n+22→16n+11 OK
32n+23→96n+70→48n+35→144n+106→72n+58→36n+29→108n+88→54n+44→27n+22 OK
32n+24→16n+12 OK
32n+25→96n+76→48n+38→24n+19 OK
32n+26→16n+13 OK
32n+27→96n+82→48n+41→144n+124→72n+62→36n+31→108n+94→54n+47→162n+142→81n+72 NG
32n+28→16n+14 OK
32n+29→96n+88→48n+44→24n+22 OK
32n+30→16n+15 OK
32n+31→96n+94→48n+47→144n+142→72n+71→216n+214→108n+107→324n+322→162n+161→486n+484→243n+242 NG
それではどうぞ
スターグループについて教えて下さい
32=2^5で4/32=12.5%が収束しないけど
2^0 => 1/1 (100%)
2^1 => 1/2 (50%)
2^2 => 1/4 (25%)
2^3 => 2/8 (25%)
2^4 => 3/16 (18.75%)
2^5 => 4/32 (12.5%)
2^6 => 8/64 (12.5%)
2^7 => 13/128 (10.15%)
2^8 => 19/256 (7.42%)
2^9 => 38/512 (7.42%)
2^10 => 64/1024 (6.25%)
2^11 => 128/2048 (6.25%)
2^12 => 226/4096 (5.51%)
2^13 => 367/8192 (4.47%)
2^14 => 734/16384 (4.47%)
2^15 => 1295/32768 (3.95%)
2^16 => 2114/65536 (3.22%)
2^17 => 4228/131072 (3.22%)
2^18 => 7495/262144 (2.85%)
2^19 => 14990/524288 (2.85%)
2^20 => 27328/1048576 (2.60%)
2^21 => 46611/2097152 (2.22%)
2^22 => 93222/4194304 (2.22%)
2^23 => 168807/8388608 (2.01%)
2^24 => 286581/16777216 (1.70%)
2^25 => 573162/33554432 (1.70%)
2^26 => 1037374/67108864 (1.54%)
2^27 => 1762293/134217728 (1.31%)
2^28 => 3524586/268435456 (1.31%)
2^29 => 6385637/536870912 (1.18%)
2^30 => 12771274/1073741824 (1.18%)
2^31 => 23642078/2147483648 (1.10%)
意外に早く(?)減ってくのね
コラッツの問題の証明
10進法においては、全ての整数（Whole Numbers）は Σ 2^n(3m+1) {m,n は無理数を含む全ての数} で記載できる。なぜなら、全ての整数は 10 で割ると余りは {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} にしかならないから（mod 10）である。そして、それらは 二進対数（log2）とし、極限を利用すれば合成できる数である。また、10の冪乗 は 3m+1 の合成数であるから、10の冪乗でつくれる整数は 3 で割ると余りは 1 となる。はやい話が 、10進法の整数は {0,..,9} * 10^0 + {0,..,9} * 10^1 + {0,..,9} * 10^2 + {0,..,9} * 10^3 + ... {0,..,9} * 10^∞ であるから、全ての整数は 10進法であれば、 永遠に「2」または「３の倍数に１を足したもの」で割ることができれる。そして、永遠に割り切ることは数式で指数と対数で記述できるため、数学において『コラッツ予想』は破綻しない。よって、『コラッツ予想』は 眞 である。Q.E.D.
Bcrypt で名前を不可逆にハッシュ化しておきました。
$2a$08$l6W7wyUQ5hWX87N0fsv5Ke7tA47yRK3/3dbb4pb3Dg.O9LSdZ.CEq
$2a$08$Pj.EnTnHAaHkM4Bge.FP3.pVlTdeVCF2GdQj6WoyFcctOLWAzosLW
あと、コラッツの問題を計算機で証明するのは不可能だよ。なぜなら、アラン・チューリングが証明してくれた「停止性問題」で明らかにしたけど、どんなに計算機を使っても、これは停止しない問題なので、永遠に割り続けられるので、絶対に「正しいことを観測できない」のよ。だって、ループするもん。もし、コラッツの問題が正しければ、計算機は永遠に止まらない。止まるときは、「間違っていた」ときだけ。
$2a$08$LN8EGqobRxzGNifhI4vHmee.qqUNcGy5ZcF4Akt/ltQtxGVB8sy9R2
修正
{0,..,9} * 10^0 + {0,..,9} * 10^1 + {0,..,9} * 10^2 + {0,..,9} * 10^3 + ... {2^n} * 10^∞
「全ての正の整数（自然数、Natural Numbers）は」に変更しましょう。
全くのデタラメ
証明になってない
すまん、間違っているので、もう一回考え直す。
俺は無限や極限とか使わずに初等的な知識で、3n+1→n/2→3n+1→n/2…のパターンが永遠に続かないことはほぼ証明できたと思うけど、これって当たり前の話なのかな？
あと、数が大きくなっていくパターン、小さくなっていくパターンとその前兆がわかったから、あとはどの整数も小さくなっていくパターンに落ち着くところの証明を考えればいけそう
そこが難しいのかもしれないけど
でも、そこで間違い指摘されて他の人が俺と同じやり方真似て先に間違い修正したら、俺の手柄ゼロになってしまうんだろうか…
獲らぬ狸の皮算用だが…
何をもって破綻しないのかが全然証明されてない。ツイッターのQEDと同じような事言ってて草
「3n+1→n/2→3n+1→n/2…のパターンが永遠に続かないことはほぼ証明できた」というのは違うっしょ。だって「奇数の場合は 3n+1」にするっていうことは確実に奇数と言える「2k-1」を関数合成すると 3(2k-1) = 6k-2 = 2(3k-1) となって、次のサイクルは確実に偶数でしょ。
ほぼフリーよ
ジャーナルに送れ
素人なので指摘を上手く汲み取れなくて申し訳ないのだけど
自分の主張は、例えば27から始めた際
27 →82 →41 →124 →62 →31 →94 →47 →142 →71 →214 →107 →322 →161 →…
で正に3n+1→n/2→3n+1→n/2→…が続くパターンだけど、これが永遠には続かないって意味
>>972
やっぱりちゃんと自分の手柄にするには、どこかのジャーナルに送った方がいいのか…
そりゃ、どっかで2の乗数になる瞬間があって、なし崩し的に 4 → 2 → 1 というサイクルがあるのはわかるよ。
3n+1を3n-1へ変えただけで
5→14→7→20→10→5とループ
つまり2^xに出逢えるとは限らない
お前の考えるような小手先の平凡なアプローチでは無理だろう。
1から65122までは発散しないけど
65123で初めて発散する
つまり3n+1だって
いつかは発散する可能性はあるのだ
そうねただ、君は出来る出来ないに関わらず資料や根拠とか裏取りちゃんとしないといけないよ
日本にいるゴミごときが解けるわけないだろ。クソ
3n-7 3n-5 3n-3 3n-1 3n+1 3n+3 3n+5 3n+7 3n+9 3n+11 と
それぞれ全て100万まで計算したけど発散しなかった
もしかして3倍ならばセーフなの？
根拠のないだろう挑発は心の中に留めておけ。精神すり減らすだけやぞ
1次関数区間定義ありの可変ジョルダン内測度を考えるとき短型に書き直せるのか？誰かわからんか？
やっぱり発散しないよね
午前中仕事暇だったからエクセルに打ち込んで試したけど、3n+5を65123で始めた場合、10139059808が最大だった
でも3n+5って頻繁にループしない？
偶数のときの操作は変わらずn/2でやったんだけど、そうでなかったならただの勘違いで申し訳ない
君は演繹的思考能力がないのか？
3n+781ならn=211のときループする
いや、3n-1 になるときは必ずあるけど、そのときは 2(3n-1)となって、偶数にあるはず。根拠は 3n+1 となるときは 2k-1 は「必ず奇数という証明がなされた」ときにしか発生しないので、奇数の次の数字は偶数になって、必ず 2の倍数となってしまい、その次のサイクルは 1/2 されるはず。ただし、それが偶数なのかは不明。
意味不明
だって 3n+1 するときは奇数なんだろ？だったら関数合成で 3(2n-1)+1 で、2(3n-1) と言えるのだから、有限内なら、次のサイクルは確実に偶数だと言えるでしょ？次の次のサイクルは不明だけど、ゼロ以外の整数も確定でしょ。
その演繹的手法で以下が判明しますか？
法則性があるようで無いようで助けてください
『3n + i』 (ex. 3n+1 3n+3 3n+5 3n+7 ...)で i が以下の時の循環の長さ
-7,-5,-3 ←長さ2が1種類、長さ5が1種類、長さ18が1種類
-1 ←長さ5が1種類、長さ18が1種類
1 ←循環なし
3,9,27,41,43,81 ←長さ3が1種類
5 ←長さ3が1種類、長さ8が2種類、長さ44が2種類、
7,21,63 ←長さ3が1、長さ6が1
11 ←長さ3が1、長さ22が1
13 ←長さ3が1、長さ13が7、長さ39が1
15,45 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が2、長さ44が2
17 ←長さ3が1、長さ49が1
19,57 ←長さ3が1、長さ16が1
23,69 ←長さ3が1、長さ7が2、長さ69が1
25,75 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が2、長さ12が1、長さ24が1、長さ44が2
29 ←長さ3が1、長さ26が1、長さ106が2
31,93 ←長さ3が1、長さ35が1
33,99 ←長さ3が1、長さ8が1、長さ22が1
35 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ6が1、長さ8が2、長さ12が2、長さ44が2
37 ←長さ3が1、長さ9が3
39 ←長さ3が1、長さ5が1、長さ13が7、長さ39が1
47 ←長さ3が1、長さ11が5、長さ25が1、長さ44が1
49 ←長さ3が1、長さ6が1、長さ60が1
51 ←長さ3が1、長さ9が1、長さ49が1
53,67 ←長さ3が1、長さ46が1
55 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が4、長さ22が1、長さ44が3
59 ←長さ3が1、長さ16が6
61 ←長さ3が1、長さ107が1
65 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ5が1、長さ8が2、長さ13が7、長さ36が1、長さ39が1、長さ44が2
71 ←長さ3が1、長さ15が2、長さ44が5
73 ←長さ3が1、長さ16が1、長さ23が1、長さ92が1
77 ←長さ3が1、長さ6が1、長さ8が1、長さ22が1
79 ←長さ3が1、長さ37が2、長さ64が1
83 ←長さ3が1、長さ19が1、長さ38が1
85 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が2、長さ9が1、長さ44が2、長さ49が1、長さ156が1
87 ←長さ3が1、長さ6が1、長さ26が1、長さ106が2
89 ←長さ3が1、長さ25が1
91 ←長さ3が1、長さ5が1、長さ6が1、長さ13が7、長さ18が2、長さ39が1
95 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が2、長さ16が3、長さ44が2
97 ←長さ3が1、長さ12が1
101 ←長さ3が1、長さ10が5、長さ20が2
>>975への反論になっていない
そのパターンは生じないって。だって、f(5) = 16 にしかならないのだから。例えば、f(2k) = k とはいえるし、f(2k-1) = 2(3k-1) であるから、f(f(2k-1)) = 3k-1 となるだろうけど、3k-1 が奇数か偶数か事前に知る方法は無い。
奇数のときn→(3n+1)/2のバージョンで考える
奇数のときだいたい1.5倍偶数のとき0.5倍なんだから、奇数：偶数≒log2：log1.5になるように奇偶の列を作って、
そのパターンになるようなiとnを見つければ良い。
例えば奇→奇→偶→偶→偶のループになるように計算するとi=781、n=211のとき上手く行く。
奇偶のパターンを起点に考えた方が賢いと思う。
君は>>975が読めていない。
3n+1を3n-1に変えたらループが出来るんだから>>974は間違っている、ということだ。
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